Il Moto Browniano

Nel presente post faremo uso di due argomenti già introdotti in altri articoli: "La Legge di Stokes" e "L'Equipartizione dell'Energia" (a cui rimandiamo); entrambi fondamentali per trattare il Moto Browniano che prende il nome dal botanico scozzese Robert Brown che per primo lo descrisse nel 1827.

In breve "con il termine moto browniano si fa riferimento al moto disordinato delle particelle (aventi diametro dell'ordine del micrometro) presenti in fluidi o sospensioni fluide" (come il polline disperso in acqua).
In pratica "questo è dovuto al fatto che la particella in questione subisce un gran numero di eventi di scattering (urti) da parte delle molecole del fluido in cui è immersa" (per i dettagli vedi Wikipedia).

Nel suo articolo del 1905 il giovane Albert Einstein, per trattare teoricamente il moto browniano*, fece l'ipotesi fondamentale che le particelle sospese nel fluido si comportassero come molecole di gas alle quali si può applicare il noto teorema di equipartizione dell'energia (vedi il post "L'Equipartizione dell'Energia"), proprio a causa del continuo bombardamento molecolare**.

Einstein osservò che una particella di massa m e raggio r immersa in un fluido (in equilibrio termodinamico alla temperatura T) è, per ipotesi, soggetta alle seguenti tre forze:
a) Forza di attrito viscoso: quella esercitata su di una sfera di raggio r immersa in un fluido che si muove a velocità v(t) (vedi il post "La Legge di Stokes"): F_d(t)=-kv(t) dove k=6πµr e µ è il coefficiente di viscosità.
b) Forza d'urto casuale: dovuta agli urti delle molecole del fluido con la particella, la indicheremo genericamente così: F_s(t).
Nota: poiché per ipotesi la forza F_s(t) fluttua continuamente, senza direzioni privilegiate, il suo valore medio è nullo: <F_s(t)>=0.

c) Forza di gravità: si suppone che la forza F_g (data la piccola massa m della particella in sospensione) sia trascurabile rispetto agli urti delle molecole e quindi non la considereremo: F_g≈0.

Perciò la risultante F(t) delle forze applicate è F(t)=F_d(t)+F_s(t) e quindi, considerando per semplicità solo l'asse X, dalla seconda legge di Newton (cioè F(t)=md²x(t)/dt²) risulta:

md²x(t)/dt²=-kdx(t)/dt+F_s(t)

dove x(t) indica la posizione della particella lungo X al tempo t e dove dx(t)/dt=v(t) è la velocità istantanea della particella; si tratta perciò di trovare il valore di x(t) quale soluzione della precedente equazione.

Tuttavia, poiché il valore medio della posizione x(t) è nullo (cioè <x(t)>=0 essendo la direzione degli urti del tutto casuale la particella in media non si sposta), è molto più utile ricavare lo spostamento quadratico medio <x²(t)> che, essendo indipendente dal segno (cioè dalla direzione di spostamento), è sicuramente non nullo e valutabile sperimentalmente.

Per trasformare l'equazione precedente in funzione di x²(t) (e poi facendo la media) si osservi che in generale, applicando le regole di derivazione, si ottiene (derivando per due volte x²(t)):

dx²(t)/dt=2x(t)dx(t)/dt   =>   d²x²(t)/dt²=2(dx(t)/dt)²+2x(t)d²x(t)/dt²

da cui segue subito: 2x(t)d²x(t)/dt²=d²x²(t)/dt²-2(dx(t)/dt)².

Quindi moltiplicando tutti i termini dell'equazione differenziale per 2x(t) e sostituendo il valore di 2x(t)d²x(t)/dt² prima ricavato si ha:

md²x²(t)/dt²-2m(dx(t)/dt)²=-2kx(t)dx(t)/dt+2x(t)F_s(t)

(si ricordi che (dx(t)/dt)²=v²(t)).

Se infine consideriamo i valori medi dei vari termini (in linea con la nostra trattazione statistica), si ottiene la seguente equazione in funzione di <x²(t)> (prendendo i valori medi dell'equazione sopra e riordinando i termini):

md²<x²(t)>/dt²+kd<x²(t)>/dt=2m<v²(t)>+2<x(t)F_s(t)>

dove abbiamo sostituito 2x(t)dx(t)/dt con dx²(t)/dt (vedi sopra).

Poiché <x(t)F_s(t)>=<x(t)><F_s(t)>=0 (essendo x(t) e F_s(t) due variabili indipendenti con <F_s(t)>=0) ed essendo per il Teorema di equipartizione dell'energia (1/2)m<v²(t)>=(1/2)k_BT (questo è il punto cruciale del ragionamento) l'equazione precedente prende la forma di un'equazione differenziale del secondo ordine in y(t)=<x²(t)>:

md²y(t)/dt²+kdy(t)/dt=2k_BT

la cui soluzione è (si può facilmente verificare per sostituzione):

<x²(t)>=(2k_BT /k)[t+(m/k)(e^-kt/m-1)]

dove si è posto per la posizione e la velocità iniziali: x(0)=0 e v(0)=0.

Risulta perciò che per tempi relativamente lunghi (cioè per t>>m/k) si ha

[t+(m/k)(e^-kt/m-1)]-->t

e quindi segue***

<x²(t)>≈2Dt   dove   D=k_BT/k (costante).

Ciò significa che lo spostamento quadratico medio delle particelle (lungo X ma generalizzabile in tre dimensioni) è direttamente proporzionale al tempo (essendo D costante, fissata la temperatura T).
Nota: si osservi che la costante D è proporzionale alla temperatura T e inversamente proporzionale a k=6πµr con µ coefficiente di viscosità.

Ricordiamo infine che il significato fisico dell'equazione di <x²(t)> è legato alle ipotesi statistiche della teoria cinetica dei gas (da cui discende l'equipartizione dell'energia) e che la dipendenza dal tempo è stata verificata per la prima volta dal chimico-fisico francese Jean Perrin nel 1908, campionando le misure su molti intervalli di tempo di uguale durata.

Ciò che è ancora più notevole è che, grazie a questa argomentazione teorica "nel 1905 Albert Einstein correlò il moto browniano all'esistenza di atomi e molecole che a quell'epoca erano ancora una ipotesi"(!) (vedi Wikipedia).

 (*) La trattazione più semplice qui riportata è stata formulata nel 1908 da Pierre Langevin, sebbene la prima spiegazione quantitativa sia stata data da Einstein nel suo famoso articolo del 1905.
(**) In effetti, se il polline non fosse in continuo movimento lungo direzioni casuali (grazie agli urti delle molecole del fluido) finirebbe sul fondo del recipiente a causa della forza di gravità a cui è sottoposto.
(***) Poiché la costante di Boltzman è k_B=R/N_A dove N_A è il numero di Avogadro, una volta noto lo spostamento quadratico medio <x²(t)> è possibile derivare il valore di N_A (essendo R la costante universale dei gas).

L'Equipartizione dell'Energia

In questo post enunceremo e poi deriveremo il Teorema di equipartizione dell'energia che, ricordiamo, "permette di valutare l'entità della energia interna di un sistema termodinamico sulla base di una trattazione classica, non considerando dunque la quantizzazione dell'energia: essa è fondata sulla meccanica statistica classica, cioè la descrizione newtoniana o descrizioni più generali, tipo la formulazione hamiltoniana, con particolare riferimento alle ipotesi della teoria cinetica dei gas".

Vediamo quindi l'enunciato.
Il principio (o teorema) dell'equipartizione dell'energia afferma:

"Per ogni grado di libertà quadratico che compone il moto complessivo di una particella, si ha un contributo di energia pari a (1/2)k_BT ovvero (1/2)RT per mole" dove k_B è la costante di Boltzmann, R la costante universale dei gas e T la temperatura assoluta (per i dettagli vedi Wikipedia).
Nota: come vedremo ciò significa che la temperatura è strettamente correlata all'energia cinetica media delle particelle di un gas.

Osserviamo subito che il modello, e il relativo significato fisico, su cui si basa il principio di equipartizione è quello della Teoria cinetica dei gas; ricordiamo perciò che la teoria cinetica si basa sull'assunzione di "alcune ipotesi fondamentali:

1. Le molecole di cui sono composti i gas sono considerate come punti materiali in moto casuale e a distribuzione uniforme nello spazio e seguono l'ipotesi del caos molecolare.
2. Le molecole collidono tra loro e con le pareti del recipiente con urti perfettamente elastici.
3. Il numero delle molecole è grande cosicché si possano usare metodi statistici.
4. Il volume totale delle molecole dei gas è trascurabile rispetto al volume del contenitore.
5. L'interazione tra le molecole è trascurabile, eccetto durante l'urto tra di loro che avviene in maniera impulsiva.
6. Le molecole sono perfettamente sferiche e identiche tra loro.
7. Gli effetti relativistici e quantistici sono trascurabili".
   (Vedi Wikipedia).
   Nota: se trascuriamo l'interazione tra le molecole (cioè l'energia potenziale) la sola energia presente è per ipotesi quella cinetica delle molecole del gas.

Tenendo ben presente queste ipotesi, e supponendo di essere in condizioni di equlibrio termodinamico (poiché le variabili termodinamiche sono ben definite solo all'equilibrio), possiamo derivare il nostro teorema, calcolando dapprima la pressione esercitata dalle molecole del gas sulle pareti.

Poiché il nostro modello presuppone che le medie dei valori cinematici delle molecole contenute nel gas siano in relazione con i valori termodinamici, consideriamo la velocità media delle molecole che urtano una parete del contenitore del gas (ad esempio la componente lungo l'asse X)* e che indichiamo con <v_x> (per il caso tridimensionale vedi la nota***).

Le molecole che ad un certo istante colpiscono la parete di superficie S sono tutte contenute, posto un intervallo di tempo ∆t, nel parallelepipedo di base S e altezza media <h>=<v_x>∆t e quindi il volume medio che le racchiude è:

<V>=S<h>.

Perciò se ρ è la densità del gas, la massa media <M> delle molecole urtanti contro la parete è:

<M>=(1/2)ρ<V>=(1/2)ρS<v_x>∆t

dove il fattore 1/2 è dovuto al fatto che, in media, solo metà delle molecole contenute in <V> è diretta verso la parete (le altre hanno verso opposto a causa dell'urto elastico contro la parete).

Nota: questo risultato tiene conto che le molecole si scontrano tra loro prima di arrivare alla parete cambiando, mediamente, direzione.

L'impulso della quantità di moto media trasferita alla parete è quindi:**

∆P=2<Mv_x> 

che possiamo esprimere per ipotesi (e in modo approssimato) come la forza totale F=∑_iF_i esercitata da tutte le particelle i-esime sulla parete nel tempo ∆t; cioè poniamo per l'impulso la relazione ∆P≈F∆t (posto F=costante) da cui segue (ricordando il valore di <M> prima ricavato):

F∆t≈∆P=2<Mv_x>=ρS<v_x>²∆t.

Nota: in realtà il tempo ∆t_i di azione di ogni singola forza impulsiva F_i dipende dalla velocità della particella; come vedremo di seguito un calcolo più preciso, dove ∆P=∑_iF_i∆t_i (e non ∆P≈F∆t), porta ad un risultato corretto.

Infine, risultando dall'equazione precedente F≈ρS<v_x>², la pressione termodinamica esercitata sulla parete pari a p=F/S è:

p≈ρ<v_x>².

Quindi il valore della pressione del gas, secondo questo calcolo del tutto approssimato, è direttamente proporzionale alla velocità media al quadrato delle particelle che lo costituiscono.

Come anticipato un calcolo più dettagliato mostra, correttamente, la dipendenza della pressione dalla velocità quadratica media <v_x² > (invece che dalla velocità media al quadrato <v_x>²) delle particelle del gas: 

p=ρ<v_x²>.

Nota: essendo v²=v_x²+v_y²+v_z² possiamo anche scrivere p=(1/3)ρ<v²> (poiché <v²>=<v_x²>+<v_y²>+<v_z²> e <v_x²>=<v_y²>=<v_z²>).

Vediamo in breve come si ottiene questo risultato (su base statistica).

Dato ad esempio un volume cubico V=L³ (L è il lato del volume) l'intervallo di tempo tra due collisioni sulla stessa parete S=L² (della particella i-esima di massa m) è ∆t_i=2L/v_ix (dove v_ix è la velocità media della particella lungo X ); la forza impulsiva impressa su S è perciò F_i=∆P_i/∆t_i (supponiamo F_i costante) da cui segue F_i=2mv_ix/∆t_i=mv_ix²/L.
Quindi la pressione totale p=F/S esercitata sulla parete da tutte le particelle è p=(∑_iF_i)/L²=(∑_iv_ix²)(m/L³) ed essendo la densità ρ=(Nm)/L³ (N è il numero di particelle) segue p=ρ<v_x²> poiché <v_x²>=(1/N)∑_iv_ix² (cvd).

Nota: si osservi che il risultato ottenuto è, in generale, indipendente dal volume V considerato.

Perciò dall'equazione dei gas perfetti pV=nRT (dove n è il numero di moli, vedi il post "Un gas ideale o... perfetto!") possiamo ricavare (moltiplicando l'equazione precedente per il volume V del gas):

pV=ρV<v_x²>=nRT

da cui essendo ρ=M/V la densità del gas si ottiene M<v_x²>=nRT (dove M è la massa totale del gas).

Quindi poiché m=M/n è la massa di ogni mole di gas (cioè un numero di particelle uguale al numero di Avogadro) l'energia cinetica media di ogni mole (dovuta al moto traslatorio lungo l'asse X)*** sarà:

<E_c>=(1/2)m<v_x²>=(1/2)RT.

Risulta perciò evidente la correlazione fisica, secondo principi di meccanica statistica, tra la temperatura (variabile termodinamica) e l'energia cinetica del gas (variabile meccanica) per ogni grado di libertà quadratico del gas.
Nota: poiché la costante di Boltzman è k_B=R/N_A (dove N_A è il numero di Avogadro), vale anche la relazione equivalente <E_c>=(1/2)m<v_x²>=(1/2)k_BT essendo m=m/N_A la massa di ogni singola particella.

(*) Per ipotesi è solo la componente lungo l'asse X, che supponiamo perpendicolare alla parete del gas, che determina la pressione sul recipiente.
(**) Poiché gli urti, per ipotesi, sono completamente elastici e la velocità media delle molecole dopo l'urto è -<v_x> (dato che l'energia cinetica si conserva) si ha per la variazione della quantità di moto delle particelle:
∆P=<P_finale>-<P_iniziale>=-<Mv_x>-<Mv_x>=-2<Mv_x>.

Quindi affinché la quantità di moto totale si conservi, quella che viene assorbita dalla parete sarà +2<Mv_x> (in modo che ∆P_totale=0).
(***) Si noti che questo è il contributo dovuto solo alla componente v_x ma essendo v²=v_x²+v_y²+v_z² dovremo moltiplicare (in assenza di direzioni privilegiate) per i 3 gradi di libertà ottenendo <E_c>=(1/2)m<v²>=(3/2)RT per moti tridimensionali; tuttavia, possiamo anche avere ulteriori gradi di libertà, come ad esempio i moti rotazionali delle molecole biatomiche (ottenendo in questo caso <E_c>=(5/2)RT poichè la rotazione lungo l'asse di congiunzione non è significativa).

Analisi dimensionale: un esempio!

In questo post vedremo come a volte, ricorrendo ad una semplice analisi dimensionale, è possibile risolvere un problema fisico anche complesso; ad esempio quello di determinare la velocità critica alla quale il flusso di un fluido diventa turbolento.

Abbiamo già trattato un liquido con flusso laminare (vedi il post "La Legge di Stokes"): ricordiamo di nuovo che "in fluidodinamica si parla di flusso laminare o di regime laminare quando il moto del fluido avviene con scorrimento di strati infinitesimi gli uni sugli altri senza alcun tipo di rimescolamento di fluido, neanche su scala microscopica" (vedi Wikipedia).

In generale si può affermare che "il flusso di un fluido viscoso a basse velocità si può considerare laminare; tuttavia quando la velocità è sufficientemente elevata, il moto diventa disordinato e irregolare, cioè turbolento"*.
Si pone perciò il problema di determinare la velocità critica alla quale il moto di un fluido diventa turbolento; in pratica si vuole sapere da quali parametri dipende la velocità media degli strati di fluido (rispetto al tubo in cui scorre), alla quale il flusso laminare diventa irregolare.

Perciò la prima domanda che dobbiamo porci è: da cosa dipende la velocità critica v_c del fluido in esame?
Possiamo ragionevolmente supporre che essa dipenda dal coefficiente di viscosità µ, dalla densità ρ del fluido e dal diametro d del tubo; scriviamo quindi la seguente relazione di proporzionalità:

v_c÷µ^aρ^bd^c

dove il segno ÷ indica appunto una relazione di proporzionalità (diretta o inversa) che dipende dal segno degli esponenti a, b e c che ora ci proponiamo di ricavare.

Riscriviamo perciò l'equazione precedente in termini dimensionali:

 [v_c]=[µ^a][ρ^b][d^c]

e quindi, ricordando che le dimensioni di tutte le grandezze fisiche sono espresse dai relativi simboli (in questo caso M, L, e T che rappresentano rispettivamente massa, lunghezza e tempo), possiamo scrivere una relazione tra le dimensioni fondamentali (vedi Wikipedia) delle singole grandezze fisiche**:

(L/T)=(M/LT)^a(M/L³)^b(L)^c.

È facile risolvere questa equazione dimensionale e ricavare gli esponenti:

a=1, b=-1 e c=-1

e quindi, tornando all'equazione di proporzionalità prima introdotta, si ottiene per la velocità critica del fluido (a meno di una costante adimensionale):

v_c÷µ/ρd.

In effetti, per poter inserire il segno di uguale (cioè per ottenere una relazione che risulti esatta sperimentalmente) dobbiamo introdurre una costante adimensionale, indicata con R_e e detta numero di Reynolds:

v_c=R_eµ/ρd.

Si noti che il numero di Reynolds R_e=vρd/µ determina, a parità dei valori di µ, ρ e d, il flusso turbolento (oppure laminare o di transizione intermedia) di un determinato fluido; ciò significa che in generale v indica una velocità qualsiasi del fluido ma una volta determinata sperimentalmente la velocità critica v_c alla quale il flusso diventa turbolento (oppure laminare o di transizione) si può ottenere il valore corrispondente di R_e della conduttura in esame (vedi Wikipedia).

Si osservi infine che dalla relazione precedente risulta evidente che la viscosità µ del fluido determina la sua resistenza nel mantenere un flusso laminare (poiché fa aumentare la velocità critica del fluido alla quale diventa turbolento) ovviamente a parità di densità ρ del fluido e di diametro d del tubo.

Se in particolare fissiamo pressione e temperatura (e quindi la viscosità non varia se il fluido è newtoniano)*** e se la densità ρ è costante (fluido incomprimibile) allora il valore di R_e dipende solo dalla particolare geometria della conduttura: ad esempio, per condutture cilindriche risulta R_e≈4.000 per la velocità critica di passaggio al regime turbolento.

(*) Nel caso di flusso turbolento il moto è regolato dalle leggi del caos deterministico; ciò significa che "se fossimo in grado di conoscere esattamente tutto il campo di velocità del fluido in un dato istante e fossimo in grado di risolvere le equazioni di Navier-Stokes potremmo ottenere tutti i campi del moto futuro. Ma se conoscessimo il campo con una piccolissima imprecisione questa dopo un certo tempo renderebbe la soluzione trovata completamente differente da quella reale" (vedi Wikipedia).
(**) Si veda anche il post "Ma cosa significa Misurare?" dove abbiamo indicato le sette grandezze fondamentali del Sistema Internazionale: il sistema di unità di misura universalmente accettato dai fisici.
(***) "In un fluido newtoniano, la viscosità dipende, per definizione, solo dalla temperatura e dalla pressione (e dalla composizione chimica del fluido se esso non è una sostanza pura), non dalla forza applicata" (vedi Wikipedia).
(Per chiarimenti sulla viscosità si veda il post "La Legge di Stokes").