lunedì 25 giugno 2012

Un esperimento chiave: EPR!

Iniziamo questo post enunciando il classico Principio di Località (che verrà poi discusso in seguito):
"In fisica, il principio di località afferma che oggetti distanti non possono avere influenza istantanea l'uno sull'altro: un oggetto è influenzato direttamente solo dalle sue immediate vicinanze" (vedi Wikipedia).
Nota: le immediate vicinanze sono ovviamente definite, in senso relativistico, dalla velocità limite della luce.

Introduciamo ora un esperimento ideale (o meglio un Gedankenexperiment).
Supponiamo di avere una sorgente di particelle* che emette in modo simmetrico, verso due osservatori A e B posti sullo stesso asse con al centro la sorgente, coppie di elettroni con momento angolare totale nullo (vedi Wikipedia).
Ci aspettiamo secondo le regole della meccanica quantistica (e per come è stata configurata la sorgente), che queste coppie presentino le seguenti proprietà:
-> ogni coppia è formata da due elettroni (che chiameremo A e B come i relativi osservatori) con spin uguali ed opposti** (e indicati rispettivamente con gli apici "+" e "-");
-> se per ogni coppia fissiamo un asse lungo cui misurare lo spin (ad esempio X), allora ogni volta che un osservatore misura il valore dello spin di un elettrone (ad esempio Ax+), l'altro osservatore trova sempre il valore opposto (cioè Bx-);
-> non possiamo misurare contemporaneamente, lungo assi diversi (ad esempio X e Y), lo spin di un elettrone essendo queste quantità osservabili, tra loro incompatibili.
Nota: in effetti la sovrapposizione di due campi magnetici per la misura contemporanea dello spin lungo X e Y, darebbe luogo (per le proprietà vettoriali) ad un terzo campo e ad un nuovo asse di spin.

Si osservi che tutti gli elettroni sono per ipotesi identici e indistinguibili; le etichette A e B servono solo ad indicare che i due elettroni vengono misurati da due osservatori (A e B) posti a debita distanza (in modo cioè che le misure siano completamente indipendenti).

In effetti l'esperimento, una volta eseguito in laboratorio, conferma le proprietà quantistiche che abbiamo sopra enunciato.
Tuttavia per ciò che riguarda la sua interpretazione fisica, la nostra intuizione classica*** ci porterebbe ad affermare che la coppia di elettroni con spin opposti (cioè (Ax+,Bx-) oppure (Ax-,Bx+)), misurata ad esempio lungo l'asse X, è definita anche prima di essere misurata: potremmo cioè ragionevolmente supporre che al momento della separazione degli elettroni ognuno di essi abbia uno spin ben definito.
Nota: se così fosse la teoria quantistica, che non prevede l'esistenza di questo determinato stato prima della misurazione, sarebbe incompleta.

Seguendo questo ragionamento, se consideriamo lo spin di un elettrone lungo assi diversi (ad esempio X e Y), avremo evidentemente quattro possibili orientazioni dello spin per ogni coppia di particelle (rilevate in una serie di esperimenti ripetuti), come di seguito elencate:
[(Ax+,Ay+),(Bx-,By-)];  [(Ax+,Ay-),(Bx-,By+)];  [(Ax-,Ay+),(Bx+,By-)];  [(Ax-,Ay-),(Bx+,By+)]
dove si noti che a parità di asse lo spin degli elettroni A e B è sempre di segno opposto.
Nota: ovviamente questo è un modo indiretto (cioè deduttivo e non sperimentale) di stabilire le possibili coppie di orientazione dello spin, in linea con la nostra procedura classica di affrontare il problema.

Possiamo ora allargare l'esperimento a tre diversi assi X, Y e Z (non necessariamente ortogonali tra loro); come mostreremo possiamo derivare una diseguaglianza numerica che è possibile verificare sperimentalmente.

In effetti in questo caso tutte le possibili orientazioni dello spin per ogni coppia di particelle sono otto; in particolare possiamo indicare con
N[(Ax, Ay, Az),(Bx, By, Bz)] 
il numero N di volte in cui, in una serie di esperimenti ripetuti, si ottiene quel tipo di orientazione dello spin per ogni coppia di particelle A e B (lungo i tre assi considerati); ecco le otto possibilità:
N1[(Ax+,Ay+,Az+),(Bx-,By-,Bz-)]N2[(Ax-,Ay+,Az+),(Bx+,By-,Bz-)]N3[(Ax+,Ay-,Az+),(Bx-,By+,Bz-)];  N4[(Ax-, Ay-,Az+),(Bx+,By+,Bz-)];  N5[(Ax+,Ay+,Az-),(Bx-,By-,Bz+)]N6[(Ax-,Ay+,Az-),(Bx+,By-,Bz+)]N7[(Ax+,Ay-,Az-),(Bx-,By+,Bz+)];  N8[(Ax-,Ay-,Az-),(Bx+,By+,Bz+)].

Ora supponiamo che, durante l'esperimento, sia stata misurata ad esempio per N volte la configurazione (Ax+, By+) (cioè lo spin di A lungo l'asse X positivo e lo spin di B lungo l'asse Y positivo); avremo perciò la seguente relazione (considerando tutte le possibile orientazioni):
N(Ax+,By+)=N3+N7
(abbiamo omesso per semplicità gli argomenti di N3 e N7) e sarà ovviamente vero che in generale:
N3+N7N3+N7+N4+N5 
dove il segno di uguale vale solo se N4=0 e N5=0.

Se poi consideriamo un numero totale Ntot molto elevato di prove, la probabilità che si presenti la configurazione (Ax+,By+) sarà pari a
P(Ax+,By+)=(N3+N7)/Ntot.
Ma allo stesso modo è anche vero che (considerando gli assi X, Z e Z, Y rispettivamente):
P(Ax+,Bz+)=(N5+N7)/Ntot   e   P(Az+,By+)=(N3+N4)/Ntot.

In definitiva, ricordando che N3+N7 ≤ (N5+N7)+(N3+N4), ricaviamo la seguente disuguaglianza di Bell (dal nome del fisico irlandese John Stewart Bell che la derivò per primo):
P(Ax+,By+) P(Ax+,Bz+)+P(Az+,By+).

Diciamo subito che questa relazione derivata classicamente è stata poi sottoposta a verifica sperimentale, ma si è ottenenuto un risultato che non è in accordo con quello derivato teoricamente (almeno per certe scelte di inclinazione relativa degli assi).
Nota: l'esperimento conferma invece le previsioni teoriche della meccanica quantistica, diverse da quelle qui ottenute con la nostra procedura classica di affrontare il problema.

In effetti, ciò che abbiamo trascurato nel nostro ragionamento (e che invece la meccanica quantistica prevede correttamente), è che non possiamo presumere o stabilire in nessun modo (almeno prima di averlo misurato) come è orientato lo spin di ogni singola particella.

In particolare, i due diversi stati quantistici (A+,B-) e (A-,B+) lungo qualsiasi asse fissato, determinano in realtà un unico stato detto di sovrapposizione quantistica o entangled; perciò, anche se le particelle A e B sono fisicamente separate, non è possibile affermare che esse si trovano in una delle due possibili configurazioni di spin: possiamo solo dire che sono probabili entrambe, fino alla misurazione dello spin di una delle due particelle, la cui misura determina immediatamente anche lo stato dell'altra (che però si rivela solo nel momento in cui viene misurata).

In pratica ciò significa che la meccanica quantistica rinuncia implicitamente al principio di località (conservando però le classiche condizioni di realismo e completezza), in modo da permettere la stretta correlazione tra le particelle, anche quando queste sono fisicamente separate!
Nota: ciò vale anche per le teorie deterministiche a variabili nascoste che, per riprodurre le predizioni quantistiche, devono essere non locali.

Si noti infine che la violazione della località non implica che le particelle A e B comunichino in modo istantaneo; infatti la misura su A (che determina il risultato di B) non provoca nessuna variazione riscontrabile su B (poiché la probabilità statistica dei risultati ottenuti, cioè Bx+ oppure Bx-, è sempre del 50%) e quindi non viene trasmessa alcuna informazione da A a B.
Nota: senza rinunciare alla località possiamo altresì rifiutare il realismo: le proprietà di un sistema quantistico non esistono prima della misura!

(*) Esponiamo qui la versione semplificata proposta da David Bohm; in effetti "Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen (EPR) proposero questo esperimento ideale in un articolo pubblicato nel 1935 intitolato "La descrizione quantistica della realtà fisica può ritenersi completa?" usando però l'impulso come quantità osservabile (vedi Wikipedia).
(**) Nel 1924 il fisico "Wolfgang Pauli introdusse ciò che chiamò un grado di libertà quantico a due valori associato con gli elettroni del guscio esterno di un atomo" (vedi Wikipedia) e che poi venne denominato spin (cioè il momento angolare intrinseco associato alle particelle).
(***) In pratica stiamo ipotizzando "alcune deboli e generali condizioni, come realismo, località e completezza, ritenute ragionevolmente vere per qualunque teoria che descriva la realtà fisica senza contraddire la relatività" (vedi Wikipedia).

martedì 12 giugno 2012

La Funzione d'Onda (quantistica)

Ci siamo già occupati (nel post "L'Equazione della Funzione d'Onda") dell'equazione che descrive la dinamica di un sistema quantistico attraverso la relativa funzione d'onda; vediamo ora qual è il significato fisico di questa particolare funzione.

Secondo Wikipedia "in meccanica quantistica, la funzione d'onda rappresenta uno stato fisico del sistema quantistico. È spesso una funzione complessa delle coordinate spaziali e del tempo e il suo significato è quello di ampiezza di probabilità. Il suo modulo quadro quindi rappresenta la densità di probabilità dello stato sulle posizioni".

Per chiarire il significato fisico della funzione d'onda sarebbe necessario introdurre alcuni concetti quantistici, come quelli di stato quantico e di grandezza osservabile, o il principio di sovrapposizione (solo per citarne alcuni) ed in particolare andrebbe prima definito il relativo spazio di Hilbert; poiché, essendo la funzione d'onda una funzione complessa, essa deve essere trattata in uno spazio complesso.

Tuttavia, per semplificare l'esposizione, introdurremo qui l'interpretazione della funzione d'onda data per primo dal fisico tedesco Max Born nel 1926, quando ancora le definizioni di cui sopra non erano state del tutto chiarite o introdotte.

Innanzitutto cominciamo col dire che "se in meccanica classica, lo stato di una particella viene definito attraverso il valore esatto delle due quantità osservabili posizione e impulso (variabili canoniche); in meccanica quantistica, invece, lo stato di una particella è descritto (nella rappresentazione di Schröedinger) da una funzione d'onda" (vedi Wikipedia).

Veniamo quindi all'interpretazione data dal Nobel per la Fisica Max Born.
In breve "Max Born mise in correlazione il concetto di funzione d'onda con la probabilità di rinvenire una particella in un punto qualsiasi dello spazio basandosi sull'analogia* con la teoria ondulatoria della luce, per la quale il quadrato dell'ampiezza E2 dell'onda elettromagnetica in una regione dello spazio rappresenta in pratica la sua intensità" (vedi Wikipedia).

Si osservi infatti (come abbiamo già visto nel post "Un effetto Foto-elettrico!"), che l'intensità di un'onda elettromagnetica - cioè l'energia dell'onda che attraversa una superficie elementare nell'unità di tempo - è definita dal vettore di Poynting S e che, ad esempio, nel caso di una onda piana il suo modulo è proporzionale al quadrato del campo elettrico E:
S=E2/Z
essendo Z=(µ/ε)1/2 l'impedenza caratteristica del materiale dove si propaga l'onda (ε e µ sono la permittività elettrica e la permeabilità magnetica).
Nota: in generale la densità di energia di un'onda e.m. (solitamente indicata con u) è proporzionale a E2 risultando: u=εE2.

Poiché come è noto l'intensità di un'onda e.m. è proporzionale al numero di fotoni dell'onda**, ciò implica che il quadrato dell'ampiezza del campo elettrico E2(r) (in un punto r qualsiasi dello spazio) sarà proporzionale alla densità di probabilità di trovare un fotone in quella determinata posizione.

Per analogia, secondo Born, "risulta possibile determinare la probabilità con la quale un elettrone può essere rinvenuto all'interno di un volume elementare dV in un determinato punto r effettuando il prodotto ψ2(r)dV"; ciò significa che il modulo quadro ψ2(r) rappresenta la densità di probabilità della funzione d'onda.
Nota: nel caso di una funzione d'onda complessa la probabilità è proporzionale al prodotto ψψ* dove ψ* è la funzione coniugata complessa.

A questo punto è utile fare un esempio.
Se applichiamo l'equazione di Schrödinger ad un atomo di idrogeno (costituito da un protone ed un elettrone), la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'elettrone intorno all'atomo (cioè lo stato stabile a minor energia) risulta:
ψ(r)=ke-r/a0
dove k=1/(πa03)1/2 mentre a0 è il raggio di Bohr.
Nota: si osservi che ψ(r) ha una simmetria sferica, cioè dipende dal modulo del vettore r applicato nel centro dell'atomo e non dalla sua direzione***.

Ora, essendo la simmetria sferica, calcoliamo la probabilità radiale (definita come P(r)dr2(r)dV) di trovare l'elettrone nel guscio compreso tra le sfere di raggio r e r+dr e di volume dV=4πr2dr:
ψ2(r)dV=(ke-r/a0 )24πr2dr=P(r)dr.

Da questa relazione si deduce che la densità di probabilità radiale P(r)=(ke-r/a0 )2 4πr2 ha il suo massimo nel punto r=a0 (basta porre dP(r)/dr=0 per ottenere il punto di massimo) che coincide con il raggio già derivato da Bohr.
Nota: essendo il risultato probabilistico, l'elettrone potrebbe trovarsi anche in altre zone intorno al nucleo ma con minor probabilità.

(*) L'analogia con la teoria ondulatoria della luce si basa sul fatto (vedi il post "L'ipotesi di de Broglie: L=h/p") che se L e T sono rispettivamente la lunghezza e il periodo di un'onda, allora per una particella di energia E e quantità di moto p sono per ipotesi valide le due relazioni fondamentali: T=h/E e L=h/p da cui discende la possibilità di associare, ad una determinata particella, la relativa funzione d'onda (come descritto nel post "L'Equazione della Funzione d'Onda").
(**) Per chiarimenti sull'introduzione del concetto di fotone in fisica, la cui energia è E=h/T (dove T è il periodo dell'onda), vedi il post "Un effetto Foto-elettrico!".
(***) Ciò è in pratica dovuto all'energia potenziale dell'atomo di idrogeno (protone ed elettrone interagiscono attraverso la forza conservativa coulombiana) che è definita come U(r)=-(1/4πε0)e2/r e che quindi ha simmetria sferica.