venerdì 23 novembre 2012

Cos'è il Vettore di Posizione?

Ricordiamo che "in fisica, un vettore è un elemento geometrico rappresentato da un segmento orientato, munito cioè di una freccia in una delle sue estremità e caratterizzato da quattro elementi:
  • modulo: rappresenta la lunghezza del vettore (indicata da un valore e un'unità di misura);
  • direzione: è individuata dal fascio di rette parallele alla retta su cui giace il vettore;
  • verso: è descritto dalla punta del vettore stesso, rappresentato da un segmento orientato;
  • punto di applicazione: il punto antecedente a tutti gli altri, ossia il punto iniziale".
    (Vedi Wikipedia)
    Nota:
    si osservi che questa definizione è indipendente dal sistema di coordinate prescelto.
In particolare in fisica è spesso usato il vettore di posizione per individuare un punto, ad esempio una particella puntiforme nel sistema cartesiano.

Per mostrare come questo vettore sia determinante per studiare il moto di sistemi qualsiasi di particelle, prendiamo ad esempio un sistema semplice di sole due particelle, rispettivamente di massa m1 e m2 individuate dai vettori di posizione r1 e r2 applicati nell'origine O di un sistema inerziale.

Come abbiamo visto nel post "L'equazione del Razzo!" possiamo definire il centro di massa del sistema:
rcm=(m1r1+m2r2)/M
(con M=m1+m2) e quindi derivare la velocità del centro di massa:
vcm=drcm/dt=(m1v1+m2v2)/M
dove v1=dr1/dt e v2=dr2/dt sono rispettivamente le velocità delle due particelle rispetto al sistema di riferimento inerziale considerato.
Nota: per la definizione di sistema inerziale vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?"

Supponiamo per semplicità che anche il centro di massa rappresenti un riferimento inerziale, cioè risulti acm=dvcm/dt=0 e quindi Fext=Macm=0 (essendo Fext la risultante di tutte le forze esterne).

Poiché abbiamo introdotto il centro di massa come riferimento, possiamo definire due vettori di posizione r'1 e r'2 applicati ad esso che indicano la posizione delle due particelle rispetto al centro di massa; facendo uso della differenza tra vettori possiamo scrivere:
r'1 =r1-rcm   e   r'2=r2-rcm
(in pratica r'1 unisce la punta dei vettori r1 e rcm, lo stesso vale per r'2).

Possiamo quindi derivare le velocità v'1 e v'2 delle due particelle rispetto al centro di massa:
v'1=dr'1/dt=v1-vcm   e   v'2=dr'2/dt=v2-vcm
che, si osservi, corrispondono correttamente alla trasformazione galileana delle velocità (essendo le velocità definite rispetto a due sistemi inerziali)*.
Sostituendo il valore di vcm prima ricavato si ottiene infine:
v'1=m2(v1-v2)/M   e   v'2=m1(v2-v1)/M.

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per fare qualche interessante considerazione sul nostro sistema a due particelle.

Si calcolino ad esempio le due quantità di moto delle due particelle p'1=m1v'1 e p'2=m2v'2 rispetto al centro di massa; si ottiene per sostituzione:
p'1=m1m2(v1-v2)/M   e   p'2=m2m1(v2-v1)/M
da cui si può derivare la quantità di moto totale rispetto al centro di massa:
P=p'1+p'2=0 
che risulta correttamente nulla; infatti (come abbiamo già visto nel post "L'equazione del Razzo!") essendo P=Mvcm è evidente che per vcm=0 (poiché il sistema di riferimento è quello del centro di massa) risulti P=0.

Ora calcoliamo il momento angolare totale L (che è stato definito nel post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)") rispetto al sistema di riferimento inerziale (cioè rispetto al punto di origine O del sistema di riferimento):
L=r1xm1v1+r2xm2v2.

Poiché, come abbiamo prima ricavato, sono vere le seguenti relazioni per i vettori di posizione:
r1 =r'1 +rcm   e   r2=r'2 +rcm
ed inoltre per le velocità risulta:
v1=v'1 +vcm   e   v2=v'2+vcm
sostituendo questi valori nell'equazione precedente si ottiene (ricordando che P=m1v'1+m2v'2=0):
L=Lcm+rcmxMvcm
dove Lcm=r'1xm1v'1+r'2xm2v'2 è il momento angolare totale rispetto al centro di massa (detto momento di spin) mentre rcmxMvcm è il momento angolare del centro di massa rispetto al sistema di riferimento inerziale (noto come momento orbitale del sistema).

Questo notevole risultato è valido per un sistema composto da un qualunque numero di particelle: il momento angolare totale può sempre essere definito come la somma del momento angolare, calcolato rispetto al centro di massa in moto inerziale (o traslatorio accelerato, vedi la nota*) e quello del centro di massa rispetto al sistema di riferimento inerziale.

Per completezza ricordiamo inoltre che se al sistema sono applicate delle forze esterne**, il momento meccanico*** calcolato rispetto all'origine O è dato da (vedi il post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)"):
M=r1xF1+r2xF2.

Inoltre se calcoliamo il momento rispetto ad un diverso punto P otteniamo:
MP=(r1-rP)xF1+(r2-rP)xF2
essendo (r1-rP) e (r2-rP) i vettori di posizione che individuano i punti di applicazione delle forze F1 e F2 rispetto a P (indicato da rP). Perciò svolgendo i prodotti vettoriali si ottiene:
MP=M-[rPx(F1+F2)]
da cui si ricava l'importante risultato che per un corpo in equilibrio traslazionale (cioè se Fext=F1+F2=0) il momento meccanico delle foze non dipende dal punto rispetto al quale è stato calcolato, risultando: MP=M (per qualsiasi numero di particelle).

(*) Le considerazioni che seguono valgono anche per un moto traslatorio accelerato del riferimento del centro di massa, infatti le trasformazioni delle velocità restano invariate dato che i versori (ij e k) del riferimento accelerato sono costanti; si ricordi difatti che in generale risulta:
ds/dt=d(ix+jy+kz)/dt=v+(xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt).
(Viceversa per un sistema rotante le derivate dei versori non sono nulle).
(**) Si ricordi che le forze interne non influiscono sul moto del sistema (cioè sul centro di massa); infatti per il principio di azione e reazione le interazioni tra due particelle qualsiasi sono uguali ed opposte e agiscono sulla stessa retta d'azione (quindi si annullano tra loro) ed è perciò nullo anche il loro momento (poiché la coppia di forze ha braccio nullo). 
(***) Come abbiamo visto nel post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)" dal momento angolare L si può derivare il momento meccanico del sistema cioè M=dL/dt (rispetto ad un punto fissato Ω).
Inoltre, come avevamo mostrato, se il punto Ω è in moto con velocità VΩ la seconda equazione cardinale della dinamica dà: M=dL/dt+VΩxP dove P=Mvcm è la quantità di moto del sistema; perciò solo se Ω è fisso (VΩ=0) oppure se VΩ è parallelo a vcm allora M=dL/dt (essendo VΩxP=0).

lunedì 12 novembre 2012

L'equazione del Razzo!

È noto che "la terza legge della dinamica formulata da Isaac Newton nel 1687 è il principio fondamentale che permette di descrivere il movimento di un razzo a reazione poiché essa afferma che: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria" (vedi Wikipedia).
Nota: sulla terza legge di Newton vedi il post "Il Principio di Azione<=>Reazione".

Inoltre è utile ricordare, prima di derivare l'equazione dinamica del razzo, che in assenza di forze esterne "questo principio stabilisce che in un sistema di particelle la quantità di moto totale P rimane costante, ovvero la sua derivata nel tempo è nulla: dP/dt=0".

Proviamo innanzitutto a dimostrare quest'ultima affermazione:
"Si supponga di avere un sistema costituito da un numero N di punti materiali di massa mi e velocità vi. La quantità di moto totale del sistema è data da
P=m1v1+m2v2+...+mNvN.
Ora se si deriva P rispetto al tempo, supponendo che la massa dei singoli punti sia costante, si trova:
dP/dt=m1dv1/dt+m2dv2/dt+...+mNdvN/dt=Fext+Fint=0.
Infatti risulta rispettivamente:
Fext=0
poiché la risultante delle forze esterne è nulla per ipotesi e inoltre:
Fint=∑k≠j(Fkj+Fjk)=0
essendo la somma delle forze interne nulla per il terzo principio della dinamica, poiché un corpo k che esercita una forza Fkj sul corpo j è anch'esso sottoposto ad una forza Fjk uguale di modulo e direzione ma di verso opposto" (vedi Wikipedia).
Nota: abbiamo posto F=dP/dt=Fext+Fint poiché la variazione della quantità di moto di un sistema di particelle è dovuta alla risultante di tutte le forze applicate su di esso (si generalizza così la seconda legge di Newton).

Si conclude perciò che, per il terzo principio della dinamica (da cui segue Fint=0), la quantità di moto totale del sistema deve restare costante (se siamo in assenza di forze esterne) risultando dP/dt=0 (cvd).
Nota: è chiaro che se le forze esterne non sono nulle risulta, per un sistema qualsiasi di particelle: Fext=dP/dt.

Ora, come applicazione del principio di azione e reazione, supponiamo di avere un razzo di massa totale m (che può essere considerato come un sistema rigido di particelle il suo carburante variabile) che si muove all'istante t con una velocità v e quindi con una quantità di moto:
 p(t)=mv
dal quale viene poi emessa (all'istante t+dt) una quantità di massa dm (cioè una particella infinitesima di carburante sotto forma di gas)* ad una velocità vc (sempre rispetto al sistema inerziale prescelto).

Allora il razzo, dopo l'espulsione, varia la sua velocità (proprio per reazione all'azione del gas espulso) di una quantità dacquisendo cioè una velocità:
v'=v+dv.
Perciò al tempo t+dt la quantità di moto totale è (rispettivamente del razzo più quella della massa dm espulsa):
 p'(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dmvc
da cui segue che nel tempo dt la variazione di quantità di moto totale del sistema è 
dP=p'(t+dt)-p(t)=(m-dm)(v+dv)+dmvc-mv=mdv+(vc-v)dm
avendo trascurato il prodotto dmdv (che è un infinitesimo di ordine superiore).

Dobbiamo però osservare che essendo m(t+dt)<m(t) (poiché la massa del razzo diminuisce col tempo) segue che dm=m(t+dt)-m(t)<0 è una quantità di massa negativa e quindi è corretto scrivere (cambiando segno a dm): 
dP=mdv-(vc-v)dm.

Perciò otteniamo, in presenza di forze esterne Fext applicate al sistema** (come la gravità, la resistenza dell'aria, etc.), l'equazione dinamica del razzo:
 Fext=dP/dt=mdv/dt-vedm/dt
dove ve=vc-v rappresenta la velocità costante di espulsione del carburante (sotto forma di gas) rispetto al razzo.
Nota: la velocità di espulsione ve è un parametro caratteristico del razzo ed è supposta costante.

Quindi se consideriamo solo la forza di gravità (trascurando l'attrito dell'aria e supponendo che l'accelerazione di gravità g sia costante) avremo: 
Fext=-mg 
dove il segno meno indica che la forza di gravità si oppone al moto verticale del razzo.

Se perciò consideriamo il moto verticale del razzo l'equazione differenziale diventa (posto Fext=-mg e moltiplicando per dt/m l'equazione prima ricavata):
-gdt=dv+ve(dm/m)
dove si è tenuto conto che il vettore ve ha segno opposto rispetto a dv.
Integrando dal tempo iniziale t0 fino a t (e quindi integrando i termini del secondo membro, rispettivamente, dalla velocità iniziale v0 a quella finale v(t) e dalla massa iniziale m0 a quella residua m(t)) si ottiene la velocità del razzo:
v(t)=v0+veln(m0/m(t))-gt.
Ciò significa che la velocità del razzo v(t) dipende da quella dei gas espulsi ve e dalla massa m(t) di combustibile residuo al tempo t; mentre l'accelerazione di gravità g si oppone ad essa.

Infine, per chiarire meglio il significato fisico dell'equazione dinamica del razzo, osserviamo che per un sistema di N particelle (nel nostro caso quello complessivo del razzo+combustibile dove la massa totale resta invariata) possiamo definire la quantità di moto totale ad un certo istante come:
P=m1v1+m2v2+...+mNvN=mvcm
dove m=m1+m2+...+mN è la massa totale mentre
vcm=drcm/dt
è la velocità del centro di massa del sistema definito come
rcm=(m1r1+m2r2+...+mNrN)/m.
Quindi l'accelerazione del centro di massa acm=dvcm/dt è dovuta alla risultante delle forze esterne che agisce sul centro di massa (si ricordi che la risultante delle forze interne è nulla) infatti:
Fext=mdvcm/dt=m1dv1/dt+m2dv2/dt+...+mNdvN/dt=F1+F2+...+FN.
Nota: questa equazione è la prima equazione cardinale della dinamica che generalizza la seconda legge di Newton per un sistema a più particelle.

Perciò nel caso del nostro sistema (razzo+combustibile) avremo, quando il razzo è in orbita in assenza di gravità:
 Fext=dP/dt=dmvcm/dt=0.
Da ciò segue subito che la velocità del centro di massa del sistema deve restare costante nel sistema di riferimento prescelto (cioè risulta vcm=costante essendo la massa complessiva m=costante); tuttavia il razzo può variare la sua quantità di moto poiché questa viene controbilanciata ad ogni istante dalla fuoriuscita di carburante (in modo che la quantità di moto totale risulti P=costante).
Più esattamente posto dP/dt=0 risulta dall'equazione del razzo prima ricavata***:
mdv=vedm.
dove m è la massa complessiva e ve la velocità del gas vista dal razzo.

(*) In pratica stiamo considerando un tasso di decremento costante della massa: dm/dt=costante; possiamo ad esempio porre m(t)=m0-kt in modo che m(0)=m0 e dm/dt=-k.
(**) È implicito che la forza esterna si intende applicata al centro di massa di tutto il sistema (cioè razzo+combustibile) come vedremo di seguito.
(***) Si osservi che l'equazione del moto del razzo: Fext=mdv/dt-vedm/dt è espressa in modo diverso dalla seconda legge di Newton per un sistema a massa variabile: Fext=mdvcm/dt+vcmdm/dt poiché qui vcm si riferisce al centro di massa del sistema (vedi il post "Un problema di massa variabile").