venerdì 28 febbraio 2014

Un problema di massa variabile

Nel post "L'equazione del Razzo!" (a cui rimandiamo) abbiamo derivato l'equazione dinamica che lega la variazione della quantità di moto totale dP/dt del centro di massa del sistema (razzo+combustibile), alla variazione della velocità del razzo dv/dt e a quella della sua massa dm/dt (dovuta all'espulsione del carburante):
dP/dt=mdv/dt-vedm/dt
dove ve è la velocità (supposta costante) di espulsione del carburante rispetto al razzo che a sua volta si muove di velocità v rispetto a un riferimento inerziale*.
Nota: si ricordi che la massa m del razzo comprende anche quella del suo combustibile interno (che poi viene espulso sotto forma di gas).

In questa rappresentazione la parte del sistema di cui studiamo il moto, è proprio quello a massa variabile del razzo, che perde massa espellendo il carburante; in particolare nel caso non agiscano forze esterne sul sistema (come ad esempio la forza di gravità) si ottiene Fext=dP/dt=0 (cioè la quantità di moto totale si conserva) e l'equazione precedente diventa:
mdv/dt=vedm/dt
da cui risulta evidente che l'accelerazione del razzo è dovuta alla variazione di massa dello stesso e alla velocità di espulsione costante del carburante.
Nota: nella trattazione classica (non relativistica) la massa totale del sistema massa+carburante si conserva.

Proseguendo con le nostre ipotesi, consideriamo ora un semplice sistema che varia la sua massa interna: ad esempio della sabbia che si accumula, attraverso un imbuto, su un nastro trasportatore (infinito) che si muove a velocità costante.
Nota: supponiamo che il motore del nastro mantenga costante il moto della sabbia, vincendo la sua inerzia, man mano che questa viene depositata.

Consideriamo quindi la quantità di moto di tutti i granelli di sabbia di massa m1, m2 ... mN quando vengono depositati sul nastro; valutiamo per esempio la situazione ad un determinato istante di tempo, quando sul nastro si trovano N particelle di sabbia che si muovono tutte alla velocità v=costante del nastro (posto m=m1+m2+...+mN):
P=m1v+m2v+...+mNv=mv.
È chiaro che la quantità di moto varia nel tempo (poiché mentre si accumulano i granelli varia m) perciò passando con buona approssimazione al continuo possiamo scrivere (derivando P rispetto al tempo e ricordando che v=costante):
dP/dt=mdv/dt+vdm/dt=vdm/dt.
Nota: si suppone che la funzione m(t) che rappresenta l'accumulo della massa sul nastro sia una funzione continua rispetto al tempo e derivabile.

La variazione della quantità di moto dP/dt, dovuta all'accumulo della sabbia, implica che sul nastro trasportatore agisca una forza motrice esterna Fext=vdm/dt che mantiene costante la sua velocità (altrimenti con l'inerzia della sabbia il nastro tenderebbe a fermarsi).
Nota: nella trattazione non abbiamo incluso la massa costante M del nastro dato che, risultando (m+M)dv/dt=0 e vd(m+M)/dt=vdm/dt, sarebbe ininfluente.

Ora si ricordi che in generale (vedi il post "L'equazione del Razzo!") per un sistema di N particelle possiamo definire la quantità di moto totale:
P=m1v1+m2v2+...+mNvN=mvcm
dove m=m1+m2+...+mN è la massa totale mentre
vcm=drcm/dt
è la velocità del centro di massa del sistema definito come
rcm=(m1r1+m2r2+...+mNrN)/m.
Quindi per un sistema a massa variabile m(t) avremo in definitiva:
dP/dt=mdvcm/dt+vcmdm/dt
che rappresenta la seconda legge di Newton per un corpo (o un sistema di particelle) a massa variabile (detta anche prima equazione cardinale).

Perciò nel caso in cui risulti vcm=v=costante si ottiene di nuovo l'equazione prima ottenuta per la sabbia che si accumula sul nastro trasportatore (che è appunto un sistema a massa variabile):
dP/dt=vdm/dt.
Nota: poiché tutti i granelli si muovono a velocità v è ovvio che risulti vcm=v (infatti essendo P=m1v+m2v+...+mNv=mvcm segue v=vcm).

Ma torniamo al nostro nastro trasportatore: la forza esterna del motore, applicata al nastro per trasportare la sabbia a velocità costante, sarà data come abbiamo visto dalla variazione della sua quantità di moto:
Fext=dP/dt=vdm/dt.
Da questa relazione possiamo ottenere la potenza fornita dalla forza esterna al nastro, che è così definita:
Pext=dL/dt=Fextds/dt=Fextv
essendo dL=Fextds il lavoro infinitesimo fatto dalla forza per un tratto ds (con v=ds/dt). Quindi poichè Fext e v hanno stessa direzione e verso risulta per sostituzione (essendo Fext=vdm/dt):
Pext=dL/dt=v2dm/dt.

Si osservi però che il lavoro infinitesimo dL=v2dm fatto dalla forza esterna nel far girare il nastro, non si trasforma completamente nell'energia cinetica di un elemento di massa dm pari a dEc=(1/2)dmv2 ma esattamente la metà finisce in energia interna ∆Eint del sistema; infatti per la conservazione dell'energia deve risultare:
∆Eint=dL-dEc=(1/2)dL
che viene presumibilmente spesa dalle forze di attrito del nastro per mettere in moto i granelli di sabbia.**
Nota: solo quando m=costante tutto il lavoro L compiuto su un sistema meccanico si traduce in una variazione della sua energia cinetica risultando L=∆Ec (vedi il post "Il Teorema della 'Vis Viva'").

(*) Ricordiamo che vale la seguente relazione: ve=vc-v dove vc è la velocità del combustibile espulso dal razzo rispetto al sistema inerziale prescelto.
(**) Si osservi che "la spiegazione quantistica dell'attrito ne lega le cause all'interazione elettrostatica attrattiva tra le molecole delle superfici di contatto" (vedi Wikipedia); perciò il sistema considerato (sabbia+nastro) non è esclusivamente di tipo meccanico.