mercoledì 19 dicembre 2018

Tempo Proprio (e paradosso dei gemelli)

Nel post "La Dilatazione relativa del Tempo" abbiamo mostrato la relazione che lega l'intervallo di tempo ∆t' di un orologio in moto (con velocità v costante) misurato da un osservatore in quiete e lo stesso intervallo ∆t misurato dall'osservatore che si sta muovendo solidale con l'orologio:
∆t=∆t'(1-v2/c2)1/2
questa relazione è valida per tutti i sistemi di riferimento inerziale.
Nota: ciò è vero nell'ipotesi della costanza della velocità della luce e dell'invarianza delle leggi della fisica nei sistemi inerziali.

Supponiamo quindi di avere un osservatore in moto, solidale con il suo orologio, ed un osservatore in quiete che misura il moto e lo scorrere del tempo di questo orologio che si sposta con velocità v.

Come avevamo visto ∆t si definisce tempo proprio poiché è quello che viene misurato dall'osservatore in quiete rispetto al fenomeno osservato (nel nostro caso il fenomeno osservato è proprio il tempo dell'orologio); quindi è il tempo proprio dell'osservatore che si muove con il suo orologio.

È noto che in fisica classica due eventi qualsiasi (x1, t1) e (x2, t2) (per semplicità consideriamo solo due coordintate (x,t)) definiscono un intervallo spaziale ∆x=x2-x1 e uno temporale ∆t=t2-t1; questi intervalli di spazio e di tempo sono ritenuti invarianti per qualsiasi osservatore, in quiete o in moto.
Nota: nel nostro caso gli eventi segnano il passaggio dell'orologio in moto da un punto (x1, t1) all'altro punto (x2, t2).

In fisica relativistica si ipotizza invece un altro tipo di intervallo ∆s che è invariante per tutti gli osservatori inerziali*, ed è una sorta di unione degli intervalli di spazio e di tempo dei due eventi:
∆s2=c2∆t'2-∆x'2
dove ∆x' e ∆t' non sono più assoluti ma dipendono dal moto relativo degli osservatori (secondo le trasformazioni di Lorentz).
Nota: abbiamo scelto di indicare (x', t') con l'apice perché, nel nostro caso, sono le coordinate dell'osservatore in moto rispetto a quello in quiete; in ogni caso l'intervallo ∆s resta invariato.

Il fatto interessante è che nel nostro caso l'intervallo ∆s, detto separazione spazio-temporale tra due eventi, si può esprimere nel sistema in moto (quello dell'osservatore con l'orologio) semplicemente ponendo ∆x=0 (poiché l'orologio si trova in quiete in questo sistema di riferimento):
∆s2=c2∆t2
dove ∆t rappresenta il tempo proprio dell'osservatore in moto.
Perciò eguagliando le due ultime relazioni risulta:
c2∆t2=c2∆t'2-∆x'2   =>   ∆t2=∆t'2-∆x'2/c2=∆t'2(1-∆x'2/∆t'2c2).

Se quindi ∆x' rappresenta lo spostamento dell'osservatore in moto e ∆t' il tempo impiegato a spostarsi, avremo che v=∆x'/∆t' indica la velocità di spostamento rispetto all'osservatore in quiete; perciò si ottiene:
∆t2=∆t'2(1-v2/c2).
Questa è la stessa equazione già ricavata nel post sopra citato, dove ∆t rappresenta come detto il tempo proprio dell'osservatore in moto, da cui risulta ∆t'>∆t: cioè il tempo t' del sistema in moto appare dilatato.
Nota: si ha ∆t'=∆t solo quando v=0 cioè se entrambi gli osservatori sono in quiete uno rispetto all'altro.

Si noti che la relazione ottenuta vale solo per moti inerziali rappresentati da rette nello spazio-tempo (di pendenza v); tuttavia se riduciamo l'intervallo ∆s ad un infinitesimo ds allora si ottiene (in modo del tutto equivalente):
dt=dt'(1-v2/c2)1/2
dove dt e dt' sono i relativi intervalli infinitesimi.

Questo risultato non è banale poiché una traiettoria curva di un moto qualsiasi, quindi in generale non inerziale, possiamo suddividerla in infiniti tempi dt' e spostamenti dx' e perciò in infiniti intervalli ds; da ciò segue che l'integrale su tutti i tempi infinitesimi dt restituisce il tempo proprio complessivo dell'osservatore in moto:
t=∫dt=∫dt'(1-v(t')2/c2)1/2.
Nota: in pratica è come se suddividessimo la curva del moto in infiniti riferimenti inerziali con velocità istantanea v(t') e intervallo ds.

Dall'integrale sopra si deduce che t'>t (essendo (1-v(t')2/c2)<1) cioè il tempo t' misurato da un osservatore in quiete è sempre maggiore di quello t di un osservatore in moto qualsiasi; l'asimmetria tra i due sistemi risulta evidente quando l'osservatore in moto ritorna nel punto di partenza e confronta l'orologio con quello rimasto in quiete, verificando che t'>t (come accade nel noto paradosso dei gemelli!).
Nota: fatto verificato sperimentalmente ponendo un orologio in moto su un aereo e confrontandolo al rientro con la sua copia rimasta a terra.

Ovviamente se il moto è inerziale la situazione è del tutto simmetrica: le stesse considerazioni si possono applicare all'osservatore in moto che può ritenersi in quiete a tutti gli effetti, supponendo invece in moto l'altro osservatore (per il Principio di Relatività).
Nota: si noti che non è possibile il confronto diretto tra due orologi sincronizzati nello stesso punto e poi divisi dal moto relativo inerziale.

Se però volessimo studiare il fenomeno dal punto di vista dell'osservatore in moto non inerziale, avremmo bisogno della teoria della Relatività Generale; si otterranno coerentemente gli stessi risultati sulla dilatazione temporale prima derivati con la sola applicazione della relatività ristretta (come ben mostrato in questa lezione (pdf) di G.C. D'Amico)**.

(*) Inserendo nel ∆s2 i valori di x' e t' delle trasformazioni di Lorentz si può dimostrare che questo intervallo è un invariante relativistico.
(**) In questo caso la situazione non è più simmetrica, poiché l'osservatore è in moto non inerziale e può considerarsi in quiete (locale) solo a patto di introdurre un campo gravitazionale fittizio!
(Vedi il post "Il Principio di Equivalenza: ma=mg")