tag:blogger.com,1999:blog-32362761864952078492024-03-08T23:47:56.173+01:00Significato fisicoAlla ricerca del "significato fisico" in Fisica.qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.comBlogger110125tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-53524145257298407492023-05-11T15:35:00.079+02:002024-01-06T11:14:46.062+01:00Base locale e derivata covariante (seconda parte)<div>Nel
<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2023/05/base-locale-e-derivata-covariante-prima.html">precedente post</a> abbiamo visto come si può costruire una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Coordinate_curvilinee#Basi_locali">base curvilinea locale</a> a partire da una base cartesiana e viceversa, in particolare
abbiamo ottenuto le seguenti relazioni tra le basi dei due riferimenti:<br /></div><div style="text-align: center;"><i><u>e</u><sub>i</sub>=(∂x<sup>j</sup>/∂<u>x</u><sup>i</sup>)e<sub>j</sub> , e<sub>i</sub>=(∂<u>x</u><sup>j</sup>/∂x<sup>i</sup>)<u>e</u><sub>j</sub></i><br /></div><div>dove <i>e<sub>i</sub></i> sono le basi del riferimento cartesiano <i>(x<sup>1</sup>,..., x<sup>n</sup>)</i> mentre <i><u>e</u><sub>j</sub></i> sono le basi del riferimento curvilineo <i>(<u>x</u><sup>1</sup>,..., <u>x</u><sup>n</sup>)</i> in uno spazio <i>R<sup>n</sup></i> (con <i>i,j=1,..., n</i>).<div style="text-align: left;"><i>Nota</i>:
come sempre le coordinate curvilinee sono definite in funzione di quelle
cartesiane e viceversa, inoltre sono funzioni differenziabili.<br /><br />È interessante osservare che possiamo riscrivere le relazioni sopra (raccogliendo componenti x basi) come:<br /><div style="text-align: center;"><i><u>e</u><sub>i</sub>=(∂x<sup>j</sup></i><i>e<sub>j</sub></i><i>)/∂<u>x</u><sup>i</sup></i><i>=</i><i>∂</i><i>r</i><i>/∂<u>x</u><sup>i</sup></i><i> , e<sub>i</sub>=(∂<u>x</u><sup>j</sup></i><i><u>e</u><sub>j</sub></i><i>)/∂x<sup>i</sup></i><i>=</i><i>∂r</i><i>/∂x<sup>i</sup></i><br /></div>dove si è posto <i>∂</i><i>r=</i><i>∂x<sup>j</sup></i><i>e<sub>j</sub></i><i>=</i><i>∂<u>x</u><sup>j</sup></i><i><u>e</u><sub>j</sub></i> e quindi il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_(matematica)#Differenziale_in_pi%C3%B9_variabili">differenziale</a> <i>dr</i> del <a href="http://significatofisico.blogspot.com/2012/11/cos-il-vettore-di-posizione_23.html">raggio vettore</a> <i>r</i> si può scrivere, nei due riferimenti, come basi x componenti:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>dr=(∂r/∂x<sup>j</sup>)dx<sup>j</sup> =e<sub>j</sub>dx<sup>j</sup> oppure dr=(∂r/∂<u>x</u><sup>j</sup>)d<u>x</u><sup>j</sup>=<u>e</u><sub>j</sub>d<u>x</u><sup>j</sup></i>.<br /></div><div style="text-align: left;"><i>Nota</i>: <i>dr</i> è un vettore e quindi deve restare invariato nei due riferimenti.<br /><br />Ricordiamo inoltre che in generale un vettore <i>T</i> si può definire in funzione delle sue basi <i>e<sub>i</sub></i> e delle sue componenti <i>T<sup>i</sup></i>:</div><div style="text-align: center;"><i>T=</i><i>T<sup>1</sup>e<sub>1</sub></i><i>+...+</i><i>T<sup>n</sup>e<sub>n</sub></i><i>=T<sup>i</sup>e<sub>i</sub></i> <br /></div><div style="text-align: left;">dove abbiamo applicato la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Notazione_di_Einstein">notazione di Einstein</a> sugli indici <i>i=1,..., n</i>.<br /><br />Abbiamo ricordato sopra che se cambiamo riferimento le basi cambiano come <i><u>e</u><sub>j</sub>=(∂x<sup>i</sup>/∂<u>x</u><sup>j</sup>)e<sub>i</sub></i> quindi se vogliamo che il vettore <i>T</i><i>=<u>T</u><sup>j</sup><u>e</u><sub>j</sub></i> resti invariato anche le sue componenti <i><u>T</u><sup>j</sup></i> dovranno trasformarsi (in modo inverso):</div><div style="text-align: center;"><i><u>T</u><sup>j</sup>=</i><i>(∂<u>x</u><sup>j</sup>/∂x<sup>i</sup>)</i><i>T<sup>i<br /></sup></i></div><div style="text-align: left;">in modo cioè che nel nuovo riferimento il vettore <i>T</i> resti invariato:</div><div style="text-align: center;"><i>T=<u>T</u><sup>j</sup><u>e</u><sub>j</sub>=(∂<u>x</u><sup>j</sup>/∂x<sup>i</sup>)T<sup>i</sup>(∂x<sup>i</sup>/∂<u>x</u><sup>j</sup>)e<sub>i</sub>=T<sup>i</sup>e<sub>i</sub></i><i>=</i><i>T</i></div><div style="text-align: left;">essendo <i>(∂<u>x</u><sup>j</sup>/∂x<sup>i</sup>)(</i><i>∂</i><i>x<sup>i</sup>/</i><i>∂</i><i><u>x</u><sup>j</sup>)=1</i>.</div><div style="text-align: left;"><i>Nota</i>: dal <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_(matematica)#Differenziale_in_pi%C3%B9_variabili">differenziale</a> <i>d<u>x</u><sup>j</sup>=(∂<u>x</u><sup>j</sup>/∂x<sup>i</sup>)dx<sup>i</sup></i> segue <i>d</i><i><u>x</u><sup>j</sup>/</i><i>d</i><i><u>x</u><sup>j</sup>=(∂<u>x</u><sup>j</sup>/∂x<sup>i</sup>)(</i><i>∂</i><i>x<sup>i</sup>/</i><i>∂</i><i><u>x</u><sup>j</sup>)=1</i>.<br /><br />Calcoliamo ora la derivata del vettore <i>T=T<sup>i</sup>e<sub>i</sub></i> lungo una coordinata <i>x<sup>j</sup></i> qualsiasi, questa sarà definita (come derivata di una funzione prodotto):<br /></div><div style="text-align: center;"><i>∂T/∂x<sup>j</sup>=∂(T<sup>i</sup>e<sub>i</sub> )/∂x<sup>j</sup>=(∂T<sup>i</sup>/∂x<sup>j</sup>)e<sub>i</sub>+T<sup>i</sup>(∂e<sub>i</sub>/∂x<sup>j</sup>)</i></div><div style="text-align: left;">dove il termine <i>∂e<sub>i</sub>/∂x<sup>j</sup></i> tiene conto della possibile variazione delle basi <i>e<sub>i</sub></i> rispetto alle coordinate <i>x<sup>j</sup></i>: questa derivata è detta <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_covariante">derivata covariante</a> e in pratica estende il concetto usuale di <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_direzionale">derivata direzionale</a>.<br /><i>Nota</i>: si dice derivata <i>covariante</i> perché preserva il carattere di invarianza rispetto alla trasformazione di coordinate (vedi il <a href="http://significatofisico.blogspot.com/2018/05/trasformazioni-basi-vettori-e-covettori_11.html">relativo post</a>).<br /><br />Si
osservi che se le coordinate sono cartesiane, allora le basi non
variano in funzione delle coordinate (cioè mantengono sempre stesso
modulo e direzione in ogni punto e quindi <i>∂e<sub>i</sub>/∂x<sup>j</sup>=0</i>); in tal caso la derivata si riduce alla classica derivata direzionale (calcolata cioè lungo l'asse coordinato <i>x<sup>j</sup></i>):<br /></div><div style="text-align: center;"><i>∂T/∂</i><i>x<sup>j</sup></i>=<i>(∂T<sup>i</sup></i>/<i>∂x<sup>j</sup></i>)<i>e<sub>i</sub></i><br /></div><div style="text-align: left;">dove ricordiamo <i>T</i> è un vettore <i>n</i>-dimensionale (con <i>i,j=1,..., n</i>).<br /><br />Tuttavia
nel caso più generale di coordinate curvilinee il modulo e la direzione
delle basi può variare da punto a punto e quindi il termine <i>∂e<sub>i</sub>/∂x<sup>j</sup></i> è generalmente diverso da zero*.<br /><br />Vediamo quindi un esempio riprendendo le coordinate curve polari <i>(r,</i><i>θ</i><i>)</i> introdotte nel <a href="http://significatofisico.blogspot.com/2023/05/base-locale-e-derivata-covariante-prima.html">precedente post</a> e le relative basi (<i>e<sub>r</sub></i>,<i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i>) ottenute in funzione delle coordinate cartesiane (<i><i>e<sub>x</sub></i></i>,<i><i>e<sub>y</sub></i></i>):</div><div style="text-align: left;"><div style="text-align: center;"><i>e<sub>r</sub>=<i>cos</i><i>θ</i><i>e<sub>x</sub></i><i>+</i><i>sin</i><i>θ</i><i>e<sub>y</sub></i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i><i><i>=</i><i>-</i>r<i>sin</i><i>θ</i><i>e<sub>x</sub></i><i>+</i><i>rcos</i><i>θ</i></i><i><i>e<sub>y</sub></i></i>.<br /></div></div><div style="text-align: left;">ricordando che il vettore <i>T</i> si esprime come (con <i>i=r,θ</i>):<br /></div><div style="text-align: center;"><i>T=T<sup>i</sup>e<sub>i</sub></i><i>=</i><i>T<sup>r</sup>e<sub>r</sub></i><i>+</i><i>T</i><sup><i>θ</i></sup><i>e</i><i><sub>θ</sub></i><i>.</i><br /></div><div style="text-align: left;"><br />In questo caso particolare i valori dei termini <i>∂e<sub>i</sub>/∂x<sup>j</sup></i> espressi in funzione di <i>e<sub>r</sub></i> e <i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i><i><i></i></i> sono (con <i>i,j=r,θ</i>):<br /></div><div style="text-align: center;"><i>∂</i><i>e</i><i><sub>r</sub>/∂r=∂(cosθe<sub>x</sub>+sinθe<sub>y</sub>)/∂r=0</i><br /><i>∂</i><i>e</i><i><sub>r</sub>/∂θ=-sinθe<sub>x</sub>+cosθe<sub>y</sub>=(1/r)e<sub>θ</sub></i><br /> <i>∂</i><i>e</i><i><sub>θ</sub>/∂r=-sinθe<sub>x</sub>+cosθe<sub>y</sub>=(1/r)e<sub>θ</sub></i><br /><i>∂</i><i>e</i><i><sub>θ</sub>/∂θ=-rcosθe<sub>x</sub>-rsinθe<sub>y</sub>=-re<sub>r</sub></i></div><div style="text-align: left;">dove notiamo che <i>∂</i><i>e</i><i><sub>r</sub>/∂θ=</i><i>∂</i><i>e</i><i><sub>θ</sub>/∂r</i> e infatti in generale risulta:<br /> </div><div style="text-align: center;"><i>∂e<sub>i</sub>/∂x<sup>j</sup></i>=<i>∂e<sub>j</sub>/∂x<sup>i</sup></i>.<br /></div><div style="text-align: left;"><i>Nota</i>: ciò accade in generale quando le derivate seconde incrociate sono uguali**, per le <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_liscia">funzioni lisce</a> questa condizione è sempre soddisfatta.<br /><br />Perciò le derivate rispetto ad <i>r</i> e <i>θ</i> del vettore <i>T</i> sono (con <i>i=r,θ</i>):<br /></div><div style="text-align: center;"><i>∂T/∂r=∂(T<sup>i</sup>e<sub>i</sub> )/∂r=</i><i>(∂T<sup>i</sup>/∂r)</i><i>e</i><i><sub>i</sub></i><i>+T<sup>r</sup>(∂e<sub>r</sub>/∂r)</i><i>+T</i><sup><i>θ</i></sup><i>(∂e</i><i><sub>θ</sub></i><i>/∂r)</i><br /><i>∂T/∂</i><i>θ</i><i>=∂(T<sup>i</sup>e<sub>i</sub> )/∂</i><i>θ</i><i>=</i><i>(∂T</i><sup><i>i</i></sup><i>/∂</i><i>θ</i><i>)e</i><i><sub>i</sub></i><i>+T<sup>r</sup>(∂e<sub>r</sub>/∂</i><i>θ</i><i>)</i><i>+T</i><sup><i>θ</i></sup><i>(∂e</i><i><sub>θ</sub></i><i>/∂</i><i>θ</i><i>)</i><br /></div><div style="text-align: left;">e quindi sostituendo i valori delle derivate delle basi ottenuti sopra:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>∂T/∂r=</i><i>(∂T<sup>i</sup>/∂r)</i><i>e</i><i><sub>i</sub></i><i>+</i><i></i><i>(1/r)</i><i>T</i><sup><i>θ</i></sup><i>e<sub>θ</sub></i><br /><i>∂T/∂</i><i>θ</i><i>=</i><i>(∂T</i><sup><i>i</i></sup><i>/∂</i><i>θ</i><i>)e</i><i><sub>i</sub></i><i>+</i><i>(1/r)</i><i>T<sup>r</sup></i><i>e<sub>θ</sub></i><i>-rT</i><sup><i>θ</i></sup><i>e<sub>r</sub></i>.<br /></div><div style="text-align: left;"><br />Si osservi in particolare che se supponiamo che le componenti di <i>T</i> lungo <i>r</i> e <i>θ</i> non variano (cioè se <i>∂T<sup>i</sup>/∂r=0</i> e <i>∂T<sup>i</sup>/∂θ=0</i>) si ottiene:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>∂T/∂r=</i><i>(1/r)</i><i>T</i><sup><i>θ</i></sup><i>e<sub>θ</sub></i><br /><i>∂T/∂</i><i>θ=</i><i>(1/r)</i><i>T<sup>r</sup></i><i>e<sub>θ</sub></i><i>-rT</i><sup><i>θ</i></sup><i>e<sub>r</sub></i><br /></div><div style="text-align: left;">in questo caso si ha cioè il contributo dovuto alla sola variazione delle basi.<br /><i>Nota</i>: è evidente che il punto <i>r=0</i> deve essere escluso, infatti qui le coordinate non sono invertibili come richiesto***.<br /><br />Se infine vogliamo che <i>T</i> venga <i>trasportato parallelamente</i> rispetto alla superficie curva, dovremo annullare la derivata covariante ponendo:<br /><div style="text-align: center;"><i>∂T/∂r=0 e ∂T/∂</i><i>θ=0</i></div></div><div style="text-align: left;">cioè dovremo annullare i valori delle componenti delle derivate parziali ottenuti sopra, rispettivamente lungo <i>e<sub>r</sub></i> ed <i>e<sub>θ</sub></i>.<br /></div><div style="text-align: left;"></div><div style="text-align: left;"> </div><div style="text-align: left;">(*) Solitamente nella derivata covariante per indicare i termini <i>(∂e<sub>i</sub>/∂x<sup>j</sup>)</i> si usano i <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Simbolo_di_Christoffel">simboli di Christoffel</a> del secondo tipo così definiti: <i><b>Γ</b><sup>k</sup><sub>i</sub><sub>j</sub>=(∂e<sub>i</sub>/∂x<sup>j</sup></i><i>)e<sub>k</sub></i>. Perciò <i>∂T/∂x<sup>j</sup>=(∂T<sup>i</sup>/∂x<sup>j</sup>)e<sub>i</sub>+T<sup>i</sup></i><i><b>Γ</b><sup>k</sup><sub>i</sub><sub>j</sub></i><i>e<sub>k</sub></i><i>=</i><i>(∂T<sup>i</sup>/∂x<sup>j</sup>+T<sup>k</sup></i><i><b>Γ</b><sup>i</sup><sub>k</sub><sub>j</sub></i><i>)e<sub>i</sub></i> (scambiando <i>k</i> con <i>i</i>). <br />(**) Dalle seguenti relazioni tra basi (vedi il <a href="http://significatofisico.blogspot.com/2023/05/base-locale-e-derivata-covariante-prima.html">precedente post</a>):<br /><i>e<sub>r</sub><i>=(∂x/</i><i>∂</i>r<i>)</i><i>e<sub>x</sub></i><i>+</i><i>(</i><i>∂</i><i>y/</i><i>∂</i>r<i>)</i><i>e<sub>y</sub></i></i> e <i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i><i><i>=(∂x/</i><i>∂</i><i>θ</i><i>)</i><i>e<sub>x</sub></i><i>+</i><i>(</i><i>∂</i><i>y/</i><i>∂</i><i>θ</i><i>)</i><i>e<sub>y</sub></i></i> si ottiene derivando<br /><div style="text-align: left;"><i><i>∂</i></i><i>e<sub>r</sub><i>/</i></i><i><i>∂</i><i>θ</i></i><i><i>=(∂x/</i><i>∂</i>r</i><i><i>∂</i><i>θ</i></i><i><i>)</i><i>e<sub>x</sub></i><i>+</i><i>(</i><i>∂</i><i>y/</i><i>∂</i>r</i><i><i>∂</i><i>θ</i></i><i><i>)</i><i>e<sub>y</sub></i></i> e <i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i><i><i>/</i></i><i><i>∂</i>r</i><i><i>=(∂x/</i><i>∂</i><i>θ</i></i><i><i>∂</i>r</i><i><i>)</i><i>e<sub>x</sub></i><i>+</i><i>(</i><i>∂</i><i>y/</i><i>∂</i><i>θ</i></i><i><i>∂</i>r</i><i><i>)</i><i>e<sub>y</sub></i></i><br />da cui si ha: <i><i>∂</i></i><i>e<sub>r</sub><i>/</i></i><i><i>∂</i><i>θ</i></i><i><i>=</i></i><i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i><i><i>/</i></i><i><i>∂</i>r</i> se <i><i>∂x/</i><i>∂</i>r</i><i><i>∂</i><i>θ=</i></i><i><i>∂x/</i><i>∂</i><i>θ</i></i><i><i>∂</i>r</i> e <i><i>∂</i><i>y/</i><i>∂</i>r</i><i><i>∂</i><i>θ=</i></i><i><i>∂</i><i>y/</i><i>∂</i><i>θ</i></i><i><i>∂</i>r</i> (<i>cvd</i>).<br /></div></div><div style="text-align: left;">(***) Condizione generale affinché le coordinate siano invertibili è che il determinante della <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobiana">matrice Jacobiana</a> non si annulli.<br /></div><br />[Una ottima esposizione di questi concetti si trova nella <a href="https://www.youtube.com/watch?v=I_0UoKRWLZY&list=PL8Uee0Xwmxnn3lFt9dMp0e1ygdXy79Vqw&index=1">Playlist Video</a> di Dermot Green - Queen's University Belfast]</div>qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-4322470884000388912023-05-11T15:33:00.094+02:002024-01-06T11:13:47.977+01:00Base locale e derivata covariante (prima parte)<div>Come è noto un sistema di riferimento cartesiano è formato da <i>n</i> rette ortogonali che si intersecano in un punto <i>O</i> detto origine, ognuna delle rette è orientata e riporta una unità di misura: in questo modo è possibile identificare qualsiasi punto dello spazio euclideo <i>R<sup>n</sup></i> con una <i>n-upla</i> di numeri reali (<i>x<sup>1</sup></i>, <i>x<sup>2</sup></i>,..., <i>x<sup>n</sup></i>) in modo univoco (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_riferimento_cartesiano">Wikipedia</a>).<br /><br />Generalizzando è possibile costruire geometricamente, a partire da un sistema di riferimento cartesiano, un altro riferimento qualsiasi detto curvilineo, che avrà lo stesso numero di coordinate ma nel quale le linee coordinate sono generalmente delle curve (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Coordinate_curvilinee">Wikipedia</a>).<br /><br />Ad esempio, come avevamo già visto nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2018/05/trasformazioni-basi-vettori-e-covettori_11.html">Trasformazioni di basi, vettori e... co-vettori!</a>", consideriamo un sistema di coordinate cartesiano bidimensionale <i>(x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>)</i> e un nuovo sistema di coordinate curvilinee <i>(<u>x</u><sup>1</sup>,<u>x</u><sup>2</sup>)</i> che sono note in funzione delle prime*:<br /></div><div style="text-align: center;"><i><u>x</u><sup>1</sup></i><i>=</i><i><u>x</u><sup>1</sup></i><i>(x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>) , </i><i><u>x</u><sup>2</sup></i><i>=</i><i><u>x</u><sup>2</sup></i><i>(x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>)</i><br /></div><div>e dove vale anche la trasformazione inversa:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>x<sup>1</sup></i><i>=</i><i>x<sup>1</sup></i><i>(<u>x</u><sup>1</sup>,<u>x</u><sup>2</sup>) , </i><i>x<sup>2</sup></i><i>=</i><i>x<sup>2</sup></i><i>(<u>x</u><sup>1</sup>,<u>x</u><sup>2</sup>)<br /></i></div><div style="text-align: left;">ed inoltre tali funzioni sono per definizione differenziabili (<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_liscia">funzioni lisce</a>).<br /><i>Nota</i>: le coordinate devono essere indipendenti e quindi <i>∂x<sup>i</sup>/∂x<sup>j</sup></i>=<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>δ</i><i><span style="text-align: center;"><sub>ij</sub></span></i></span> <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">cioè </span><i>∂x<sup>i</sup>/∂x<sup>j</sup></i>=0<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"> </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">se <i>i≠j</i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"> e </span><i>∂x<sup>i</sup>/∂x<sup>j</sup></i>=<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>1</i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"> solo se <i>i=j</i> (</span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>ij</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i></span></span></i></span></i></span></i> è la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_Kronecker">delta di Kronecker</a>).</span> <br /><br />Consideriamo ad esempio il riferimento cartesiano rappresentato in figura dove è indicata la retta <i>x<sup>1</sup></i> e il relativo vettore di base <i>unitario</i> <i>e<sub>1</sub></i> con origine nel punto <i>O</i> da cui parte una linea curva coordinata <i><u>x</u><sup>1</sup></i> con vettore di base <i>unitario</i> <i><u>e</u><sub>1</sub></i> ad essa <i>tangente</i> come illustrato in figura:</div><div style="text-align: left;"><i><br /></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Base_locale6.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="363" data-original-width="482" height="242" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Base_locale6.jpg" width="320" /></a></div><div><br />Ora si osservi che tra il tratto infinitesimo <i>dx<sup>1</sup></i> della retta <i>x<sup>1</sup></i> e il tratto infinitesimo <i>d<u>x</u><sup>1</sup></i> tangente alla linea curva <i><u>x</u><sup>1</sup></i> (che quindi approssima la linea in quel punto) esiste la seguente relazione trigonometrica:</div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div style="text-align: left;"><div style="text-align: center;"><i>dx<sup>1</sup>=d<u>x</u><sup>1</sup>cosα</i><br /></div><div style="text-align: left;">e quindi la proiezione del vettore di base <i><u>e</u><sub>1</sub></i> sulla retta <i>x<sup>1</sup></i> è pari a<i><u><br /></u></i></div><div style="text-align: center;"><i>|<u>e</u><sub>1</sub>|cosα=|<u>e</u><sub>1</sub>|(dx<sup>1</sup>/d<u>x</u><sup>1</sup>)</i><br /></div><div style="text-align: left;">dove <i>|<u>e</u><sub>1</sub>|=1</i> è il modulo unitario di <i><u>e</u><sub>1</sub></i> mentre <i>α</i> è l'angolo tra <i>d<u>x</u><sup>1</sup></i> e <i>dx<sup>1</sup></i>.<br />In modo equivalente la proiezione del vettore di base <i><u>e</u><sub>1</sub></i> sulla retta <i>x<sup>2</sup></i> è:<br /> </div><div style="text-align: center;"><i>|<u>e</u><sub>1</sub></i><i>|</i><i>sin</i><i>α</i><i>=</i><i>|<u>e</u><sub>1</sub>|</i><i>(dx<sup>2</sup>/d<u>x</u><sup>1</sup>)</i><br /></div><div style="text-align: left;"></div><div style="text-align: left;"></div><div style="text-align: left;"></div><div style="text-align: left;">valendo di nuovo la relazione trigonometrica:<br /> </div><div style="text-align: center;"><i>dx<sup>2</sup>=d<u>x</u><sup>1</sup>sin</i><i>α</i>.<br /></div><br /><div style="text-align: left;">Perciò la nuova <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Coordinate_curvilinee#Basi_locali">base locale</a> <i><u>e</u><sub>1</sub></i> espressa in funzione delle basi cartesiane <i>e<sub>1</sub></i> ed <i>e<sub>2</sub></i> (che ricordiamo sono per semplicità tutti vettori di modulo <i>1</i>) è:<br /></div><div style="text-align: center;"><i><u>e</u><sub>1</sub>=</i><i>(|</i><i><u>e</u><sub>1</sub></i><i>|cos</i><i>α)</i><i>e<sub>1</sub></i><i>+</i><i>(|</i><i><u>e</u><sub>1</sub></i><i>|</i><i>sinα</i><i>)</i><i>e<sub>2</sub></i><br /></div><div style="text-align: left;">e quindi utilizzando le relazioni ricavate sopra<br /> </div><div style="text-align: center;"><i><u>e</u><sub>1</sub></i><i>=(∂x<sup>1</sup>/</i><i>∂</i><i><u>x</u><sup>1</sup>)</i><i>e<sub>1</sub></i><i>+</i><i>(</i><i>∂</i><i>x<sup>2</sup>/</i><i>∂</i><i><u>x</u><sup>1</sup>)</i><i>e<sub>2</sub></i></div><div style="text-align: left;">avendo posto <i>|</i><i><u>e</u><sub>1</sub></i><i>|=</i><i>|</i><i><u>e</u><sub>2</sub></i><i>|</i><i>=1</i> e <i>∂x<sup>1</sup>/∂<u>x</u><sup>1</sup>=cos</i><i>α</i> , <i>∂x<sup>2</sup>/∂<u>x</u><sup>1</sup>=sinα</i>. <br /><i>Nota</i>: abbiamo indicato le derivate <i>parziali</i> dato che le coordinate sono funzioni di più variabili.<br /><br />Si osservi che dal <i>rapporto</i> trigonometrico di due infinitesimi come<i> dx<sup>1</sup>/</i><i>d<u>x</u><sup>1</sup></i> e <i>dx<sup>2</sup>/</i><i>d<u>x</u><sup>1</sup></i> siamo passati alle <i>derivate parziali</i> <i>∂x<sup>1</sup>/</i><i>∂</i><i><u>x</u><sup>1</sup></i> e <i>∂</i><i>x<sup>2</sup>/</i><i>∂</i><i><u>x</u><sup>1</sup></i> supponendo in particolare che la variazione di <i>x<sup>1</sup></i> rispetto a <i><u>x</u><sup>1</sup></i> e quella di <i>x<sup>2</sup></i> sempre rispetto a <i><u>x</u><sup>1</sup></i> siano rispettivamente pari a <i>cos</i><i>α</i> e <i>sin</i><i>α</i>.<br /><i>Nota</i>: ciò è vero poiché <i><u>x</u><sup>1</sup></i> approssima (nell'origine) la coordinata di un <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Rotazione_(matematica)#Due_dimensioni">riferimento ruotato</a> di un angolo <i>α</i> rispetto a quello cartesiano (<i>x<sup>1</sup>, x<sup>2</sup></i>)**.<br /><br />In modo analogo per la base <i><u>e</u><sub>2</sub></i> si ha (anche se non è mostrato in figura):<br /></div><div style="text-align: center;"><i><u>e</u><sub>2</sub></i><i>=(∂x<sup>1</sup>/</i><i>∂</i><i><u>x</u><sup>2</sup>)</i><i>e<sub>1</sub></i><i>+</i><i>(</i><i>∂</i><i>x<sup>2</sup>/</i><i>∂</i><i><u>x</u><sup>2</sup>)</i><i>e<sub>2</sub></i><br /></div><div style="text-align: left;">dove ricordiamo che le basi sono state tutte normalizzate:<br /> </div><div style="text-align: center;"><i>|</i><i>e<sub>1</sub></i><i>|=</i><i>|</i><i>e<sub>2</sub></i><i>|</i><i>=1</i> e <i>|</i><i><u>e</u><sub>1</sub></i><i>|=</i><i>|</i><i><u>e</u><sub>2</sub></i><i>|</i><i>=</i>1.<br /></div><div style="text-align: left;"><div style="text-align: left;"><i>Nota</i>: per costruzione geometrica le basi (<i><u>e</u><sub>1</sub>,<u>e</u><sub>2</sub></i>) sono tangenti alle linee coordinate (<i><u>x</u><sup>1</sup>,<u>x</u><sup>2</sup></i>) e ciò vale in generale per più coordinate.<br /></div><br /><div style="text-align: left;">Se viceversa volessimo derivare le basi cartesiane <i>e<sub>1</sub></i> e <i>e<sub>2</sub></i> a partire da quelle curvilinee <i><u>e</u><sub>1</sub></i> e <i><u>e</u><sub>2</sub></i> un ragionamento analogo ci porterebbe ad ottenere:</div><div style="text-align: center;"><i>e<sub>1</sub></i><i>=(∂<u>x</u><sup>1</sup>/</i><i>∂</i><i>x<sup>1</sup>)</i><i><u>e</u><sub>1</sub></i><i>+</i><i>(</i><i>∂</i><i><u>x</u><sup>2</sup>/</i><i>∂</i><i>x<sup>1</sup>)</i><i><u>e</u><sub>2</sub></i></div><div style="text-align: center;"><i>e<sub>2</sub></i><i>=(∂<u>x</u><sup>1</sup>/</i><i>∂</i><i>x<sup>2</sup>)</i><i><u>e</u><sub>1</sub></i><i>+</i><i>(</i><i>∂</i><i><u>x</u><sup>2</sup>/</i><i>∂</i><i>x<sup>2</sup>)</i><i><u>e</u><sub>2</sub></i>.<br /></div><div style="text-align: left;">che rappresentano le relazioni inverse di quelle prima ottenute.<br /><br />Quindi riscrivendo quanto abbiamo ottenuto sopra in forma più generale (applicando la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Notazione_di_Einstein">notazione di Einstein</a> sugli indici ripetuti) si ha:</div><div style="text-align: center;"><i><u>e</u><sub>i</sub>=(∂x<sup>j</sup>/∂<u>x</u><sup>i</sup>)e<sub>j</sub> , e<sub>i</sub>=(∂<u>x</u><sup>j</sup>/∂x<sup>i</sup>)<u>e</u><sub>j</sub></i><br /></div>dove gli indici <i>i,j=1,..., n</i> indicano il numero di coordinate e le relative basi.<br /><i>Nota</i>: si osservi che gli elementi <i>(∂x<sup>j</sup>/∂<u>x</u><sup>i</sup>)</i> e <i>(∂<u>x</u><sup>j</sup>/∂x<sup>i</sup>)</i> definiscono rispettivamente la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobiana">matrice jacobiana</a> e la sua inversa.<br /><br />Ma facciamo subito un esempio introducendo le coordinate curvilinee <i>(r,</i><i>θ</i><i>)</i> (ponendo cioè <i><u>x</u><sup>1</sup>=r</i> e <i><u>x</u><sup>2</sup>=θ</i>) dove <i>r≥0</i> è la distanza dall'origine (polo) mentre <i>0≤θ≤2π</i> è l'angolo tra <i>r</i> e l'asse <i>X</i> (<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2017/06/coriolis-e-le-coordinate-polari_67.html">coordinate polari</a>).<br /><br />Per calcolare le nuove basi <i><u>e</u><sub>1</sub>=</i><i>e<sub>r</sub></i> e <i><u>e</u><sub>2</sub></i><i>=</i><i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i> è utile definire le coordinate cartesiane <i>(x,y)</i> in funzione delle nuove coordinate <i>(r,</i><i>θ</i><i>)</i>:<i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i>x</i><i>(r,</i><i>θ</i><i>)</i><i>=rcos</i><i>θ</i><i> , y(r,</i><i>θ</i><i>)</i><i>=rsin</i><i>θ</i>.<br /></div><div style="text-align: left;"><br />Possiamo quindi ottenere le nuove basi <i>e<sub>r</sub></i> e <i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i> utilizzando le equazioni alle derivate parziali ottenute sopra (dove <i><u>x</u><sup>1</sup>=r</i> e <i><u>x</u><sup>2</sup>=θ</i>):<br /></div><div style="text-align: center;"><i>e<sub>r</sub><i>=(∂x/</i><i>∂</i>r<i>)</i><i>e<sub>x</sub></i><i>+</i><i>(</i><i>∂</i><i>y/</i><i>∂</i>r<i>)</i><i>e<sub>y</sub></i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i><i><i>=(∂x/</i><i>∂</i><i>θ</i><i>)</i><i>e<sub>x</sub></i><i>+</i><i>(</i><i>∂</i><i>y/</i><i>∂</i><i>θ</i><i>)</i><i>e<sub>y</sub></i></i>.</div><div style="text-align: left;">Perciò le basi del nuovo riferimento curvilineo di coordinate <i>(r,</i><i>θ</i><i>)</i> espresse in funzione delle basi cartesiane note <i><i>e<sub>x</sub></i></i> ed <i><i>e<sub>y</sub></i></i> sono:<br /><div style="text-align: center;"><i>e<sub>r</sub>=<i>cos</i><i>θ</i><i>e<sub>x</sub></i><i>+</i><i>sin</i><i>θ</i><i>e<sub>y</sub></i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i><i><i>=</i><i>-</i>r<i>sin</i><i>θ</i><i>e<sub>x</sub></i><i>+</i><i>rcos</i><i>θ</i></i><i><i>e<sub>y</sub></i></i><br /></div></div><div style="text-align: left;">ed inoltre essendo perpendicolari il loro <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_scalare">prodotto scalare</a> è nullo:<br /> </div><div style="text-align: center;"><i><e<sub>r</sub>,e<sub>θ</sub><i>>=</i></i><i><i>-</i>r</i><i><i>cos</i><i>θ</i></i><i><i>sin</i><i>θ</i></i><i><i>+</i>r<i>sin</i><i>θ</i></i><i><i>cos</i><i>θ=0</i></i>.<br /></div><div style="text-align: left;"><i>Nota</i>: la base <i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i> non è unitaria poiché risulta <i>|e<sub>θ</sub>|=r</i> tuttavia possiamo porre come base unitaria <i><i>θ=</i></i><i><i>-</i><i>sin</i><i>θ</i><i>e<sub>x</sub></i><i>+</i><i>cos</i><i>θ</i></i><i><i>e<sub>y</sub></i></i> e quindi <i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i><i><i>=r</i></i><i><i>θ</i></i>.<br /><br />È importante osservare che le basi <i>e<sub>r</sub></i> e <i><i>e</i></i><i><sub>θ</sub></i> dipendono dalle coordinate (<i>r</i><i>,<i>θ</i></i>) come in effetti capita generalmente per le basi curvilinee: viceversa le basi cartesiane <i><i>e<sub>x</sub></i></i> ed <i><i>e<sub>y</sub></i></i> sono sempre le stesse in ogni punto dello spazio. <br /></div><div style="text-align: left;"><br />Come vedremo nel <a href="http://significatofisico.blogspot.com/2023/05/base-locale-e-derivata-covariante.html">prossimo post</a> le relazioni ricavate sopra saranno utili per definire la trasformazione di un vettore affinché resti invariato quando passa da un riferimento ad un altro e definiremo la sua derivata covariante.<br /><br />(*) Ricordiamo che gli <i>apici</i> indicano entità che si trasformano in modo <i>controvariante</i> (come le componenti di un vettore) mentre i <i>pedici</i> indicano entità che si trasformano in modo <i>covariante</i> (come ad esempio le relative basi) come descritto in "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2018/05/trasformazioni-basi-vettori-e-covettori_11.html">Trasformazioni di basi, vettori e... co-vettori!</a>".<br />(**) In due dimensioni la trasformazione delle <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Rotazione_(matematica)#Due_dimensioni">coordinate per una rotazione</a> degli assi è:<i> x<sup>1</sup></i>=<i><u>x</u><sup>1</sup>cosα</i>-<i><u>x</u><sup>2</sup>sinα</i> , <i>x<sup>2</sup></i>=<i><u>x</u><sup>1</sup></i>sin<i>α+<u>x</u><sup>2</sup></i>cos<i>α</i> da cui segue subito <i>∂x<sup>1</sup>/∂<u>x</u><sup>1</sup>=cos</i><i>α</i> , <i>∂x<sup>2</sup>/∂<u>x</u><sup>1</sup>=sinα</i> come già derivato sopra.<br /><br />[Una ottima esposizione di questi concetti si trova nella <a href="https://www.youtube.com/watch?v=I_0UoKRWLZY&list=PL8Uee0Xwmxnn3lFt9dMp0e1ygdXy79Vqw&index=1">Playlist Video</a> di Dermot Green - Queen's University Belfast]<br /></div></div></div><p></p></div>qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-83813524709102609132023-03-08T17:28:00.030+01:002023-09-22T17:54:48.044+02:00La Sfera di Bloch<div>È noto che lo <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Qubit">stato quantistico di un qubit</a> (quantum bit) è così definito:<i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i>|Ψ>=α|0>+β|1></i><br /></div><div>dove <i>α</i> e <i>β</i> sono <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_complesso">numeri complessi</a> che devono soddisfare la condizione:</div><div style="text-align: center;"><i>|α|<sup>2</sup>+|β|</i><i><sup>2</sup></i><i>=1</i><br /></div><div>per la normalizzazione a 1 della probabilità complessiva <i>P=|α|<sup>2</sup>+|β|<sup>2</sup></i>.<br /> <i>Nota</i>: ricordiamo che <i>|α|</i><i><sup>2</sup></i> e <i>|β|</i><i><sup>2</sup></i> rappresentano rispettivamente la probabilità che si verifichi lo stato <i>|0></i> oppure <i>|1></i>.<br /><div><br />Ricordiamo innanzitutto che valendo la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Eulero">formula di Eulero</a> <i>e</i><i><sup>iø</sup></i>=<i>cosø+isinø</i>, in generale per un numero complesso <i>x+iy</i> si può scrivere:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>x+iy=r(cosø+isinø)=re</i><i><sup>iø</sup></i><i> </i></div><div>dove <i>r=(x</i><i><sup>2</sup></i><i>+y</i><i><sup>2</sup></i><i>)</i><i><sup>1/2</sup></i> è il modulo e <i>ø=arctan(y/x)</i> è l'angolo tra <i>r</i> e la sua proiezione sull'asse <i>X</i> (pari a <i>rcosø</i>).<br />Inoltre ricordiamo che:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>|x+iy|</i><i><sup>2</sup></i><i>=|re<sup>iø</sup>|</i><i><sup>2</sup></i><i>=r</i><i><sup>2</sup></i><i>(e</i><i><sup>iø</sup></i><i>e</i><i><sup>-iø</sup></i><i>)=</i><i>r</i><i><sup>2</sup></i></div><div>poiché <i>|e<sup>iø</sup>|<sup>2</sup>=(e<sup>iø</sup>e<sup>-iø</sup>)=1</i> essendo <i>e</i><i><sup>-iø</sup></i> il complesso coniugato di <i>e</i><i><sup>iø</sup></i>.<br /><i>Nota</i>: è noto che il modulo al quadrato di un numero complesso è dato dal prodotto di quel numero per il suo <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Complesso_coniugato">coniugato</a>.<br /><br />Quindi possiamo porre nel nostro caso per i coefficienti complessi <i>α</i> e <i>β</i>:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>α=r<sub>1</sub>e<sup>iø<i><sub>1</sub></i></sup></i> e <i>β=r<sub>2</sub>e<sup>iø2</sup></i></div></div><div>dove <i>ø</i><i><sub>1</sub></i> e <i>ø</i><i><sub>2</sub></i> sono due angoli qualsiasi compresi tra <i>0</i> e <i>2π</i>.<br />Se inoltre poniamo <i>r</i><i><sub>1</sub></i><i>=rcosθ</i> e <i>r</i><i><sub>2</sub></i><i>=rsinθ</i> con <i>r=1</i> si ha come richiesto:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>|α|<sup>2</sup>+|β|<sup>2</sup>=|r</i><i><sub>1</sub></i><i>e</i><i><sup>iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>|<sup>2</sup>+|r</i><i><sub>2</sub></i><i>e</i><i><sup>iø<i><sub>2</sub></i></sup></i><i>|<sup>2</sup>=cosθ<sup>2</sup>+sinθ<sup>2</sup>=1</i><br /></div><div>poiché <i>|e</i><i><sup>iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>|<sup>2</sup>=|e</i><i><sup>iø<i><sub>2</sub></i></sup></i><i>|<sup>2</sup>=1</i> come visto sopra.<br /><br />Quindi per lo stato di un qubit vale la seguente relazione:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>|Ψ>=α|0>+β|1>=cosθ(e</i><i><sup>iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>)|0>+sinθ(e</i><i><sup>iø<i><sub>2</sub></i></sup></i><i>)|1></i><br /></div><div>definita in funzione degli angoli <i>θ</i>, <i>ø</i><i><sub>1</sub></i> e <i>ø</i><i><sub>2</sub></i> di cui daremo di seguito una rappresentazione geometrica.<br /><br />Si osservi però che moltiplicando lo stato <i>|Ψ></i> per <i>e</i><i><sup>-iø<i><sub>1</sub></i></sup></i> si ottiene un <i>nuovo</i> stato <i>|Ψ'></i><i>=e</i><i><sup>-iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>|Ψ></i>:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>|Ψ'></i><i>=e</i><i><sup>-iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>|Ψ></i><i>=e</i><i><sup>-iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>(α|0>+β|1>)</i><i>=cosθ</i><i>|0>+sinθ(e</i><i><sup>iø</sup></i><i>)|1></i></div><div style="text-align: left;">dove <i>ø=</i><i>ø</i><i><sub>2</sub></i><i>-</i><i>ø</i><i><sub>1</sub></i><i>.</i><br />Tuttavia la probabilità degli stati <i>|0></i> e <i>|1></i> resta invariata infatti:<i><br /></i><div style="text-align: center;"><i>|</i><i>e</i><i><sup>-iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>α</i><i>|</i><i><sup>2</sup></i><i>=(e</i><i><sup>-iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>α)(e</i><i><sup>-iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>α)*=</i><i>(e</i><i><sup>-iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>e</i><i><sup>iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>)(</i><i>α</i><i>α*)=</i><i>|</i><i>α</i><i>|</i><i><sup>2</sup></i></div><i></i></div><div style="text-align: left;">e lo stesso vale per <i>|</i><i>e</i><i><sup>-iø<i><sub>1</sub></i></sup></i><i>β</i><i>|</i><i><sup>2</sup></i><i>=</i><i>|</i><i>β</i><i>|</i><i><sup>2</sup></i>.<br /><i>Nota</i>: qui il simbolo <i>(*)</i> indica il valore coniugato del numero complesso.<br /></div><div><br />Perciò possiamo omettere il termine <i>e</i><i><sup>-iø<i><sub>1</sub></i></sup></i> dallo stato <i>|Ψ'></i> poiché non ha effetti osservabili sperimentalmente e possiamo riscrivere:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>|Ψ'> => |Ψ>=cosθ|0>+sinθ(e</i><i><sup>iø</sup></i><i>)|1></i>.<br /></div><div><br /></div><div style="text-align: left;">Infine per evidenziare una rappresentazione geometrica definiamo lo stato <i>|Ψ></i> in funzione delle variabili <i>x</i>, <i>iy</i> e <i>z</i> ponendo:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>cosθ=z</i><br /></div><div style="text-align: center;"><i>sinθ(e</i><i><sup>iø</sup></i><i>)=sinθcosø+isinθsinø=x+iy</i></div><div>o in modo equivalente<br /></div><div style="text-align: center;"><i>x=sinθcosø</i><br /><i>y=sinθsinø</i><br /><i>z=cosθ</i>.<div style="text-align: left;"><div style="text-align: left;"><br />Ciò significa che se <i>x</i>, <i>y</i> e <i>z</i> vengono interpretate come coordinate, esse rappresentano le <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_coordinate_polari#Coordinate_sferiche">coordinate polari di una sfera</a> di raggio unitario* <i>|Ψ|=1</i>:<br /></div><br /></div></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/bloch-sphere.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="729" data-original-width="647" height="200" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/bloch-sphere.jpg" width="178" /></a></div></div><div></div><div><br />Perciò lo stato <i>|Ψ></i> in funzione delle coordinate <i>x</i>, <i>iy</i> e <i>z</i> diventa:<br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i>|Ψ>=cosθ|0>+sinθ(e</i><i><sup>iø</sup></i><i>)|1>=z|0>+(x+iy)|1></i></div><div>quindi le coordinate di <i>|Ψ></i> al quadrato, cioè <i>z<sup>2</sup></i> e <i>|(x+iy)|<sup>2</sup></i>, rappresentano rispettivamente la probabilità che si verifichi lo stato <i>|0></i> oppure <i>|1></i>.<br /><i>Nota</i>: si ricordi che in generale <i>|(x+iy)|<sup>2</sup>=(x+iy)(x-iy)=x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup></i>.<br /><br />Si noti però che quando <i>θ=0</i> risulta <i>|Ψ>=|0></i> mentre se <i>θ=π/2</i> si ha** <i>|Ψ>=|1></i> quindi per una descrizione completa della sfera possiamo porre:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>|Ψ>=cos(θ/2)|0>+sin(θ/2)(e</i><i><sup>iø</sup></i><i>)|1><br /></i></div><div style="text-align: left;">dove <i>0≤θ≤π</i> e <i>0≤ø<2π</i>.<br />Questa rappresentazione geometrica*** dello spazio degli <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Stato_quantico">stati puri</a> di un sistema quantistico a 2 stati è detta sfera di Bloch (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sfera_di_Bloch">Wikipedia</a>).<br /><br />(*) Risulta <i>|Ψ|</i><i><sup>2</sup></i><i>=<</i><i>Ψ|</i><i>Ψ>=(<0|</i><i>α*+<1|</i><i>β*)</i><i>|(</i><i>α|0>+β|1>)=</i><i>α*</i><i>α+</i><i>β*</i><i>β=1</i> essendo <i><0|0>=1</i>, <i><0|1>=0</i>, <i><1|0>=0</i> e <i><1|1>=1</i> per l'ortogonalità di <i>|0></i> e <i>|1></i>.<br />(**) Se poniamo <i>θ=π/2</i> allora <i>|Ψ>=e</i><i><sup>iø</sup></i><i>|1></i> che è equivalente a <i>|Ψ>=</i><i>|1></i> essendo <i>|e<sup>iø</sup>|<sup>2</sup> =1</i> (cioè la probabilità dello stato <i>|1></i> non cambia).<br />(***) Correttamente risulta per le probabilità dei due stati:<br /> <i>|cos(θ/2)|</i><i><sup>2</sup></i><i>+</i><i>|sin(θ/2)(e</i><i><sup>iø</sup></i><i>)</i><i>|</i><i><sup>2</sup></i><i>=</i><i>cos</i><i><sup>2</sup></i><i>(θ/2)</i><i>+</i><i>sin</i><i><sup>2</sup></i><i>(θ/2)</i><i>=1</i> essendo <i>|e<sup>iø</sup>|<sup>2</sup> =1</i>. </div><p></p>qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-71326023641929383772021-03-23T10:31:00.051+01:002023-11-27T16:50:36.079+01:00Perché un modello esteso dell'elettrone?<div>È noto che nel <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Modello_standard">Modello Standard</a> le <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Particella_(fisica)">particelle elementari</a> vengono considerate a tutti gli effetti come <i>puntiformi</i>,
tuttavia ciò porta a valori infiniti per alcune quantità che le
caratterizzano, legate alle mutue interazioni tra particelle e campi.<br />
<i>Nota</i>: con l'aggettivo <i>puntiforme</i> si intende una particella elementare priva di qualsiasi struttura interna. <br />
<br />
Vediamo infatti come si definisce l'energia di una particella carica di massa a riposo <i>m</i> nella teoria classica (relativistica), considerando <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Energia_potenziale_elettrica#Energia_associata_al_campo_elettrostatico">l'energia del campo elettrostatico</a> da essa generato oltre alla sua energia di massa (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Rinormalizzazione">Wikipedia</a>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>mc<sup>2</sup>=m<sub>0</sub>c<sup>2</sup>+<span style="font-size: small;">(1/2)</span><span face=""trebuchet ms" , sans-serif" style="font-size: x-large;">∫</span></i><i><span style="font-size: x-large;"> </span>ε</i><i><i><sub>0</sub></i>E<sup>2</sup>dV (1.1)</i> </div>
dove <i>m<sub>0</sub></i> è la massa <i>nuda</i> della particella priva di campo elettrico* mentre <i>E=F/e=e/4πε<sub>0</sub>R<sup>2</sup></i> è il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Campo_elettrico">campo elettrico</a> a distanza <i>R</i> dalla particella, <i>F</i> è la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Forza_di_Coulomb">forza di Coulomb</a> ed <i>ε</i><i><i><sub>0</sub></i></i> è la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Permittivit%C3%A0_elettrica">permittività elettrica</a> del vuoto.<br />
<i>Nota</i>: in tutti i post useremo, anche se non dichiarate, le unità di misura del <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura">sistema metrico internazionale</a> <b><i>SI</i></b>.<br />
<br />
Se, ad esempio, integriamo tra il raggio <i>r</i> ipotetico di un elettrone e il volume <i>V=(4/3)πR<sup>3</sup></i> che lo circonda all'infinito si ha:<br /></div><div style="text-align: center;"><i><span style="font-size: small;">(1/2)</span><span face=""trebuchet ms" , sans-serif" style="font-size: x-large;">∫</span></i><i><span style="font-size: x-large;"> </span>ε</i><i><i><sub>0</sub></i>E<sup>2</sup></i><i><i>4πR<sup>2</sup>dR</i>=</i><i><i><span face=""trebuchet ms" , sans-serif" style="font-size: x-large;"><i><span style="font-size: small;">(1/2)</span></i>∫</span></i><i><span style="font-size: x-large;"> </span></i>(e</i><i><i><i><sup>2</sup></i></i>/4πε<sub>0</sub>R<sup>2</sup>)dR (1.2)</i><br /></div><div>posto <i>dV=4πR<sup>2</sup>dR</i> ed essendo <i>E=e/4πε<sub>0</sub>R<sup>2</sup></i>.<br />Quindi calcolando l'integrale tra il raggio <i>r</i> ed infinito si ottiene:<br /></div><div style="text-align: center;"><i>-(e</i><i><i><i><sup>2</sup></i></i>/8πε<sub>0</sub>R)|</i><i><sub><i>r</i></sub></i><i><sup>∞</sup></i>=<i>e<sup>2</sup>/8πε<sub>0</sub>r (1.3)<br /></i></div><div>per cui l'energia complessiva dell'elettrone con il suo campo è (secondo la <i>eq.1.1</i>):<i><br /></i>
<div style="text-align: center;">
<i>mc<sup>2</sup>=m<sub>0</sub>c<sup>2</sup>+e<sup>2</sup>/8πε<sub>0</sub>r</i><i> (1.4)</i></div>
<div style="text-align: left;">ciò significa che se l'elettrone è puntiforme (cioè <i>r</i> -> <i>0</i>) allora la sua energia <i>mc<sup>2</sup></i> tende come anticipato ad infinito!<br /><br />Nelle teorie di campo quantistiche l'approccio è più complesso di quanto esposto qui, tuttavia si devono comunque usare <i>procedure matematiche</i> di <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Rinormalizzazione">rinormalizzazione</a>
per eliminare le divergenze che insorgono nei calcoli, come ad esempio
quello che determina l'anomalia magnetica dell'elettrone.<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Nei <a href="http://www.electronextendedmodel.it/">prossimi post</a> mostreremo come sia possibile definire, secondo una proposta dell'<a href="mailto:marcoparmi@gmail.com">autore</a>, un modello <i>esteso</i> dell'elettrone dove tutte le quantità che lo definiscono sono finite.</div><div style="text-align: left;"> </div><div style="text-align: left;">Dovremo
però tenere conto, nello sviluppo del modello e.m. esteso, che le
attuali misure sperimentali indicano una dimensione della carica
elettrica non superiore a circa <i>10<sup>-19</sup></i> metri, che è la migliore risoluzione degli odierni <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Acceleratore_di_particelle">acceleratori di particelle</a> (tale risoluzione è dell'ordine della lunghezza d'onda <i>λ</i> delle <i>particelle-sonda</i>)**. </div><div style="text-align: left;"><i>Nota</i>:
<a href="http://www.electronextendedmodel.it/">come vedremo in un Blog dedicato</a> la carica elettrica del modello esteso è
assunta come puntiforme mentre è la massa ad essere distribuita in modo
<i>esteso</i> sulla superficie del modello.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
(*) La massa nuda <i>m<sub>0</sub></i> è un <i>parametro libero</i>
della teoria che non è possibile misurare direttamente: non possiamo in
effetti separare una particella carica dal campo elettrico che essa
stessa genera.</div><div style="text-align: left;">(**) Dato che le particelle circolano negli acceleratori a velocità <i>v</i> prossime a <i>c</i> si ha <i>E=hc<sup>2</sup>/λv≈hc/λ </i>da cui <i>λ</i><i><i>≈</i>hc/E</i> e per <i>E=14 TeV</i> (<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Acceleratore_di_particelle#Acceleratore_lineare">energia massima</a> oggi raggiungibile) si ha <i>λ</i><i><i>≈</i>10<sup>-19</sup></i> <i>m</i> (si ricordi che <i>1 eV</i><i><i><i>≈</i></i>1,6x10<sup>-19</sup></i> <i>Joule</i>).<br />[Ricordiamo che per una particella di massa <i>m</i> si ha <i>E=mc<sup>2</sup></i> e <i>p=mv</i> da cui <i>p=Ev/c<sup>2</sup></i> ed essendo <i>p=h/λ</i> segue <i>E=hc<sup>2</sup>/λv</i>]<br /><br /><b>ATTENZIONE</b><br />Per il seguito di questo post vedi il Blog: <b><a href="http://www.electronextendedmodel.it/">Electron Extended Model</a></b> dove verrà proposto dall'autore un modello dell'elettrone <i>non</i> puntiforme.<br /><br /><a href="http://www.electronextendedmodel.it/">INDICE DEI POST</a><br /></div>
</div>qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-48588894702465365712020-06-04T13:13:00.028+02:002024-01-05T18:24:51.919+01:00I Teoremi di Gödel, l'IA e... un'ipotesi di lavoro! (seconda parte)Nel <a href="http://significatofisico.blogspot.com/2020/06/i-teoremi-di-godel-lia-e-unipotesi-di_2.html">post precedente</a> (a cui rimandiamo) abbiamo introdotto i Teoremi
di incompletezza di Gödel con l'obiettivo di mostrare poi (cioè in questo post) come essi ci
pongano davanti ad una disgiunzione: o la mente umana è equivalente ad
una macchina di Turing per quanto complessa <i>oppure</i> siamo in presenza di un fenomeno completamente nuovo, mai studiato prima.<br />
<i>Nota</i>: vedi anche l'articolo "<a href="http://www.aphex.it/public/file/Content20181013_APhEx18,2018DisgiunzioneGodelBeccuti.pdf">La disgiunzione di Gödel</a>" di F. Beccuti. <br />
<br />
Introduciamo quindi quella che è stata definita <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Macchina_di_Turing">Macchina di Turing</a>: in pratica questo termine indica uno qualsiasi degli attuali <i>computer</i> poiché essi sono realizzazioni fisiche di questa macchina ideale e universale in grado di eseguire qualsiasi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Algoritmo">algoritmo</a> si possa formalizzare.<br />
<br />
Come è noto si è dimostrata la perfetta <i>equivalenza</i> tra ogni sistema formale <i><b>S</b></i>
e la macchina ideale di Turing: cioè è possibile programmare un
computer che produca tutti e soli i teoremi di un dato sistema <i><b>S</b></i> e, <i>viceversa</i>, qualsiasi programmazione di un computer che produce formule, può essere rappresentata da un sistema formale <i><b>S</b></i> che derivi gli stessi risultati.<br />
<br />
Quindi
la scommessa dell'intelligenza artificiale è proprio quella di supporre
che l'insieme delle capacità cognitive del nostro cervello, in
particolare il processo del pensiero razionale, possa essere completamente
riprodotto ed espresso da un programma evoluto per computer.<br />
<br />
L'obiezione
più nota a questo programma di ricerca è quella del filosofo Lucas nel
celebre articolo "<a href="http://users.ox.ac.uk/~jrlucas/Godel/mmg.html">Menti, Macchine e Gödel</a>" (del 1961):<br />
"Data
qualsiasi macchina che sia coerente e capace di fare semplice
aritmetica, c'è una formula che essa è incapace di produrre come vera -
cioè la formula è indimostrabile nel sistema - tuttavia noi la possiamo vedere
come vera. Perciò nessuna macchina può essere un modello completo o
adeguato della mente, le menti sono essenzialmente differenti dalle
macchine"*.<br />
<br />
Questa tesi segue proprio dall'argomento di incompletezza di Gödel, in particolare dal primo teorema (vedi il <a href="http://significatofisico.blogspot.com/2020/06/i-teoremi-di-godel-lia-e-unipotesi-di_2.html">precedente post</a>), ed è confermata dal <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_indefinibilit%C3%A0_di_Tarski">Teorema di indefinibilità</a> di Tarski (del 1936) che afferma che non è possibile definire la nozione di <i>verità</i> all'interno di un sistema formale.<br />
<i>Nota</i>: si può definire la nozione di verità solo facendo una <i>meta-analisi</i> al di fuori del sistema, ad esempio usando la logica del secondo ordine.<br />
<br />
Quindi
sembrerebbe stabilita la tesi di Lucas secondo cui le nostre capacità cognitive, in particolare quelle che determinano il pensiero razionale, sono di certo superiori a quelle di una qualsiasi macchina o computer.<br />
<br />
Tuttavia dobbiamo ricordare che il teorema di Gödel fa in effetti una affermazione che è del tutto <i>condizionale</i>:<br />
<div style="text-align: center;">
"<i><b>Se</b></i> <b><i>S</i></b> è coerente <i><b>allora</b></i> <b><i>G</i></b> non è dimostrabile".</div>
Ma la nostra mente è veramente in grado di <i>riconoscere</i> se un qualunque sistema formale è coerente dato che questa proprietà non può essere provata all'interno di un qualsiasi sistema?<br />
<i>Nota</i>: <i>se</i> <i><b>S</b></i> non è coerente si può dimostrare <i><b>G</b></i> (ma anche <b><i>non-G</i></b>) quindi la mente <i>potrebbe</i> essere un sistema incoerente e dimostrare che <b><i>G</i></b> è vera.<br />
<br />
Inoltre ciò dovrebbe valere per <i>qualsiasi</i> sitema formale (come ad esempio sistemi più complessi che includono gli <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_dell%27infinito">assiomi dell'infinito</a>), perciò non è detto che la mente umana riesca sempre a <i>riconoscere</i> che un sistema è coerente.<br />
<i>Nota</i>: la mente umana <i>potrebbe</i> essere un sistema coerente che non può dimostrare <i><b>G</b></i> (e quindi è incompleta) ma che non sa di essere coerente. <br />
<br />
Lo stesso Gödel, che non era proprio un meccanicista, affermò nella Gibbs Lecture (del 1951), che <i>potrebbe essere</i>
che "la mente umana (nel regno della matematica pura) [...] sia dunque
equivalente ad una macchina finita che è incapace di comprendere
interamente il suo funzionamento".<br />
<br />
In definitiva, chi si occupa di intelligenza artificiale o di processi cognitivi e apprendimento, è costretto a fare una ben definita scelta o ipotesi di lavoro:<br />
<i>a)</i>
la mente umana non è riducibile ad una<i> </i>macchina di Turing che
computa, quindi dobbiamo studiare le sue capacità cognitive in modo del tutto
nuovo, poiché non possiamo trattarla come se fosse un <i>oggetto computazionale</i>**;<br />
<i>oppure</i><br />
<i>b)</i>
il nostro cervello funziona come un computer per quanto evoluto, tuttavia <i>se </i>
la nostra mente è coerente, siamo costretti ad accettare che ci siano dei
<i>problemi irresolubili</i>, come ad esempio dimostrare la sua coerenza***.<br />
<i>Nota</i>: per approfondire l'interessante tema <i>mente-cervello</i> vedi l'ottimo articolo di Paul e Patricia Churchland "<a href="http://www.treccani.it/enciclopedia/il-problema-mente-cervello_%28Frontiere-della-Vita%29/">Il problema mente-cervello</a>".<br />
<br />
(*) Per completare il sistema <i><b>S</b></i> potremmo aggiungere <b><i>G</i></b> come assioma, si otterrebbe però un sistema <b><i>S'</i></b> in cui c'è una nuova formula <i><b>G'</b></i> indecidibile e così via, senza risolvere il problema.<br />
(**)
Qui il punto è proprio quello di voler attribuire alla mente un
carattere diverso da quello computazionale (e non tanto la sua eventuale somiglianza ad un computer che è solo un modello interpretativo).<br />
(***) Se la mente segue le leggi della fisica può senz'altro essere simulata computazionalmente; in questo contesto <i>cervello</i> e <i>mente</i> sono elementi complementari: la mente (<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Software">software</a>) è una funzione del cervello (<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Hardware">hardware</a>).<br />
<br />
(Per chiarimenti su questo post vedi l'ottimo <a href="https://www.youtube.com/watch?v=vraWCvdmV_8">video</a> di Francesco Berto)qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-76393298197753535012020-06-02T13:18:00.024+02:002023-11-07T23:45:22.114+01:00I Teoremi di Gödel, l'IA e... un'ipotesi di lavoro! (prima parte)In questo e nel prossimo post vogliamo mostrare come i due <i>Teoremi di incompletezza</i> di Gödel (del 1931), sebbene non vietino in alcun modo che <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Intelligenza_artificiale">l'intelligenza artificiale</a> si possa realizzare (nel senso di seguito specificato), ci impongono tuttavia di operare una scelta, o meglio un'ipotesi di lavoro.<br />
<br />
Qui con il termine <i>Intelligenza Artificiale</i> (<i>IA</i>) intendiamo un suo aspetto peculiare, secondo cui un sistema meccanico che <i>computa</i> potrebbe pensare in modo umano; in effetti se si suppone che la mente umana non è altro che una macchina computazionale, la tesi dell'<i>IA</i> ne discende direttamente.<br />
<br />
Quindi l'<i>IA</i> suppone che <i>pensare è computare</i> e in particolare si pone l'obiettivo di realizzare una macchina che possa pensare umanamente, in modo cioè che "il processo che porta il sistema intelligente a risolvere un problema ricalchi quello umano" (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Intelligenza_artificiale">Wkipedia</a>). <br />
<br />
Tuttavia prima di introdurre i teoremi di incompletezza, dobbiamo definire cosa si intende con <i>sistema formale</i> (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_formale">Wkipedia</a>):<br />
"In <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Logica_matematica" title="Logica matematica">logica matematica</a> la nozione di <b>sistema formale</b> è utilizzata per fornire una definizione rigorosa del concetto di <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Dimostrazione_matematica" title="Dimostrazione matematica">dimostrazione</a>"; in pratica un sistema formale è un insieme di regole per costruire dimostrazioni. <br />
<i>Nota</i>: si suppone che il sistema sia <i>corretto</i>, cioè <i>se</i> gli assiomi sono <i>veri</i> i teoremi che si deducono con le regole di inferenza sono anch'essi veri.<br />
<br />
In breve il problema che Gödel riesce ad esprimere in modo formale nei suoi teoremi è quello dell'<i>autoreferenza</i> (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Autoreferenza">Wikipedia</a>) che si presenta quando una proposizione fa una affermazione su se stessa in modo circolare; un problema già noto agli antichi greci come il <a href="http://www.dmi.unipg.it/amart/corsi/lauree_scientifiche/IIIanno/donatelli/documentazione/Paradosso_del_mentitore.html">Paradosso del mentitore</a>. <br />
<br />
Si consideri quindi un sistema formale <b><i>S</i></b>, evoluto almeno quanto quello piuttosto semplice dell'<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Aritmetica_di_Peano">aritmetica di Peano</a>; Gödel riesce a formalizzare all'interno del sistema <i><b>S</b></i> la seguente frase <b><i>G</i></b> che afferma (di se stessa):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>(<b>G</b>): <b>G</b> non è dimostrabile in <b>S</b></i>.</div>
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: grazie alla fattorizzazione in numeri primi è possibile assegnare ad una qualsiasi frase formale un numero univoco detto <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_G%C3%B6del">numero di Gödel</a>.<br /><br /></div>
<div style="text-align: left;">
Ora se si suppone che <i><b>S</b></i> sia un sistema formale <i>corretto</i> e quindi prova solo cose vere, allora <i><b>G</b></i> non è dimostrabile, dunque <b>G</b> è <i>vera</i>: ma allora esiste una verità <i><b>G</b></i> che il sistema <i><b>S</b></i> non può dimostrare!<br />
<i>Nota</i>: se <i><b>G</b></i> fosse dimostrabile allora <i><b>G</b></i> (che dice di non essere dimostrabile) sarebbe <i>falsa</i> e quindi <i><b>S</b></i> non sarebbe corretto perché dimostra una falsità.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Inoltre se <i><b>G</b></i> è vera la sua negazione <i><b>non-G</b></i> è falsa (per <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Negazione_(matematica)">definizione di negazione</a>), ma allora il sistema <i><b>S</b></i> (che prova solo cose vere) non può provare nemmeno <i><b>non-G</b></i>: dunque l'enunciato <i><b>G</b></i> è <i>indecidibile</i>* in <i><b>S</b></i>!</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<b><i>-></i></b> Enunciamo quindi il <i>primo</i> teorema di Gödel (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_incompletezza_di_G%C3%B6del">Wikipedia</a>):</div>
<div style="text-align: left;">
<i>In ogni teoria matematica</i> <i><b>S</b></i> <i>sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica, esiste una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_ben_formata" title="Formula ben formata">formula</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>φ</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics></math></span><b>G</b></span> tale che, se</i> <i><b>S</b></i> <i>è <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Coerenza_(logica_matematica)" title="Coerenza (logica matematica)">coerente</a>**, allora né <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>φ</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics></math></span></span> <b>G</b> né la sua negazione <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">¬</mi>
<mi>φ</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot \varphi }</annotation> </semantics></math></span></span> <b>non-G</b> sono <a class="new" href="https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimostrabilit%C3%A0_(logica_matematica)&action=edit&redlink=1" title="Dimostrabilità (logica matematica) (la pagina non esiste)">dimostrabili</a> in</i> <i><b>S</b></i>.</div>
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: con <i>coerente</i> si intende che <i><b>S</b></i> non è <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Contraddizione">contraddittorio</a>, d'altra parte se il sistema è corretto è anche coerente (non dimostrando falsità).<br />
<br />
Si ricordi che se un sistema è <i>incoerente</i> si può dimostrare una certa proposizione <i><b>P</b></i> e la sua negazione <i><b>non-P</b></i> ma se così fosse <i>qualsiasi</i> proposizione potrebbe essere dimostrata vera (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Ex_falso_sequitur_quodlibet">Wikipedia</a>): sarebbe quindi opportuno riuscire a dimostrare in modo certo la coerenza di <i><b>S</b></i>. </div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Tuttavia Gödel riuscì a mostrare formalmente che il seguente enunciato:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>"Se <b>S</b> è coerente allora ciò implica <b>G</b>"</i> </div>
si può dimostrare in <i><b>S</b></i>. Ma allora <i><b>S</b></i> non può dimostrare la sua coerenza altrimenti <i><b>G</b></i> sarebbe dimostrabile, e ciò è escluso dal primo teorema.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<i><b>-></b></i> Ecco quindi il <i>secondo</i> teorema di Gödel (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_incompletezza_di_G%C3%B6del">Wikipedia</a>):<i> </i></div>
<div style="text-align: left;">
<i>Sia</i> <i><b>S</b></i> <i>una teoria matematica sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica: se</i> <i><b>S</b></i> <i>è coerente, non è possibile provare la coerenza di</i> <i><b>S</b></i> <i>all'interno di</i> <i><b>S</b></i><i>.</i></div>
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: la coerenza dell'aritmetica fu poi dimostrata nel 1936 in ambito metamatematico da Gerhard Gentzen grazie agli <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_ordinale_(teoria_degli_insiemi)">ordinali transfiniti</a>. <br />
<br />
Nel prossimo post mostreremo come le argomentazioni espresse nei teoremi di Gödel non siano conclusive sulla possibile realizzazione dell'<i>IA</i> come sopra specificato, ma ci impongano una scelta ben precisa nell'approccio alla comprensione delle nostre capacità cognitive e quindi della nostra mente.<br /><br />(*) Il risultato è notevole: si dimostra l'<i>indecibilità</i> di una formula <b><i>G</i></b> nel sistema <b><i>S</i></b> alla quale è tra l'altro collegata la coerenza di <i><b>S</b></i> (vedi oltre).</div><div style="text-align: left;">(**) In realtà Gödel richiese la <i>w-coerenza</i> di <i>S</i> che è più forte della sola coerenza, ma poi Rosser dimostrò che non era necessaria.<br />
<br />
(Per chiarimenti su questo post vedi l'ottimo <a href="https://www.youtube.com/watch?v=vraWCvdmV_8">video</a> di Francesco Berto) </div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-34558800396980370432020-03-23T14:53:00.045+01:002023-12-19T10:09:11.959+01:00Stati misti, intrecciati e...Come anticipato nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2020/03/stati-puri-miscele-e-sovrapposizioni.html">Stati puri, miscele e sovrapposizioni!</a>", ora analizziamo un sistema composto da due elettroni e verifichiamo se si tratta di uno stato di spin puro o misto grazie alla matrice densità prima definita*. <br />
<br />
Consideriamo ad esempio un sistema composto da due elettroni preparati <i>separatamente</i> nei seguenti stati di spin (dove <i>u</i> e <i>d</i> sta per <i>up</i> e <i>down</i>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|Ψ>=</i><i><i><i>ψ</i></i></i><i><sub>u</sub>|u>+</i><i><i><i>ψ</i></i></i><i><sub>d</sub>|d></i> e <i>|Φ>=φ<sub>u</sub>|u>+φ<sub>d</sub>|d></i>.</div>
Lo <i>stato prodotto</i> che descrive il sistema combinato è:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|ΨΦ>=(ψ<sub>u</sub>|u>+ψ<sub>d</sub>|d>)⊗(φ<sub>u</sub>|u>+φ<sub>d</sub>|d>)</i></div>
quindi sviluppando il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_di_Kronecker">prodotto tensoriale</a> indicato con <i>⊗</i> si ottiene:<i><i> </i></i><br />
<div style="text-align: center;">
<i>|ΨΦ>=ψ<sub>u</sub>φ<sub>u</sub>|uu>+ψ<sub>u</sub>φ<sub>d</sub>|ud>+ψ<sub>d</sub>φ<sub>u</sub>|du>+ψ<sub>d</sub>φ<sub>d</sub>|dd></i>.<br />
<div style="text-align: left;">
con le condizioni di normalizzazione:</div>
<div style="text-align: center;">
<i><i><i>ψ</i></i></i><i><sub>u</sub></i><u><i><i><i>ψ</i></i></i></u><i><sub>u</sub>+</i><i><i><i>ψ</i></i></i><i><sub>d</sub></i><u><i><i><i>ψ</i></i></i></u><i><sub>d</sub>=1</i> e <i>φ<sub>u</sub><u>φ</u><sub>u</sub>+φ<sub>d</sub><u>φ</u><i><i><i><i><i><sub>d</sub>=1</i></i></i></i></i></i>.<br />
<i><i><i><i><i><i> </i></i></i></i></i></i></div>
</div>
<i>Nota</i>: <u><i><i><i>ψ</i></i></i></u><i><sub>u</sub></i> è il complesso coniugato di <i><i><i>ψ</i></i></i><sub><i>u</i></sub> e lo stesso vale per gli altri valori.<br />
<br />
Tuttavia si osservi che <i>in generale</i> un sistema composto da due elettroni è descritto dal seguente stato di spin:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><i>|</i><i><i>Ψ</i></i><i>></i>=</i></i><i><i><i>ψ<sub>u</sub></i></i></i><i><i><i><i><i><sub>u</sub></i></i></i></i>|uu>+</i><i><i><i><i><i>ψ<sub>u</sub></i></i></i><i><i><sub>d</sub></i>|ud></i>+ψ<sub>d</sub></i></i><i><i><i><i><i><sub>u</sub></i></i></i></i>|du></i><i><i><i>+ψ<sub>d</sub></i></i><i><i><sub>d</sub></i>|dd></i></i></div>
che non è sempre rappresentabile da uno stato prodotto (vedi sopra) e per il quale vale la condizione di normalizzazione:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><i>ψ<sub>u</sub></i></i></i><i><i><i><i><i><sub>u</sub></i></i></i></i></i><i><i><i><i><u>ψ</u><sub>u</sub></i></i></i><i><i><i><i><i><sub>u</sub></i></i></i></i></i>+</i><i><i><i><i><i>ψ<sub>u</sub></i></i></i><i><i><sub>d</sub></i></i></i></i><i><i><i><i><i><i><i><u>ψ</u><sub>u</sub></i></i></i><i><i><sub>d</sub></i></i></i></i>+ψ<sub>d</sub></i></i><i><i><i><i><i><sub>u</sub></i></i></i></i></i><i><i><i><i><i><u>ψ</u><sub>d</sub></i></i><i><i><i><i><i><sub>u</sub></i></i></i></i></i>+ψ<sub>d</sub></i></i><i><i><sub>d</sub></i></i></i><i><i><i><i><i><u>ψ</u><sub>d</sub></i></i><i><i><sub>d</sub></i></i></i>=1</i></i>.</div>
<i>Nota</i>: questo stato combinato è detto stato <i>entangled</i> (o intrecciato) proprio perché non può essere fattorizzato in due stati separati. <br />
<br />
Ad esempio consideriamo una coppia di elettroni, preparata con spin opposti, il cui stato combinato non fattorizzabile è:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><i>|</i><i><i>Ψ</i></i><i>>=</i></i></i><i><i><i><i><i><i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i></i></i></i></i></i><i>|ud></i>+</i></i><i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i></i></i><i>|du></i><br />
<div style="text-align: left;">
dove la <i>somma</i> degli stati <i><i><i>|ud></i></i></i> e <i>|du></i> rappresenta due coppie di elettroni con spin opposti in <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_sovrapposizione_(meccanica_quantistica)">sovrapposizione quantistica</a>, mentre il fattore <i><i><i><i><i><i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i></i></i></i></i></i></i></i> indica che la misura di uno dei due stati è equiprobabile poiché: <br />
<div style="text-align: center;">
<i>ψ<sub>u</sub><sub>d</sub><u>ψ</u><sub>u</sub><sub>d</sub>=ψ<sub>d</sub><sub>u</sub><u>ψ</u><sub>d</sub><sub>u</sub>=1/2</i>.</div>
</div>
</div>
<i>Nota</i>: possiamo ad esempio pensare al caso descritto nell'esperimento EPR (per chiarimenti vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2012/06/un-esperimento-chiave-epr_25.html">Un esperimento chiave: EPR</a>").<br />
<br />
Calcoliamo quindi la matrice densità, già introdotta nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2020/03/stati-puri-miscele-e-sovrapposizioni.html">Stati puri, miscele e sovrapposizioni!</a>", che è così definita:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>ρ=|</i><i>Ψ><</i><i>Ψ|=</i><i><i><i><i><i><i><i><i>(1/2)</i></i></i></i></i></i><i>(|ud></i>+</i></i><i>|du>)(<</i><i><i><i>ud|</i>+</i></i><i><du|)</i></div>
dalla quale svolgendo il prodotto si ottiene:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>ρ=(1/2)(|ud><ud|+|ud><du|+|du><ud|+|du><du|)</i>.</div>
<br />
Premesso che indicheremo i vettori colonna come vettori riga trasposti, scegliamo due vettori di base: <i>|u>=(1,0)<sup>T</sup></i> e <i>|d>=(0,1)<sup>T</sup></i> (dove <i>T</i> indica la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_trasposta">matrice trasposta</a>)** e sviluppiamo i <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_di_Kronecker">prodotti tensoriali</a>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|ud>=(1,0)</i><i><i><sup>T</sup></i>⊗(0,1)</i><i><i><sup>T</sup></i>=(0,1,0,0)</i><i><sup>T</sup></i> , <i>|du>=(0,1)</i><i><i><sup>T</sup></i>⊗(1,0)</i><i><i><sup>T</sup></i>=(0,0,1,0)</i><i><sup>T</sup></i><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<i><ud|</i><i><i>=(1,0)</i><i>⊗(0,1)</i>=(0,1,0,0)</i> , <i><du|</i><i><i>=(0,1)</i><i>⊗(1,0)</i>=(0,0,1,0)</i>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Quindi, svolgendo i prodotti sopra definiti, si ottiene la matrice <i>[4x4]</i>:</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Matrice_densita.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="89" data-original-width="139" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Matrice_densita1.gif" /></a></div>
Infatti come già visto nel precedente post, gli elementi di <i>ρ</i> sono i prodotti delle ampiezze di probabilità per i coniugati; in particolare nel nostro caso risulta: <br />
<div style="text-align: center;">
<i>ψ<sub>ud</sub><u>ψ</u><sub>ud</sub>=ψ<sub>ud</sub><u>ψ</u><sub>du</sub>=ψ<sub>du</sub><u>ψ</u><sub>ud</sub>=ψ<sub>du</sub><u>ψ</u><sub>du</sub>=1/2</i> </div><p>
mentre gli altri elementi di <i>ρ</i> sono tutti nulli (per come è stato definito lo stato<i><i><i> |</i><i><i>Ψ</i></i><i>>=</i></i></i><i>ψ<sub>ud</sub></i><i><i><i>|ud></i>+</i></i><i>ψ<sub>du</sub></i><i>|du></i> con <i>ψ<sub>ud</sub>=ψ<sub>du</sub>=<i><i><i><i><i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i></i></i></i></i></i></i></i>).<br />
<br />
A questo punto possiamo verificare facilmente la relazione <i>ρ=ρ<i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i> (basta moltiplicare la matrice <i>ρ</i> per se stessa); ciò significa che siamo in presenza di uno stato puro quindi la conoscenza del sistema combinato è completa***.<br />
<i>Nota</i>: il sistema è stato <i>preparato</i> in uno stato definito di spin perciò è puro, inoltre ciò implica una forte correlazione tra gli spin delle due particelle (poiché se un elettrone è misurato <i>up</i> l'altro è <i>down</i> e viceversa).<br />
<br />
Tuttavia la matrice densità <i>ρ </i>riguarda tutto il sistema combinato mentre noi vorremmo descrivere lo stato di ogni singolo elettrone (chiamiamoli <i>A</i> e <i>B</i>).<br /><br />A questo scopo introduciamo la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_densit%C3%A0#Sistemi_composti:_la_matrice_densit%C3%A0_ridotta">matrice densità ridotta</a> che permette di studiare uno dei due sottosistemi (supponiamo <i>A</i>) ed è così definita:<br />
</p><div style="text-align: center;">
<i>ρ</i><i><i><i><sub><i><i><i>A</i></i></i></sub></i></i></i><i><i>=</i></i><i><i><i><i>∑<i</i>|</i></i></i><i><i><i><i>ρ</i></i><i>|i></i>=Tr</i></i><i><i><i><sub><i><i><i>B</i></i></i></sub></i></i></i><i>ρ</i></div>
rispetto ad una base di vettori <i>|i></i> del sistema <i>B</i>.<br />
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: <i><i>Tr</i></i><i><i><i><sub><i><i><i>B</i></i></i></sub></i></i></i> è <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Traccia_(matrice)">l'operatore traccia</a> <i>parziale</i> sulla base di <i>B</i>; in modo equivalente si ha <i>ρ</i><i><i><i><sub><i><i><i>B</i></i></i></sub></i></i></i><i><i>=Tr</i></i><sub><i>A</i></sub><i>ρ</i>. Inoltre se <i>|</i><i>Ψ></i> è uno stato prodotto risulta <i>ρ=</i><i>ρ</i><i><i><i><sub><i><i><i>A</i></i></i></sub></i></i></i><i><i>⊗</i>ρ</i><sub><i><i><i><i>B</i></i></i></i></sub>.</div>
<br /></div>
Perciò nel caso considerato possiamo calcolare la matrice ridotta dello stato di spin dell'elettrone <i>A</i> (oppure di quello <i>B</i>) e risulta:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>ρ</i><i><i><i><sub><i><i><i>A</i></i></i></sub></i></i>=1/2(|u><u|+|d><d|)=1/2(1,0)</i><i><i><sup>T</sup></i>(1,0)+1/2(0,1)</i><i><i><sup>T</sup></i>(0,1)=(1/2)I</i></div>
dove con <i>I</i> abbiamo indicato la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_identit%C3%A0">matrice identità</a>; da ciò si deduce subito che <i><i>ρ</i><i><i><i><sub><i><i><i>A</i></i></i></sub></i></i></i>≠</i><i>ρ</i><i><i><i><sub><i><i><i>A</i></i></i></sub></i></i></i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i> cioè siamo in presenza di uno stato composto(!)<br />
<i>Nota</i>: <i>I</i> è una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_diagonale">matrice diagonale</a> con tutti gli elementi pari a <i>1</i> perciò <i>I</i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i>=I</i>. <br />
<br />
Ciò significa che gli stati dell'elettrone <i>A</i> (oppure di quello <i>B</i>) non sono in <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_sovrapposizione_(meccanica_quantistica)">sovrapposizione quantistica</a>, l'incertezza sullo spin è in realtà dovuta alla <i>non</i> completa conoscenza dello stato del sottosistema-elettrone e la probabilità statistica che lo spin sia <i>up</i> oppure <i>down</i> è pari a <i>1/2</i>.<br />
<i>Nota</i>: a differenza della meccanica classica però, nemmeno in
linea di principio si può definire lo stato del sistema <i>A</i> (o <i>B</i>)
prima della misura.<br />
<br />
È interessante osservare che il famoso <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_del_gatto_di_Schr%C3%B6dinger">Paradosso del gatto di Schrödinger</a> può essere trattato come lo stato entangled che abbiamo ora considerato; ciò significa che anche in questo caso non si ha sovrapposizione di due stati distinti (<i>gatto vivo e gatto morto</i>) poiché il sottosistema "gatto" si trova in uno stato misto di tipo statistico e non è in <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_sovrapposizione_(meccanica_quantistica)">sovrapposizione quantistica</a>.<br /><br />
(*) Nel <a href="http://significatofisico.blogspot.com/2020/03/stati-puri-miscele-e-sovrapposizioni.html">precedente post</a> abbiamo definito, per uno stato puro, la matrice densità <i>ρ=|</i><i>Ψ><</i><i>Ψ|</i> per la quale risulta <i>ρ</i><i><sup>2</sup>=|</i><i>Ψ><</i><i>Ψ</i><i>|</i><i>Ψ><</i><i>Ψ|=</i><i>ρ</i>; invece per uno stato misto si pone <i>ρ=</i><i><i>∑p</i><i><i><sub>i</sub></i></i>|</i><i>Ψ</i><i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i>><</i><i>Ψ</i><i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i>|</i> dove <i><i>p</i><i><i><sub>i</sub></i></i></i> è la probabilità che il sistema si trovi nello stato <i>i-esimo</i> e in questo caso risulta <i>ρ≠</i><i>ρ</i><i><sup>2</sup></i>.<br />
(**) Si osservi che i vettori di base scelti soddisfano correttamente le condizioni di ortonormalità: <i><u|u>=<d|d>=1</i> e <i><u|d>=<d|u>=0</i>. <br />
(***) Le <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teorie_delle_variabili_nascoste">teorie a variabili nascoste</a> affermano invece che la conoscenza quantistica del sistema composto non è completa proprio perché lo stato dei singoli sottositemi non è definito con certezza.qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-28651862713327251202020-03-03T18:41:00.021+01:002022-09-18T23:57:16.810+02:00Stati puri, miscele e sovrapposizioni!Come è noto, definito uno stato <i>|</i><i>Ψ></i> di un qualsiasi sistema quantistico la sua evoluzione temporale, una volta fissato lo stato iniziale, è descritta dalla equazione di Schrödinger (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Schr%C3%B6dinger#Enunciato">Wikipedia</a>), scritta nella <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Notazione_bra-ket">notazione di Dirac</a>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>i(h/2π)∂|</i><i>Ψ>/∂t=H</i><i>|</i><i>Ψ></i></div>
dove il valore medio dell'operatore hamiltoniano <i><H</i>> rappresenta il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_atteso">valore di aspettazione</a> dell'energia del sistema.<br />
<br />
Si osservi che qui ci limitiamo a trattare il caso di uno spazio finito-dimensionale (cioè definito da <i>n</i> vettori di base <i>|i></i>) per il quale si ha: <br />
<div style="text-align: center;">
<i>|</i><i><i>Ψ</i>>=∑</i><i><i>ψ<sub>i</sub></i>|i></i></div>
dove <i><i>ψ<sub>i</sub></i></i> sono le ampiezze di probabilità relative ai vettori di base <i>|i></i>.<br />
<i>Nota</i>: per chiarimenti sul vettore di stato di un sistema quantistico vedi i post "<a href="https://significatofisico.blogspot.com/2019/10/i-numeri-complessi-e-la-mq.html">I numeri Compessi e la M.Q.</a>" e "<a href="https://significatofisico.blogspot.com/2019/12/le-grandezze-osservabili.html">Le grandezze Osservabili!</a>". <br />
<br />
È però possibile dare una descrizione alternativa ma equivalente a quella di Schrödinger definendo il seguente <i>Operatore di densità</i>*:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>ρ=|</i><i>Ψ><</i><i>Ψ|</i></div>
dove ρ è rappresentato da una matrice quadrata che si ottiene moltiplicando il vettore colonna <i>|</i><i><i>Ψ</i>></i> per il suo <i>duale</i> vettore riga <i><</i><i><i>Ψ</i>|</i>.<br />
<i>Nota</i>: l'operatore <i>|</i><i>Ψ><</i><i>Ψ|</i> è un <i>proiettore</i> poiché applicato ad uno stato <i>|Φ></i> si ha <i>|Ψ><Ψ|Φ>=k|Ψ></i> con <i>k=<Ψ|Φ></i> (cioè <i>proietta</i> <i>|Φ></i> lungo <i>|Ψ></i>).<br />
<br />
Poiché il vettore di stato è definito rispetto ad una base ortonormale di vettori <i>|i></i> si ha che gli elementi di matrice <i>ρ</i><sub><i>ij</i></sub> sono dati da**<br />
<div style="text-align: center;">
<i>ρ<sub>ij</sub>=<</i><i>i|ρ|j></i></div>
da cui segue subito (sostituendo <i>ρ=|</i><i>Ψ><</i><i>Ψ|</i> ed essendo <i><i><i>ψ<sub>i</sub></i></i>=<</i><i>i|</i><i><i>Ψ></i></i>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>ρ<sub>ij</sub>=<i|Ψ><Ψ|j>=ψ<sub>i</sub><u>ψ</u><sub>j</sub></i></div>
cioè gli elementi di <i>ρ</i> sono i prodotti delle ampiezze di probabilità (associate ai vettori di base dello stato considerato) per i coniugati.<br />
<i>Nota</i>: solo quando <i>i=j</i> il prodotto <i>ψ<sub>i</sub><u>ψ</u><sub>i</sub>=|ψ<sub>i</sub>|<sup>2</sup></i> rappresenta la probabilità che il sistema venga misurato nello stato <i>i-esimo</i>. <br />
<br />
Inoltre se abbiamo a che fare con un sistema il cui stato non è ben definito, ma è dato da un <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_statistico">ensemble statistico</a> di stati possibili <i>{Ψ<sub>i</sub>}</i> si può porre:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>ρ=</i><i><i>∑p</i><i><i><sub>i</sub></i></i>|</i><i>Ψ</i><i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i>><</i><i>Ψ</i><i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i>|</i></div>
dove <i><i>p</i><i><i><sub>i</sub></i></i></i> è la probabilità <i>statistica</i> che il sistema si trovi nello stato <i>i-esimo</i>: in pratica è la media pesata su tutti gli stati possibili del sistema con <i><i>∑p</i><i><i><sub>i</sub></i></i></i><i>=1</i>.<br />
<i>Nota</i>: la probabilità <i><i>p</i><i><i><sub>i</sub></i></i></i> è di tipo statistico poiché è dovuta alla non esatta conoscenza dello stato del sistema (non è una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_sovrapposizione_(meccanica_quantistica)">sovrapposizione quantistica</a>).<br />
<br />
Si parla quindi di <i>stato puro</i> quando le <i><i>p</i><i><i><sub>i</sub></i></i></i> sono tutte nulle tranne una (e pari a <i>1</i>), mentre negli altri casi avremo uno <i>stato misto</i> poiché si determina una media pesata su tutti gli stati <i>|</i><i>Ψ</i><i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i>></i> in cui si potrebbe trovare il sistema.<br />
<br />
Facciamo subito un esempio di stato puro e consideriamo lo stato di spin di un singolo elettrone (vedi il post "<a href="https://significatofisico.blogspot.com/2019/10/i-numeri-complessi-e-la-mq.html">I numeri Complessi e la M.Q.</a>") che può essere descritto in generale (ad es. rispetto alle basi <i>|u></i> e <i>|d></i> lungo <i>Z</i>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|</i><i><i>Ψ</i>>=</i><i><i><i>ψ<sub>u</sub></i></i>|u>+</i><i><i>ψ<sub>d</sub></i></i><i>|d></i>.</div>
<div style="text-align: left;">
Ciò significa che, dato uno spin preparato in uno stato qualunque <i>|</i><i><i>Ψ</i>></i> e un apparato di misura orientato lungo l'asse <i>Z</i>, i prodotti <i>ψ<sub>u</sub><u>ψ</u><sub>u</sub></i> e <i>ψ<sub>d</sub><u>ψ</u><sub>d</sub></i> sono le rispettive probabilità che lo spin si trovi nello stato <i>|u></i> oppure <i>|d></i>.<br />
<i>Nota</i>: secondo i postulati quantistici, prima della misura lungo l'asse <i>Z</i> gli stati <i>|u></i> e <i>|d></i> sono in <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_sovrapposizione_(meccanica_quantistica)">sovrapposizione quantistica</a>. <br />
<br />
Si ricordi infatti che il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Postulati_della_meccanica_quantistica#La_probabilit%C3%A0_di_un_risultato">principale postulato</a> della meccanica quantistica stabilisce che il prodotto <i>ψ<sub>i</sub><u>ψ</u><sub>i</sub></i> (cioè <i>|ψ<sub>i</sub>|<sup>2</sup></i>) dà la probabilità che il sistema si trovi nello stato <i>i-esimo</i> (<i><u>ψ</u><sub>i</sub></i> è il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Complesso_coniugato">complesso coniugato</a> di <i>ψ<sub>i</sub></i>). </div>
<br />
Perciò, come mostrato sopra, le componenti della matrice <i>ρ</i> sono:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>ρ<sub>uu</sub>=ψ<sub>u</sub><u>ψ</u><sub>u</sub> , ρ<sub>ud</sub>=ψ<sub>u</sub><u>ψ</u><sub>d</sub> , ρ<sub>du</sub>=ψ<sub>d</sub><u>ψ</u><sub>u</sub></i> , <i>ρ<sub>dd</sub>=ψ<sub>d</sub><u>ψ</u><sub>d</sub></i> </div>
e in particolare risulta: <i>Trρ=</i><i><i><i>∑</i></i></i><i><i><i><i>ρ<sub>ii</sub></i></i></i></i><i><i>=∑ψ<sub>i</sub><u>ψ</u><sub>i</sub></i>=1</i>.<br />
<i>Nota</i>: <i>Tr</i> è <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Traccia_(matrice)">l'operatore traccia</a> cioè la somma degli elementi <i>ψ<sub>i</sub><u>ψ</u><sub>i</sub></i> della diagonale di <i>ρ</i> quindi si ha <i>Trρ=1</i> (essendo normalizzata a <i>1)</i>.<br />
<br />
Ad esempio se prepariamo (misuriamo) lo stato di spin dell'elettrone nella direzione dell'asse <i>X</i> positivo (detto stato <i>right</i>) allora possiamo scrivere (vedi il post "<a href="https://significatofisico.blogspot.com/2019/10/i-numeri-complessi-e-la-mq.html">I numeri Complessi e la M.Q.</a>"):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|</i><i><i>Ψ</i></i><i><i><i><i><i><sub>r</sub></i></i></i></i>>=</i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i></i><i>|u>+</i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i></i><i>|d></i></div>
quindi risulta per tutti gli elementi della matrice <i>ρ</i> <i>[2x2]</i>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>ρ<sub>uu</sub>=ρ<sub>ud</sub>=ρ<sub>du</sub>=</i><i>ρ<sub>dd</sub>=1/2</i></div><p>
dove correttamente si ha <i>Trρ=</i><i><i>ρ<sub>uu</sub></i><i>+ρ<sub>dd</sub>=</i>1/2+1/2=1</i> (cioè la condizione di normalizzazione <i>ψ<sub>u</sub><u>ψ</u><sub>u</sub>+ψ<sub>d</sub><u>ψ</u><sub>d</sub>=1</i> è soddisfatta).<br />
<i>Nota</i>: perciò la probabilità che lo spin, misurato lungo l'asse <i>Z</i>, sia <i>up</i> oppure <i>down</i> è pari a 1/2. <br />
<br />
Ma ciò che risulta di grande interesse è che per uno stato puro, come quello appena trattato, vale la condizione*** <i>ρ</i>=<i>ρ<sup>2</sup></i> e ciò ci permette di distinguere, come vedremo nel prossimo post, uno stato puro da uno stato misto!<br />
<i>Nota</i>: moltiplicando per se stessa la matrice <i>ρ</i> composta da elementi uguali a <i>1/2</i> si ottiene di nuovo la matrice <i>ρ</i>.<br />
<br />
(*) L'evoluzione di <i>ρ</i> nel tempo è descritta dalla <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_densit%C3%A0#L'equazione_di_Von_Neumann">equazione di Von Neumann</a>:<br />
<i>i(h/2π)∂</i><i><i>ρ</i>/∂t=[H,</i><i>ρ]</i> dove <i>[H,</i><i>ρ]=H</i><i><i>ρ</i>-</i><i><i>ρ</i>H</i> è il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Commutatore_(matematica)#Teoria_degli_anelli">commutatore</a> di <i>H</i> e <i>ρ</i>. <br />
(**) Posto <i>|</i><i><i>Ψ</i>>=∑</i><i><i>ψ<sub>j</sub></i>|j></i> si ha <i><i|Ψ>=∑ψ<sub>j</sub><j|i>=ψ<sub>i</sub></i> poiché solo quando <i>j=i</i> si ha <i><i|i>=1</i>; inoltre dato un operatore <i>A</i> risulta <i>A<sub>ij</sub>=<</i><i>i|A|j></i> infatti possiamo scrivere<i> <i|A|Ψ>=∑ψ<sub>j</sub><i|A|j>=∑ψ<sub>j</sub>A<sub>ij</sub></i><span class="mw-headline" id="Il_simbolo_≡"> </span><span class="mw-headline" id="Il_simbolo_≡"><span class="katex"><span aria-hidden="true" class="katex-html"><span class="base"><span class="mrel"><=</span></span></span></span></span><span class="mw-headline" id="Il_simbolo_≡"><span class="katex"><span aria-hidden="true" class="katex-html"><span class="base"><span class="mrel">></span></span></span></span> </span><i><span class="mw-headline" id="Il_simbolo_≡"><i><i|A|Ψ>=</i></span><i><i|∑</i></i><i><i>Φ<sub>j</sub></i>|j></i><i><i>=</i>Φ<sub>i</sub></i> (per <i>j=i)</i>, che rappresenta l'equazione <i>A|Ψ>=|Φ></i> in forma matriciale.<br />
(***) Per uno stato puro si ha <i>ρ=|</i><i>Ψ><</i><i>Ψ|</i> quindi <i>ρ<sup>2</sup>=|Ψ><Ψ|Ψ><Ψ|=ρ</i> essendo per la condizione di normalizzazione <i><Ψ|Ψ>=1</i>.</p>qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-27381284034922185882020-02-07T23:01:00.027+01:002023-11-06T21:37:52.678+01:00Informazione, codici e bit!<div>Ricordiamo che è grazie all'entropia informazionale (già trattata nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2020/01/lentropia-dellinformazione.html">L'Entropia dell'informazione</a>") che si può rispondere ad una fondamentale questione relativa alla memorizzazione e trasmissione di un messaggio:<br />
"Qual è il numero
minimo di <i>bit</i> che servono per memorizzare in <i>media</i> il messaggio di una sorgente?" (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Entropia_(teoria_dell%27informazione)">Wikipedia</a>).<br />
<i>Nota</i>: si vuole cioè stabilire la quantità minima di <i>bit</i> che si devono trasmettere per comunicare un dato messaggio.<br />
<br />
Ricordiamo che nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2020/01/lentropia-dellinformazione.html">L'Entropia dell'Informazione</a>" abbiamo definito l'entropia <i><i>H(x)</i></i> di una sorgente discreta (con un numero finito di elementi): <br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>H(x)=</i><I(x)></i> </div>
dove <i><I(x)></i> è il contenuto <i>medio</i> di informazione della sorgente:<i> </i><br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><I(x)>=</i>∑P(x<sub>i</sub>)ln(1/P(x<sub>i</sub>))</i></div>
mentre <i>P(x<sub>i</sub>)</i> definisce la probabilità che ogni simbolo <i>x<sub>i</sub></i> venga trasmesso.<br />
<br />
In particolare se<i> </i><i>P(x)</i> è la stessa per tutti i simboli (cioè <i>P(</i><i><i>x</i>)=1/N</i>) risulta: <br />
<div style="text-align: center;">
<i><I(x)>=ln</i><i>(1/P(x))</i><i>=I(x)</i>.<br />
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: se <i>P(</i><i><i>x</i>)=1/N</i> si ha <i><i><I(x)>=</i>lnN∑</i><i>P(x<sub>i</sub>)</i><i>=lnN</i><i>=I(x)</i> essendo <i>∑</i><i>P(x<sub>i</sub>)</i><i>=1</i>. </div>
</div>
<br />
Si dimostra in generale che <i><i><I(x)>≤</i></i><i><i>I(x)</i></i> quindi l'entropia è sempre minore (o al massimo uguale) del contenuto di informazione* di una sorgente che trasmette simboli equiprobabili, cioè risulta: <i><i>H(x)</i></i><i><i><i><i>≤</i></i></i>I(x)</i>.<br />
<br />
Ora nella trasmissione di dati si sceglie quasi sempre la codifica binaria** indicata dai simboli <i>0</i> e <i>1</i> — sia per semplicità (perché è costituita da soli due simboli) ma
soprattutto per affidabilità (poiché è difficile <i>confondere</i> fisicamente i due simboli) — la cui unità di informazione è detta <i>bit</i>. <br />
<br />
Il contenuto di informazione <i>I(x)</i>, per questo tipo di sorgente a due valori, viene definito in <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_numerico_binario">base-2</a>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>I(x)=log</i><i><i><sub>2</sub></i>(1/P(x))</i></div>
e se l'emissione dei due simboli è equiprobabile (cioè <i>P(x)=1/2</i>) si ha: <br />
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: center;">
<i>I(x)=log</i><i><i><sub>2</sub></i>(1/P(x))=1 bit</i></div>
<div style="text-align: left;">
che è l'unità <i>minima</i> di informazione binaria.<i><br /></i></div>
</div>
<i>Nota</i>: per cambiare unità di misura e passare da <i>bit</i> a <i>nat</i> (cioè da <i>log</i><i><i><sub>2</sub></i></i> a <i>ln</i>) basta porre <i>lnx=log<sub>2</sub>x/log<sub>2</sub>e≈log<sub>2</sub>x/1,4</i> (per le <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#Cambiamento_di_base">proprietà dei logaritmi</a>).<br />
<br />
In particolare con soli due simboli è possibile creare stringhe (cioè sequenze di <i>0</i> e <i>1</i>) la cui lunghezza <i>n</i> determina <i>2<sup>n</sup></i> messaggi distinti; per esempio con stringhe composte da <i>3 bit</i> possiamo codificare <i>2<sup>3</sup>=8</i> messaggi diversi:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>000 001 011 111 110 100 101 010</i><br />
<div style="text-align: left;">
a cui possiamo far corrispondere altrettanti simboli. </div>
</div>
<i>Nota</i>: ad esempio possiamo far corrispondere i numeri da <i>1</i> a <i>8</i> oppure i giorni della settimana (in questo caso sfrutteremmo solo <i>7</i> codici).<br />
<br />
Ma vediamo un esempio legato all'alfabeto inglese composto da 26 lettere: se ogni lettera fosse trasmessa in modo equiprobabile (<i>P(x)=</i><i>1/<i>26</i></i>) il contenuto di informazione per ogni simbolo sarebbe:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>I(x)=log</i><i><i><sub>2</sub></i>(1/P(x))=</i><i><i>log</i><i><i><sub>2</sub></i>26</i></i><i><i><i>≈</i></i>4,7 bit</i>.</div>
Quindi dovremmo utilizzare esattamente <i>5 bit</i> per comporre messaggi con l'alfabeto inglese e codificarli in binario***.<br />
<i>Nota</i>: essendo <i>2<sup>5</sup>=32</i> sono disponibili sufficienti combinazioni binarie per codificare tutte le <i>26</i> lettere dell'alfabeto inglese.<br />
<br />
Tuttavia sappiamo che ogni lettera dell'alfabeto viene usata con frequenze diverse (non solo nella lingua inglese) e quindi è opportuno calcolare il contenuto <i>medio</i> di informazione o <i>entropia</i> della sorgente:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><i><i>H(x)</i></i></i>=∑P(x<sub>i</sub>)ln(1/P(x<sub>i</sub>))</i> </div>
dove le <i>P(x<sub>i</sub>)</i> sono le probabilità di ogni lettera calcolate empiricamente.<br />
<i>Nota</i>: <a href="http://www.sapere.it/enciclopedia/informazi%C3%B3ne%2C+teor%C3%ACa+dell%27-.html">un recente studio</a> ha stabilito statisticamente il contenuto medio di informazione dell'alfabeto inglese pari a <i><i><I(x)></i></i><i><i><i><i>≈</i></i></i>4,1 bit/simbolo</i>.<br />
<br />
Consideriamo ad esempio una sorgente <i>S</i> con soli quattro simboli:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>S{A, B, C, D}</i> </div>
che possiamo codificare utilizzando una sorgente binaria:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>A=00</i>, <i>B=01</i>, <i>C=10</i> e <i>D=11</i>.</div>
<br />
Supponiamo che le probabilità di emissione dei simboli sia diversa:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>P(A)=1/2</i>, <i>P(B)=1/4</i> e <i>P(C)=</i><i>P(D)=1/8</i></div>
possiamo quindi calcolare l'entropia della sorgente in <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_numerico_binario">base-2</a>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>H(x)=∑P(x<sub>i</sub>)log<sub>2</sub>(1/P(x<sub>i</sub>))=(1/2)*1+(1/4)*2+2*(1/8)*3=1,75 bit/simbolo</i>.</div>
<br />
Si noti che se la probabilità di emissione fosse la stessa (cioè <i>P(x)=1/4</i>) avremmo:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>H(x)=</i><i><i>log</i><i><i><sub>2</sub></i>(1/P(x))</i>=2 bit/simbolo</i></div>
poiché l'entropia è in generale maggiore se i simboli<i> </i>sono equiprobabili e in effetti l'entropia è massima per quelle sorgenti completamente casuali.<br /><br />
Ora però ci chiediamo (data la diversa frequenza dei simboli) se non sia possibile ottimizzare il codice, in modo da utilizzare il minor numero possibile di <i>bit</i> nella trasmissione di messaggi.<br />
<br />
Proponiamo quindi il seguente abbinamento simbolo-codice:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>A=0</i>, <i>B=10</i>, <i>C=110</i> e <i>D=111</i>.<br />
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: coerentemente ai simboli con maggior frequenza facciamo corrispondere meno <i>bit</i> e viceversa (come accade nel <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Codice_Morse">codice Morse</a>). </div>
</div>
<br />
Calcoliamo quindi il numero medio <i><i><N(x)></i></i> di <i>bit </i>usati per ogni simbolo (calcoliamo cioè la media pesata del numero di <i>bit</i> usati per ogni simbolo):<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><N(x)></i>=∑</i><i>N(x<sub>i</sub>)</i><i>P(x<sub>i</sub>)=1*(1/2)+2*(1/4)+2*3*(1/8)=1,75 bit/simbolo</i></div>
dove <i>N(x<sub>i</sub>)</i> è il numero di <i>bit</i> dell'i-esimo simbolo.<br /><br />Tuttavia se avessimo usato la codifica precedente, con lo stesso numero di bit per ogni simbolo, avremmo ottenuto un valore più alto:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><N(x)></i>=∑</i><i>N(x<sub>i</sub>)</i><i>P(x<sub>i</sub>)=2*(1/2)+2*(1/4)+2*2*(1/8)=2 bit/simbolo</i></div>
confermando che in generale risulta: <i>H(x)</i><i><i>≤</i></i><i><i><N(x)>.</i></i><br /><br />Infine si osservi che per questo particolare esempio risulta (vedi sopra):<br /> </div><div style="text-align: center;"><i><i><N(x)>=</i></i><i>H(x)</i><i>=1,75 bit/simbolo</i><br /></div><div>
poiché le probabilità di emissione dei simboli sono diverse.<br /><br />
Ma il fatto che <i>H(x)=</i><i><i><N(x)></i></i> è notevole poiché ciò significa, secondo il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Primo_teorema_di_Shannon">primo teorema di Shannon</a>, che questa è la migliore codifica possibile(!)<br />
<i>Nota</i>: il teorema è valido per una sorgente senza memoria,
cioè quando ogni simbolo viene trasmesso in modo indipendente dal
precedente.<br />
<br />
(*) Si osservi che il contenuto o meglio la <i>misura dell'informazione</i> non riguarda il <i>significato</i> di un messaggio ma la sua composizione in simboli.<br />
(**) In quasi tutti gli elaboratori elettronici si usa la logica binaria,
rappresentata fisicamente da due diversi livelli di tensione elettrica. <br />
(***) Calcoliamo ad esempio il contenuto <i>minimo</i> di informazione necessario per esprimere un orario in forma digitale: <i>00:00:00</i>.<br />
In totale gli stati dell'orario sono: <i>24 (ore) x 60 (min.) x 60 (sec.) = 86.400</i> stati, quindi <i>I(x)=log<sub>2</sub>86.400=16,4 bit</i> cioè servono <i>17 bit</i>.<br />
Ma possiamo anche scrivere: <i>I(ore)+I(min.)+I(sec.)</i> dove <i>I(ore)=log<sub>2</sub>24=4,6 bit</i> e <i>I(min.)=I(sec.)=log<sub>2</sub>60=5,9 bit</i> per un totale di <i>5+6+6=17 bit</i>.</div>qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-28820434770542015802020-01-10T17:23:00.035+01:002023-11-06T14:21:01.693+01:00L'Entropia dell'Informazione<div><p>In generale "l'<b>informazione</b> è l'insieme di <a class="mw-redirect" href="https://it.wikipedia.org/wiki/Dati" title="Dati">dati</a>, correlati tra loro, con cui un'<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Idea" title="Idea">idea</a> (o un fatto) prende forma ed è comunicata" (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Informazione">Wikipedia</a>).<br />
<br />
Tuttavia la definizione data sopra può essere meglio specificata: in particolare nel campo dell'elaborazione e della trasmissione dei dati si afferma che<i> l'informazione è il fattore che diminuisce l'incertezza sulla conoscenza di un evento</i><i>.</i> Ci poniamo quindi il problema di come <i>misurare</i> l'informazione associata alla comunicazione di un evento*.<br />
<br />
Introduciamo quindi una nuova definizione, proposta da <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon">Claude Shannon</a>, che specifica il <i>contenuto di informazione</i> di un dato messaggio relativo alla comunicazione di un evento.<br />
Se assegnamo ad un evento <i>x</i> la probabilità <i>P(x)</i> di verificarsi, il contenuto di informazione <i>I(x)</i> della comunicazione dell'evento è così definito:<br />
</p><div style="text-align: center;">
<i>I(x)=ln(1/P(x))</i><br />
<div style="text-align: left;">
o anche per le <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#Prodotto.2C_quoziente.2C_potenza_e_radice">proprietà dei logaritmi</a>: <i>I(x)=-lnP(x)</i> (essendo <i>ln1=0</i>).<br />
<br />
Quindi questa definizione di <i>contenuto di informazione</i> è legata alla probabilità che un evento si possa verificare e non al contenuto semantico di un messaggio (come vedremo meglio di seguito).<br />
<i>Nota</i>: <i>ln</i> indica il logaritmo naturale ma se la sorgente è, ad esempio, binaria si userà il logaritmo in <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_numerico_binario">base-2</a> per definire <i>I(x)</i> (misurata in <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Bit">bit</a>).</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Si osservi che questa particolare definizione è l'unica che rispetta, grazie alle <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#Prodotto.2C_quoziente.2C_potenza_e_radice">proprietà dei logaritmi</a>, i seguenti requisiti (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Autoinformazione">Wikipedia</a>):<br />
1) se l'evento è certo (cioè <i>P(x)=1</i>) allora il contenuto di informazione della comunicazione è nullo (poiché <i>I(x)=</i><i><i>ln1</i>=0</i>);<br />
2) poiché in generale <i>P(x)≤1</i> l'informazione aumenta (<i>I(x)->∞</i>) al diminuire della probabilità dell'evento (cioè quando<i> P(x)->0</i>);<br />
3) dati due <i>eventi indipendenti</i> <i>x</i> e <i>y</i> la probabilità che si verifichino entrambi è <i>P(x,y)=P(x)P(y)</i> quindi in questo caso: <i>I(x,y)=I(x)+I(y)</i>.<br />
<i>Nota</i>: la definizione del contenuto di informazione può essere estesa a due (o più eventi): <i>I(x,y)=ln(1/P(x,y))=ln[(1/(P(x))(1/P(y))]</i><i>=I(x)+I(y)</i>. <br />
<br />
In generale una data informazione viene generata da una <i>sorgente</i> che trasmette un insieme di simboli <i>x<sub>i</sub></i> (ad esempio le lettere dell'alfabeto) ciascuno caratterizzato da una certa probabilità <i>P(x<sub>i</sub>)</i> di essere trasmesso dalla sorgente (che può anche essere la stessa per tutti i simboli): ciò significa che la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Informazione#Aspetti_tecnici">trasmissione di ogni simbolo</a> della sorgente viene valutato come un <i>evento</i> con la sua probabilità. <br />
<br />
Perciò il <i>contenuto medio</i> <i><I(x)></i> di informazione per una data sorgente è definito dalla seguente relazione: <br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><I(x)></i>=∑P(x<sub>i</sub>)ln(1/P(x<sub>i</sub>))</i></div>
si calcola cioè il valore medio di <i>I(x)</i> pesandolo con i coefficienti <i>P(x<sub>i</sub>)</i>.<br /><i>Nota</i>: nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2020/02/informazione-codici-e-bit.html">Informazione, codici e bit!</a>" vengono descritti alcuni esempi.<br />
<br />
Possiamo quindi definire la quantità <i><i>H(x)</i></i> detta <i>entropia della sorgente</i>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>H(x)=</i>k<I(x)></i> </div>
che viene misurata in <i>nat/simbolo</i> (se poniamo <i>k=1</i>).<br />
<i>Nota</i>: se invece poniamo <i>k=1/ln2</i> possiamo esprime l'entropia in <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_numerico_binario">base-2</a> (poiché vale la relazione <i>log<sub>2</sub>x=lnx/ln2</i>).<br />
<br />
In particolare se la probabilità è la stessa per tutti gli <i>N</i> simboli (cioè se <i>P(x<sub>i</sub>)=1/N</i> per ogni <i>x<sub>i</sub></i>) allora<br /> </div><div style="text-align: center;"><i>H(x)=</i><i>∑P(x<sub>i</sub>)ln(1/P(x<sub>i</sub>))</i><i>=</i><i>ln</i><i>N∑</i><i>P(x<sub>i</sub>)</i><i>=</i><i>lnN</i><br /></div><div>essendo<i> ∑</i><i>P(x<sub>i</sub>)</i><i>=1</i> e quindi per la definizione data sopra di <i>Informazione</i> <i>I(x)=ln(1/P(x))=</i><i>lnN</i><i> </i>segue subito<i> </i><br />
<div style="text-align: center;">
<i>H(x)=</i><i>I(x)</i>.</div>
<i>Nota</i>: si può dimostrare che <i><i><I(x)></i>≤</i><i>I(x) </i>quindi in generale: <i>H(x)≤</i><i>I(x)</i> cioè l'entropia è massima quando la sorgente è completamente casuale.<br />
<br />
Poiché come abbiamo visto <i>I(x)÷1/P(x) </i>si può affermare che <i><i>H(x)</i></i> misura <i>l'incertezza</i> o meglio il livello di casualità di una data sorgente.<br />Ma per quale motivo la grandezza <i><i><i>H(x)</i></i></i> viene chiamata <i>entropia</i>?<br />
<br />
Per capirlo ricordiamo innanzitutto che in termodinamica per definire l'entropia statistica – introdotta per la prima volta da <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann">Ludwig Boltzmann</a> (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2014/05/l-secondo-boltzmann_6.html">L'Entropia secondo Boltzmann</a>") – si considera ad esempio un sistema composto da <i>N</i> particelle distribuite sui vari livelli di energia <i>E<sub>i</sub></i>.<br />
<br />
Quindi il numero di tutti i possibili microstati, corrispondenti ad un macrostato assegnato, è dato da (posto <i>N=∑n<sub>i</sub></i>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>W=N!/(n<sub>1</sub>!n<sub>2</sub>!n<sub>3</sub>!...)</i></div>
dove <i>n<sub>1</sub></i><i>, n<sub>2</sub></i><i>, </i><i>n<sub>3</sub></i>... è il numero di particelle per ogni livello <i>E<sub>1</sub></i><i>, E<sub>2</sub></i><i>, </i><i>E<sub>3</sub></i>... e l'entropia termodinamica è per definizione pari a<br />
<div style="text-align: center;">
<i>S=K<sub>B</sub>lnW</i></div>
dove <i><i><i>K<sub>B</sub></i></i></i> è la costante dimensionale di Boltzmann.<br />
<i>Nota</i>: nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2014/06/entropia-statistica-e-termodinamica_20.html">Entropia statistica e termodinamica</a>" abbiamo dimostrato la <i>equivalenza fisica</i> della definizione statistica e di quella termodinamica (qui invece l'equivalenza tra entropia e informazione è solo <i>formale</i>). <br />
<br />
In particolare si può dimostrare per <i>N</i> molto grande la seguente relazione**:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>lnW</i><i>≈N</i><i>∑P(n<sub>i</sub>)ln(1/P(n<sub>i</sub>)) </i></div>
dove <i>P(n<sub>i</sub>)=n<sub>i</sub> /N</i> è la probabilità di trovare le particelle nello stato <i>E<sub>i</sub></i>.<br />Ma per analogia <i>lnW</i> può anche indicare, come visto sopra, la probabilità che un dato simbolo <i>x<sub>i</sub></i> venga trasmesso da una sorgente:<br /><div style="text-align: center;">
<i>lnW</i><i>≈N</i><i>∑P(x<sub>i</sub>)ln(1/P(x<sub>i</sub>))=</i><i><i><i>N<I(x)></i></i></i>.</div><br />Quindi in definitiva si può scrivere:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>S=K<sub>B</sub></i>lnW</i><i>≈</i><i><i><i>K<sub>B</sub></i></i>N</i><i><i><I(x)></i></i></div>
essendo come visto sopra <i>lnW</i><i>≈</i><i><i><i>N<I(x)></i></i></i> e ciò giustifica almeno formalmente il nome di <i>entropia</i> attribuito al valore <i><i>H(x)</i></i>=<i><i><I(x)></i></i>.<br />
<i>Nota</i>: è chiaro che nella analogia con <i>H(x)</i>, la quantità <i>N</i> non indica il numero di simboli della sorgente ma il numero totale di simboli trasmessi. <br />
<br />
Perciò se il numero <i>N</i> di particelle è molto grande la definizione delle due entropie è <i>formalmente</i> equivalente risultando: <br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>S</i>÷</i><i><i>H(x)</i></i>.<br />
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: ad ogni modo la definizione di <i>H(x)</i> resta valida per qualsiasi sorgente e non solo quando <i>N</i> è molto grande. </div>
</div>
<br />
Tale equivalenza formale ha tuttavia spinto <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/L%C3%A9on_Brillouin">Léon Brillouin</a> ad affermare che in realtà al contenuto di informazione <i><I(x)></i> corrisponde <i>fisicamente</i> una entropia termodinamica pari a <i><i>S=</i></i><i><i><i>K<sub>B</sub></i></i></i><i><i><I(x)></i></i>, da calcolare ad esempio nel computo dell'entropia di un sistema in cui si fa uso di <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Bit">bit d'informazione</a>***.<br />
<i>Nota</i>: in pratica Brillouin ipotizza che acquisire informazione non è mai gratis ma ha sempre un costo in termini di energia. <br />
<br />
(*) Con il termine <i>incertezza di un evento</i> in pratica si collega l'informazione alla probabilità che questo si possa verificare: per esempio sapere che ad agosto ha piovuto contiene più informazione di sapere che a novembre pioverà (essendo più probabile).<br />
(**) Per <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Approssimazione_di_Stirling">l'approssimazione di Stirling</a> se <i>N</i> è molto grande vale la relazione <i>lnN!≈NlnN-N</i> ed essendo <i>lnW=lnN!-ln(n<sub>1</sub>!n<sub>2</sub>!n<sub>3</sub>!...)</i> segue sostituendo: <i>lnW≈NlnN-∑n<sub>i</sub>lnn<sub>i</sub></i>. Perciò poiché <i>n<sub>i</sub>=N</i><i>P(n<sub>i</sub>)</i> ed essendo<i> ∑P(n<sub>i</sub>)=1 </i>si ha: <i>lnW</i><i>≈NlnN-[Nln∑</i><i>P(n<sub>i</sub>)+N∑</i><i>P(n<sub>i</sub>)</i><i>ln</i><i>P(n<sub>i</sub>)</i><i>]≈N∑</i><i>P(n<sub>i</sub>)</i><i>ln</i><i>(1/P(n<sub>i</sub>))</i>.<br />
(***) Il paradosso del <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Diavoletto_di_Maxwell">diavoletto di Maxwell</a>, che sembra violare il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Secondo_principio_della_termodinamica">secondo Principio della termodinamica</a>, può essere spiegato proprio grazie all'introduzione di <i><i>S=</i></i><i><i><i>K<sub>B</sub></i><I(x)></i></i> nel calcolo dell'entropia del sistema.<br />
Tuttavia la soluzione generale al paradosso deriva dal <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_Landauer">Principio di Landauer</a> secondo cui l'eliminazione di <i>1 bit</i> di informazione produrrebbe una <a href="https://significatofisico.blogspot.com/2017/10/clausius-e-carnot-cicli-principi-e_27.html">quantità ciclica</a> minima di calore non eliminabile pari a <i>K<sub>B</sub>Tln2</i>.</div>qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-81042690056423959982019-12-13T11:20:00.032+01:002022-07-17T11:58:46.031+02:00Le grandezze Osservabili!Come afferma <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Osservabile">Wikipedia</a> "in <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Fisica" title="Fisica">fisica</a> si definisce <b>osservabile</b> una qualsiasi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Grandezza_fisica" title="Grandezza fisica">grandezza</a> che è in qualche modo <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Misurazione" title="Misurazione">misurabile</a>"; dove <i>in qualche modo</i> significa "misurabile direttamente tramite le operazioni e gli opportuni <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Strumento_di_misura" title="Strumento di misura">strumenti di misura</a> <i>oppure</i> indirettamente attraverso calcolo analitico".<br />
<i>Nota</i>: ad esempio i <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Campo_di_forze" title="Campo di forze">campi</a> e i <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Potenziale_scalare" title="Potenziale scalare">potenziali</a>, come quelli elettromagnetici, sono grandezze fisiche ma <i>non</i> sono direttemente misurabili.<br />
<br />
In generale se in un esperimento vogliamo misurare una grandezza è opportuno, per eliminare gli <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Errore_di_misurazione#Errori_casuali_(o_accidentali)">errori casuali</a>, ripetere la misurazione molte volte per poter determinare un <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Media_(statistica)">valore medio</a>, che per definizione è il valore più vicino a quello reale (in assenza di <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Errore_di_misurazione#Errori_sistematici">errori sistematici</a>).<br />
<i>Nota</i>: si suppone che gli errori casuali, in senso statistico, tendano a compensarsi nel calcolo del valore medio.<br />
<br />
Supponiamo ad esempio che durante la misurazione di una certa grandezza <i>A</i> sia stato misurato <i>c<sub>1</sub></i> volte il valore <i>a<sub>1</sub></i>, <i>c<sub>2</sub></i> volte il valore <i>a<sub>2</sub></i> e in generale <i>c<sub>n</sub></i> volte il valore <i>a<sub>n</sub></i>; il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Media_(statistica)#Media_aritmetica">valore medio</a>, pesato dai coefficienti <i>c<sub>n</sub></i>, sarà quindi:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><A>=(c<sub>1</sub>a<sub>1</sub>+c<sub>2</sub>a<sub>2</sub>+...+c<sub>n</sub>a<sub>n</sub>)/N=∑a<sub>n</sub>P(a<sub>n</sub>)</i></div>
dove <i>P(a<sub>n</sub>)=c<sub>n</sub>/N</i> (<i>N=c<sub>1</sub>+c<sub>2</sub>+...+c<sub>n</sub></i>) è la probabilità di ottenere il valore <i>a<sub>n</sub></i>.<br />
<i>Nota</i>: è implicito che il numero di misure deve essere sufficientemente alto affinché questa relazione sia statisticamente valida.<br />
<br />
La definizione di valore medio di una grandezza osservabile è valida anche in meccanica quantistica, dove però <i>A</i> è rappresentato da un <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_lineare">operatore lineare</a>, cioè una funzione tra due <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale" title="Spazio vettoriale">spazi vettoriali</a> "che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare" (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_lineare">Wikipedia</a>).<br />
<i>Nota</i>: se gli spazi vettoriali hanno dimensione finita un operatore lineare è sempre rappresentabile da una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_lineare#Matrice_associata">matrice associata</a>. <br />
<br />
Come abbiamo già anticipato nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2019/10/i-numeri-complessi-e-la-mq.html">I numeri Complessi e la M.Q.</a>" gli <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Stato_quantico">stati di un sistema quantistico</a> vengono descritti nello <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Hilbert">spazio vettoriale di Hilbert</a> che generalizza lo <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_euclideo">spazio euclideo</a> (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Hilbert">Wikipedia</a>). Ciò in pratica significa che se un operatore <i>A</i> agisce su uno stato <i>|S></i> produce un nuovo vettore di stato, che viene indicato con <i>A|S></i> (secondo la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Notazione_bra-ket">notazione di Dirac</a>).<br />
<i>Nota</i>: ricordiamo che il vettore <i>|S></i> viene chiamato <i>ket</i> ma è possibile definire anche il suo <i>duale</i> <i><S|</i> chiamato <i>bra</i> (vedi oltre).<br />
<br />
Ora, come tutti i vettori, anche quello di stato può essere definito come combinazione lineare di una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Base_(algebra_lineare)">base dello spazio</a> (ad esempio <i>|a<sub>1</sub>>, |a<sub>2</sub>>, ..., |a<sub>n</sub>></i>) moltiplicata per le relative componenti* (<i>𝜶<sub>1</sub></i>, <i>𝜶</i><i><sub>2</sub></i>, ...,<i> </i><i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|S>=</i><i>𝜶</i><i><sub>1</sub>|</i><i>a</i><i><sub>1</sub>>+</i><i>𝜶</i><i><sub>2</sub></i><i>|</i><i>a</i><i><sub>2</sub>></i>+...+<i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i><i>|</i><i>a</i><i><sub>n</sub>></i>=<i>∑</i><i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i><i>|</i><i>a</i><i><sub>n</sub>></i>.<br /></div><div style="text-align: left;"><i>Nota</i>: l'insieme (<i>|a<sub>1</sub>>, |a<sub>2</sub>>, ..., |a<sub>n</sub>></i>) può essere scelto come una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Base_ortonormale">base ortonormale</a> (cioè vettori di norma unitaria e ortogonali tra loro).<br /><br />In particolare, per motivi che diventeranno subito chiari, scegliamo come base quella che soddisfa la seguente relazione:<br />
</div><div style="text-align: center;">
<i>A|</i><i>a</i><i><i><sub>n</sub></i>></i>=<i>a</i><i><sub>n</sub></i><i>|</i><i>a</i><i><i><sub>n</sub></i>></i><br />
<div style="text-align: left;">
dove <i>a</i><i><sub>n</sub></i> rappresenta il valore ennesimo di una misura dell'osservabile <i>A</i>.<br /><i>Nota</i>: qui dobbiamo considerare <i>tutti</i> gli esiti possibili della misura di <i>A</i>.<br /></div>
</div>
<br />
Si osservi che la relazione sopra afferma che quando <i>A</i> agisce su una delle basi <i>|a</i><i><i><sub>n</sub></i>> </i>restituisce la stessa base moltiplicata per <i>a</i><i><sub>n</sub></i>: si dice perciò che <i>a</i><i><sub>n</sub></i> è l'<i>autovalore</i> del relativo <i>autovettore</i> <i>|</i><i>a</i><i><sub>n</sub>></i> ed è un numero reale (essendo il valore di una misura) perciò <i>A</i> è un <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_autoaggiunto#Caso_finito-dimensionale">operatore autoaggiunto</a> (o hermitiano).<br />
<br />
Facciamo quindi agire l'operatore <i>A</i> sullo stato <i>|S></i> (e quindi sulle sue basi):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>A|S>=</i><i>∑</i><i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i><i>A|</i><i>a</i><i><sub>n</sub>></i></div>
da cui ricordando che <i>A|</i><i>a</i><i><i><sub>n</sub></i>></i>=<i>a</i><i><sub>n</sub></i><i>|</i><i>a</i><i><i><sub>n</sub></i>></i> si ha:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>A|S>=</i><i>∑</i><i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i>|</i><i>a</i><i><sub>n</sub>></i>.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Prima di compiere l'ultimo passaggio dobbiamo definire un nuovo elemento, cioè il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_duale">duale del vettore</a> <i>|S></i> (detto <i>ket</i>) che viene indicato con <i><S|</i> (chiamato <i>bra</i>)** prendendo il suo <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Complesso_coniugato">complesso coniugato</a>:</div>
<div style="text-align: center;">
<i><i><S|</i>=</i><i>∑</i><i><</i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i>|<u>𝜶</u></i><i><sub>n</sub></i></div>
<div style="text-align: left;">
dove con <i><u>𝜶</u></i><i><sub>n</sub></i> abbiamo indicato il complesso coniugato di <i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i>.</div>
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: se ad esempio <i>|S></i> viene rappresentato da un <i>vettore colonna</i> il duale <i><S|</i> è un <i>vettore riga</i> i cui elementi sono i complessi coniugati di <i>|S></i>.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
A questo punto possiamo far agire il vettore duale <i><S|</i> sul vettore di stato <i>A|S></i> prima derivato, cioè sostituendo quanto ottenuto sopra: </div>
<div style="text-align: center;">
<i> <S|</i><i>A|S>=</i><i>∑</i><i><</i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i>|<u>𝜶</u></i><i><sub>n</sub></i><i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i>|</i><i>a</i><i><sub>n</sub>></i>.</div>
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: usando la notazione <i>bra-ket</i> basta applicare in sequenza i <i>bra</i> e i <i>ket</i> di <i><S| </i>e <i>A|S></i> derivati sopra, nel simbolo di sommatoria.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Se si osserva che la sequenza <i><</i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i>|<u>𝜶</u></i><i><sub>n</sub></i><i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i>|</i><i>a</i><i><sub>n</sub>></i> può essere riscritta come <i><i><u>𝜶</u></i><i><sub>n</sub></i><i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i></i><</i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i></i><i>|</i><i>a</i><i><sub>n</sub>></i> (poiché <i><i><u>𝜶</u></i><i><sub>n</sub></i><i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i></i></i> è solo un coefficiente moltiplicativo) ed inoltre essendo <i><</i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i></i><i>|</i><i>a</i><i><sub>n</sub>>=1</i> (dato che la base scelta è normalizzata)*** si ha:</div>
<div style="text-align: center;">
<i><S|</i><i>A|S>=</i><i>∑</i><i><u>𝜶</u></i><i><sub>n</sub></i><i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i></i>.</div>
<div style="text-align: left;">
<br />
Quindi poiché il prodotto <i><u>𝜶</u></i><i><sub>n</sub></i><i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i> rappresenta per ipotesi la probabilità <i>P(a<sub>n</sub>)</i> che si verifichi l'evento <i><i>a</i><i><sub>n</sub></i></i> (è uno dei <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Postulati_della_meccanica_quantistica#La_probabilit%C3%A0_di_un_risultato">postulati della meccanica quantistica</a>), allora segue dalla definizione di valor medio (introdotta all'inizio del post):</div>
<div style="text-align: center;">
<i><S|</i><i>A|S>=</i><i>∑</i><i><u>𝜶</u></i><i><sub>n</sub></i><i>𝜶</i><i><sub>n</sub></i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i>=∑P(a<sub>n</sub>)</i><i><i>a<sub>n</sub></i>=<A></i>.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Ciò in definitiva significa che ogni volta che desideriamo ottenere il valor medio di una grandezza osservabile in meccanica quantistica, basta <i>inserire</i> l'operatore che la rappresenta tra il <i>bra</i> e il <i>ket</i> del relativo vettore di stato.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
(*) Ricordiamo che le componenti del campo dello spazio vettoriale di Hilbert sono in generale numeri complessi. </div>
<div style="text-align: left;">
(**) Per chiarimenti sullo spazio vettoriale duale vedi anche il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2018/05/trasformazioni-basi-vettori-e-covettori_11.html">Trasformazioni di basi, vettori e... co-vettori!</a>". </div>
(***) Con la notazione <i><</i><i> </i><i>|</i><i><sub> </sub>></i> si indica il prodotto scalare tra due vettori, in particolare <i><</i><i><i>a</i><i><sub>n</sub></i></i><i>|</i><i>a</i><i><sub>n</sub>></i> indica il quadrato della norma di <i><i>|a</i><i><sub>n</sub></i></i>> che è pari a <i>1</i>.qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-85586001962585540052019-10-23T19:17:00.016+02:002023-03-06T12:38:23.160+01:00I numeri Complessi e la M.Q.In questo post cercheremo di mostrare, attraverso l'esame di un semplice sistema quantistico, il ruolo dei numeri complessi nella rappresentazione formale di uno <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Stato_quantico">stato quantico</a>.<br />
<br />
Ricordiamo innanzitutto che un <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_complesso">numero complesso</a> <i>z</i> è così definito:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>z=a+ib</i></div>
dove <i>a</i> e <i>b</i> sono due numeri reali mentre <i>i=(-1)</i><i><sup>1/2</sup></i> è l'unità immaginaria; i numeri complessi sono perciò una diretta estensione dei numeri reali.<br />
<i>Nota</i>: il valore di <i>i</i> è stato introdotto per risolvere equazioni come <i>x<sup>2</sup>+1=0</i> che non hanno soluzioni nel campo dei numeri reali.<br />
<br />
Come è noto gli <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Stato_quantico">stati di un sistema quantistico</a> vengono descritti nello <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Hilbert">spazio vettoriale di Hilbert</a> che generalizza lo <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_euclideo">spazio euclideo</a> (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Hilbert">Wikipedia</a>):<br />
"Uno spazio di Hilbert <i><b>H</b>=(H, < , >)</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow>
<mi mathvariant="bold">H</mi>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>H</mi>
<mo>,</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo>
<mo>⋅</mo>
<mo>,</mo>
<mo>⋅</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {H} =(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}</annotation> </semantics></math></span></span> è uno <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale" title="Spazio vettoriale">spazio vettoriale</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi>H</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics></math></span></span>reale o complesso sul quale è definito un <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_sesquilineare#Prodotto_interno" title="Forma sesquilineare">prodotto interno</a> <i>< , ></i> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo>
<mo>⋅</mo>
<mo>,</mo>
<mo>⋅</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }</annotation> </semantics></math></span></span>tale che, detta <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow>
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} }</annotation> </semantics></math></span></span> <i>d</i> la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Distanza_(matematica)" title="Distanza (matematica)">distanza</a> indotta da <i>< , ><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo>
<mo>⋅</mo>
<mo>,</mo>
<mo>⋅</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }</annotation> </semantics></math></span></span></i> su <i>H<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>H</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics></math></span></span></i>, lo <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_metrico" title="Spazio metrico">spazio metrico</a> <i>(H,d)<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>H</mi>
<mo>,</mo>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (H,\mathrm {d} )}</annotation> </semantics></math></span></span></i> sia <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_metrico_completo" title="Spazio metrico completo">completo</a>)".<br />
<i>Nota</i>: uno <b>spazio metrico</b> è un <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme" title="Insieme">insieme</a> di elementi, detti <i>punti</i>, nel quale è definita una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Distanza_(matematica)" title="Distanza (matematica)">distanza</a>, detta anche <i>metrica</i> (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_metrico">Wikipedia</a>).<br />
<br />
Per i nostri scopi non è necessario entrare nei dettagli dello spazio vettoriale <b><i>H</i></b> ma possiamo procedere illustrando un semplice sistema quantistico. Per farlo utilizzeremo un singolo elettrone che, come è noto, è dotato di una proprietà detta <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spin">Spin</a> che può assumere solo due stati.<br />
<br />
La cosa interessante è che nello spazio di Hilbert, possiamo indicare gli stati come <i>vettori</i>; cioè se ad esempio <b>misuriamo lo spin lungo l'asse <i>Z</i></b> possiamo porre, a seconda del risultato della misura*, uno dei seguenti vettori come stato del sistema (secondo la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Notazione_bra-ket">notazione di Dirac</a>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|u></i> (stato <i>up</i>) <i>oppure |d></i> (stato <i>down</i>)<br />
<div style="text-align: left;">
</div>
</div>
dove la probabilità di trovare lo spin in uno dei <i>2</i> stati è la stessa.<br />
<i>Nota</i>: per definizione <i>|u></i> punta lungo l'asse positivo di <i>Z</i> mentre <i>|d></i> lungo quello negativo.<br />
<br />
Se sommiamo questi due stati (vettori), in modo da ottenerne un terzo, questo descriverà il generico stato di spin <i>|S></i> lungo uno qualsiasi degli assi:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|S>=a|u>+b|d></i></div>
dove <i>a</i> e <i>b</i> sono le componenti di <i>|S></i> (a valori reali o complessi) rispettivamente lungo <i>|u></i> (asse positivo di Z) e <i>|d></i> (asse negativo di <i>Z</i>).<br />
<i>Nota</i>: abbiamo in pratica scelto le due <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Base_(algebra_lineare)">basi</a> <i>|u></i> e <i>|d></i> per descrivere qualsiasi stato del nostro sistema quantistico a due dimensioni.<br />
<br />
Si osservi che secondo un noto <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Postulati_della_meccanica_quantistica#La_probabilit%C3%A0_di_un_risultato">postulato della meccanica quantistica</a> i prodotti <i><u>a</u>a</i> e <i><u>b</u>b</i> indicano rispettivamente la <i>probabilità</i> di trovare (misurare) lo spin nello stato up <i>oppure</i> down.<br />
<i>Nota</i>: con <u><i>a</i></u> e <u><i>b</i></u> indichiamo il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Complesso_coniugato">complesso coniugato</a> rispettivamente di <i>a</i> e di <i>b</i>; come vedremo <i>a</i> e <i>b</i> sono in generale numeri complessi.<br />
<br />
Ora la cosa poco intuitiva dello spin è che se lo misuriamo lungo un qualsiasi asse, il suo valore è sempre definito nel verso positivo <i>oppure</i> negativo dell'asse di misura (ci aspetteremmo invece di misurare la sua <i>proiezione</i>, come accade nel caso classico per una grandezza vettoriale).<br />
<br />
Supponiamo quindi di aver misurato lo spin dell'elettrone nello stato <i>|u></i> (cioè lungo l'asse <i>Z</i> positivo) e subito dopo eseguiamo una misura lungo l'asse <i>X</i>: se lo spin si trova lungo l'asse <i>X</i> <i>positivo</i> indicheremo tale stato con il vettore <i>|r></i> (<i>right</i>) definendolo rispetto alle basi <i>|u></i> e <i>|d></i>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|r>=a|u>+b|d></i><br />
<div style="text-align: left;">
dove come detto i prodotti <i><u>a</u>a</i> e <i><u>b</u>b</i> indicano la probabilità di trovare lo spin lungo l'asse <i>Z</i> positivo <i>oppure</i> negativo rispettivamente.<br /><i>Nota</i>: in questo caso si dice che la misura <i>prepara</i> lo stato di spin lungo l'asse <i>X</i> positivo indicato con <i>|r></i>.<br /></div>
</div>
<br />
Gli esperimenti indicano che dobbiamo porre <i>a=b=(1/2)<sup>1/2</sup></i> poiché la probabilità di trovare lo stato <i>|u></i> <i>oppure</i> <i>|d></i> lungo l'asse <i>Z</i> (dopo aver eseguito la misura lungo <i>X</i>) è sempre la stessa:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><u>a</u>a=<u>b</u>b=1/2</i><br />
<div style="text-align: left;">
cioè si ha il 50% di probabilità per entrambi gli stati e perciò risulta:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|r>=</i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i>|u>+</i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i>|d>.</i></div>
</div>
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: la somma delle probabilità è correttamente normalizzata a <i>1</i> infatti <i>P=<u>a</u>a+<u>b</u>b=1</i>.</div>
<br />
<div style="text-align: left;">
Possiamo fare la stessa misura lungo l'asse <i>Y</i> e troveremo lo stesso risultato: cioè se misuriamo prima lo spin lungo l'asse <i>Z </i>e subito dopo lungo l'asse <i>X</i> <i>oppure</i> <i>Y</i>, allora lo stato dell'elettrone lungo l'asse <i>Z</i> non è più definito, ha cioè la stessa probabilità di trovarsi nello stato <i>up</i> oppure <i>down</i>(!)<br />
<i>Nota</i>: se invece eseguiamo più volte di seguito la misura dello spin lungo lo stesso asse si ottiene sempre lo stesso valore.<br />
<br />
Se inoltre indichiamo con <i>|l></i> (<i>left</i>) lo stato dello spin preparato lungo l'asse <i>X</i> <i>negativo</i>, si può dimostrare la relazione (vedi la <i>Nota</i> sotto):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|l>=</i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i>|u>-</i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i>|d></i>.</div>
</div>
<div style="text-align: left;">
Ed infine considerando anche lo stato lungo l'asse <i>Y</i> <i>positivo</i> <i>|i> (in)</i> oppure <i>negativo</i> <i>|o> (out)</i>, si ha rispettivamente:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>|i>=</i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i>|u>+i</i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i>|d></i></div>
<div style="text-align: center;">
<i>|o>=</i><i><i>(1/2)<sup>1/2</sup></i>|u>-</i><i><i>i(1/2)<sup>1/2</sup></i>|d></i></div>
dove abbiamo dovuto introdurre** l'unità immaginaria <i>i</i> (in modo che per tutti questi stati risulti correttamente per le probabilità: <i><u>a</u>a=<u>b</u>b=1/2</i>).<br />
<i>Nota</i>: gli stati di spin si ottengono ponendo, oltre ai dati sperimentali che definiscono le probabilità, anche le relazioni di <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Indipendenza_lineare">indipendenza lineare</a>:<i> <u|d>=<d|u>=</i><i><i><r|l>=<l|r></i></i><i><i><i>=<i|o>=<o|i></i></i>=0</i>.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Si osservi quindi come sia stato necessario inserire l'unità immaginaria <i>i</i> nella definizione degli ultimi due stati di spin per soddisfare le condizioni richieste (sia sperimentali che formali)***.<br /><br />È altresì corretto supporre che ciò non riguardi solo questo semplice esempio ma sia vero in generale: senza i numeri complessi, non potremmo definire correttamente gli stati di un sistema quantistico e le relative probabilità (se vogliamo ottenere i giusti risultati sperimentali).</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
(*) Dopo la misura lo stato di spin dell'elettrone è definito e si dice che l'elettrone è stato <i>preparato</i> nello stato di spin relativo all'asse di misura.<br />
(**) Si può dimostrare che non possiamo fare a meno dell'introduzione dell'unità immaginaria <i>i</i> nella definizione degli stati di spin (da non confondere con lo stato <i>in</i>: <i>|i></i>).<br />
(***) Questo elementare sistema quantistico può essere definito <i>qubit</i> (<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Qubit">quantum bit</a>), poiché presenta solo due stati; in effetti sembra che tutti i sistemi quantistici possano essere costruiti combinando solo qubit.</div>
</div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-56836065275316009292019-06-23T22:05:00.001+02:002021-06-14T23:18:38.874+02:00Il Teorema di Bayes e... un Test!Per derivare il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bayes">teorema di Bayes</a> o teorema della <i>probabilità delle cause</i>, dovuto al reverendo Thomas Bayes (1702-1761), dobbiamo innanzitutto introdurre la definizione di <i>probabilità condizionata</i> (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A0_condizionata">Wikipedia</a>):<br />
"In <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_della_probabilit%C3%A0" title="Teoria della probabilità">teoria della probabilità</a> la <b>probabilità condizionata</b> di un evento <i>A</i> rispetto a un evento <i>B</i> è la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A0" title="Probabilità">probabilità</a> che si verifichi <i>A</i>, <i>sapendo</i> che <i>B</i> si è verificato"; la indicheremo di seguito con il simbolo<i> P(A|B)</i> (viceversa con <i>P(B|A)</i> indicheremo la probabilità di <i>B</i> quando <i>A</i> è noto).<br />
<i>Nota</i>: è chiaro che la <i>conoscenza</i> dell'evento <i>B</i> non cambia l'esito di <i>A</i> ma solo la sua probabilità di verificarsi (vedi la nota*). <br />
<br />
È inoltre utile definire in modo preliminare quello che nel calcolo delle probabilità viene chiamato <i>spazio campionario</i> (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_campionario">Wikipedia</a>):<br />
"Lo <b>spazio campionario <i>S</i></b> o <b>insieme universo</b><b> </b>è l'<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme" title="Insieme">insieme</a> dei possibili risultati di un esperimento casuale"; ad esempio, nel caso del lancio di un dado a sei facce, è l'insieme dei sei elementi <i>{1, 2, 3, 4, 5, 6}</i> cioè <i>S=6</i>.<br />
<br />
Per dimostrare il teorema di Bayes introduciamo quindi il seguente grafico dove, all'interno di un universo <i>S </i>di possibili eventi, sono definiti:<br />
- l'insieme <i>A</i>: che contiene gli elementi <i>(x+y)</i> che corrispondono all'evento dato <i>A</i> (ad esempio il lancio di un dado);<br />
- l'insieme <i>B</i>: che contiene gli elementi <i>(y+z)</i> che corrispondono all'evento dato <i>B</i> (ad esempio l'uscita di un numero dispari nell'evento <i>A</i>).<br />
<div>
<span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif" style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Inoltre supponiamo che gli eventi<span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif"> <i>A</i> </span></span><span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif" style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">e<span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif"> <i>B</i> </span></span><span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif" style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">siano <i>dipendenti</i>, cioè che il verificarsi di uno cambi la probabilità di verificarsi dell'altro*.</span><br />
<div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Bayes.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="212" data-original-width="320" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Bayes.jpg" /></a></div>
<br />
Quindi per definire la probabilità <i>P(A|B)</i> che accada l'evento <i>A</i> noto l'evento <i>B</i> (o viceversa la probabilità <i>P(B|A)</i>) basta osservare che <i>y</i> rappresenta la parte di elementi comuni ad <i>A</i> e <i>B</i> e quindi (vedi grafico):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>P(A|B)=y/(y+z)</i> o viceversa <i><i>P(B|A)=y/(x+y)</i></i>.<br />
<div style="text-align: left;">
<br />
Inoltre se indichiamo con <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Ω</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation> </semantics></math></span></span><i>S</i> lo spazio di tutti i possibili eventi avremo <i>S=x+y+z+w</i> (dove <i>w</i> indica gli elementi non compresi in <i>A</i> o in <i>B</i>) e quindi la probabilità di verificarsi di <i>A</i> e di <i>B</i> è:</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<i>P(A)=(x+y)/S<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
<mrow>
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Ω</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omeg</annotation> </semantics></math></span></span></i> e <i>P(B)=(y+z)/S</i><br />
<div style="text-align: left;">
cioè <i>P(A)</i> e <i>P(B)</i> esprimono il rapporto tra i casi favorevoli e quelli possibili.<br />
<br />
A questo punto è semplice ottenere la formula di Bayes:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>P(A|B)=</i><i><i>P(B|A)*P(A)/P(B)</i></i></div>
basta infatti sostituire i valori delle varie probabilità (viste sopra) per verificare questa relazione.<br />
<br />
Ma vediamo, come esempio significativo, quello di un test diagnostico: consideriamo ad esempio l'esame di una data patologia, il cui rischio di ammalarsi della popolazione è già stato misurato ed è pari all'<i>1%</i>.<br />
<br />
Stabiliamo quindi l'uso dei seguenti simboli:<br />
<i>P(+)</i>: indica la probabilità che il test abbia esito positivo;<br />
<i>P(malato)</i>: definisce la probabilità che il paziente sia malato;<br />
<i>P(+|malato)</i>: è la probabilità che il test sia positivo se il paziente è malato;<br />
<i>P(malato|+)</i>: è la probabilità che il paziente sia malato se il test è positivo.<br />
<br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Inoltre poiché un test non è mai certo al <i>100%</i>, s</span>upponiamo che gli esiti positivi o negativi del test in seguito rivelati infondati, siano i seguenti:<br />
<i><i>P(+|sano)=</i>7%</i> (falsi positivi: sono i test errati nel riscontrare la malattia);<br />
<i><i>P(-|malato)</i>=10%</i> (falsi negativi: i test errati nel <i>non</i> rivelare la malattia). <br />
<br />
Applicando la formula di Bayes si può quindi calcolare <i>P(malato/+)</i> cioè la probabilità che il paziente sia malato quando il test risulta positivo:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>P(malato/+)=</i><i>P(+|malato)*</i><i>P(malato)/</i><i>P(+)</i></div>
dove sappiamo già che:<br />
<i>P(+|malato)</i>=90% (poiché per il 10% dei malati si ha un falso negativo);<br />
<i>P(malato)=1%</i> (dato che questo è il dato verificato per la popolazione).<br />
<br />
Dobbiamo perciò calcolare la probabilità <i>P(+) </i>che il test abbia esito positivo. Per questo si devono sommare le probabilità condizionate con esito positivo del test (cioè <i>P(+|sano)</i> e <i>P(+|malato)</i>), che vanno moltiplicate rispettivamente per le probabilità che il paziente sia sano oppure malato (cioè <i>P(sano)</i> e <i>P(malato)</i>)**. In sintesi possiamo scrivere:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>P(+)=</i><i>P(+|sano)*P(sano)+</i><i>P(+|malato)*P(malato)=7,83%</i></div>
<div style="text-align: left;">
essendo come già descritto sopra: <i><br /></i></div>
<div style="text-align: center;">
<i>P(+|sano)*P(sano)=(7%)*(99%)</i> e <i><i>P(+|malato)*P(malato)=(90%)*(1%)</i></i>.</div>
<br />
Siamo infine in grado di calcolare <i>P(malato/+)</i> in termini percentuali con la formula di Bayes:</div>
<div style="text-align: center;">
<i><i>P(malato/+)</i>=(90%)*(1%)/(7,83%)=11,49%</i><br />
<div style="text-align: left;">
che è una probabilità piuttosto bassa che il paziente sia malato quando il test risulta positivo, contrariamente alla nostra aspettativa. </div>
</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
È quindi evidente come il test diagnostico dell'esempio (con quei dati valori di falsi positivi e negativi) non sia sufficiente per stabilire, con una probabilità significativa, la malattia del paziente!***.</div>
<div style="text-align: left;">
<br />
(*) Ad esempio sapendo che il lancio di un comune dado ha dato esito dispari, la probabilità <i>a posteriori</i> di indovinare il numero uscito sarà di <i>1/3</i> e non più di <i>1/6</i> come supposto <i>a priori</i> prima del lancio. Infatti in riferimento al grafico avremo <i>S=6</i>, <i>x=0</i>, <i>y=1</i> e <i>z=2</i> da cui <i>P(A|B)=1/3</i>. <br />
(**) Per chiarire come si ottiene <i>P(+)</i> poniamo gli eventi <i>A=malato</i>, <i>B=+</i> e <i><u>A</u>=(S-A)=sano</i> (sono gli elementi <i>non</i> contenuti in <i>A</i>). Quindi in riferimento a quanto visto sopra con i diagrammi si ha: <i>P(B|A)=y/(x+y)</i>, <i>P(A)=(x+y)/S</i>, <i>P(B/<u>A</u>)=z/(S-A)</i> e <i>P(<u>A</u>)=(S-A)/S</i> perciò essendo <i>P(B)=(y+z)/S </i>si può verificare la relazione di <i>P(B)=P(+)</i> indicata sopra.<br />
(***) È possibile fare un calcolo più diretto. Se consideriamo <i>1.000</i> persone, si ha che <i>10</i> (<i>1%</i>) sono malate e di queste <i>1</i> non risulta al test (<i>10%</i> di falsi negativi); perciò le altre <i>9</i> risultano positive al test. Le restanti <i>990</i> (<i>99%</i>) sono sane di cui <i>69,3</i> risultano positive al test (<i>7%</i> di falsi positivi); mentre le altre <i>920,7</i> risultano negative al test. In definitiva si hanno <i>9</i> persone malate e positive al test su un totale di <i>69,3+9=78,3</i> positive al test. Quindi risulta <i><i>P(malato/+)</i>=9/78,3=11,49%</i> come visto sopra.</div>
<i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<semantics>
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</div>
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qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-4551527512011512122019-05-10T13:23:00.000+02:002019-12-05T20:11:01.028+01:00Fisica, modelli, esperimenti e... realtà!In questo post vogliamo ritornare su un famoso e cruciale esperimento quantistico (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2012/02/effetto-compton-onda-o-particella_1.html">Effetto Compton: onda o particella</a>") per mostrare come in fisica, per descrivere fenomeni complessi, si faccia spesso uso di modelli basati su una astrazione semplificata della realtà, cogliendo a volte solo una parte della fisica presente negli esperimenti.<br />
<br />
Consideriamo cioè il caso dell'effetto Compton dove il modello idealizzato dell'esperimento è semplice: si ha infatti un unico fotone che colpisce un elettrone libero (in quiete nel sistema di riferimento del laboratorio) e si ipotizza un urto meccanico <i>elastico</i> tra i due corpi dove l'energia cinetica si conserva; inoltre essendo il sistema per ipotesi isolato, anche la quantità di moto si conserva.<br />
<i>Nota</i>: per la descrizione degli urti meccanici tra due corpi vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2012/03/l-elastico-o-anelastico_23.html">L'urto Elastico o Anelastico</a>". <br />
<br />
Dobbiamo quindi assegnare al fotone un quanto di energia sia prima (<i>E<sub>γ</sub>=hν</i>) che dopo l'urto (<i>E<sub>γ'</sub>=hν'</i>) oltre ad una quantità di moto sia prima (<i>p<sub>γ</sub>=hν/c</i>) che dopo l'urto (<i>p<sub>γ</sub><sub>'</sub>=hν'/c</i>); mentre l'elettrone di massa <i>m<sub>0</sub></i> (e massa relativistica <i>m</i>) acquisisce energia cinetica solo dopo l'urto (<i>E<sub>e</sub>=mc<sup>2</sup>-</i><i><i>m<sub>0</sub></i>c</i><i><sup>2</sup></i>) oltre ad una ben definita quantità di moto (<i>p<sub>e</sub>=mv</i>).<br />
<i>Nota</i>: per la definizione di massa ed energia relativistica vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2012/07/derivare-la-massa-relativistica_30.html">Derivare la Massa Relativistica</a>".<br />
<br />
In definitiva le equazioni di conservazione dell'energia e della quantità di moto sono le seguenti:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>E<sub>γ</sub>=</i><i>E<sub>γ'</sub>+</i><i>E<sub>e</sub></i></div>
<div style="text-align: center;">
<i><b>p</b><sub>γ</sub></i>=<i><b>p</b><sub>γ</sub><sub>'</sub>+</i><i><b>p</b><sub>e</sub></i>.</div>
Sostituiamo quindi i valori delle diverse energie e relative quantità di moto e consideriamo ad esempio il caso in cui il fotone colpisce l'elettrone e <i>rincula indietro</i> esattamente da
dove è venuto; in questo caso particolare le equazioni si riducono al caso lineare lungo un
solo asse:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>hν=</i><i>hν'</i>+<i>(mc<sup>2</sup>-</i><i><i>m<sub>0</sub></i>c</i><i><sup>2</sup></i><i>)</i></div>
<div style="text-align: center;">
<i>hν/c=-</i><i>hν'/c+</i><i>p<sub>e</sub></i>.</div>
<i>Nota</i>: dalla nota equazione relativistica <i>E</i><i><i><sup>2</sup></i>=p</i><i><sup>2</sup></i><i>c<sup>2</sup>+</i><i>m<sub>0</sub></i><i><sup>2</sup></i><i>c<sup>4</sup></i> si ricava (posto <i>m<sub>0</sub>=0</i>) la relazione tra energia e quantità di moto del fotone: <i>E=pc</i>.<br />
<br />
Perciò ricordando che <i>ν=c/λ</i> ed essendo <i><i>m<sup>2</sup></i>c<sup>4</sup>=p</i><i><sub>e</sub></i><i><sup>2</sup></i><i>c<sup>2</sup>+</i><i>m<sub>0</sub></i><i><sup>2</sup></i><i>c<sup>4</sup></i> (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2012/07/derivare-la-massa-relativistica_30.html">Derivare la Massa Relativistica</a>") si ottiene con qualche passaggio che il fotone deve variare la sua lunghezza d'onda <i>λ </i>a causa dell'urto:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>∆λ=λ'-λ=2h/m</i><i><i><i><sub>0</sub></i></i>c</i>.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Nel caso più generale il modello prevede una precisa correlazione tra l'angolo di deflessione <i>φ</i> del fotone e la sua lunghezza d'onda <i>λ'</i>; si ottiene infatti, in modo analogo a prima, la nota equazione (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_Compton">Wikipedia</a>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>∆λ</i><i>=(h/m</i><i><i><i><sub>0</sub></i></i>c)(1-cos</i><i>φ)</i>.</div>
<i>Nota</i>: ponendo l'angolo di scattering del fotone <i>φ=π</i> si ottiene di nuovo <i>∆λ=2h/m</i><i><i><i><sub>0</sub></i></i>c</i>; mentre per <i>φ=0</i> non si ha deflessione e quindi <i>∆λ</i><i>=0</i>.<br />
<br />
Ora se ripetiamo l'esperimento molte volte troveremo una relazione che possiamo riportare in un grafico e confrontare con la teoria; in particolare lungo l'asse <i>X</i> segniamo la lunghezza dell'onda e lungo <i>Y</i> la sua intensità (cioè il numero di fotoni deflessi) dato che molti sono i fotoni sparati in un dato istante sul bersaglio in cui si trovano gli elettroni.</div>
<div>
<i>Nota</i>: nell'esperimento un fascio collimato di fotoni, viene sparato su un bersaglio di grafite ad una ben definita lunghezza d'onda <i style="background-color: rgba(255 , 255 , 255 , 0); text-align: center;">λ</i>.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Ed ecco i grafici ottenuti per alcuni degli angoli di deflessione fissati:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Compton.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Compton.jpg" data-original-height="574" data-original-width="192" height="320" width="107" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Come risulta evidente dai grafici, i picchi di intensità confermano solo in parte le previsioni del modello; in particolare ci sono due aspetti dei risultati dell'esperimento, non previsti <span style="font-family: "helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif;">dal modello, che vanno spiegati:</span> </div>
<div>
<br />
1) Il bersaglio su cui incidono i fotoni è di grafite quindi è possibile che essi a volte colpiscano atomi di carbonio invece che elettroni, in questo caso la massa <i>m</i><i><i><i><sub>0</sub></i></i></i> che compare in <i>∆λ</i><i>=(h/m</i><i><i><i><sub>0</sub></i></i>c)(1-cos</i><i>φ)</i> è molto grande e quindi la differenza tra la lunghezza d'onda incidente e quella deflessa tende a zero.</div>
<div>
<i>Nota</i>: per questo motivo nelle figure compare sempre un picco che coincide in pratica con quello incidente, oltre a quello deflesso.<br />
<br />
2) Gli elettroni bersaglio non si trovano quasi mai in quiete rispetto al laboratorio e quindi la quantità di moto iniziale assume diversi possibili valori, perciò il picco dell'onda non è una unica riga verticale ma è distribuito su diversi valori della lunghezza d'onda.<br />
<i>Nota</i>: poiché (in media) la quantità di moto iniziale dell'elettrone è nulla, il picco massimo rappresenta la media sulle varie lunghezze d'onda.<br />
<br />
Tuttavia, nonostante gli evidenti limiti dovuti ad una semplificazione della realtà, <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">il modello non è privo di significato fisico e ci</span> permette di convalidare con buona approssimazione la nostra interpretazione di un urto meccanico relativistico tra corpi quantistici, dandoci una corretta spiegazione dell'esperimento (che valse a Compton il premio Nobel nel 1927).</div>
</div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-25170492345405969812019-01-23T12:12:00.015+01:002022-12-16T20:21:29.434+01:00Minkowski e lo Spazio-Tempo geometricoNel 1908 il matematico Hermann Minkowski dichiarava:<br />
"Le concezioni di spazio e di tempo che desidero esporvi sono sorte dal terreno della fisica sperimentale, e in ciò sta la loro forza. Esse sono fondamentali. D'ora in poi lo spazio di per sé stesso o il tempo di per sé stesso sono condannati a svanire in pure ombre, e solo una specie di unione tra i due concetti conserverà una realtà indipendente" (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spaziotempo_di_Minkowski">Wikipedia</a>).<br />
<br />
Prima di provare a chiarire questa affermazione introducendo i diagrammi spazio-tempo di Minkowski, che permettono una rappresentazione geometrica delle leggi della <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A0_ristretta">Relatività ristretta</a>, dobbiamo dare alcune definizioni:<br />
<br />
- Evento: indica un fenomeno fisico localizzato in uno specifico punto dello <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spaziotempo">spazio quadrimensionale</a> in un sistema di riferimento fissato <i>(X, Y, Z, T).</i><br />
<br />
- Punto evento: sono le coordinate istantanee (<i>x, y, z, t</i>) di un evento, cioè un punto preciso dello spazio, nell'istante in cui si verifica il fenomeno fisico. <br />
<br />
- Linea di universo: questa linea rappresenta il percorso compiuto dagli oggetti, essa unisce i punti evento corrispondenti alle coordinate istantanee.<br />
<br />
In realtà lo spazio-tempo di Minkowski appare come un usuale <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_euclideo" title="Spazio euclideo">spazio euclideo</a>, su cui è però definita una distanza <i>∆s</i> differente da quella euclidea (già introdotta nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2018/12/tempo-proprio-e-paradosso-dei-gemelli.html">Tempo Proprio (e paradosso dei gemelli)</a>"):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>∆s</i><i><i><sup>2</sup></i>=c</i><i><sup>2</sup></i><i>∆t</i><i><i><sup>2</sup></i>-</i><i>∆x</i><i><sup>2</sup></i></div>
dove <i>∆x</i> e <i>∆t</i> indicano rispettivamente gli intervalli di spazio e di tempo tra due eventi in un dato sistema di riferimento inerziale, mentre <i>∆s</i> è detto separazione spazio-temporale tra gli eventi.<br />
<i>Nota</i>: per semplicità consideriamo solo le coordinate (<i>x, t</i>) dato che le coordinate (<i>y, z</i>) non cambiano passando da un riferimento all'altro.<br />
<br />
Inoltre, in modo analogo alla classica distanza dello spazio euclideo, anche l'intervallo <i>∆s</i> è un invariante per tutti gli osservatori inerziali!<br />
<i>Nota</i>: i diagrammi di Minkowski si applicano solo nell'ambito della Relatività ristretta, cioè in condizioni di <i>spazio piatto</i> (assenza di gravità).<br />
<br />
A questo punto possiamo fare dei semplici esempi di linee di universo nello spazio-tempo di Minkowski:<br />
<br />
a) Il primo diagramma, descritto dagli assi ortogonali (<i>X, cT</i>), indica la linea di universo di un corpo che si muove tra due punti evento: <i>A</i> (partenza) e <i>B</i> (arrivo) con velocità <i>v</i> minore della luce, come descritto in figura:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Minkowski_1a.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="166" data-original-width="197" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Minkowski_1a.jpg" /></a></div>
<br />
In generale si osservi che l'asse <i>cT</i> indica la linea di universo di un osservatore <i>O</i> che non si sposta nello spazio (cioè <i>x=0</i>) ma solo nel tempo; mentre l'asse <i>X</i> indica la linea del suo presente (cioè tutti i punti con <i>t=0</i>).<br />
<div>
<i>Nota</i>: se il passato non esiste più e il futuro deve realizzarsi, allora <i>solo</i> il presente comprende tutti gli eventi che definiscono la <i>realtà di O</i>, ma è così?<br />
<br />
Si osservi che nel grafico c<i>∆t</i> indica la distanza che percorre la luce nel tempo <i>∆t</i> (che separa i due eventi <i>A</i> e <i>B)</i>; mentre la linea tratteggiata di riferimento indica la linea di universo di un raggio di luce (essendo <i>x=ct</i>).<br />
<br />
Nel nostro caso risulta c<i>∆t></i><i>∆x</i> quindi i due eventi <i>A</i> e <i>B</i> possono essere connessi casualmente: cioè la distanza <i>∆x</i> tra i due eventi può essere coperta da un oggetto con velocità <i>v</i> minore di quella della luce: <i>∆x=v∆t</i>.<br />
<i>Nota</i>: sulla connessione causale tra due eventi vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2011/10/prima-la-causa-e-poi-l_14.html">Prima la causa e poi... l'effetto?</a>".<br />
<br />
La separazione spazio-temporale tra i due eventi è quindi: <br />
<div style="text-align: center;">
<i>∆s<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>∆t<sup>2</sup>-∆x<sup>2</sup>>0</i></div>
e ciò caratterizza tutti gli osservatori inerziali per i quali l'intervallo <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">∆s</i> resta <i>invariato</i> (fissati i due eventi <i>A</i> e <i>B</i>); in generale risulta <i style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0); text-align: center;">∆s>0</i> per tutti gli eventi contenuti in quello che viene definito il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spaziotempo_di_Minkowski#/media/File:World_line2-it.svg">futuro di <i>O</i></a>.<br />
<div>
<i>Nota</i>: il futuro di <i>O</i> è formato da tutti i punti dello spazio-tempo che potrà occupare <i>O</i> (cioè i punti compresi tra le due rette <i>x=±ct </i>con<i> t>0</i>).<br />
<br />
b) In questo secondo diagramma consideriamo invece la linea di universo di un osservatore <i>O'</i> che si muove con velocità <i>v</i> rispetto all'ossevatore in quiete <i>O</i> del diagramma precedente:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Minkowski_2a.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="165" data-original-width="223" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Minkowski_2a.jpg" /></a></div>
<br />
Si può facilmente mostrare* che gli assi <i>cT'</i> e <i>X'</i> di <i>O'</i> sono inclinati con la stessa pendenza <i>θ</i> come indicato in figura; inoltre per ottenere le coordinate di un qualsiasi evento <i>P</i> (rispetto a <i>O'</i>) basta tracciare le parallele agli assi <i>cT'</i> e <i>X'</i> (come si fa per <i>cT</i> e <i>X</i> nel sistema in quiete <i>O</i>)**.<br />
<br />
c) Infine in questo terzo diagramma rappresentiamo due osservatori <i>O</i> e <i>O'</i>, rispettivamente in quiete e in moto lungo l'asse <i>X</i>, che valutano in modo diverso (a causa della relatività della simultaneità) lo stesso evento fisico <i>P</i>:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Minkowski_3a.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="168" data-original-width="343" height="156" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Minkowski_3a.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
<span style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Infatti l</span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">'osservatore <i>O'</i> si trova sulla linea del presente di <i>O</i> (<i>t=0</i>), mentre l'evento <i>P</i> si trova nel presente di <i>O'</i> (<i>t'=0</i>) e allo stesso tempo si trova nel futuro di <i>O</i></span><span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif" style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"> e ciò significa, in modo del tutto inaspettato, che </span><span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif" style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">il futuro di <i>O</i> (ad esempio l'evento <i>P</i></span><span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif" style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">) si è già realizzato e fa parte della sua realtà(!)</span></div>
<div>
<i>Nota</i>: in sintesi se <i>O'</i> è reale per <i>O</i> e <i>P</i> è reale per <i>O'</i> allora <i>P</i> è reale (accade) anche per <i>O</i> (se si accetta la proprietà transitiva di realtà tra gli eventi).</div>
<div>
<div>
<br />
È probabile che considerazioni come questa fecero scrivere ad Einstein:<br />
"Le persone come noi, che credono nella fisica, sanno che la distinzione tra passato, presente e futuro non è che un'illusione, per quanto tenace"***.</div>
<div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>Nota</i>: non esistendo in Relatività un tempo assoluto, il ragionamento precedente si può estendere a qualsiasi punto dello spazio-tempo.</span><br />
<br />
(*) Le <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_di_Lorentz">trasformazioni di Lorentz</a> per <i>x'</i> e <i>t'</i> sono come è noto: <i>x'=γ(x-vt)</i> e <i>t'=γ(t-vx/c<sup>2</sup>)</i> quindi posto <i>x'=0</i> (per ottenere l'asse <i>T'</i>) e <i>t'=0</i> (per ricavare l'asse <i>X'</i>) si ha rispettivamente: c<i>t=x(c/v)</i> e <i>x=ct(c/v)</i> perciò la pendenza <i>θ</i> dei due assi <i>T'</i> e <i>X'</i> è la stessa (come indicato in figura) cioè <i>tanθ=c/v</i>.</div>
<div>
<div>
<div>
(**) I<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">l tempo e lo spazio dei due osservatori <i>O</i> e <i>O'</i> non sono direttamente confrontabili sul grafico, in effetti dobbiamo considerare la <i>iperbole di calibrazione</i> </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>∆s<sup>2</sup>=c</i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><sup>2</sup></i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>t</i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><sup>2</sup></i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>-x</i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><sup>2</sup></i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>=</i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i>±1</i></i> per confrontare gli intervalli unitari.</span><br />
(***) Il testo è contenuto in una lettera che Albert Einstein mandò al figlio e alla sorella del suo caro amico Michele Besso, in occasione della sua morte.</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-3574382586177427622018-12-19T11:53:00.049+01:002023-09-03T14:01:38.059+02:00Tempo Proprio (e paradosso dei gemelli)Nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2012/04/la-dilatazione-relativa-del-tempo_11.html">La Dilatazione relativa del Tempo</a>" abbiamo mostrato la relazione che lega l'intervallo di tempo <i>∆t'</i> misurato da un <i>osservatore in moto</i> (con velocità <i>v</i> costante) e lo stesso intervallo <i>∆t</i> misurato dall'osservatore in quiete cioè <i>solidale con il suo orologio</i>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>∆t=</i><i>∆t'</i><i>(1-v</i><i><sup>2</sup>/c<sup>2</sup>)<sup>1/2</sup></i>.
<div style="text-align: left;">
Questa relazione è valida per tutti i sistemi di riferimento inerziali. </div>
</div>
<i>Nota</i>: ciò è vero nell'ipotesi della costanza della velocità della luce e dell'invarianza delle leggi della fisica nei sistemi inerziali.<br />
<br />
Supponiamo quindi di avere un osservatore in moto che si sposta lungo l'asse <i>X</i> con velocità <i>v</i> che misura il tempo <i>∆t'</i><i> </i>di un orologio in quiete solidale con il suo osservatore (che invece misura un tempo <i>∆t</i>).<br />
<br />
<span style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Ora </span><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">∆t</i> si definisce <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Tempo_proprio">tempo proprio</a> poiché è quello che viene misurato dall'osservatore in quiete <i>rispetto al fenomeno</i> osservato: nel nostro caso il fenomeno osservato è proprio il tempo <i>∆</i><i>t</i> dell'orologio in quiete (posto in un punto <i>x</i> del suo riferimento). <br />
<div>
<br />
È noto che in fisica classica due eventi qualsiasi che accadono nello spazio e nel tempo (<i><i>x<sub>1</sub></i></i>,<i><i> t<sub>1</sub></i></i>) e (<i>x<sub>2</sub></i>,<i> <i>t<sub>2</sub></i></i>) definiscono un intervallo spaziale <i>∆x=</i><i>x<sub>2</sub>-</i><i><i>x<sub>1</sub></i> </i>e uno temporale <i>∆t=</i><i>t<sub>2</sub>-</i><i><i>t<sub>1</sub></i></i>: questi intervalli di spazio e di tempo sono ritenuti invarianti per qualsiasi osservatore, in quiete o in moto.<br />
<i>Nota</i>: nel nostro caso gli eventi segnano il passaggio dell'osservatore in moto da un punto di coordinate (<i><i>x<sub>1</sub></i></i>,<i><i> t<sub>1</sub></i></i>) ad un altro punto (<i>x<sub>2</sub></i>,<i> <i>t<sub>2</sub></i></i>). <br />
<br />
In fisica relativistica si definisce invece un altro tipo di intervallo <i>∆s</i> che è <i>invariante</i> per tutti gli osservatori inerziali*, ed è una sorta di <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spaziotempo_di_Minkowski#Trasformazioni_di_Lorentz">unione degli intervalli</a> di spazio e di tempo dei due eventi:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>∆s</i><i><i><sup>2</sup></i>=c</i><i><sup>2</sup></i><i>∆t'</i><i><i><sup>2</sup></i>-</i><i>∆x'</i><i><sup>2</sup></i></div>
dove <i>∆x</i>' e <i>∆t'</i> non sono più assoluti ma dipendono dal moto relativo degli osservatori (secondo le <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_di_Lorentz">trasformazioni di Lorentz</a>).<br />
<i>Nota</i>: le coordinate (<i>x',</i> <i>t')</i> con l'apice sono quelle dell'osservatore in moto, mentre per quello in quiete col suo orologio risulta <i>∆x=0</i> (vedi oltre).<br />
<br />
Il fatto interessante è che nel nostro caso l'intervallo <i>∆s</i>, detto <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spaziotempo_di_Minkowski">separazione spazio-temporale</a> tra due eventi, si può esprimere nel sistema in quiete (quello dell'osservatore con l'orologio) semplicemente ponendo <i>∆x=0</i> (poiché l'orologio si trova in quiete in <i>questo</i> sistema di riferimento):<br />
<div style="text-align: center;">
<i> ∆s</i><i><i><i><sup>2</sup></i></i>=c</i><i><i><sup>2</sup></i></i><i>∆t</i><i><i><sup>2</sup></i></i> </div>
dove <i>∆t</i> rappresenta il tempo proprio dell'osservatore in quiete.<br />
Perciò eguagliando le due ultime relazioni risulta:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><i><i>c</i><i><sup>2</sup></i></i>∆t</i><i><i><sup>2</sup></i>=c</i><i><sup>2</sup></i><i>∆t'</i><i><i><sup>2</sup></i>-</i><i>∆x'</i><i><sup>2</sup></i> => ∆t</i><i><i><sup>2</sup></i>=</i><i>∆t'</i><i><i><sup>2</sup></i>-</i><i>∆x'</i><i><sup>2</sup></i>/<i>c</i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i>=<i>∆t'</i><i><i><sup>2</sup></i></i>(1-<i>∆x'</i><i><sup>2</sup></i>/<i><i>∆t'</i><i><i><sup>2</sup></i></i>c</i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i>).</div>
<br />
Se quindi <i>∆x'</i> rappresenta lo spostamento dell'orologio lungo <i>X'</i> e <i>∆t'</i> il tempo impiegato a spostarsi, avremo che <i>v=∆x'/∆t'</i> indica la velocità relativa tra i due osservatori; perciò si ottiene:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>∆t</i><i><i><sup>2</sup></i></i>=<i>∆t'</i><i><i><sup>2</sup></i></i>(1-<i>v</i><i><sup>2</sup></i>/<i>c</i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i>).</div>
Questa è la stessa equazione già ricavata nel post sopra citato da cui risulta <i>∆t</i>'><i>∆t</i>: cioè il tempo <i>∆</i><i>t'</i> misurato dal sistema in moto appare <i>dilatato</i>.<br />
<i>Nota</i>: si ha<i> </i><i>∆t</i>'=<i>∆t</i> solo quando <i>v=0</i> cioè se entrambi gli osservatori sono in quiete uno rispetto all'altro.<br />
<br />
Si noti che la relazione ottenuta vale solo per moti inerziali rappresentati da rette nello spazio-tempo (di pendenza <i>v</i>); tuttavia se riduciamo l'intervallo <i>∆s </i>ad un infinitesimo <i>ds</i> allora si ottiene (in modo del tutto equivalente):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>dt</i>=<i>dt'</i>(1-<i>v</i><i><sup>2</sup></i>/<i>c</i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i>)<i><i><sup>1/2</sup></i></i></div>
dove <i>dt</i> e <i>dt'</i> sono i relativi intervalli infinitesimi.<br />
<br />
Questo risultato non è banale poiché una traiettoria curva di un moto qualsiasi, quindi in generale <i>non</i> inerziale, possiamo suddividerla in infiniti tempi <i>dt'</i> e spostamenti <i>dx'</i> e perciò in infiniti intervalli <i>ds</i>.<br /><br />Da ciò segue che l'integrale su tutti i tempi infinitesimi <i>dt</i> restituisce il tempo proprio complessivo dell'osservatore solidale con l'orologio:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><i>∆</i></i>t=</i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">∫dt</i>=<i>∫dt'</i>(1-<i>v(t')</i><i><sup>2</sup></i>/<i>c</i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i>)<i><i><sup>1/2</sup></i></i><br />
<div style="text-align: left;">
da cui si ottiene di nuovo <i>∆t</i><i><i><sup>2</sup></i></i>=<i>∆t'</i><i><i><sup>2</sup></i></i>(1-<i>v</i><i><sup>2</sup></i>/<i>c</i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i>) se <i>v(t')=</i>costante.</div>
</div>
<div style="text-align: start;">
<i>Nota</i>: in pratica è come se suddividessimo la curva del moto in infiniti riferimenti inerziali con velocità istantanea <i>v(t')</i> e intervallo <i>ds</i>.</div>
<br />
Dall'integrale sopra si deduce di nuovo che <i><i>∆</i></i><i>t'></i><i><i><i>∆</i></i>t</i> (essendo <i>(1-v(t')<sup>2</sup>/c<sup>2</sup>)<1</i>), cioè il tempo <i><i><i>∆</i></i>t'</i> misurato da un osservatore in moto qualsiasi è sempre maggiore di quello <i><i><i>∆</i></i>t</i> di un osservatore in quiete**.<br /><br />L'asimmetria tra i due sistemi risulta evidente solo quando l'osservatore in moto ritorna nel punto di partenza e confronta il suo orologio con quello rimasto in quiete, verificando che <i><i>∆</i>t'></i><i><i>∆</i>t</i> (vedi il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_dei_gemelli">paradosso dei gemelli</a>).<br />
<i>Nota</i>: fatto verificato sperimentalmente ponendo un orologio in moto su un aereo e confrontandolo al rientro con la sua <i>copia</i> rimasta a terra.<br />
<br />
Ovviamente se il moto fosse inerziale la situazione sarebbe del tutto simmetrica: le stesse considerazioni si potrebbero applicare all'osservatore in moto che può ritenersi in quiete a tutti gli effetti, supponendo invece in moto l'altro osservatore (per il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_relativit%C3%A0">Principio di Relatività</a>).<br />
<i>Nota</i>: si noti però che non è possibile il confronto diretto tra due orologi, sincronizzati nello stesso punto, e poi divisi dal moto relativo inerziale.<br />
<br />
Se però volessimo studiare il fenomeno dal punto di vista dell'osservatore in moto <i>non</i> inerziale, avremmo bisogno della teoria della Relatività Generale; si otterranno coerentemente gli stessi risultati sulla dilatazione temporale prima derivati con la sola applicazione della relatività ristretta (come ben mostrato in <a href="http://www.ph.unito.it/ccl/docenti/menichetti/RRR/D%27Amico0607.pdf">questo articolo (pdf)</a> di G.C. D'Amico)***. <br />
<br />
(*) Inserendo nel <i>∆s</i><i><i><sup>2</sup></i></i> i valori di <i>x'</i> e <i>t'</i> delle <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_di_Lorentz#Trasformazioni_in_direzione_x">trasformazioni di Lorentz</a> si può dimostrare che questo intervallo è un invariante relativistico.<br />
(**) Si può mostrare che l'accelerazione non è fondamentale nella
dilatazione del tempo considerando tre osservatori inerziali
posti sullo stesso asse: un osservatore in quiete, un secondo in moto
inerziale che si allontana e un terzo che si avvicina incrociando quello
in allontanamento.<br />
Quando il terzo osservatore incrocia il
secondo, sincronizza il suo orologio in volo (senza variare la sua
velocità): ebbene anche in questo caso vale la relazione <i><i>∆</i></i><i>t'></i><i><i><i>∆</i></i>t</i> senza che ci siano accelerazioni degli osservatori in moto.<br />(L'asimmetria è dovuta al fatto che il tempo viene per così dire "spostato" da un
riferimento inerziale all'altro a differenza di quello rimasto in
quiete - vedi anche <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Twin_paradox#Role_of_acceleration">Wikipedia</a> inglese).<br />
(***) In questo caso la situazione non è più simmetrica, poiché l'osservatore è in moto <i>non</i> inerziale e può considerarsi in quiete (locale) solo a patto di introdurre un campo gravitazionale fittizio!<br />
(Vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2011/04/il-principio-di-equivalenza-mamg_7.html">Il Principio di Equivalenza: ma=mg</a>")</div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-39671540249685293542018-10-01T13:15:00.002+02:002023-07-27T19:08:24.149+02:00Il Principio di minima Azione!Introduciamo questo post dicendo subito che (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_minima_azione">Wikipedia</a>): <br />
"In <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Fisica" title="Fisica">fisica</a> il <b>principio di minima azione</b> è un <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_variazionale" title="Principio variazionale">principio variazionale</a> che stabilisce che nei fenomeni della <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Natura" title="Natura">natura</a> l'<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Azione_(fisica)" title="Azione (fisica)">azione</a> viene sempre minimizzata. A partire da questo principio si determina l'<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_del_moto" title="Equazione del moto">equazione del moto</a> di un <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_dinamico" title="Sistema dinamico">sistema dinamico</a>".<br />
<br />
Come mostreremo il principio variazionale di minima azione si definisce grazie al <i>calcolo delle variazioni</i> che è "un campo dell'<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_matematica" title="Analisi matematica">analisi matematica</a> che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzionale" title="Funzionale">funzionali</a>, ovvero <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_(matematica)" title="Funzione (matematica)">funzioni</a> il cui <a class="mw-redirect" href="https://it.wikipedia.org/wiki/Dominio_(funzione)" title="Dominio (funzione)">dominio</a> è a sua volta un insieme di funzioni" (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_delle_variazioni">Wikipedia</a>). <br />
<br />
Consideriamo ad esempio il moto di una particella con legge oraria <i>q(t)</i> e velocità <i>q'(t)=dq(t)/dt</i>); come vedremo possiamo definire una ipotetica funzione <i>L(q,q')</i> detta <i>lagrangiana</i>* del sistema, che è appunto funzione della coordinata <i>q(t)</i> e della velocità <i>q'(t).</i><br />
<i>Nota</i>: <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">consideriamo per semplicità il caso con una solo coordinata dove</span> <i>q</i> indica una coordinata generale, non necessariamente cartesiana.<br />
<br />
Ora per definire l'equazione del moto, introduciamo un'altra funzione <i>S(q(t))</i> chiamata <i>Azione</i> in cui compare la stessa <i>L(q,q')</i> (in realtà <i>S</i> è un <i>funzionale</i> essendo una funzione di funzione), ed è così definita:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>S(q(t))=∫<sub>t<sub>1</sub></sub><sup>t<sub>2</sub></sup>L(q,q')dt</i>.</div>
<br />
Come si vede <i>S(q(t))</i> dipende dal percorso <i>q(t)</i> compiuto dalla particella (una volta fissati il punto iniziale <i>q(t<sub>1</sub>)</i> e finale <i>q(t<sub>2</sub>)</i>); in effetti esistono infiniti percorsi tra <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">q(t<sub>1</sub>)</i> e <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>q(t<sub>2</sub>)</i></span> su cui calcolare <i>S(q(t)) </i>che perciò può variare con continuità, in funzione del percorso.<br />
<div>
<i>Nota</i>: questa osservazione ci permette di trattare <i>S(q(t))</i> come se fosse una funzione (differenziabile) anche se è una funzione di funzione (funzionale).<br />
<div>
<br />
Facciamo quindi l'ipotesi fondamentale, che la natura sembra sempre rispettare, secondo cui l'equazione del moto della particella si può ricavare ponendo la seguente condizione su <i>S(q)</i>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>δS(q)=0</i>.</div>
<br />
Tale condizione è del tutto analoga a porre nullo il differenziale <i>dF(x)</i> di una funzione <i>F(x)</i> (a un solo valore) per trovare i punti estremali (massimo, minimo o sella): si cerca cioè quale sia, tra tutti quelli possibili, il percorso <i>q</i> che rende minimo l'integrale <i>S(q) </i>fissati i punti iniziale e finale.<br />
<i>Nota</i>: si parla di Principio di <i>minima</i> azione poiché, nel caso del moto meccanico, la condizione <i>δS=0</i> individua un <i>minimo</i> per l'azione <i>S</i>.<br />
<br />
Questa condizione si traduce quindi nella seguente equazione:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>δ</i>S(q)=</i><i><i>δ</i>∫<sub>t<sub>1</sub></sub><sup>t<sub>2</sub></sup>L(q,q')dt=</i><i>∫<sub>t<sub>1</sub></sub><sup>t<sub>2</sub></sup></i><i><i><i>δ</i></i>L(q,q')dt</i><i>=0</i></div>
dove<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><i>δ</i></i>L(q,q')=</i><i><i>(∂L/∂</i><i>q)</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q+</i></i><i><i>(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q'</i></i></div>
è l'analogo del differenziale di una funzione <i>F</i><i><i><i><i><i>(</i><i>x,y)</i></i></i></i></i> a due variabili (si ricordi infatti che<i> </i><i>dF</i><i><i><i><i><i>(</i><i>x,y)</i></i></i></i>=(∂F/∂</i><i>x)d</i><i>x+(∂F/∂</i><i>y)dy</i>); inoltre si è posto <i>δq'=dδq/dt</i>.<br />
<br />
Prima di sviluppare l'integrale è utile fare la derivata, rispetto al tempo, del termine <i><i>(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q</i></i>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>d(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q/dt=</i></i><i><i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q</i></i>d(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>/dt</i></i></i></i></i><i><i>+</i></i><i><i>(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q'</i></i></div>
da cui si ricava facilmente il termine<span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif"> </span><span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif"><i><i>(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q'</i></i></span><span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif"> che useremo di seguito:</span><br />
<div>
<div style="text-align: center;">
<i><i><i><i>(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q'</i></i>=</i></i><i><i>d(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q/dt</i></i><i><i>-</i></i><i><i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q</i></i>d(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>/dt</i></i></i></i></i>.</div>
<br />
Possiamo quindi inserire nell'integrale di <i><i>δ</i>S(q)</i> il valore di <i>δL(q,q')</i> prima definito (sostituendo<span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif"> poi il termine </span><span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif"><i><i>(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q'</i></i> appena ricavato); si ottiene:</span></div>
<div>
<div>
<div style="text-align: center;">
<i><i><i>δ</i>S(q)</i>=∫<sub>t<sub>1</sub></sub><sup>t<sub>2</sub></sup></i><i><i><i>δ</i></i>L(q,q')dt</i><i>=</i><i>∫<sub>t<sub>1</sub></sub><sup>t<sub>2</sub></sup></i><i><i><i>[</i></i></i><i><i><i><i><i>(∂L/∂</i><i>q)</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q+</i></i><i><i>(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q'</i></i></i></i>]dt</i><i>=</i><i> </i><br />
<i>=∫<sub>t<sub>1</sub></sub><sup>t<sub>2</sub></sup></i><i><i><i><i>(∂L/∂</i><i>q)</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q</i></i>dt+</i></i><i><i><i><i><i>∫<sub>t<sub>1</sub></sub><sup>t<sub>2</sub></sup></i></i></i></i></i><i><i><i><i><i><i><i><i>[</i></i></i></i></i></i>d(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q/dt</i></i><i><i><i><i>]</i></i>dt</i></i><i><i>-</i></i><i><i><i>∫<sub>t<sub>1</sub></sub><sup>t<sub>2</sub></sup></i></i></i><i><i>[</i></i><i><i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q</i></i>d(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>/dt</i></i></i></i></i><i><i><i><i><i><i><i>]</i></i></i></i></i>dt</i></i>.</div>
<br />
Si osservi che il secondo termine a destra dell'equazione è nullo risultando:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i>∫<sub>t<sub>1</sub></sub><sup>t<sub>2</sub></sup></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i>[</i></i></i></i></i></i></i></i>d(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q/dt</i></i><i><i>]dt=[</i></i><i><i>(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q]</i></i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><i><sub>t<sub>1</sub></sub><sup>t<sub>2</sub></sup></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i></i>=0</i></i></div>
avendo posto come condizione al contorno <i><i><i><i>δ</i></i></i>q(t<sub>1</sub>)</i>=<i><i><i><i>δ</i></i></i>q(t<sub>2</sub>)=0 </i>(poiché i punti iniziale e finale del percorso non variano).<br />
<br />
Perciò se vogliamo che il <i><i>δ</i>S</i> sia nullo dovremo porre (raccogliendo <i><i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q</i></i></i></i><i>dt</i> dal primo e terzo termine dell'equazione di <i><i>δ</i>S(q)</i>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>δ</i>S(q)</i>=<i>∫<sub>t<sub>1</sub></sub><sup>t<sub>2</sub></sup></i><i><i><i><i><i><i>[</i></i>(∂L/∂</i><i>q)</i></i>-</i></i><i><i>d(∂L/∂</i><i>q')</i></i><i><i><i><i><i>/dt</i></i></i></i></i><i><i><i><i><i>]</i></i></i></i></i><i><i><i><i><i><i><i><i><i>δ</i></i></i></i><i>q</i></i></i></i>dt=0</i></i></div>
ciò significa che il termine sotto integrale deve essere nullo (essendo <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="text-align: center;">δ</span>q≠0</i></span>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>∂L/∂q-d(∂L/∂q')/dt=0</i>.</div>
Questa è proprio l'equazione, detta di Eulero-Lagrange, che <i>L(q,q')</i> deve soddisfare per il Principio di minima azione** e che rappresenta l'equazione del moto del sistema (l'analogo per la meccanica di <i>F=mq''</i>).<br />
<br />
Ma a questo punto resta una domanda fondamentale, come è fatta la lagrangiana <i>L(q,q')</i> di un sistema dinamico qualsiasi?</div>
<div>
<br />
Ebbene si ipotizza che ogni sistema fisico abbia la propria lagrangiana***. Ad esempio nel caso di sistemi meccanici si pone (e se ne può verificare per via sperimentale la validità):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>L(q,q')=T(q')-V(q)</i></div>
dove <i>T(q')</i> è l'energia cinetica del sistema (che dipende dalla velocità <i>q'</i>) e <i>V(q)</i> è l'energia potenziale (funzione della posizione <i>q</i>).<br />
In particolare ricordiamo che per una particella di massa <i>m</i> risulta:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>T(q')=mq'<sup>2</sup>/2</i> e <i><span style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0); text-align: center;">-∂V(q)/</span></i><span style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0); text-align: center;"><i>∂q=F(q)</i> </span></div>
<span style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0); text-align: center;">dove <i>F(q)</i> è la forza a cui è sottoposta la particella lungo il percorso.</span><br />
<i>Nota</i>: anche nel caso non conservativo dove non è definibile un
potenziale (ad esempio per il campo magnetico), possiamo introdurre una
funzione <i>L(q,q')</i> che soddisfi il principio di minima azione.<br />
<br />
Si noti che tale equazione è equivalente a quella del moto di Newton: <i>F=mq''</i> (dove <i>q''</i> è l'accelerazione impressa alla particella dalla forza <i>F</i>); per mostrarlo basta inserire <i>L=</i><i>T(q')-V(q)</i> nell'equazione di Eulero-Lagrange e poi derivare (ricordando che <i>T</i> dipende solo da <i>q'</i> mentre <i>V</i> dipende da <i>q</i>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>∂L/∂q-d(∂L/∂q')/dt=</i><i>-∂V/∂q-d(∂T/∂q')/dt=F-mq''=0</i>.</div>
(Per approfondimenti vedi il <a href="https://www.youtube.com/playlist?list=PLuSsEYJK0NuepxfPDsrfCFwSaR29IH15p">seminario sul Principio di minima azione</a> di Arrigo Amadori).<br />
<br />
(*) L'introduzione della funzione <i>L(q,q')</i> è dovuta a Lagrange ed è apparsa nel suo libro "<a href="https://www.irphe.fr/~clanet/otherpaperfile/articles/Lagrange/N0029071_PDF_1_530.pdf">Méchanique Analitique</a>" nel 1788 scritto proprio con lo scopo di ridurre la teoria meccanica ad operazioni algebriche, senza ragionamenti geometrici o meccanici (in effetti il libro non contiene figure).<br />
(**) Il Principio di minima azione è un principio locale (essendo espresso da una equazione differenziale) e quindi la <i>scelta del percorso</i> viene definita puntualmente, istante per istante, senza nessun tipo di <i>finalismo</i>.<br />
(***) Sembra che tutte le leggi fondamentali della fisica possano essere scritte nei termini di una lagrangiana. Ad esempio <i>L=(g)<sup>1/2</sup>(R-</i><i><i>(1/2)F</i><i><sub>µv</sub></i>F<sup>µv</sup></i><i>-</i><i>ψ*D</i><i>ψ)</i> descrive un sistema dinamico di particelle come elettroni e quark, soggette a gravità, campi elettromagnetici e forze nucleari. </div>
</div>
</div>
</div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-65118903727899544622018-05-23T18:40:00.028+02:002023-05-23T16:58:34.357+02:00Trasformazioni di basi, vettori e... co-vettori!Come avevamo già osservato nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2012/11/cos-il-vettore-di-posizione_23.html">Cos'è il Vettore di Posizione?</a>" la definizione di <i>vettore</i> non dipende dal sistema di coordinate prescelto e quindi, se vogliamo trasformare le <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Coordinate">coordinate</a> rispetto alle quali quel vettore è definito, saranno le sue <i>componenti</i> a variare* in modo che il vettore resti invariato in modulo e direzione.<br />
<div>
<div>
<br />
È noto che un qualsiasi vettore <i>V</i> può essere descritto come la combinazione lineare delle sue componenti <i>v</i><sup><i>i</i></sup> moltiplicate per le rispettive <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Base_(algebra_lineare)">basi vettoriali</a> <i>e<sub>i</sub></i> (cioè l'insieme dei vettori che <i>generano</i> lo spazio vettoriale); ad esempio nel caso più semplice di uno spazio bidimensionale avremo:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>V=</i><i>e<sub>1</sub></i><i><i>v</i><sup><i>1</i></sup>+</i><i>e<sub>2</sub></i><i>v</i><i><sup>2</sup></i>.<br />
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: vedremo più avanti il significato fisico degli indici in <i>apice</i> e <i>pedice</i>, diciamo che per ora indicano le due diverse basi (vettori) e rispettive componenti <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(qui gli apici non indicano mai elevamenti di potenza!)</span> </div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
</div>
Nel caso perciò di una trasformazione di coordinate si avrà un <i>cambio delle basi</i> <i><u>e</u><sub>i</sub></i> (indicate dal trattino sotto) a cui corrisponde un <i>cambio delle rispettive componenti</i> <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i style="text-align: center;"><u>v</u></i><sup style="text-align: center;"><i>i</i></sup></span> (anch'esse indicate dal trattino sotto) in modo che il vettore <i>V</i> resti invariato, cioè:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>V=</i><i><u>e</u><sub>1</sub></i><i><i><u>v</u></i><sup><i>1</i></sup>+</i><i><u>e</u><sub>2</sub></i><i><u>v</u></i><i><sup>2</sup></i>. <br />
<div style="text-align: left;">
<br />
Se usiamo il formalismo matriciale, possiamo indicare le componenti di <i>V </i>come una matrice colonna, mentre le basi sono rappresentate da una matrice riga; moltiplicandole tra loro si ottiene (per l'invarianza di <i>V</i>):<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/vettore.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="45" data-original-width="320" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/vettore.gif" /></a></div>
</div>
</div>
<i>Nota</i>: ricordiamo che il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Moltiplicazione_di_matrici">prodotto tra due matrici</a> tipo <i>(m,n)x</i><i>(n,p)</i> produce una matrice <i>(m,p)</i> sviluppando il prodotto righe per colonne.<br />
<br />
Supponiamo ora che le basi di <i>V</i> si trasformino secondo una generica <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_trasformazione">matrice di trasformazione</a> <i>A</i> (matrice quadrata <i>2x2</i> e <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_invertibile">invertibile</a> in <i>A<sup>-1</sup></i>):<br />
<div style="text-align: left;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/trasf1.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="23" data-original-width="174" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/trasf1.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
allora affinché si ottengano di nuovo le equazioni di <i>V</i> sopra espresse, dovrà risultare per la trasformazione delle componenti:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/trasf2.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="45" data-original-width="149" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/trasf2.gif" /></a></div>
infatti moltiplicando tra loro (membro a membro) le due ultime equazioni, si ottiene di nuovo l'identità <i>V=V</i> (essendo <i>AxA<sup>-1</sup>=I</i> la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_identit%C3%A0">matrice identità</a>).<br />
<i>Nota</i>: abbiamo implicitamente supposto, con l'introduzione della matrice di trasformazione <i>A</i>, una relazione lineare tra le componenti (come vedremo ciò è sempre vero per le coordinate in forma differenziale).</div>
<br />
<div style="text-align: left;">
Dato il ruolo diretto della matrice <i>A</i> si dice che le <i>basi vettoriali</i> di <i>V</i> si trasformano in modo <i>covariante</i>, mentre le sue <i>componenti</i>, che viceversa dipendono dalla sua inversa <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">A<sup>-1</sup></i>, si trasformano in modo <i>controvariante</i>.<br /><i>Nota</i>: per convenzione le basi vettoriali (<i>e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub></i>) che si trasformano in modo covariante si indicano con il <i>pedice</i> mentre le componenti controvarianti del vettore (<i>v<sup>1</sup>,v<sup>2</sup></i>) si indicano con l'<i>apice</i>.<br />
<br />
Quando la matrice <i>A</i> di trasformazione è <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_ortogonale">ortogonale</a> (come nel caso di una rotazione di <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_riferimento_cartesiano">assi cartesiani ortogonali</a>)** allora per definizione vale la relazione <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">A<sup>-1</sup></i>=<i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">A<sup>T </sup></i>(dove <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">A<sup>T</sup></i> è la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_trasposta">matrice trasposta</a>) da cui segue, facendo la trasposta di tutta la precedente equazione:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/trasf3.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="23" data-original-width="178" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/trasf3.gif" /></a></div>
<i>Nota</i>: ricordiamo che la trasposta di un vettore colonna è un vettore riga (e viceversa); inoltre risulta per la trasposta <i>A<sup>T</sup></i>: <i>(A<sup>T</sup>)<span style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sup>T </sup></span>=A</i>.<br />
<br />
Si noti però che questa ultima espressione è formalmente identica alla trasformazione covariante delle basi e quindi (in questo caso) la distinzione tra trasformazione covariante e controvariante decade; inoltre quando la trasformazione è <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_ortogonale#Definizione">ortogonale</a> si conserva il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_scalare">prodotto scalare</a> tra vettori.</div>
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: è per tale motivo che nella fisica classica non si parla quasi mai dei due tipi di trasformazione, è sufficiente quella covariante.</div>
<div style="text-align: left;">
<br />
Tuttavia nel caso più generale di una trasfomazione di coordinate qualunque (non ortogonale) ci chiediamo: come si trasformano le componenti di un vettore affinché questo resti invariato e quindi il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_scalare#Espressione_analitica">prodotto scalare</a> si conservi? Per quanto visto sopra ciò equivale a chiedersi com'è fatta in generale la matrice di trasformazione <i>A</i> e la sua inversa <i>A<sup>-1</sup></i>.<br />
<i>Nota</i>: se il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_(matematica)#Prodotto_scalare_e_modulo_di_un_vettore">modulo di un vettore</a> è invariato allora anche il prodotto scalare resta invariato (dato che il modulo è la radice del vettore per se stesso). </div>
<div style="text-align: left;">
<br />
Consideriamo ad esempio il caso classico di un lavoro infinitesimo <i>dL</i> (dovuto ad una forza <i>F</i> impressa ad un corpo che si sposta di un tratto infinitesimo <i>ds</i>), che è così definito nel caso bidimensionale:</div>
<div style="text-align: left;">
<div style="text-align: center;">
<i>dL=Fds=</i><i>F<sub>1</sub></i><i><i>dx<sup>1</sup></i>+F<sub>2</sub></i><i>dx<sup>2</sup></i>.</div>
</div>
Vogliamo che questo prodotto scalare tra vettori si conservi rispetto ad un sistema di coordinate qualunque, come in effetti accade nella realtà fisica.<br />
<i>Nota</i>: invece delle classiche coordinate (<i>x,y</i>) abbiamo posto <i>x=x<sup>1 </sup></i>e <i>y=x<sup>2</sup></i> (vedremo più avanti il significato degli indici messi in <i>apice</i> o <i>pedice</i>). <br />
<br />
Consideriamo quindi una trasformazione di coordinate qualsiasi: trasformiamo ad esempio le coordinate (<i>x</i><i><sup>1</sup></i>,<i>x</i><i><sup>2</sup></i>) in quelle di un nuovo sistema (<u><i>x</i></u><i><sup>1</sup></i>,<u><i>x</i></u><i><sup>2</sup></i>) (dove le nuove coordinate sono note in funzione delle prime):<br />
<div style="text-align: center;">
<u><i>x</i></u><i><sup>1</sup></i>=<u><i>x</i></u><i><sup>1</sup></i>(<i>x</i><i><sup>1</sup></i>,<i>x</i><i><sup>2</sup></i>) ; <u><i>x</i></u><i><sup>2</sup></i>=<u><i>x</i></u><i><sup>2</sup></i>(<i>x</i><i><sup>1</sup></i>,<i>x</i><i><sup>2</sup></i>)</div>
<div style="text-align: left;">
ed inoltre esse devono ammettere la trasformazione inversa (affinché si possa passare da un sistema all'altro):</div>
<div style="text-align: center;">
<i>x</i><i><sup>1</sup></i>=<i>x</i><i><sup>1</sup></i>(<u><i>x</i></u><i><sup>1</sup></i>,<u><i>x</i></u><i><sup>2</sup></i>) ; <i>x</i><i><sup>2</sup></i>=<i>x</i><i><sup>2</sup></i>(<u><i>x</i></u><i><sup>1</sup></i>,<u><i>x</i></u><i><sup>2</sup></i>).<br />
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: per ipotesi tali funzioni sono differenziabili (<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_liscia">funzioni lisce</a>). </div>
<br />
<div style="text-align: left;">
Per le note formule del <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_(matematica)#Differenziale_in_pi%C3%B9_variabili">calcolo differenziale</a> di una funzione si ha:</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<i>d</i><i>x<sup>1</sup></i><i>=(∂</i><i><i>x<sup>1</sup></i>/∂</i><i><i><i><u>x</u></i></i></i><i><i><i><i><i><sup>1</sup></i></i></i></i>)d</i><i><u>x</u></i><i><i><sup>1</sup></i></i><i>+(∂</i><i><i>x<sup>1</sup></i>/∂</i><i><i><i><u>x</u></i></i></i><i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i>)d</i><i><u>x</u></i><i><sup>2</sup></i> e <i>d</i><i>x<sup>2</sup></i><i>=(∂</i><i><i>x<sup>2</sup></i>/∂</i><i><i><i><u>x</u></i></i></i><i><i><i><i><i><sup>1</sup></i></i></i></i>)d</i><i><u>x</u></i><i><i><i><i><i><sup>1</sup></i></i></i></i></i><i>+(∂</i><i><i>x<sup>2</sup></i>/∂</i><i><i><i><u>x</u></i></i></i><i><i><sup>2</sup></i></i><i>)d</i><i><u>x</u></i><i><sup>2</sup></i></div>
<div style="text-align: left;">
possiamo quindi riscrivere il <i>dL</i><i>=</i><i>F<sub>1</sub></i><i><i>dx<sup>1</sup></i>+F<sub>2</sub></i><i>dx<sup>2</sup></i> sostituendo <i>d</i><i>x<sup>1</sup></i> e <i>d</i><i>x<sup>2</sup></i>:</div>
<div style="text-align: left;">
<div style="text-align: center;">
<i>dL=</i><i>F<sub>1</sub></i><i>(∂</i><i><i>x<sup>1</sup></i>/∂</i><i><i><i><u>x</u></i></i></i><i><i><i><i><i><sup>1</sup></i></i></i></i>)d</i><i><u>x</u></i><i><i><sup>1</sup></i></i><i>+</i><i><i>F<sub>1</sub></i>(∂</i><i><i>x<sup>1</sup></i>/∂</i><i><i><i><u>x</u></i></i></i><i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i>)d</i><i><u>x</u></i><i><sup>2</sup></i><i>+F<sub>2</sub></i><i>(∂</i><i><i>x<sup>2</sup></i>/∂</i><i><i><i><u>x</u></i></i></i><i><i><i><i><i><sup>1</sup></i></i></i></i>)d</i><i><u>x</u></i><i><i><i><i><i><sup>1</sup></i></i></i></i></i><i>+</i><i><i>F<sub>2</sub></i>(∂</i><i><i>x<sup>2</sup></i>/∂</i><i><i><i><u>x</u></i></i></i><i><i><sup>2</sup></i></i><i>)d</i><i><u>x</u></i><i><sup>2</sup></i>.<br />
<br />
<div style="text-align: left;">
Se ora raccogliamo rispetto a <i>d</i><u><i>x</i></u><i><i><sup>1</sup></i></i> e <i>d</i><u><i>x</i></u><i><i><i><i><sup>2</sup></i></i></i></i> risulta:</div>
</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<i>dL=[F<sub>1</sub>(∂x<sup>1</sup>/∂<u>x</u></i><i><i><i><i><i><i><sup>1</sup></i></i></i></i></i>)+F<sub>2</sub>(∂x<sup>2</sup>/∂<u>x</u></i><i><i><i><i><i><i><sup>1</sup></i></i></i></i></i></i><i><i>)</i>]d<u>x</u></i><i><i><i><i><i><sup>1</sup></i></i></i></i></i><i>+[F<sub>1</sub>(∂x<sup>1</sup>/∂</i><i><u><i><u>x</u></i></u><i><i><sup>2</sup></i></i>)+F<sub>2</sub>(∂x<sup>2</sup>/∂<u>x</u></i><i><i><sup>2</sup></i></i><i>)]d<u>x</u></i><i><sup>2</sup></i></div>
<div style="text-align: left;">
e il <i>dL</i> può essere riscritto nel nuovo sistema di coordinate:</div>
<div style="text-align: center;">
<i>dL=<u>F</u>d<u>s</u>=<u>F</u></i><i><sub>1</sub></i><i>d<u>x</u></i><i><i><sup>1</sup></i>+<u>F</u></i><i><i><sub>2</sub></i></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>d</i><u><i>x</i></u><i><sup>2</sup></i></span></div>
<div style="text-align: left;">
avendo posto<i><i><br /></i></i></div>
<div style="text-align: center;">
<u><i><i>F</i></i></u><i><i><i><sub>1</sub></i></i>=</i><i>F<sub>1</sub>(∂x<sup>1</sup>/∂<u>x</u></i><i><i><i><i><i><i><sup>1</sup></i></i></i></i></i>)+F<sub>2</sub>(∂x<sup>2</sup>/∂<u>x</u></i><i><i><i><i><i><i><sup>1</sup></i></i></i></i></i></i><i><i>)</i></i><br />
<u><i><i><i><i>F</i></i></i></i></u><i><i><i><i><i><i><sub>2</sub></i></i></i></i>=</i></i><i>F<sub>1</sub>(∂x<sup>1</sup>/∂</i><i><u><i><u>x</u></i></u><i><i><sup>2</sup></i></i>)+F<sub>2</sub>(∂x<sup>2</sup>/∂<u>x</u></i><i><i><sup>2</sup></i></i><i>)</i></div>
<div style="text-align: left;">
ed essendo per le solite formule differenziali</div>
<div style="text-align: center;">
<i>d</i><u><i>x</i></u><i><sup>1</sup></i><i>=(∂</i><u><i><i>x</i></i></u><i><sup>1</sup></i><i>/∂</i><i><i><i>x</i></i></i><i><sup>1</sup></i><i>)d</i><i>x</i><i><sup>1</sup></i><i>+(∂</i><u><i><i>x</i></i></u><i><sup>1</sup></i><i>/∂</i><i><i><i>x</i></i></i><i><sup>2</sup></i><i>)d</i><i>x</i><i><sup>2</sup></i><i> </i><br />
<i>d</i><u><i>x</i></u><i><sup>2</sup></i><i>=(∂</i><u><i><i>x</i></i></u><i><i><sup>2</sup></i>/∂</i><i><i><i>x</i></i></i><i><sup>1</sup></i><i>)d</i><i>x</i><i><sup>1</sup></i><i>+(∂</i><u><i><i>x</i></i></u><i><i><sup>2</sup></i>/∂</i><i><i><i>x</i></i></i><i><sup>2</sup></i><i>)d</i><i>x</i><i><sup>2</sup></i>.<br />
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: come richiesto, con queste trasformazioni il lavoro infinitesimo <i>dL</i> resta invariato nel cambio di coordinate.</div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: left;">
<br />
Le derivate parziali <i>(</i><i><i>∂x<sup>i</sup>/∂<u>x</u></i></i><i><i><i><i><sup>j</sup></i></i></i>)</i> e (<i>∂</i><u><i><i>x</i></i></u><i><i><sup>j</sup></i></i><i>/∂</i><i><i><i>x</i></i></i><i><i><i><i><i><sup>i</sup></i></i></i></i></i>) rappresentano perciò gli elementi, rispettivamente, della matrice di trasformazione <i>A</i> ed <i>A<sup>-1</sup></i> per <i>F</i> e per <i>ds</i> (dove <i>A<sup>-1</sup></i> è detta <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobiana">matrice jacobiana</a> di solito indicata con <i>J</i>).</div>
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: quindi (<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><u style="text-align: center;"><i>F</i></u><i style="text-align: center;"><i><i><sub>1</sub></i></i></i></span>,<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><u style="text-align: center;"><i>F</i></u><i style="text-align: center;"><i><i><i><i><i><sub>2</sub></i></i></i></i></i></i></span>) si trasforma in modo covariante mentre (<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i style="text-align: center;">d</i><u style="text-align: center;"><i>x</i></u><i style="text-align: center;"><sup>1</sup></i></span>,<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i style="text-align: center;">d</i><u style="text-align: center;"><i>x</i></u><i style="text-align: center;"><sup>2</sup></i></span>) in modo controvariante, come accade per basi e componenti di un vettore.</div>
<div style="text-align: left;">
<br />
In definitiva possiamo scrivere per le componenti di <i><u>F</u></i> e <i>d<u>s</u></i> (si sottintende il simbolo di sommatoria con la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Notazione_di_Einstein">notazione di Einstein</a> sugli indici ripetuti):</div>
<div style="text-align: center;">
<u><i><i><i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">F</i></i></i></i></u><i><i><sub>j</sub></i></i><i>=</i><i><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">F<sub>i</sub></span></i>(</i><i><i>∂x<sup>i</sup>/∂<u>x</u></i></i><i><i><i><i><sup>j</sup></i></i></i>)</i> e <i>d</i><u><i>x</i></u><i><i><sup>j</sup></i></i>=<i>d</i><i>x</i><i><i><sup>i</sup></i></i>(<i>∂</i><u><i><i>x</i></i></u><i><i><sup>j</sup></i></i><i>/∂</i><i><i><i>x</i></i></i><i><i><i><i><i><sup>i</sup></i></i></i></i></i>)</div>
<div style="text-align: left;">
(con <i>i, j=1, 2</i>) grazie alle quali il prodotto scalare resta invariato e quindi, come già notato, anche il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_(matematica)#Prodotto_scalare_e_modulo_di_un_vettore">modulo di un vettore</a> resta invariato (poiché è la radice del vettore moltiplicato per se stesso).<br />
<br />
Perciò la legge generale di trasformazione delle componenti <i><i>A</i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i> </i> di un vettore, che chiameremo <i>covariante</i> (o covettore) e quelle <i>B<i><sup>i</sup></i></i> del rispettivo vettore <i>controvariante</i>, tale per cui il prodotto scalare <i>C=<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">A<sub>i</sub></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">B</span></i><i><i><sup>i</sup></i></i>=<i><i><i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><u>A</u></i></i></i></i><i><i><sub>j</sub></i></i><u><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">B</i></u><i><i><sup>j</sup></i></i> si conservi, è la seguente (come mostrato sopra per <u><i><i><i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">F</i></i></i></i></u><i><i><sub>j</sub></i></i> e <i>d</i><u><i>x</i></u><i><i><sup>j</sup></i></i>):</div>
<div style="text-align: left;">
<div style="text-align: center;">
<u><i><i><i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">A</i></i></i></i></u><i><i><sub>j</sub></i></i><i>=</i><i><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">A<sub>i</sub></span></i>(</i><i><i>∂x<sup>i</sup>/∂<u>x</u></i></i><i><i><i><i><sup>j</sup></i></i></i>)</i> e <u><i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">B</i></i></u><i><i><sup>j</sup></i></i>=<i>B<i><sup>i</sup></i></i>(<i>∂</i><u><i><i>x</i></i></u><i><i><sup>j</sup></i></i><i>/∂</i><i><i><i>x</i></i></i><i><i><i><i><i><sup>i</sup></i></i></i></i></i>)</div>
con la solita regola di sommatoria sugli indici ripetuti con <i>i, j=1, 2, ... n</i><i> </i>(dove per convenzione gli <i>apici</i> indicano le componenti di un vettore mentre i <i>pedici</i> quelle di un covettore)<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">.</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>Note</i>: in questo modo qualsiasi prodotto scalare tra un vettore <i>A</i> e il relativo covettore <i>B</i> è un invariante per trasformazioni di coordinate. </span></div>
<div style="text-align: left;">
<br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Ora nel contesto matriciale di un prodotto scalare, le componenti </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i>A</i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i></i> di un vettore <i>riga</i> definiscono un <i>covettore</i> (o vettore covariante) che, applicato a un vettore <i>colonna</i> </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(o vettore controvariante)</span> di componenti </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>B<i><sup>i</sup></i></i>, produce </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>C=<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">A<sub>i</sub></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">B</span></i><i><i><sup>i</sup></i></i> cioè un elemento scalare (del <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Algebra_su_campo">campo <i>K</i></a>) dallo <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale">spazio vettoriale</a> <i>V</i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">: l'insieme dei covettori (o <i>funzionali</i> <i>f:V->K</i>) definisce lo <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_duale">spazio duale</a>***.</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>Nota</i>: ricordiamo che il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_scalare">prodotto scalare</a> tra <i>A</i> e <i>B</i> viene spesso indicato come </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><A,B></i> e che vettori e covettori sono legati dal <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Tensore_metrico#Alzamento_e_abbassamento_di_indici">tensore metrico</a> g</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>ij</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i></span></i></span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">=<</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>i</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i>,</span></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>j</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i></span></i></span></span></span></span></i></span></i></span></i>> (</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">dove <</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>i</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i>,</span></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>j</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i></span></i></span></span></span></span></i></span></i></span></i>></span></span> è il prodotto scalare tra le basi) da cui </span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i>A</i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i></i>=</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">g</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>ij</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i></span></i></span></span></span></span>A<i><sup>j</sup></i></i>.<br />[Infatti risulta </span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">g</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>ij</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i></span></i></span></span></span></span>A<i><sup>j</sup></i></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">=</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>i</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i>,</span></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>j</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i></span></i></span></span></span></span></i></span></i></span></i>></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>A<i><sup>j</sup></i></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">=</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>i</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i>,</span></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>j</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i></span></i></span></span></span></span></i></span></i></span></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>A<i><sup>j</sup></i></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">=</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>i</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i>,</span></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>A</i>></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">=</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i>A</i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"> ma anche </span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">g</span></span></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i><sup>ij</sup></i></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i>A</i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">=</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>A<i><sup>j</sup></i></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">]</span></span><br />
<br />
(*) Non sempre coordinate e componenti coincidono, nel caso ad esempio di coordinate curvilinee <i>angolari</i> queste non corrispondono alle componenti di un vettore, essendo quest'ultime delle lunghezze.<br />
(**) Una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_ortogonale">trasformazione ortogonale</a> viene espressa rispetto ad una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Base_ortonormale">base ortonormale</a> (come ad esempio quella canonica degli assi cartesiani), tramite una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_ortogonale">matrice ortogonale</a> e quindi invertibile.<br />
(***) <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Data ad esempio la base canonica </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span></i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><sup>1</sup></span></span></span></i></span></span></span></span></i></span></span></span></span></span></span>=(1,0)</i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><sup>T</sup></i></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">, </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><sup>2</sup></span></span></span></i></span></span></span></span></i></span></span></span></span></span></span>=(0,1)</i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><sup>T</sup></i></span></span></span> (vettori colonna) possiamo definire una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Base_duale">base canonica duale</a> come </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>1</sub></span></span></span></span></span></span></span></i></span>=(1,0)</i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">, </span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span></i></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>2</sub></span></span></span></span></span></span></span></i></span></span>=(0,1)</i></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"> </span></i></span></span> </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(vettori riga) </span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">che rispetta la condizione generale di <i>dualità</i> <i><</i></span><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>i</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i>,</span></i><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e<sup>j</sup></span></span></span></span></i></span></i>>=</span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>ij</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i> (con </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>ij</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i></span></span></i></span></i></span></i> <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_Kronecker">delta di Kronecker</a>); per un qualsiasi vettore <i>V</i> risulta </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">perciò</span>: <i>V=</i></span><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>i</sub></span></span></span></span></span></span></span>v<sup>i</sup>=<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e<sup>j</sup></span></span></span><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">v<sub>j</sub></span></i></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">.</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">[Si pone </span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><</i></span><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>i</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></i>,</span></i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">e<sup>j</sup></span></span></span></span></i></span></i>>=</span></i><i>δ</i><i><span style="text-align: center;"><sub>ij</sub></span></i> affinché risulti correttamente: <i><A,B>=</i></span><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">(e</span></span></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>i</sub></span></span></span></span></span></span></span></span></span>A</span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sup>i</sup></span></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;">)(e<sup>j</sup></span></span></span></span></span></span>B</span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>j</sub></span>)=</span></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">A<sub>i</sub></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">B</span><sup>i</sup></span></i>]</span><br />
<br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(Per chiarimenti su questa derivazione vedi la lezione di Arrigo Amadori "<a href="http://www.arrigoamadori.com/lezioni/CalcoloTensoriale/DefinizioneDiTensore.htm">Definizione di tensore</a>"). </span></div>
</div>
</div>
</div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-75839099613238334162017-10-05T17:16:00.006+02:002023-03-19T22:40:26.776+01:00Clausius e Carnot: cicli, principî e motori!Come è noto si possono enunciare le seguenti due formulazioni equivalenti del <i>Secondo principio della termodinamica</i> (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Secondo_principio_della_termodinamica#Formulazioni_del_secondo_principio">Wikipedia</a>):<br />
<br />
<i>I)</i> Clausius (1822-1888): non è possibile che il calore fluisca <i>spontaneamente</i> da temperature più basse a temperature più alte.<br />
<i>Nota</i>: è possibile che il calore fluisca da un corpo freddo ad uno caldo (come in un frigo) ma ciò non può accadere spontaneamente.<br />
<br />
<i>II)</i> Kelvin (1824-1907): non è possibile realizzare una macchina termica <i>ciclica</i> che trasformi il calore integralmente in lavoro.<br />
<i>Nota</i>: il calore può trasformarsi integralmente in lavoro (ad esempio in una trasformazione isoterma) ma mai in una trasformazione ciclica.<br />
<br />
Ricordiamo per inciso che con <i>macchina termica</i> si intende un dispositivo che opera tra due temperature e converte calore in lavoro in modo <i>ciclico</i>, producendo cioè ogni volta una certa quantità di lavoro (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Macchina_termica">Wikipedia</a>).<br />
<br />
Esiste una terza importante formulazione equivalente del secondo principio della termodinamica (che abbiamo già descritto nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2011/12/entropia-una-grandezza-anomala_72.html">Entropia: una grandezza anomala!</a>") che afferma:<br />
<i>III)</i> Clausius: in un <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_isolato">sistema isolato</a> e per una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_reversibile">trasformazione irreversibile</a> l'entropia tende sempre ad aumentare.<br />
<br />
Si sa che l'entropia <i>S</i> è una funzione che dipende dallo stato termodinamico in cui si trova il sistema; se cioè un sistema passa dallo stato <i>A</i> a quello <i>B</i> in modo reversibile avremo per la sua variazione di entropia <i>∆S</i>:<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"> </span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i><i>∆S</i></i></i></span></i></i><i>=</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i>∫</i></span></i></i></i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><sub>A</sub><sup>B</sup></i></span></i></i></i></span></i></i>dS=</i><i>S</i><i><sub><i>B</i></sub>-S</i><sub><i>A</i></sub> </span></div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">dove <i>dS=</i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr">δ</span></i>Q<sub>rev</sub>/T</i> è per definizione l'entropia infinitesima e dove <span class="texhtml" dir="ltr"><i>Q</i><sub><i>r</i><i>e</i><i>v</i></sub></span> è la quantità di <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Calore" title="Calore">calore</a> assorbito o ceduto in maniera <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_reversibile" title="Trasformazione reversibile">reversibile</a> e <a class="mw-redirect" href="http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_isoterma" title="Trasformazione isoterma">isoterma</a> dal sistema a <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Temperatura" title="Temperatura">temperatura</a> <i>T</i>.</span><br />
<i>Nota</i>: per chiarimenti sulla definizione di entropia vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/12/entropia-una-grandezza-anomala_72.html">Entropia: una grandezza anomala!</a>". <br />
<br />
Poiché <i>S</i> è una <a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/11/variabili-e-funzioni-termodinamiche_7408.html">funzione di stato</a> possiamo considerare, come seconda variabile del sistema, la temperatura <i>T</i> per descrivere una qualsiasi trasformazione <i>reversibile</i> di un <a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/10/un-gas-ideale-o-perfetto_3265.html">gas ideale</a>; utilizzeremo quindi il piano cartesiano <i>T-S</i> di Gibbs (<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Diagramma_entropico">diagramma entropico</a>) invece del noto <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Piano_di_Clapeyron">piano di Clapeyron</a> <i>p-V</i> per tracciare il grafico della trasformazione.<br />
<i>Nota</i>: poiché l'<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/11/una-legge-di-stato-pvnrt_9570.html">equazione dei gas ideali</a> è <i>pV=nRT</i> fissato il numero di moli <i>n</i> possiamo in generale descrivere il sistema con due sole variabili di stato.<br />
<br />
Si noti che sul diagramma <i>T-S</i> una trasformazione isoterma (cioè <i>T=costante</i>) è descritta da una linea <i>orizzontale</i>, mentre una adiabatica (cioè <i>Q=0</i>) è rappresentata da una linea <i>verticale</i> (essendo <i>S=costante</i>).<br />
<br />
Se ad esempio consideriamo un ciclo formato da due trasformazioni isoterme e due adiabatiche (alternate in sequenza) avremo un motore termico reversibile che trasforma calore in lavoro, meglio noto come <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Ciclo_di_Carnot">ciclo di Carnot</a>, descritto nel piano entropico <i>T-S</i> da una linea rettangolare:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Carnot.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="429" data-original-width="577" height="148" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Carnot.png" width="200" /></a></div>
</div>
<br />
È immediato calcolare il calore assorbito o ceduto reversibilmente nelle due trasformazioni isoterme (posto <i>T</i><i><sub><i>2</i></sub></i>><i>T<sub>1</sub></i> e S<i><sub><i>2</i></sub></i>><i>S</i><sub><i>1</i></sub>); avremo rispettivamente seguendo il diagramma (e ricordando che <i><i><span class="texhtml" dir="ltr">δ</span></i>Q<sub>rev</sub>=TdS</i>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i>Q<sub>f</sub></i></i></span></i></i><i>=</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i>∫</i></span></i></i></i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><sub>S<sub>1</sub></sub><sup>S</sup></i></span></i></i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><sup><sub>2</sub></sup></span></i></i></i></span></i></i>TdS=T</i><i><sub>2</sub>(S</i><i><sub><i>2</i></sub>-</i><i>S</i><sub><i>1</i></sub><i>)</i> e <i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i>-Q<sub>c</sub>=</i></i></span></i></i></i></span></i></i></i><i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i>∫</i></span></i></i></i></i><i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><sub>S<sub>2</sub></sub><sup>S</sup></i></span></i></i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><sup><sub>1</sub></sup></span></i></i>TdS=</i></i><i>T<sub>1</sub></i><i><i>(</i></i><i>S</i><sub><i>1</i></sub><i><i>-S</i></i><i><i><sub><i>2</i></sub>)</i></i></div>
dove per definizione <i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i>Q<sub>f </sub></i></i></span></i></i>è il calore <i>fornito</i> <i><b>al</b></i> sistema mentre <i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i>-Q<sub>c</sub></i></i></span></i></i></i></span></i></i></i> è quello <i>ceduto</i> all'ambiente <i><b>dal</b></i> sistema.<br />
(<a href="http://www.raiscuola.rai.it/articoli/sadi-nicholas-carnot-la-macchina-termica-luniverso-della-meccanica/8889/default.aspx">Qui puoi vedere</a> un video di Rai Scuola che mostra bene il ciclo di Carnot!) <br />
<div>
<br />
Inoltre poiché la variazione di energia interna <i>∆U </i>è nulla alla fine del ciclo (essendo <i>U</i> una funzione di stato), il lavoro svolto dalla macchina sull'ambiente durante la trasformazione ciclica è <i>-L=Q</i> (essendo per il <a href="http://significatofisico.blogspot.com/2011/12/il-principio-di-conservazione_21.html">Primo principio della termodinamica</a> <i>∆U=L+Q</i>) e quindi si ha:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>-L=</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i>Q<sub>f</sub></i></i></span></i></i>-</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i>Q<sub>c</sub></i></i></span></i></i>=</i><i><i>T</i></i><i><i><sub><i>2</i></sub>(S</i></i><i><i><sub><i>2</i></sub>-</i></i><i>S</i><sub><i>1</i></sub><i><i>)+</i></i><i><i><i>T</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><sub><sub>1</sub></sub></i></span></i></i></i></span></i></i>(</i></i></i><i><i><i><i>S</i><sub><i>1</i></sub></i><i>-S</i><i><sub><i>2</i></sub>)</i></i>=(T</i><i><sub><i>2</i></sub>-</i><i>T<sub>1</sub></i><i>)(S</i><i><sub><i>2</i></sub>-</i><i>S</i><sub><i>1</i></sub><i>)</i><br />
<div style="text-align: left;">
essendo per definizione -<i>L</i> il lavoro fatto <i><b>dal</b></i> sistema e <i>Q=</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i>Q<sub>f</sub></i></i></span></i></i>-</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i>Q<sub>c</sub></i></i></span></i></i></i> il calore totale fornito <i><b>al</b></i> sistema (essendo <i><span class="texhtml" dir="ltr">Q</span><span class="texhtml" dir="ltr"><sub>f</sub></span>><span class="texhtml" dir="ltr">Q</span><span class="texhtml" dir="ltr"><sub>c</sub></span></i> risulta <i>-L>0</i>).</div>
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: si osservi che l'area del rettangolo <i>(T</i><i><sub><i>2</i></sub>-</i><i>T<sub>1</sub></i><i>)(S</i><i><sub><i>2</i></sub>-</i><i>S</i><sub><i>1</i></sub><i>) </i>rappresenta proprio il calore <i>Q</i> scambiato durante la trasformazione.</div>
</div>
<br />
Se ricordiamo che il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Rendimento_(termodinamica)">rendimento di una macchina termica</a> (o meglio l'efficienza di conversione calore/lavoro) è così definito:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>η<sub>rev</sub></i>=-L/<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>f</sub></span>=<span class="texhtml" dir="ltr">(Q<sub>f</sub></span>-<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>c</sub></span>)/<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>f</sub></span>=1-<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>c</sub></span>/<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>f</sub></span></i></div>
allora inserendo i valori di -<i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i>Q</i></i></span></i></i></i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><sub>c</sub></span></i> e <i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i>Q</i></i></span></i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><sub>f</sub></span></i> prima ricavati si ha:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>η<sub>rev</sub></i>=</i><i>1-<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>c</sub></span>/<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>f</sub></span>=1+T</i><i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><sub><sub>1</sub></sub></i></span></i></i></i></span></i></i></i>(</i><i>S</i><sub><i>1</i></sub><i>-S</i><i><sub><i>2</i></sub>)/T</i><i><sub><i>2</i></sub>(S</i><i><sub><i>2</i></sub>-</i><i>S</i><sub><i>1</i></sub><i>)=1-</i><i>T<sub>1</sub></i><i><i>/</i></i><i>T</i><sub><i>2</i></sub></div>
da cui segue un risultato fondamentale del ciclo reversibile di Carnot*:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>f</sub></span>/T</i><i><sub><i>2</i></sub>-<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>c</sub></span>/</i><i>T<sub>1</sub></i><i>=0</i>.</div>
<i>Nota</i>: si noti che se <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>T<sub>1</sub>=T<sub>2</sub></i></span> segue <span style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0); text-align: center;"><i>η<sub>rev</sub>=0</i></span> cioè senza una differenza di temperatura <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">∆T</i> non si può ottenere lavoro da una macchina termica.</div>
<div>
<br />
Al fine di generalizzare questo risultato per qualsiasi ciclo termodinamico, dividiamo in due cicli di Carnot quello precedente, come mostrato in figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Carnot_2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="430" data-original-width="577" height="148" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Carnot_2.png" width="200" /></a></div>
</div>
<div>
<br /></div>
<i>Nota</i>: nella zona di sovrapposizione delle adiabatiche (nel punto <i>(S<sub>1</sub>+S<sub>2</sub>)/2</i>) i contributi di lavoro si elidono, quindi il processo è equivalente a quello visto sopra di <i>una sola </i>macchina di Carnot che lavori tra <i>T<sub>1</sub></i> e <i>T</i><sub><i>2</i></sub>.<br />
<br />
Per estensione se consideriamo un qualsiasi ciclo termodinamico, la curva del diagramma <i>T-S</i> potrà essere approssimata quanto si vuole da un insieme infinito di cicli di Carnot (rappresentati da rettangolini di larghezza infinitesima <i>dS</i>), compresi tra le rispettive temperature dell'estremità superiore <i>T</i><i><sub>max</sub></i> e inferiore <i>T</i><i><sub>min</sub></i> come mostrato in figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Carnot_3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="429" data-original-width="615" height="139" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Carnot_3.png" width="200" /></a></div>
</div>
<br />
Perciò, come già visto sopra, per ogni rettangolo di larghezza infinitesima <i>dS</i> e altezza compresa tra <i>T</i><i><sub>max</sub></i> e <i>T</i><i><sub>min</sub></i> possiamo scrivere per gli incrementi infinitesimi di calore:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><span class="texhtml" dir="ltr"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i style="text-align: left;"><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i></span>Q<sub>f</sub></span>/T</i><i><sub>max</sub>-</i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i style="text-align: left;"><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i></span><i><span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>c</sub></span>/T</i><i><sub>min</sub>=0</i> </div>
e sommando su tutti gli infiniti rettangoli:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><span class="texhtml" dir="ltr">∫</span></i></i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><sub>ciclo</sub></i>δ</span></i>Q<sub>rev</sub>/T=0</i></div>
tale relazione è valida per qualsiasi ciclo termodinamico <i>reversibile</i>.<br />
<div>
<i>Nota</i>: lo stesso risultato si può ottenere su un diagramma <i>p-V</i> dove però i cicli di Carnot non sono rappresentati da un semplice rettangolo.<br />
<br />
Infine per estendere questo risultato notevole anche ai cicli <i>irreversibili</i>, enunciamo un precedente risultato** ottenuto da Carnot (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Carnot_(termodinamica)">Wikipedia</a>) <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">anch'esso equivalente al secondo principio della termodinamica</span>:<br />
<i>IV)</i> Carnot (1796-1832): il rendimento di una macchina termica <i>irreversibile</i> che lavora tra due temperature, è sempre minore del rendimento <i>η<sub>rev</sub></i> di una macchina equivalente ma reversibile: <i>η</i><i><i><sub>irr</sub></i></i><<i>η<sub>rev</sub></i>.<br />
<i>Nota</i>: si dimostra che il rendimento di <i>tutte</i> le macchine reversibili che lavorano tra <i>T<sub>1</sub></i> e <i>T</i><sub><i>2</i></sub> è lo stesso. <br />
<br />
Quindi essendo <i><i>η<sub>rev</sub></i>=1-<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>c</sub></span>/<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>f</sub></span></i> allora a parità di condizioni il calore ceduto<i> <span class="texhtml" dir="ltr">-Q<sub>c </sub></span></i>in un ciclo <i>irreversibile</i>, sarà maggiore (in valore assoluto) del caso reversibile (poiché deve risultare <i><i>η<sub>irr</sub></i><</i><i>η<sub>rev</sub></i>).<br />
Ciò significa che per ogni rettangolo infinitesimo del diagramma prima definito, ma per un ciclo irreversibile, si ha:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><span class="texhtml" dir="ltr"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i style="text-align: left;"><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i></span>Q<sub>f</sub></span>/T</i><i><sub>max</sub>-</i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i style="text-align: left;"><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i></span><i><span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>c</sub></span>/T</i><i><sub>min</sub><0</i> </div>
e perciò in generale per un qualsiasi ciclo irreversibile:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><span class="texhtml" dir="ltr">∫</span></i></i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><sub>ciclo</sub></i></span></i></i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr">δ</span></i>Q<sub>irr</sub>/T<0</i> </div>
che è la famosa <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Clausius">diseguaglianza di Clausius</a>***. <br />
<i>Nota</i>: per approfondire questa relazione vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/12/entropia-una-grandezza-anomala.html">Entropia: una grandezza anomala!</a>".<br />
<br />
(*) Se definiamo l'energia non più utilizzabile o <i>degradata</i> come <i>E<sub>d</sub>=L<sub>f</sub>-L</i> dove <i>L<sub>f</sub>=<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>f</sub></span></i>=<i>T</i><i><sub><i>2</i></sub></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i><span class="texhtml" dir="ltr"><i><i><i>∆S</i></i></i></span></i></i></span> è il lavoro fatto dalla macchina a <i>T<sub>2</sub></i> costante (isoterma) e <i>L=(1-T<sub>1</sub>/T<sub>2</sub> )<span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>f</sub></span></i> è quello a fine ciclo allora<i> E<sub>d</sub>=T<sub>2</sub><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span class="texhtml" dir="ltr">∆S-</span></span>T<sub>2</sub><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span class="texhtml" dir="ltr">∆S+</span></span>T<sub>1</sub><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span class="texhtml" dir="ltr">∆S=</span></span>T<sub>1</sub></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span class="texhtml" dir="ltr">∆S</span></i><span class="texhtml" dir="ltr"> cioè l'energia degradata è proporzionale all'aumento di entropia(!) con </span></span><i>E<sub>d</sub></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><span class="texhtml" dir="ltr">=-</span></i></span><i><span class="texhtml" dir="ltr">Q<sub>c</sub></span></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span class="texhtml" dir="ltr">.</span></span><br />
(**) Questo risultato è stato ottenuto da Carnot nel 1824 cioè prima (<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">per motivi anagrafici) </span>che Clausius e Kelvin enunciassero il secondo principio (da cui però viene solitamente derivato il teorema di Carnot!).</div>
<div>
(***) Si <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">può derivare la diseguaglianza di Clausius partendo</span> in modo indifferente da uno <i>qualsiasi</i> degli enunciati <i>I->IV</i> sopra esposti (dato che se ne può dimostrare l'equivalenza).</div>
</div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-11238786738005938862017-06-12T10:57:00.008+02:002023-08-04T18:56:58.665+02:00Coriolis e le coordinate Polari!La definizione di coordinate polari è semplice <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_coordinate_polari">Wikipedia</a>)</span>:<br />
<div>
“In matematica, il sistema di <i>coordinate polari</i> è un sistema di coordinate <i>bidimensionale</i> nel quale ogni punto del piano è identificato da un angolo <i>θ</i> e da una distanza <i>r</i> da un punto fisso <i>O</i> detto polo"; il polo può ad esempio coincidere con il centro di un sistema cartesiano (vedi figura).<br />
<br />
Inoltre è importante osservare che "un sistema di coordinate polari (<i>r,θ</i>) è in corrispondenza biunivoca con un sistema di coordinate cartesiane (<i>X,Y</i>), ossia ad un vettore di coordinate cartesiane ne corrisponde uno e uno solo in coordinate polari"; la corrispondenza tra le coordinate dei due sistemi nel primo quadrante (cioè per <i>x>0</i> e <i>y≥0</i>), è la seguente:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>x=rcosθ e y=rsinθ</i></div>
dove <i>r=(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>)<sup>1/2</sup></i> e <i>θ=arctan(y/x)</i> (essendo <i>y/x=</i><i>tanθ</i>).<br />
<i>Nota</i>: per gli altri valori di <i>x</i> e <i>y</i> si deve correggere la definizione di <i>θ</i> data sopra con il termine <i>kπ</i> (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_coordinate_polari#Conversione_da_coordinate_polari_a_cartesiane">Wikipedia</a>).<br />
<br />
Se le coordinate cartesiane sono ideali per descrivere i moti <i>traslazionali</i> quelle polari si adattano meglio ai moti <i>rotazionali</i> dato che esprimono il moto di un punto nella componente lungo <i>r</i> (che definisce l'<i>allontanamento</i> o l'<i>avvicinamento</i> dall'origine) e nella componente tangente a <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">θ</i> (che invece rappresenta la <i>rotazione</i> attorno all'origine).<br />
<br />
Consideriamo ad esempio un sistema cartesiano (<i>X,Y</i>) e facciamo coincidere il punto di origine <i>O</i> con il polo di un sistema di coordinate polari (<i>r,θ</i>) rispetto al quale viene descritto il moto di un punto <i>P</i>, come descritto in figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Coord_Polari.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="421" data-original-width="391" height="200" src="http://www.significatofisico.it/Blog_immagini/Coord_Polari.png" width="185" /></a></div>
</div>
<br />
Supponiamo che il punto <i>P</i> sia in moto rispetto al sistema di riferimento polare; indichiamo <i>P</i> con i vettori di posizione <i><b>P</b>(t)</i> o <i><b>P</b><sub>w</sub></i><i>(t)</i> a seconda che il sistema sia, rispettivamente, in quiete (cioè <i>w=0</i>) <i>oppure</i> in rotazione (<i>w</i> indica appunto la velocità di rotazione angolare del sistema polare).</div>
<div>
<i>Nota</i>: per la definizione del <i>vettore di posizione</i> vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2012/11/cos-il-vettore-di-posizione_23.html">Cos'è il Vettore di Posizione?</a>". <br />
<br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Iniziamo col ricavare le relazioni della velocità e della accelerazione di <i>P</i> in coordinate polari quando <i>w=0</i>;</span> in questo caso possiamo definire il vettore di posizione <i><b>P</b>(t)</i> come:</div>
<div>
<div style="text-align: center;">
<i><b>P</b>(t)=r(t)<b>e</b><sub>r</sub>(t)</i></div>
dove <i><b>e</b><sub>r</sub></i> indica il <i>versore radiale</i> (cioè un vettore unitario con origine in <i>O</i> e direzione lungo <i>r</i> come mostrato in figura); questa relazione, che lega la posizione di <i>P</i> ad ogni istante <i>t</i>, è chiamata legge oraria del moto.<br />
<i>Nota</i>: ricordiamo invece che in coordinate cartesiane (bidimensionali) si ha: <i><b>P</b>(t)=<b>i</b>(t)x(t)+<b>j</b>(t)y(t)</i> dove <i><b>i</b>(t)</i> e <i><b>j</b>(t)</i> sono i relativi versori. <br />
<br />
Se quindi vogliamo trovare la velocità <i><b>v</b>(t)</i> basta derivare <i><b>P</b>(t)</i> rispetto al tempo e si ottiene (l'apice indica la derivata rispetto al tempo):</div>
<div>
<div style="text-align: center;">
<i><b> <i><b>v</b></i></b><i>(t)=d</i><b>P</b>(t)/dt=r</i><i>'</i><i><b>e</b><sub>r</sub>+</i><i>r<b>e</b></i><i>'</i><i><sub>r</sub></i><i><i>=</i></i><i>r'<b>e</b><sub>r</sub>+</i><i>r</i><i><i>θ</i></i><i><i><i><i>'</i></i></i><b>e</b><sub>θ</sub></i></div>
poiché si può facilmente mostrare* che <i><b>e</b></i><i><i>'</i><sub>r</sub>=θ'<b>e</b><sub>θ</sub></i> dove <i><b>e</b><sub>θ</sub></i> indica il <i>versore tangente</i> a <i><i>θ</i></i> (e quindi perpendicolare a <i><b>e</b><sub>r</sub></i>)** diretto in verso antiorario.<br /><i>Nota</i>: si osservi che il versore <i><b>e</b><sub>θ</sub></i> viene introdotto proprio per definire <i><b>e</b></i><i><i>'</i><sub>r</sub></i>. <br />
<br />
Si osservi come la velocità<i><b> <i><b>v</b></i></b><i>(t)</i></i> del punto <i>P</i> sia composta in ogni istante da una componente radiale <i><i><b> <i><b>v</b></i></b></i></i><i><i><i><i><sub>r</sub></i></i><i>=</i></i></i><i>r'<b>e</b><sub>r</sub></i> e una angolare <i><i><b><i><b>v</b></i></b></i></i><i><i><i><i><sub><i>θ</i></sub></i></i><i>=</i></i></i><i>r</i><i><i>θ</i></i><i><i><i><i>'</i></i></i><b>e</b><sub>θ</sub></i> ad essa perpendicolare (abbiamo omesso per semplicità la variabile <i>t</i>).<br />
<br />
Inoltre l'accelerazione <i><b>a</b>(t) </i>si ottiene a sua volta per derivazione di <i><b>v</b>(t)</i>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><b><i><b><i><b>a</b></i></b></i></b><i><i>(t)=d</i></i><i><b style="font-weight: bold;">v</b></i><i>(t)/dt=</i></i><i>r''<b>e</b><sub>r</sub></i><i>+</i><i>r'<b>e</b>'<sub>r</sub></i><i>+</i><i>r</i><i><i>'θ</i>'<b>e</b><sub>θ</sub></i><i><i><i>+</i></i></i><i>r</i><i><i>θ</i>''<b>e</b><sub>θ</sub></i><i><i><i><i><i>+r</i><i><i>θ</i>'<b>e</b>'<sub>θ </sub></i></i></i></i></i></div>
ed essendo <i><i><b style="font-weight: bold;">e</b>'</i><i><sub>θ</sub></i></i><i>=-θ'</i><i><b>e</b><sub>r</sub></i> (vedi la nota*) segue raccogliendo i termini:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><b><i><b><i><b>a</b></i></b></i></b><i><i>(t)=(</i></i></i><i>r''-r</i><i><i><i><i><i><i><i>θ</i>'</i></i></i></i></i></i><i><i><sup>2</sup></i>)<b>e</b><sub>r</sub></i><i>+</i><i>(r</i><i><i>θ</i>''</i><i><i><i><i><i>+2r'</i><i><i>θ</i>')<b>e</b><sub>θ</sub></i></i></i></i></i>.</div>
<br />
Come per la velocità, anche l'accelerazione è composta da una componente radiale <i><i><b>a</b></i></i><i><i><i><i><sub>r</sub></i></i><i>=</i></i></i><i><i><i>(</i></i></i><i>r''-r</i><i><i><i><i><i><i><i>θ</i>'</i></i></i></i></i></i><i><i><sup>2</sup></i>)<b>e</b><sub>r</sub></i> (dove compare l'<i>accelerazione centripeta</i> <i>-r</i><i><i><i><i><i><i><i>θ</i>'</i></i></i></i></i></i><i><i><sup>2</sup></i></i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><b>e</b><sub>r</sub></i> diretta verso l'interno) e una angolare <i><i><b>a</b></i></i><i><i><i><i><sub><i><i><i><i><i>θ</i></i></i></i></i></sub></i></i><i>=</i></i></i><i>(r</i><i><i>θ</i>''</i><i><i><i><i><i>+2r'</i><i><i>θ</i>')<b>e</b><sub>θ</sub></i></i></i></i></i> (con il termine <i><i><i><i><i>2r'</i><i><i>θ</i>'</i></i></i></i></i><i><i><i><i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><b>e</b><sub>θ</sub></i></i></i></i></i> detto <i>accelerazione di Coriolis</i>, nel caso in cui <i>w=0</i>).<br />
<br />
Supponiamo adesso che il sistema di coordinate polari (<i>r,θ</i>) ruoti intorno all'asse <i>Z</i> con <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0_angolare">velocità angolare</a> <i>w(t)</i> (sempre in riferimento alla figura precedente); indichiamo quindi con <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(<i>r,<u>θ</u></i>)</span> il sistema in rotazione con i relativi versori <i><u><b>e</b></u><sub>r</sub></i> ed <i><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i> (si noti che <i>r</i> è invariato nei due riferimenti).<br />
<br />
In questo caso per derivare il moto di <i>P</i>, rispetto al sistema polare in rotazione (<i>r,<u>θ</u></i>), introduciamo il vettore di posizione <i><b><i><b>P</b></i></b><sub>w</sub>(t)</i>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><b><i><b>P</b></i></b><sub>w</sub>(t)</i><i>=r(t)<u><b>e</b></u><sub>r</sub>(t)</i>.</div>
Perciò oltre alla nuova velocità angolare <u><i><b>θ</b></i></u>' di <i><i><b><i><b>P</b></i></b><sub>w</sub></i>(t)</i> dovremo considerare anche la velocità di rotazione <i><b>w</b></i> del sistema di riferimento; basterà quindi fare la seguente sostituzione nelle equazioni sopra di <i><b>v</b>(t)</i> e <i><b>a</b>(t)</i>, per ottenere la velocità <i><b>v</b></i><i><i><sub>w</sub></i>(t)</i> e l'accelerazione <i><b>a</b><sub>w</sub></i><i>(t)</i> rispetto al sistema in <i>rotazione</i>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><b>θ</b>'=</i><i>(<u><b>θ</b></u>'+</i><i><b>w</b>)</i><br />
<div style="text-align: left;">
essendo in generale la velocità angolare misurata dalla piattaforma:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><u><b>θ</b></u>'=</i><i><b>θ'</b>-</i><i><b>w</b></i>.</div>
Risulta infatti <i><b>θ</b>'=</i><i><u><b>θ</b></u>'</i> quando <i>w=</i><i>0</i> (cioè in assenza di rotazione) e <i><b>θ</b>'=<b>w</b></i> quando <i><b><i><b>P</b></i></b><sub>w</sub></i> ruota solidale con la piattaforma (cioè <i><u>θ</u>'=0</i>).<br />
<i>Nota</i>: la differenza dei due vettori <i><b>θ</b>'</i> e <i><b>w</b></i> definisce un terzo vettore <i><u><b>θ</b></u>'</i> posto anch'esso lungo l'asse <i>Z</i> di modulo <i>(θ'-w)</i>.</div>
</div>
<br />
Sostituendo perciò a <i>θ'</i> il valore di <i>(<u>θ</u>'+</i><i>w)</i> e indicando con <i><u><b>e</b></u><sub>r</sub></i> ed <i><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i> i versori del sistema in rotazione, si ottengono direttamente le seguenti relazioni.<br />
Per la velocità:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><b><i><b>v</b></i></b><i>(t)</i></i><i>=</i><i>r'<u><b>e</b></u><sub>r</sub>+</i><i>r</i><i>(<u>θ</u>'+</i><i>w)</i><i><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i><i>=</i><i><i><b><i><b>v</b></i></b><i><i><sub>w</sub></i></i></i>+</i><i>wr</i><i><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i></div>
dove <i><b><i><b>v</b></i></b></i><i><i><i><i><i><i><i><i><sub>w</sub></i></i></i></i></i></i>=d</i></i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><b><i><b>P</b></i></b><sub>w</sub></i><i><i>/dt=</i></i><i>r'<u><b>e</b></u><sub>r</sub>+</i><i>r</i><u><i><i>θ</i></i></u><i><i><i><i>'</i></i></i><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i> è la velocità rispetto al riferimento rotante (essendo <i><b><i><b>P</b></i></b><sub>w</sub></i><i>=r<u><b>e</b></u><sub>r</sub></i>), mentre il termine <i>w</i><i>r<u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i> è chiaramente dovuto alla rotazione angolare <i>w</i> del sistema in moto.<br />
<i>Nota</i>: possiamo anche scrivere, sotto forma di prodotto vettoriale: <i>wr<u><b>e</b></u><sub>θ</sub>=<b>w</b>x<b><b>P</b></b><sub>w</sub></i> poiché il vettore <i>wr</i><i><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i> è perpendicolare sia a <i><b>w</b></i> che a <i><i><b><i><b>P</b></i></b><sub>w</sub></i></i>.<br />
<br />
E quindi anche per l'accelerazione avremo per sostituzione:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><b><i><b><i><b>a</b></i></b></i></b></i><i><i><i>(t)=[</i></i></i><i>r''-r</i><i>(<u>θ</u>'+</i><i>w)</i><i><i><sup>2</sup></i>]<u><b>e</b></u><sub>r</sub></i><i>+</i><i>[r</i><i><i><i>(<u>θ</u>'+</i><i>w)</i></i>'</i><i><i><i><i><i>+2r'</i></i></i></i></i><i><i><i><i><i><i><i>(<u>θ</u>'+</i><i>w)]</i></i><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i></i></i></i></i></div>
e sviluppando i vari termini nelle parentesi si ha<br />
<div style="text-align: center;">
<i><b><i><b><i><b>a</b></i></b></i></b></i><i><i><i>(t)=</i></i></i><i><b><i><b><i><b>a</b></i></b></i></b></i><i><i><i><i><i><i><sub>w</sub></i></i></i></i></i></i><i><i><i>+2w(r'</i></i></i><i><i><i><i><i><i><i><i><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i></i></i></i></i>-r</i></i></i><i><u>θ</u>'</i><i><u><b>e</b></u><sub>r</sub></i><i>)-r</i><i>w</i><i><i><sup>2</sup></i><u><b>e</b></u><sub>r</sub></i><i>+rw'</i><i><i><i><i><i><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i></i></i></i></i></div>
dove <i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="text-align: center;"><b>a</b></span><span style="text-align: center;"><sub>w</sub></span></span>=d<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><b>v</b><sub>w</sub></span>/dt</i><i><i><i>=(</i></i></i><i>r''-r</i><i><i><i><i><i><i><u><i>θ</i></u>'</i></i></i></i></i></i><i><i><sup>2</sup></i>)<u><b>e</b></u><sub>r</sub></i><i>+</i><i>(r</i><i><u><i>θ</i></u>''</i><i><i><i><i><i>+2r'</i><i><u><i>θ</i></u>')<u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i></i></i></i></i> è l'accelerazione rispetto al riferimento rotante (essendo <i><b><i><b>v</b></i></b></i><i><i><i><i><i><i><i><i><sub>w</sub></i></i></i></i></i></i>=</i></i><i>r'<u><b>e</b></u><sub>r</sub>+</i><i>r</i><u><i><i>θ</i></i></u><i><i><i><i>'</i></i></i><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i>) mentre risulta <i>rw'<u><b>e</b></u><sub>θ</sub>=0</i> se la rotazione <i>w</i> del sistema è costante.<br />
<br />
Si osservi che essendo <i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><b>v</b><sub>w</sub></span>=r'<u><b>e</b></u><sub>r</sub>+r<u>θ</u>'<u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i> la velocità rispetto al riferimento rotante, allora il termine (<i>r'<u><b>e</b></u><sub>θ</sub>-r<u>θ</u>'<u><b>e</b></u><sub>r</sub></i>) rappresenta un vettore perpendicolare a <i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><b>v</b><sub>w</sub></span></i> (poiché <i>(r'<u><b>e</b></u><sub>r</sub>+r<u>θ</u>'<u><b>e</b></u><sub>θ</sub>)x(r'<u><b>e</b></u><sub>θ</sub>-r<u>θ</u>'<u><b>e</b></u><sub>r</sub>)=0</i>); perciò possiamo anche scrivere: <i>2w(r'<u><b>e</b></u><sub>θ</sub>-r<u>θ</u>'<u><b>e</b></u><sub>r</sub>)=2<b>w</b>x<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><b>v</b><sub>w</sub></span></i> che è un vettore perpendicolare a <i><b>w</b></i> e <i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><b>v</b><sub>w</sub></span></i>.<br />
<i>Nota</i>: inoltre il vettore (<i>r'<u><b>e</b></u><sub>θ</sub>-r<u>θ</u>'<u><b>e</b></u><sub>r</sub></i>), a causa della componente lungo <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i>, ha la stessa direzione della rotazione <i>w</i>.</div>
<div>
<br />
Determiniamo ora quali sono le forze a cui è sottoposta una massa <i>m</i> rispetto al riferimento in rotazione con velocità costante <i>w</i>; avremo, secondo la legge di Newton applicata in modo <i>improprio</i> ad un sistema non inerziale <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(perché così introduciamo delle forze che non sono reali)</span>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i><i><b>F</b></i></i></i><i><i><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i><i><i><i><i><sub>w</sub></i></i></i></i></i></i></span>=m</i></i></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><b>a</b></i></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i><i><i><i><i><sub>w</sub></i></i></i></i></i></i></span><i><i><i>=</i></i></i><i><i><i><i><i><i>m</i></i></i></i></i></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><b>a</b></i></span><i><i><i>-</i></i></i><i><i><i>2</i></i></i><i><i><i><i><i><i>m</i></i></i>w(r'</i></i></i><i><i><i><i><i><i><i><i><u><b>e</b></u><sub>θ</sub></i></i></i></i></i>-r</i></i></i><i><u>θ</u>'</i><i><u><b>e</b></u><sub>r</sub></i><i>)+</i><i><i><i><i>m</i></i></i>r</i><i>w</i><i><i><sup>2</sup></i><u><b>e</b></u><sub>r</sub></i></div>
dove il secondo termine rappresenta la cosiddetta <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Forza_di_Coriolis">forza di Coriolis</a> (<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">il <i>meno</i> indica la direzione contraria alla rotazione <i>w</i></span>, vedi la nota sopra) mentre il terzo termine è la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Forza_centrifuga">forza centrifuga</a> (<i>positiva</i> perché diretta verso l'esterno).<br />
<br />
Entrambe queste forze sono dette <i>apparenti</i>, cioè non generate dalla reale interazione con altri corpi, perché dovute esclusivamente alla rotazione <i>w</i> del sistema di riferimento<i> </i>(infatti esse si annullano per <i>w=0</i>), mentre solo <i><i><i><b>F</b></i></i></i><i><i><i>=m</i></i></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><b>a</b></i></span> è la forza reale applicata a <i>P</i> (in entrambi i riferimenti)***.<br />
<i>Nota</i>: per chiarimenti sulle forze apparenti vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/03/una-forza-del-tutto-apparente_30.html">Una forza del tutto... apparente!</a>". <br />
<div>
(<a href="https://www.youtube.com/watch?v=dt_XJp77-mk">Qui puoi vedere</a> un video del MIT che mostra in pratica l'effetto Coriolis!)<br />
<br />
(*) Consideriamo la variazione infinitesima <i>∆</i><i><i><b>e</b><sub>r</sub></i>=</i><i><b>e</b><sub>r</sub>(t+</i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">∆</i><i>t)</i>-<i><b>e</b><sub>r</sub>(t)</i>=<i>∆</i><i><i>e<sub>r</sub></i></i><i><b>e</b><sub>θ </sub></i>(risulta <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>∆</i><i><i>e<sub>r</sub></i></i><i><b>e</b><sub>θ</sub></i></span> poiché <i>∆</i><i><i><b>e</b><sub>r </sub></i></i>unisce le punte dei due vettori <i>differenza</i> ed è diretto come <i><b>e</b><sub>θ</sub></i>, vedi la nota**) da cui <i style="background-color: rgba(255, 255, 255, 0); font-style: italic;"><i><i><b style="font-weight: bold;">e</b>'</i></i><i><i><sub>r</sub></i></i></i><i>=lim<i><i>∆</i><b><i><i><b>e</b></i></i></b><i><i><sub>r</sub></i></i></i>/</i><i><i>∆t</i>=lim(∆e<sub>r</sub>/∆t)</i><i><i><b>e</b><sub>θ</sub></i>=</i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">θ'</i><i><i><b>e</b><sub>θ</sub></i></i>. Analogamente si ricava che <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i><b>e</b>'</i></i><i><i><i><i><sub>θ</sub></i></i></i></i></span><i>=lim</i><i><i><i>∆</i></i></i><i><i><b><i><i><b><i><i><b>e</b></i></i></b></i></i></b><i><i><i><i><sub>θ</sub></i></i></i></i></i>/</i><i><i>∆t</i>=lim(-∆</i><i><i><i>e<sub>θ</sub></i></i>/∆t)</i><i><i><b><i><i><b>e</b></i></i></b><i><i><sub>r</sub></i></i></i>=-</i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">θ'</i><i><i><b>e</b><sub>r</sub></i></i> (il <i>meno</i> è dovuto alla rotazione antioraria di <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">θ(t)</i> e indica <span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif">il verso opposto a<span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif"> </span></span><span face=""helvetica neue light" , , "helvetica" , "arial" , sans-serif"><i><i><b>e</b><sub>r</sub></i></i>).</span><br />
<div>
<div>
(**) In generale per un versore <b><i>u</i></b> si ha <i><b>u</b>x<b>u</b>=1</i> (prodotto scalare) e quindi derivando <i>d(<b>u</b></i><i><i>x</i><b>u</b>)/dt=<b>u</b>'</i><i><i>x</i></i><i><b>u</b>+<b>u</b></i><i><i><i>x</i></i><b>u</b>'=2<b>u</b>'</i><i><i><i>x</i></i><b>u</b>=0</i> ciò implica che <i><b>u</b>'</i> è sempre perpendicolare a <b><i>u</i></b> (e ciò vale anche per <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i><b>e</b></i></i><i><i><i><i><sub>r</sub></i></i></i></i></span> e <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i><b>e</b><sub>θ</sub></i></i></span>).<br />
(***) Se <i>P</i> ruota solidale con la piattaforma allora <i>r'=0</i> e <i><u>θ</u>'=0</i> (e quindi <i>w=θ'</i>) perciò si ha <i><b>F</b><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><sub>w</sub></span>=m<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><b>a</b></span>+mrw<sup>2</sup><u><b>e</b></u><sub>r</sub>=0</i> essendo <i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><b>a</b></span>=-rθ'<i><sup>2</sup></i></i><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><b>e</b><sub>r</sub></i> l'accelerazione centipreta (vedi sopra con <i>θ'=w</i>): quindi nel sistema in rotazione dove <i>P</i> è in quiete, la forza centripeta viene bilanciata dalla forza <i>apparente</i> centrifuga.<br />
(Vedi anche il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.com/2011/03/una-forza-del-tutto-apparente_30.html">Un forza del tutto... apparente!</a>")</div>
</div>
</div>
</div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-82047881644327183412015-08-05T10:25:00.007+02:002023-02-04T01:15:43.542+01:00Onde, armoniche e... Fourier!Abbiamo già trattato la definizione formale della funzione periodica di un'onda nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/07/ma-cos-una_12.html">Ma cos'è una 'Onda?'</a>" (a cui rimandiamo); qui vogliamo invece approfondire un aspetto importante dei moti oscillatori che riguarda le cosiddette <i>frequenze armoniche </i>così definite:<br />
"Nello studio dei fenomeni oscillatori, le <b>frequenze armoniche</b> sono le <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Frequenza" title="Frequenza">frequenze</a> il cui valore è multiplo intero della frequenza base (<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Frequenza_fondamentale" title="Frequenza fondamentale">frequenza fondamentale</a>) di un'<a class="mw-redirect" href="https://it.wikipedia.org/wiki/Onda_%28fisica%29" title="Onda (fisica)">onda</a>" (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Armonica_%28fisica%29">Wikipedia</a>).<br />
<br />
Questa semplice definizione riguarda un aspetto fondamentale delle funzioni periodiche che trae origine dall'<b>analisi di Fourier</b>: "Una branca di ricerca che prende il suo stimolo dalle ricerche di <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Jean_Baptiste_Joseph_Fourier" title="Jean Baptiste Joseph Fourier">Jean Baptiste Joseph Fourier</a>, che nei primi anni dell'<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/XIX_secolo" title="XIX secolo">ottocento</a>, riuscì a dimostrare che una qualunque <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_periodica" title="Funzione periodica">funzione periodica</a> poteva essere vista come una somma di infinite 'opportune' funzioni sinusoidali (<a class="mw-redirect" href="https://it.wikipedia.org/wiki/Seno_%28trigonometria%29" title="Seno (trigonometria)">seno</a> e <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Coseno" title="Coseno">coseno</a>)" (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_di_Fourier">Wikipedia</a>).<br />
<br />
Infatti, sotto alcune ipotesi non troppo restrittive (vedi oltre), esiste una serie convergente (detta appunto di Fourier), grazie alla quale possiamo esprimere una funzione <i>periodica</i> <i>f(t)</i> (con periodo <i>2π</i>) nel modo seguente:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>f(t)=(1/2)a<sub>0</sub>+a<sub>1</sub>cos(wt)+...+a<sub>n</sub>cos(nwt)+b<sub>1</sub>sin(wt)+...+b<sub>n</sub>sin(nwt)</i><br />
<div style="text-align: left;">
dove<i> </i><i><i>a</i></i><i><sub>n</sub></i> e <i>b<sub>n</sub></i> sono opportuni coefficienti (con <i>n=0, 1, 2, ...</i>), <i>w=2π/T</i> è la pulsazione dell'onda base e i termini <i>n/T</i> definiscono le frequenze armoniche prima introdotte (per <i>n=1</i> si ha la frequenza fondamentale <i>1/T</i>).</div>
</div>
<i>Nota</i>: una funzione <i>f(t)</i> è periodica (di periodo <i>T</i>) se risulta <i>f(t)=f(t+T)</i> ed è sempre possibile associarle una nuova funzione <i>g(t)=f(tT/2π)</i> di periodo <i>2π</i>.<br />
<br />
Senza dare una dimostrazione della serie di Fourier (per questo vedi il post su <a href="http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=2308">Vialattea.net</a>), diciamo solo che la relazione è vera se <i>f(t)</i> non solo è periodica ma è anche <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_continua">continua</a> (almeno a tratti) nell'intervallo <i>[-π, π]</i>; mentre i coefficienti <i>a<sub>n</sub></i> e <i>b<sub>n</sub></i> sono così definiti*:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>a<sub>n</sub>=(1/π)∫<sub>-π</sub><sup>π</sup>f(t)cos(nwt)dt e b<sub>n</sub>=(1/π)∫<sub>-π</sub><sup>π</sup>f(t)sin(nwt)dt.</i><br />
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: per vedere come vengono calcolati i coefficienti si veda ad esempio lo sviluppo in serie della funzione a dente di sega (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Fourier#Esempio">Wikipedia</a>).<br />
(Vedi anche le ottime <a href="https://www.youtube.com/watch?v=4kp82f9GTac&list=PLTxgmn4uQoHpGZEBAfKX1rZ1ivFwsmDei">lezioni</a> di Marco Codegone sulla serie di Fourier) </div>
</div>
<br />
Per chiarire il significato fisico alla serie di Fourier, supponiamo che le onde armoniche in essa contenute siano onde di tipo acustico e quindi che la nostra funzione <i>f(t)</i> rappresenti un particolare suono, come ad esempio quello emesso da uno strumento musicale.<br />
<br />
Questo suono sarà costituito dalla nota di frequenza fondamentale <i>1/T</i> sommata a quelle di tutte le armoniche di frequenza <i>n/T</i> che però sono di minore intensità (affinché la serie converga); ad esempio, se la frequenza base è quella della nota<i> la </i><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Diapason">corista</a> (cioè quella del diapason fissata per definizione a <i>440Hz</i>), le varie armoniche sovrapposte ad essa definiscono il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Timbro_%28musica%29">timbro della nota</a>, che caratterizza lo strumento da cui è stata emessa.<br />
<i>Nota</i>: fatta eccezione per il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Diapason">diapason</a> (a mono frequenza) ogni strumento musicale emette, oltre a quella fondamentale, le sue <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Armonici_naturali">proprie armoniche</a>.<br />
<br />
Sorprendentemente il nostro cervello riconosce le varie armoniche contenute in un qualsiasi suono <i>f(t)</i> <i>come se</i> effettuasse l'analisi di Fourier dell'onda, la quale viene percepita dal nostro <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Orecchio_interno">orecchio interno</a>**; in questo modo possiamo riconoscere non solo la nota fondamentale di un dato suono ma anche le sue armoniche che definiscono il <i>timbro</i> della nota emessa.<br />
<br />
È sulla base di questa capacità di analisi del nostro cervello e del suo gradimento per la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Consonanza_e_dissonanza">consonanza</a> tra due o più note (cioè la coincidenza degli armonici e l'assenza di <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Battimenti_%28musica%29">battimenti</a>) che è stata costruita la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Intonazione_naturale">scala naturale</a> delle sette note musicali; una volta scelta una nota di riferimento (che chiameremo <i>do</i>) le altre note sono le armoniche di quella base: il <i>sol</i> ad esempio è la terza armonica del <i>do</i>, il <i>mi</i> la quinta, il <i>re</i> la nona e così via fino a formare la scala di <i>do</i> maggiore (per trasposizioni di ottava)***.<br />
<div>
<i>Nota</i>: per un approfondimento su questi argomenti vedi l'articolo di Andrea Frova "<a href="http://www.mindfulness.palermo.it/PDFS/Musica%20e%20Scienza_Interazioni%20forti.pdf">Interazioni Forti: Musica e Scienza</a>".<br />
<br />
(*) Per ottenere i coefficienti <i>a<sub>n</sub></i> e <i>b<sub>n</sub></i> basta moltiplicare <i>f(t)</i> (di cui supponiamo esista la serie sopra definita) per <i>cos(nwt)</i> oppure per <i>sin(nwt)</i> e quindi integrarla tra <i>π</i> e <i>-π</i>; una volta integrati i prodotti dei vari seni e coseni, i termini si annullano tutti, tranne quello al quadrato relativo al coefficiente <i>n-esimo</i> considerato (la cui integrazione è pari a <i>π</i>).<br />
(**) È la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Coclea_%28anatomia%29#Funzione">membrana basilare</a>, contenuta nell'orecchio interno, che si mette a vibrare in funzione delle varie frequenze armoniche che costituiscono il suono percepito; queste vibrazioni (spazialmente separate sulla membrana, in relazione alla frequenza) vengono trasmesse al cervello attraverso distinti segnali elettrici, corrispondenti alle varie zone della membrana.<br />
(*** ) Se la nota <i>do</i> ha frequenza <i>1</i> allora la seconda armonica avrà frequenza <i>2</i> (è il <i>do</i> dell'ottava superiore) mentre la terza armonica avrà frequenza <i>3</i> che (per ricondurla alla prima ottava) dobbiamo dividere per <i>2</i> ottenendo la frequenza <i>3/2</i> che chiameremo <i>sol</i> etc.; si ottiene così tutta la scala naturale.</div>
<div>
(Si ricordi che raddoppiando la frequenza si ottiene sempre la <i>stessa</i> nota, ma di un'ottava più alta.)<br /><br />[<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Fourier">Trasformata di Fourier</a>: quando la funzione <i>f(t)</i> non è periodica si può estendere la serie facendo il limite di <i>T -> ∞</i> e quindi <i>w=2π/T</i> si trasforma in <i>dw</i> e si integra tra tutte le frequenze che costituiscono il segnale ottenendo quella che viene chiamata la trasformata di Fourier]<br /></div>qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-48036950540957542032014-07-10T11:07:00.003+02:002019-12-18T17:59:20.930+01:00Il calcolo degli stati di energia: dN=g(E)dEIn questo post approfondiremo quanto già accennato in "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/05/l-secondo-boltzmann_6.html">L'Entropia secondo Boltzmann</a>" (a cui rimandiamo) a proposito della relazione tra energia cinetica <i>E</i>, quantità di moto <i><b>p</b></i> di una particella libera e il fattore di probabilità <i>g(E)</i> di ogni livello <i>E</i> del sistema di particelle considerato.<br />
<div>
<br />
Ricordiamo che valendo la relazione classica <i>E=p<sup>2</sup>/2m=(p<sub>x</sub><sup>2</sup>+p<sub>y</sub><sup>2</sup>+p<sub>z</sub><sup>2</sup>)/2m</i> ciò significa che ad un dato livello di energia <i>E</i> (scalare) possono corrispondere diverse orientazioni di <i><b>p </b></i>(vettore) e che quindi è diversa la probabilità che le particelle occupino un dato stato di energia.<br />
<i>Nota</i>: consideriamo particelle libere e puntiformi (come quelle di un <a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/10/un-gas-ideale-o-perfetto_3265.html">gas ideale</a>) perciò la loro energia sarà solo quella cinetica (trascuriamo cioè quella potenziale e di rotazione). <br />
<br />
Ora in accordo con la nostra ipotesi statistica delle distribuzioni possibili di un sistema di particelle (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/05/l-secondo-boltzmann_6.html">L'Entropia secondo Boltzmann</a>"), si avrà che i vari livelli di energia hanno una diversa probabilità di essere occupati in relazione al numero di stati possibili <i>N(E)</i> (da non confondere col numero di particelle) che corrispondono ad una fissata energia <i>E</i>.<br />
<br />
Ci proponiamo perciò di trovare, considerando una variazione <i>continua</i> di energia (ciò vale per grandi volumi come vedremo), il numero elementare <i>dN</i> di stati compresi nell'intervallo infintesimo <i>dE</i>;<i> </i>vogliamo cioè ricavare il cosiddetto <i>fattore di degenerazione</i> dei livelli <i>g(E)=dN(E)/dE</i>.<br />
<br />
Si osservi innanzitutto che se fissiamo la quantità di moto <i>p</i> allora tutte le possibili orientazioni del vettore <i><b>p</b></i> (posto in un punto qualsiasi dello spazio) definiscono un guscio sferico di area <i>4πp<sup>2</sup></i> e quindi gli stati con momento compreso tra <i>p</i> e <i>p+dp</i> saranno compresi nello strato sferico <i>4πp<sup>2</sup>dp</i>.<br />
<i>Nota</i>: stiamo in effetti considerando lo <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_delle_fasi">spazio delle fasi</a> dove alle coordinate spaziali sono associate le coordinate dei momenti.<br />
<br />
Se ora consideriamo tutto lo spazio contenuto nel volume <i>V</i> (dove sono confinate le particelle) otteniamo che il numero elementare di stati <i>dN</i> con momento compreso tra <i>p</i> e <i>p+dp</i> è dato da (basta moltiplicare <i>4πp<sup>2</sup>dp</i> per <i>V</i> cioè per tutti i possibili punti di applicazione di <b><i>p</i></b>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>dN=CV4πp<sup>2</sup>dp</i></div>
dove il fattore <i>C</i> è una costante dimensionale da definire. <br />
<br />
Poiché vogliamo esprimere <i>dN</i> in funzione di <i>dE</i>, utilizziamo la relazione differenziale <i>dp=(1/2)(2m)<sup>1/2</sup>E<sup>-1/2</sup></i><i>dE</i> (essendo <i>p=(2mE)</i><i><sup>1/2</sup></i>) e sostituiamo i valori di <i>dp</i> e <i>p<sup>2</sup></i> nell'equazione precedente:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>dN=</i><i><i>2π</i>CV</i><i>(2m)<sup>3/2</sup>E<sup>1/2</sup>dE</i></div>
e quindi in definitiva si ottiene<br />
<div style="text-align: center;">
<i>g(E)=dN/dE=2πCV(2m)<sup>3/2</sup>E<sup>1/2</sup></i>.<br />
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: se vogliamo trattare <i>g(E)</i> come una funzione di probabilità dobbiamo normalizzare a <i>1</i> l'integrale di <i>dN=g(E)dE</i> introducendo la costante di normalizzazione <i>1/N</i> (vedi <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Normalizzazione_%28matematica%29#Probabilit.C3.A0">Wikipedia</a>).</div>
</div>
<br />
Resta perciò da determinare la costante <i>C</i> che tuttavia può essere ottenuta solo attraverso considerazioni di tipo quantistico, in particolare facendo riferimento al caso tipico di una <i>buca di potenziale</i> (vedi <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Buca_di_potenziale">Wikipedia</a>).<br />
<br />
Infatti in questo modello teorico si ottiene che i possibili livelli discreti di energia <i>E</i> di una particella, contenuta in un volume cubico di lato <i>a</i>, sono dati dalla relazione:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>E=(h<sup>2</sup>/8ma<sup>2</sup>)k<sup>2</sup></i></div>
dove <i>k<sup>2</sup>=n<sub>1</sub><sup>2</sup>+n<sub>2</sub><sup>2</sup>+n<sub>3</sub><sup>2</sup></i> (con <i>n<sub>1</sub></i>, <i>n<sub>2</sub></i> e <i>n<sub>3</sub></i> interi positivi) e <i>h</i> è la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Planck">costante di Planck</a>; è chiaro che i livelli di energia dipendono dal parametro <i>k</i> (essendo <i>h<sup>2</sup>/8ma<sup>2</sup></i> una quantità costante), cioè da quali e quanti valori può assumere questo parametro discreto nell'intervallo considerato. <br />
<i>Nota</i>: si osservi che per grandi volumi (cioè per <i>a</i> elevati) i livelli discreti <i>E</i> formano in pratica uno spettro continuo di energia. <br />
<br />
Ebbene poiché <i>k</i> può essere visto come un punto nello spazio di coordinate (<i>n<sub>1</sub></i>, <i>n<sub>2</sub></i>, <i>n<sub>3</sub></i>), allora tutti gli stati <i>N</i> di energia saranno compresi nel volume di una sfera di raggio <i>k</i> (con <i>k>>0</i> per avere una buona approssimazione) moltiplicato per il fattore <i>1/8</i> (poiché consideriamo solo gli interi positivi): <br />
<div style="text-align: center;">
<i>N=(1/8)(4/3)πk<sup>3</sup></i>.<br />
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: data una sfera centrata nell'origine, se consideriamo solo lo spicchio compreso tra gli assi positivi il volume si riduce a <i>1/8</i> della sfera.</div>
</div>
<br />
A questo punto dalla relazione precedente di <i>E</i> possiamo ricavare <i>k<sup>3</sup></i> (basta elevare <i>k<sup>2</sup></i>=<i>(8ma<sup>2</sup>/</i><i><i>h<sup>2</sup></i>)</i><i>E</i> alla <i>3/2</i>) ottenendo:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>k<sup>3</sup></i>=(8ma<sup>2</sup>/</i><i><i>h<sup>2</sup></i>)</i><i><i><i><sup>3/2</sup></i></i>E</i><i><i><i><sup>3/2</sup></i></i></i><i>=</i><i>(8m)</i><i><i><i><i><sup>3/2</sup></i></i></i>(a<sup>3</sup>/</i><i><i>h<sup>3</sup></i>)</i><i>E</i><i><i><i><sup>3/2</sup></i></i></i> </div>
da cui segue* (ricordando che <i>V=a<sup>3</sup></i>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>N=(8/6)(πV/h</i><i><sup>3</sup></i><i>)(2m)<sup>3/2</sup>E<sup>3/2</sup></i>.</div>
<br />
Se consideriamo un volume molto grande come dicevamo (questa è in effetti una delle ipotesi statistiche per i sistemi termodinamici, vedi <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann#Ipotesi_di_sistema_infinito">Wikipedia</a>) possiamo derivare <i>N </i>rispetto a <i>E</i> (essendo <i>N(E)</i> in pratica una funzione continua), ottenendo perciò:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>g(E)=dN/dE=(2πV/h<sup>3</sup>)(2m)<sup>3/2</sup>E<sup>1/2</sup></i>. </div>
Se infine confrontiamo questa relazione con quella analoga trovata prima classicamente, si ricava subito il valore della costante <i>C=1/h<sup>3</sup></i>.<br />
<i>Nota</i>: ciò significa che, nel caso classico, per calcolare il numero esatto degli stati dobbiamo dividere lo spazio delle fasi in <i>cellette</i> di dimensione <i>h<sup>3</sup></i>.<br />
<br />
Per concludere possiamo calcolare la funzione di partizione <i>Z</i> già introdotta nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/06/la-legge-statistica-di-distribuzione_37.html">La Legge statistica di Distribuzione</a>" che, ricordiamo, è stata così definita: <i>Z=∑<sub>i</sub>g<sub>i</sub>e<sup>-E</sup></i><i><sup><i><sub>i</sub></i>/k<sub>B</sub>T</sup></i>; passando al continuo il simbolo di sommatoria può essere sostituito con quello di integrale (tra zero ed infinito) ottenendo**:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>Z=</i><i><i>∫</i>e<sup>-E/k<sub>B</sub>T</sup>g(E)dE=(V/</i><i><i>h<sup>3</sup></i>)(2πmk<sub>B</sub>T)<sup>3/2</sup></i></div>
dove <i>V</i> è il volume del gas, <i>m</i> la massa delle singole particelle, <i>k<sub>B</sub></i> la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Boltzmann">costante di Boltzmann</a>, <i>T</i> la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Temperatura_assoluta">temperatura assoluta</a> e <i>h</i> la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Planck">costante di Planck</a>. <br />
<i>Nota</i>: questo risultato è valido per un gas ideale dove sono soddisfatte le ipotesi statistiche, come descritto nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/05/l-secondo-boltzmann_6.html">L'Entropia secondo Boltzmann</a>".<br />
<br />
(*) Forse è utile ricordare che <i>8<sup>3/2</sup>=(8<sup>3</sup>)<sup>1/2</sup>=(2<sup>3</sup>4<sup>3</sup>)<sup>1/2</sup>=2<sup>3/2</sup>(4<sup>3</sup>)<sup>1/2</sup>=2<sup>3/2</sup>8</i>.<br />
(**) Sostituendo nell'integrale di <i>Z</i> il valore di <i>g(E)</i> prima ottenuto si ha:<br />
<i>Z=</i><i><i>∫</i>e<sup>-E/k<sub>B</sub>T</sup>g(E)dE=(2πV/h<sup>3</sup>)(2m)<sup>3/2</sup></i><i><i>∫</i>e<sup>-E/k<sub>B</sub>T</sup>E<sup>1/2</sup>dE=(V/</i><i><i>h<sup>3</sup></i>)(2πmk<sub>B</sub>T)<sup>3/2</sup></i><br />
essendo <i>∫e<sup>-E/k<sub>B</sub>T</sup>E<sup>1/2</sup>dE=(1/2)(π)<sup>1/2</sup>(k<sub>B</sub>T)<sup>3/2</sup></i>.<br />
<i><i><i><sup></sup></i></i></i> </div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-37703200185890667482014-06-11T19:34:00.002+02:002019-11-07T10:00:41.316+01:00Entropia statistica e termodinamicaNei due post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/12/entropia-una-grandezza-anomala_72.html">Entropia: una grandezza anomala!<span id="goog_1608402885"></span><span id="goog_1608402886"></span></a>" e "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/05/l-secondo-boltzmann_6.html">L'Entropia secondo Boltzmann</a>" (a cui rimandiamo) sono stati introdotti due diversi <i>modelli fisici</i> per definire il concetto di entropia; rispettivamente uno di tipo termodinamico (dove <i><i>dS=</i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr">δ</span></i>Q/T</i></i>) e l'altro di tipo statistico (con <i>S=k<sub>B</sub>lnP</i>).<br />
<br />
Vogliamo ora mostrare come queste due descrizioni siano tra loro profondamente collegate e che in effetti abbiamo derivato, a partire da due modelli teorici diversi, lo stesso tipo di grandezza fisica: l'<i>entropia </i>di un sistema di particelle.<br />
<br />
Riscriviamo quindi il risultato ottenuto per l'entropia statistica (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/06/la-legge-statistica-di-distribuzione_37.html">La Legge statistica di Distribuzione</a>"):<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>S=k<sub>B</sub>lnP</i>=</i><i><i><i>k<sub>B</sub></i></i>NlnN-</i><i><i><i>k<sub>B</sub></i></i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub>ln(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>/g<sub>i</sub>)</i></div>
rimarcando che tale relazione è sempre valida, anche fuori dall'equilibrio; mentre <i>P</i> è la probabilità di una data distribuzione delle particelle nei vari livelli di energia.<br />
<div>
<div>
<br />
Nello stesso post abbiamo anche derivato la legge di distribuzione delle particelle del sistema sui vari livelli di energia in condizioni di massima probabilità, cioè per ipotesi nello <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_termodinamico">stato di equilibrio</a> termodinamico:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>n<sub>i</sub></i>=(N/Z)g<sub>i</sub>e<sup>-</sup></i><i><sup><i>E<sub>i</sub></i>/k</sup></i><i><sup><i><sub>B</sub></i></sup></i><i><sup>T</sup></i> </div>
oppure utilizzando<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"> le <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#Prodotto.2C_quoziente.2C_potenza_e_radice">proprietà dei logaritmi</a></span>:<br />
<div>
<div style="text-align: center;">
<i>ln(n<sub>i</sub>/g<sub>i</sub>)=-ln</i><i><i>(Z/N)</i>-E</i><i><i><sub>i</sub></i>/k<sub>B</sub>T.</i></div>
<div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>Nota</i>: ricordiamo che per ipotesi il sistema passa la maggior parte del tempo nello stato che può realizzarsi nel maggior numero di modi, cioè quello di massima probabilità o di massima entropia.</span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
Considereremo perciò una <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_quasi_statica">trasformazione reversibile</a>, dove possiamo supporre che il sistema passi da una distribuzione all'altra in modo che si realizzi sempre lo stato di massima probabilità e valga quindi la legge di distribuzione <i style="text-align: center;"><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">n<sub>i</sub></i></i> <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">sopra riportata.<br /><i>Nota</i>: ricordiamo che quando una trasformazione è <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_reversibile">reversibile</a> il sistema passa per definizione solo attraverso stati di <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_termodinamico">equilibrio termodinamico</a>.</span><br />
<br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Sostituiamo quindi il valore di <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">ln(n<sub>i</sub>/g<sub>i</sub>)</i> nell'equazione di <i>S</i> ottenendo (in condizioni di equilibrio o di massima entropia):<i> </i></span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>S=k<sub>B</sub>NlnN+k<sub>B</sub>ln(Z/N)∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub>+(1/T)∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub>E<sub>i</sub></i></span></div>
<div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">da cui, ricordando le due condizioni <i>N=∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub></i> e <i>E=∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub></i><i>E</i><i><i><sub>i</sub></i></i> (dove <i>N</i> sono le particelle mentre <i>E</i> è l'energia totale del sistema) segue infine:</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i>S</i></i>=<i><i><i>k<sub>B</sub></i></i></i><i>N(lnN+</i><i><i>ln</i><i><i>(Z/N))</i></i></i>+<i>E/T=</i><i><i><i><i>k<sub>B</sub></i></i></i><i>NlnZ</i><i><i><i>+</i></i></i>E/T</i>.</span></div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Tale relazione esprime l'entropia <i>S(N,Z,E,T)</i> in funzione dei parametri caratteristici del sistema (cioè il numero di particelle <i>N</i>, la funzione di partizione <i>Z</i>, l'energia totale <i>E</i> e la temperatura assoluta <i>T</i>).</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>Nota</i>: ricordiamo che <i>Z</i> dipende dalla struttura microscopica del sistema e vale <i>Z=∑<sub>i</sub>g<sub>i</sub>e</i><i><sup>-</sup></i><i><sup><i>E<sub>i</sub></i>/k</sup></i><i><sup><i><sub>B</sub></i></sup></i><i><sup>T</sup></i> (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/06/la-legge-statistica-di-distribuzione_37.html">La Legge statistica di Distribuzione</a>").</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><br /></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Poiché stiamo trattando una trasformazione reversibile possiamo supporre* che <i>S</i> sia una funzione <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_%28matematica%29#Differenziale_in_pi.C3.B9_variabili">differenziabile</a> (dato l'elevato numero di particelle supponiamo che <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">n<sub>i</sub></i> vari con continuità) così possiamo calcolare il <i>dS</i><i>=(∂S/∂Z)dZ+(∂S/∂E)dE+(∂S/∂T)dT</i> (fissando il numero <i>N</i> di particelle e utilizzando le <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Regole_di_derivazione">regole di derivazione</a></span>):</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>dS=d(k<sub>B</sub>NlnZ+E/T)=k<sub>B</sub>(N/Z)dZ+(1/T)dE-(1/T<sup>2</sup>)EdT</i>.</span></div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>Nota</i>: stiamo considerando un sistema <i>chiuso </i>che può scambiare solo energia con l'ambiente ma non massa, quindi <i>N</i> è costante. </span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><br /></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">A questo punto vogliamo derivare una relazione che leghi il primo termine del terzo membro dell'equazione precedente (cioè <i>k<sub>B</sub>(N/Z)dZ</i>) all'energia <i>E</i> e alla temperatura <i>T</i> (come risulta per gli altri due termini).</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><br /></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Poichè sappiamo che <i>Z(</i><i>E</i><i><i><i><sub>i</sub></i></i>,T)=∑<sub>i</sub>g<sub>i</sub>e</i><i><sup>-</sup></i><i><sup><i>E<sub>i</sub></i>/k</sup></i><i><sup><i><sub>B</sub></i></sup></i><i><sup>T</sup></i> dove <i>g<sub>i</sub></i> è costante per ogni dato livello <i>E<sub>i</sub></i> (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/06/la-legge-statistica-di-distribuzione_37.html">La Legge statistica di Distribuzione</a>"), calcoliamo il differenziale <i>dZ=</i><i><i>∑<sub>i</sub></i>(∂Z/∂</i><i><i>E</i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i>)d</i><i><i>E</i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i>+(∂Z/∂T)dT</i>:</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>dZ=-(1/k<sub>B</sub>T)∑<sub>i</sub>g<sub>i</sub>e<sup>-</sup><sup>E<sub>i</sub>/k</sup><sup><sub>B</sub></sup><sup>T</sup>dE<sub>i</sub>+(1/k<sub>B</sub>T<sup>2</sup></i><i>)∑<sub>i</sub>g<sub>i</sub>E<sub>i</sub>e<sup>-</sup><sup>E<sub>i</sub>/k</sup><sup><sub>B</sub></sup><sup>T</sup>dT</i>.</span></div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Perciò il termine <i>k<sub>B</sub>(N/Z)dZ</i> contenuto nel <i>dS</i> prima ricavato diventa:</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>k<sub>B</sub>(N/Z)dZ=-(1/T)∑<sub>i</sub>(N/Z)g<sub>i</sub>e<sup>-</sup><sup>E<sub>i</sub>/k</sup><sup><sub>B</sub></sup><sup>T</sup>dE<sub>i</sub>+(1/T<sup>2</sup>)∑<sub>i</sub>(N/Z)g<sub>i</sub>E<sub>i</sub>e<sup>-</sup><sup>E<sub>i</sub>/k</sup><sup><sub>B</sub></sup><sup>T</sup>dT</i></span></div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">ed infine ricordando che <i>n<sub>i</sub>=(N/Z)g<sub>i</sub>e<sup>-</sup><sup>E<sub>i</sub>/k</sup><sup><sub>B</sub></sup><sup>T</sup></i> si ha:</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"> <i>k<sub>B</sub>(N/Z)dZ=-(1/T)∑<sub>i</sub></i><i>n<sub>i</sub></i><i>dE<sub>i</sub>+(1/T<sup>2</sup>)∑<sub>i</sub></i><i><i>n<sub>i</sub></i></i><i>E<sub>i</sub>dT</i>.</span></div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><br /></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Facciamo ora qualche considerazione per attribuire un significato fisico al primo termine <i>∑<sub>i</sub></i><i>n<sub>i</sub></i><i>dE<sub>i</sub></i> che compare al secondo membro della precedente equazione; mentre per il secondo termine sappiamo che <i>E=∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub>E<sub>i</sub></i> è l'energia del sistema.</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><br /></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Come abbiamo mostrato nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/12/il-principio-di-conservazione_21.html">Il Principo di Conservazione... termodinamico!</a>", per il primo principio della termodinamica possiamo scrivere, per una trasformazione reversibile (e quindi differenziabile):</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>dE=</i><i style="text-align: left;"><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i>L+</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i>Q</i></span></div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">dove <i>dE</i> indica una variazione infinitesimale dell'energia interna dovuta al lavoro elementare <i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i>L</i> (fatto <i>sul</i> sistema) e al calore <i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i>Q</i> (fornito <i>al</i> sistema).</span></div>
<div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>Nota</i>: ricordiamo che l'energia interna <i>E</i> è una funzione di stato quindi <i>dE</i> è un <a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/11/un-differenziale-esatto_7178.html">differenziale esatto</a>.</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><br /></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Inoltre, poiché nel nostro modello statistico vale la relazione <i>E=∑<sub>i</sub></i><i><i>n<sub>i</sub></i></i><i>E<sub>i</sub></i>, possiamo calcolare il differenziale<i> dE=</i><i><i>∑<sub>i</sub></i>(∂E/∂E<sub>i</sub>)dE<sub>i</sub>+</i><i><i>∑<sub>i</sub></i>(∂E/∂n<sub>i</sub>)dn<sub>i</sub></i> (supponiamo che <i>E(</i><i><i>n<sub>i</sub></i></i><i>,E<sub>i</sub></i>) sia una funzione differenziabile, essendo le particelle dell'ordine del <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Avogadro">Numero di Avogadro</a> e i livelli di energia praticamente continui):</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>dE=∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub>dE<sub>i</sub>+∑<sub>i</sub></i><i><i>E<sub>i</sub></i>dn<sub>i</sub></i>.</span></div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>Nota</i>: questa relazione statistica vale anche in condizioni di <i>non</i> equilibrio, come la definizione di entropia statistica (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/05/l-secondo-boltzmann_6.html">L'Entropia secondo Boltzmann</a>").</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><br /></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Essendo evidente l'analogia tra le due precedenti relazioni (quella termodinamica e quella statistica rispettivamente), supporremo che valga l'equivalenza tra i singoli termini al secondo membro delle due equazioni**; poniamo quindi:</span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i>L</i><i>=∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub>dE<sub>i</sub></i> e <i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i>Q=∑<sub>i</sub>E<sub>i</sub>dn<sub>i</sub></i>.</span></div>
<div style="text-align: left;">
<div style="text-align: start;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Ciò significa che per ipotesi il termine <i>∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub>dE<sub>i</sub></i> indica la variazione di energia dei livelli, dovuta al lavoro elementare <i>δL</i> fatto sul sistema durante una trasformazione; mentre <i>∑<sub>i</sub>E<sub>i</sub>dn<sub>i</sub></i> indica la variazione <i>dn<sub>i</sub></i> delle particelle sui livelli dovuta al calore elementare <i>δQ</i> fornito al sistema.</span></span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><br />Possiamo perciò riprendere l'equazione precedente che definisce il termine <i>k<sub>B</sub>(N/Z)dZ</i> (vedi sopra); quindi sostituendo i valori rispettivamente di <i>δL=∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub>dE<sub>i</sub></i> e di <i>E=∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub>E<sub>i</sub></i> otteniamo:</span></span></div>
</div>
</div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"></span></div>
</div>
</div>
<div style="text-align: left;">
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i><i><i>k<sub>B</sub>(N/Z)dZ=-(1/T)</i><i style="text-align: left;"><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i>L</i><i>+(1/T<sup>2</sup></i><i>)EdT</i>.</i></i> </span><br />
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Questo risultato ci permette di ottenere il valore del<i> <i>dS</i> </i>che avevamo lasciato in sospeso (nel quale è presente il termine<i> <i>k<sub>B</sub>(N/Z)dZ </i></i>appena ricavato) e quindi si ha <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(essendo</span><i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"> <i>dE=</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr">δ</span></i></i></i><i>L+</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr">δ</span></i></i></i><i>Q</i>)</span></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">:</span></span></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>dS=</i><i><i>-(1/T)</i></i><i style="text-align: left;"><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i><i>L</i>+(1/T)dE=</i><i>(1/T)</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i>Q</i> </span><br />
<div style="text-align: left;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">ricordando che tale relazione è valida, per come è stata ricavata, solo per una trasformazione reversibile.<i> </i></span></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i>Nota</i>: per quanto detto sopra il calore <i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i>Q</i> deve essere scambiato in maniera reversibile (vedi anche il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/12/entropia-una-grandezza-anomala_72.html">Entropia: una grandezza anomala!</a>").</span></div>
</div>
</div>
<div style="text-align: left;">
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><br /></span><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">Abbiamo perciò ottenuto, a partire dalla definizione di entropia statistica <i>S=k<sub>B</sub>lnP</i>, la relativa relazione termodinamica<i> <i>dS=</i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr">δ</span></i>Q/T</i></i>; le due definizioni sono quindi da considerarsi dal punto di vista fisico del tutto equivalenti (ovviamente nei limiti dei due modelli e delle ipotesi avanzate)***.</span><br />
<br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(*) Una <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_reversibile">trasformazione reversibile</a> e quindi <i>quasi-statica</i> "considera variazioni di tempo infinitesime, istantanee, e consente di applicare il calcolo infinitesimale e i <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale" title="Differenziale">differenziali</a> alle equazioni termodinamiche, senza variarne il significato fisico" (vedi <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_quasi_statica">Wikipedia</a>); estendiamo questa considerazione al modello statistico.</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(**) Possiamo però dare qualche motivazione: se ad esempio <i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i>L </i>è dovuto ad una variazione di volume del sistema, è corretto aspettarsi una corrispondente variazione <i>dE<sub>i</sub></i> di energia dei livelli (perché cambia la struttura del sistema); mentre una variazione di calore <i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i>Q</i> può certamente provocare una corrispondente variazione <i>dn<sub>i</sub></i> delle particelle sui livelli, cioè un salto delle particelle da un livello all'altro.</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(Il caso quantistico di una buca di potenziale è esplicativo poiché i livelli di energia dipendono dalle dimensioni fisiche della buca, vedi <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Buca_di_potenziale">Wikipedia</a>).</span><br />
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(***) Si ricordi infatti che l'entropia statistica vale solo quando sono soddisfatte le ipotesi statistiche, come descritto nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/05/l-secondo-boltzmann_6.html">L'Entropia secondo Boltzmann</a>"; ciò è sicuramente vero nel caso di un gas ideale.</span></div>
<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"></span> </div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-70931802141803493372014-06-04T11:45:00.003+02:002019-12-18T12:08:38.530+01:00La Legge statistica di DistribuzioneNel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/05/l-secondo-boltzmann_6.html">L'Entropia secondo Boltzman</a>" abbiamo fatto l'ipotesi che un sistema termodinamico possa essere descritto statisticamente attraverso la distribuzione delle particelle <i>n<sub>i</sub></i> poste nei rispettivi livelli di energia <i>E<sub>i</sub></i>.<br />
Abbiamo quindi ottenuto che la probabilità <i>P</i> di una data distribuzione <i>n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, n<sub>3</sub></i>, ... è pari a<br />
<div style="text-align: center;">
<i>P=N!(</i><i><i>g<sub>1</sub><sup>n<sub>1</sub></sup></i></i><i><i>g<sub>2</sub><sup>n<sub>2</sub></sup></i></i><i><i>g<sub>3</sub><sup>n<sub>3</sub></sup></i>...)/(n<sub>1</sub>!n<sub>2</sub>!n<sub>3</sub>!...)</i><br />
<div style="text-align: left;">
dove i valori di <i><i>g<sub>i</sub></i></i> definiscono le probabilità intrinseche di riempimento dei vari livelli di energia.<br />
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
Ricordiamo che il sistema è per ipotesi isolato (cioè non scambia né energia né massa con l'ambiente) e che sono date le due seguenti condizioni o vincoli fisici:</div>
<div style="text-align: center;">
<i>N=n<sub>1</sub>+n<sub>2</sub>+n<sub>3</sub>+...</i></div>
<div style="text-align: center;">
<i>E=n<sub>1</sub>E<sub>1</sub>+n<sub>2</sub>E<sub>2</sub>+n<sub>3</sub>E<sub>3</sub>+...</i> </div>
<div style="text-align: left;">
dove <i>N</i> è il numero totale di particelle, <i>E</i> l'energia del sistema e <i>n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, n<sub>3</sub></i>, ... sono rispettivamente il numero di particelle di energia <i>E<sub>1</sub>,<sub> </sub>E<sub>2</sub>,<sub> </sub>E<sub>3</sub>, ...</i>.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Dato che, per ipotesi, la probabilità di una distribuzione è massima quando il sistema si trova in uno <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_termodinamico">stato di equilibrio</a>, vogliamo calcolare per quale distribuzione delle particelle la probabilità <i>P</i> è massima.<br />
<br />
Poiché il massimo di <i>P</i> corrisponde con quello di <i>lnP</i> (e p<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">oiché è più facile valutare <i>lnP</i></span>) diamo la sua espressione esplicita (<span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">secondo le <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#Prodotto.2C_quoziente.2C_potenza_e_radice">proprietà dei logaritmi</a></span>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>lnP=lnN!+n<sub>1</sub>lng<sub>1</sub>+n<sub>2</sub>lng<sub>2</sub>+n<sub>3</sub>lng<sub>3</sub>+...-lnn<sub>1</sub>!-</i><i>lnn<sub>2</sub>!-</i><i>lnn<sub>3</sub>!-...</i></div>
<div style="text-align: left;">
o in modo più conciso:</div>
<div style="text-align: left;">
<div style="text-align: center;">
<i>lnP=lnN!+∑</i><sub><i>i</i></sub><i>n<sub>i</sub>lng<sub>i</sub>-</i><i><i>∑</i><sub><i>i</i></sub></i><i>lnn<sub>i</sub>!</i></div>
</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
A questo punto è utile introdurre la nota <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Approssimazione_di_Stirling">formula di Stirling</a> valida per grandi numeri <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(poiché il numero di particelle di un sistema è solitamente molto grande, dell'ordine del <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Avogadro">Numero di Avogadro</a>)</span>: <i>lnN!≈NlnN-N.</i></div>
<div style="text-align: left;">
Possiamo perciò scrivere con buona approssimazione:<br />
<div style="text-align: left;">
<div style="text-align: center;">
<i>lnP=NlnN-N+∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub>lng<sub>i</sub>-∑<sub>i</sub>n</i><i><i><sub>i</sub></i>lnn<sub>i</sub>+∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub></i></div>
</div>
<div style="text-align: left;">
da cui segue secondo le <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#Prodotto.2C_quoziente.2C_potenza_e_radice">proprietà dei logaritmi</a></span> (ed essendo <i>N=∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub></i>):<i><br /></i></div>
<div style="text-align: center;">
<i>lnP=NlnN-</i><i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub>ln(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>/g<sub>i</sub>)</i>.<br />
<br />
<div style="text-align: left;">
Ora poiché vogliamo trovare per quali valori di <i>n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, n<sub>3</sub></i>, ..., si ottiene il massimo di <i>lnP</i>, supponiamo di poter trattare la probabilità <i>P(</i><i>n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>,n<sub>3</sub></i>,...<i>) </i>come una funzione <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_%28matematica%29">differenziabile</a> (dato l'elevato numero di particelle in pratica <i>n<sub>i</sub></i> vari con continuità); basterà quindi porre <i>dlnP</i><i><i><i>(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>)</i></i></i><i>=0</i> per trovare il punto di massimo.<br />
<br />
Possiamo perciò scrivere, rammentando le <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Regole_di_derivazione">regole di derivazione</a> (ed essendo <i>NlnN</i> costante):</div>
<div style="text-align: center;">
<i>dlnP</i><i><i><i><i>(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>)</i></i></i>=-d</i><i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub>ln(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>/g<sub>i</sub>)=</i><i><i>-∑</i><i><i><sub>i</sub></i>dn<sub>i</sub>ln(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>/g<sub>i</sub>)-</i></i><i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub>dln(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>/g<sub>i</sub>)=</i><i>-∑</i><i><i><sub>i</sub></i>dn<sub>i</sub>ln(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>/g<sub>i</sub>)</i></div>
<div style="text-align: left;">
poiché risulta:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub>dln(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>/g<sub>i</sub>)</i>=<i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub>dln</i><i><i>n<sub>i</sub></i></i><i>-∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub>dln</i><i>g<sub>i</sub></i><i>=∑</i><i><i><sub>i</sub></i>dn<sub>i</sub></i><i>=0</i> </div>
essendo <i>dlnn<sub>i</sub>=(1/n<sub>i</sub>)dn<sub>i</sub></i>, <i>dln</i><i>g<sub>i</sub></i><i>=0</i> e <i>dN=∑<sub>i</sub>dn<sub>i</sub>=0</i> con <i>g<sub>i</sub></i> ed <i>N</i> costanti.<br />
<i>Nota</i>: ricordiamo che in generale il differenziale di una funzione <i>F</i><i><i><i><i>(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>)</i></i></i></i> a <i>più</i> variabili è: <i>dF</i><i><i><i><i><i>(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>)</i></i></i></i>=(∂F/∂</i><i><i>n<sub>1</sub></i>)d</i><i><i>n<sub>1</sub></i>+(∂F/∂</i><i><i>n<sub>2</sub></i>)d</i><i><i>n<sub>2</sub></i>+(∂F/∂</i><i><i>n<sub>3</sub></i>)d</i><i>n<sub>3</sub></i>+... . </div>
<div style="text-align: left;">
<br />
Ora al fine di soddisfare i vincoli delle condizioni fisiche del sistema (cioè <i>N=</i><i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub></i> e<i> E=</i><i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub></i><i>E<sub>i</sub></i>) dobbiamo porre oltre alla condizione <i>dlnP</i><i><i><i><i>(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>)</i></i></i>=</i><i>-∑</i><i><i><sub>i</sub></i>ln(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>/g<sub>i</sub>)</i><i><i>dn<sub>i</sub></i>=0</i> anche <i>dN=∑<sub>i</sub>dn<sub>i</sub>=0</i> e <i>dE=∑<sub>i</sub>E<sub>i</sub>dn<sub>i</sub>=0</i> e perciò seguendo <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_dei_moltiplicatori_di_Lagrange">il metodo dei moltiplicatori di Lagrange</a>*:</div>
<div style="text-align: center;">
<i>∑</i><i><i><sub>i</sub>(</i>ln(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>/g<sub>i</sub>)+A+BE</i><i><i><i><sub>i</sub></i></i>)</i><i><i>dn<sub>i</sub></i>=0</i></div>
<div style="text-align: left;">
dove le costanti <i>A</i> e <i>B</i> sono da determinare in base alle due condizioni di conservazione di <i>N</i> ed <i>E</i>.<br />
<br />
Si ottiene perciò la distribuzione di probabilià massima (o di equilibrio termodinamico) quando <i>ln(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>/g<sub>i</sub>)+A+BE</i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i><i>=0</i> da cui segue subito (risultando <i>ln(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>/g<sub>i</sub>)</i><i>=-(A+BE</i><i><i><i><sub>i</sub></i></i></i>)):</div>
<div style="text-align: center;">
<i><i>n<sub>i</sub></i>=g<sub>i</sub>e<sup>-(A+BE<sub>i</sub>)</sup></i></div>
</div>
</div>
</div>
<div style="text-align: left;">
dove il fattore di probabilità <i>g<sub>i</sub></i> <i>pesa</i> sul riempimento dei singoli livelli di energia.<br />
<i>Nota</i>: per la definizione della funzione <i>continua</i> di probabilità <i>g(E)</i> vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/07/il-calcolo-degli-stati-di-energia-dngede_11.html">Il calcolo degli stati di energia: dN=g(E)dE</a>". <br />
<br /></div>
A questo punto dalla condizione <i>N=</i><i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub></i> si può ricavare il valore della costante <i>A</i>;<i> </i>infatti possiamo scrivere (utilizzando l'equazione appena ricavata per <i><i>n<sub>i</sub></i></i>):<br />
<div style="text-align: center;">
<i>N=∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub>=∑<sub>i</sub>g<sub>i</sub>e<sup>-(A+BE<sub>i</sub>)</sup>=e<sup>-A</sup>∑<sub>i</sub>g<sub>i</sub>e<sup>-BE<sub>i</sub></sup></i></div>
da cui si ottiene, posto <i>Z=∑<sub>i</sub>g<sub>i</sub>e<sup>-BE<sub>i</sub></sup></i>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>e<sup>-A</sup>=N/Z</i> </div>
<div style="text-align: left;">
perciò <i>A</i> si riconduce al calcolo della cosiddetta <i>funzione di partizione</i> <i>Z</i>.</div>
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: <i>Z</i> dipende dalla struttura microscopica del sistema** ed è quindi diversa per un gas ideale, un gas reale, un liquido oppure un solido.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Mentre dalla seconda condizione <i>E=</i><i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub></i><i>E<sub>i</sub></i> si ha (essendo<i><i> n<sub>i</sub></i>=(N/Z)g<sub>i</sub>e<sup>-BE<sub>i</sub></sup></i>):</div>
<div style="text-align: center;">
<i>E=</i><i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub></i><i>E<sub>i</sub></i><i>=</i><i><i>(N/Z)</i></i><i><i><i>∑<sub>i</sub>g<sub>i</sub></i></i></i><i><i><i><i><i>E<sub>i</sub></i></i>e<sup>-BE<sub>i</sub></sup></i></i></i>.</div>
Si osservi ora che, introducendo qualche derivata, possiamo riscrivere il valore di <i>E </i>nel modo seguente:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>E=-(N/Z)d(∑<sub>i</sub>g<sub>i</sub>e<sup>-BE<sub>i</sub></sup>)/dB=-(N/Z)dZ/dB=-NdlnZ/dB</i></div>
da cui, ricordando che il valore medio di energia <i><E></i> di ogni singola molecola è definito come <i>E/N</i>, avremo:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><E>=E/N=-dlnZ/dB</i></div>
perciò l'energia media delle particelle dipende in qualche modo dal parametro incognito <i>B</i>.<br />
<br />
Poiché sappiamo (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2012/05/l-dell_15.html">L'Equipartizione dell'Energia</a>") che l'energia media è proporzionale alla temperatura assoluta (cioè <i><E>~k<sub>B</sub>T</i>) e che <i>B</i> deve avere come unità di misura il reciproco di una energia (affinché l'equazione adimensionale di <i><i>n<sub>i</sub></i></i> sia consistente), allora fissiamo in modo non del tutto arbitrario <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">(ma da verificare sperimentalmente):</span><i> B=1/k<sub>B</sub>T</i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">.</span><br />
<i>Nota</i>: per una deduzione formale del valore di <i>B</i> vedi, ad esempio, il confronto tra un particolare modello fisico, cioè una colonna piena di gas, e quello statistico relativo (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann#Un_modello_semplice">Wikipedia</a>).<br />
<br />
In definitiva, sostituendo i valori di <i>A</i> e <i>B</i> appena ricavati, si ottiene la seguente relazione per <i>n<sub>i</sub></i>:<br />
<div style="text-align: center;">
<i><i>n<sub>i</sub></i>=(N/Z)g<sub>i</sub></i><i>e<sup>-</sup><sup>E<sub>i</sub>/k</sup><sup><sub>B</sub></sup><sup>T</sup></i><br />
<i><sup><sub></sub></sup></i></div>
che è quindi funzione dei parametri caratteristici del sistema (cioè il numero di particelle <i>N</i>, la funzione di partizione <i>Z</i>, la probabilità intrinseca <i><i>g<sub>i</sub></i></i>, l'energia dei rispettivi livelli <i>E</i><i><i><sub>i</sub></i></i> e la temperatura assoluta <i>T</i>).<br />
<i>Nota</i>: si ricordi che questa relazione è vera, per come è stata derivata, per una distribuzione di massima probabilità e quindi, per ipotesi, in condizioni di equilibrio termodinamico.<br />
<br />
Nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/06/entropia-statistica-e-termodinamica_20.html">Entropia statistica e termodinamica</a>" vedremo come sia possibile, grazie ai calcoli fin qui svolti, collegare la definizione statistica di entropia <i>S=k<sub>B</sub>lnP</i> (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/05/l-secondo-boltzmann_6.html">L'Entropia secondo Boltzmann</a>") direttamente a quella termodinamica <i>dS=</i><i><i><i><span class="texhtml" dir="ltr" style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">δ</span></i></i></i><i>Q/T</i> (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/12/entropia-una-grandezza-anomala_72.html">Entropia: una grandezza anomala!</a>") in modo da attribuirgli un preciso significato fisico.<br />
<br />
(*) Tenendo conto dei vincoli fisici (<i>N=</i><i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub></i> e<i> E=</i><i>∑</i><i><i><sub>i</sub></i>n<sub>i</sub></i><i>E<sub>i</sub></i>) possiamo scrivere l'ovvia equivalenza:<br />
<i>lnP</i><i><i><i>(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>)</i></i>=lnP</i><i><i><i>(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>)</i></i>+A(N-∑<sub>i</sub>n<sub>i</sub>)+B(E-∑<sub>i</sub>E<sub>i</sub>n<sub>i</sub>)</i><br />
dove <i>A</i> e <i>B</i> sono due costanti generiche; se ora calcoliamo il differenziale:<br />
<div>
<i>d</i><i><i>lnP(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>)</i>=-∑<sub>i</sub>ln(n<sub>i</sub>/g<sub>i</sub>)dn<sub>i</sub>-A∑<sub>i</sub>dn<sub>i</sub>-B∑<sub>i</sub>E<sub>i</sub>dn<sub>i</sub></i><br />
si ha <i><i>d</i><i><i>lnP(</i><i><i>n<sub>i</sub></i>)</i></i>=0</i> (punto di massimo) se poniamo <i>∑<sub>i</sub>(ln(n<sub>i</sub>/g<sub>i</sub>)</i>+<i><i>A+</i></i><i><i>B</i>E<sub>i</sub>)dn<sub>i</sub>=0</i>.<br />
(**) Ad esempio nel caso di un gas ideale risulta <i>Z=V(2πmk<sub>B</sub>T)<sup>3/2</sup>/h<sup>3</sup></i> dove <i>V</i> è il volume che contiene il gas, <i>m</i> la massa delle singole particelle, <i>k<sub>B</sub></i> la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Boltzmann">costante di Boltzmann</a>, <i>T</i> la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Temperatura_assoluta">temperatura assoluta</a> e <i>h</i> la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Planck">costante di Planck</a> (vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/07/il-calcolo-degli-stati-di-energia-dngede_11.html">Il calcolo degli stati di energia: dN=g(E)dE</a>").</div>
qwertyhttp://www.blogger.com/profile/12879447201629082300noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3236276186495207849.post-39110457506871958322014-05-28T11:23:00.002+02:002019-12-19T06:05:38.313+01:00L'Entropia secondo BoltzmannRiprendiamo da Wikipedia alcuni concetti fondamentali che ci permetteranno di definire statisticamente il concetto termodinamico di entropia (già introdotto nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/12/entropia-una-grandezza-anomala_72.html">Entropia: una grandezza anomala!</a>"):<br />
<br />
- <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_termodinamico">Sistema termodinamico</a><br />
"Un <b><a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Sistema" title="Sistema">sistema</a> termodinamico</b> è una porzione di <a class="new" href="http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Spazio_materiale&action=edit&redlink=1" title="Spazio materiale (la pagina non esiste)">spazio materiale</a>, separata dal resto dell'<a class="mw-redirect" href="http://it.wikipedia.org/wiki/Universo_termodinamico" title="Universo termodinamico">universo termodinamico</a> (ovvero dall'<a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Ambiente_%28termodinamica%29" title="Ambiente (termodinamica)">ambiente esterno</a>) mediante una <a class="new" href="http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Superficie_di_controllo&action=edit&redlink=1" title="Superficie di controllo (la pagina non esiste)">superficie di controllo</a> (o confine) reale o immaginaria, rigida o deformabile". <br />
<br />
- <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Stato_termodinamico">Stato termodinamico</a><br />
"Uno <b>stato termodinamico</b> di un <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_termodinamico" title="Sistema termodinamico">sistema termodinamico</a> è l'insieme dei valori assunti dai parametri macroscopici che lo caratterizzano, come la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Pressione" title="Pressione">pressione</a>, il <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Volume" title="Volume">volume</a>, l'<a class="mw-redirect" href="http://it.wikipedia.org/wiki/Entropia_%28termodinamica%29" title="Entropia (termodinamica)">entropia</a>, la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Temperatura" title="Temperatura">temperatura</a> e così via".<br />
<br />
- <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_termodinamico">Equilibrio termodinamico</a><br />
"Si dice che un sistema è in <b>equilibrio termodinamico</b> se le sue variabili (o parametri o coordinate) <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Termodinamica" title="Termodinamica">termodinamiche</a>, (ad esempio <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Pressione" title="Pressione">pressione</a>, <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Volume" title="Volume">volume</a> e <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Temperatura" title="Temperatura">temperatura</a> nel caso di un fluido omogeneo), sono ben definite e non variano nel <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Tempo" title="Tempo">tempo</a>".<br />
<i>Nota</i>: per poter definire lo stato di un sistema termodinamico è quindi necessario che sia in condizioni di equilibrio. <br />
<br />
Deve essere inoltre chiaro che per <b>trasformazione termodinamica</b> "si intende un processo tramite il quale un <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_termodinamico" title="Sistema termodinamico">sistema termodinamico</a> passa da uno <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Stato_termodinamico" title="Stato termodinamico">stato</a> di <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_termodinamico" title="Equilibrio termodinamico">equilibrio termodinamico</a> ad un altro" (vedi <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_termodinamica">Wikipedia</a>).<br />
<i>Nota</i>: la termodinamica studia le <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_quasistatica">trasformazioni quasi-statiche</a> che passano attraverso infiniti stati di equilibrio (come quelle <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_reversibile">reversibili</a>).<br />
<br />
L'osservazione fondamentale per trattare statisticamente un sistema termodinamico, "uno dei cardini del pensiero di <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann" title="Ludwig Boltzmann">Boltzmann</a>, è che le quantità misurabili nel mondo macroscopico (cioè, le quantità <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Termodinamica" title="Termodinamica">termodinamiche</a> come <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Temperatura" title="Temperatura">temperatura</a> e <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Pressione" title="Pressione">pressione</a>) si possano ottenere con operazioni di <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Media_%28statistica%29" title="Media (statistica)">media</a> su quantità microscopiche" (vedi <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann">Wikipedia</a>).<br />
<br />
È proprio grazie a questa ultima ipotesi, come vedremo, che possiamo collegare le grandezze termodinamiche di un sitema classico alla dinamica microscopica delle particelle che lo compongono; tuttavia solo se il numero <i>N</i> di particelle del sistema è abbastanza grande si possono applicare considerazioni statistiche*.<br />
<i>Nota</i>: per <i>N</i> che tende ad infinito avremo (per mantenere la densità costante) che anche il volume <i>V</i> tende a infinito (<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Limite_termodinamico">limite termodinamico</a>).<br />
<br />
Questo assunto si basa su alcune ipotesi fondamentali (vedi <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann#Validit.C3.A0_della_distribuzione_in_sistemi_reali">Wikipedia</a>):<br />
<br />
- Ipotesi stocastica<br />
"Il sistema obbedisce all'ipotesi del <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Caos_molecolare" title="Caos molecolare">caos molecolare</a>. Questo implica che la distribuzione di velocità in una qualsiasi direzione sia <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_gaussiana" title="Funzione gaussiana">gaussiana</a>: cioè, le particelle non hanno una direzione preferenziale di moto. Se questo è vero nel caso di un <a class="mw-redirect" href="http://it.wikipedia.org/wiki/Gas_perfetto" title="Gas perfetto">gas perfetto</a>, non è sempre vero per tutti i sistemi".<br />
<br />
- Ipotesi di sitema infinito<br />
"Nella realtà, nessun sistema è infinito, ma ha una dimensione finita: tuttavia, perché la deduzione abbia senso, occorre che lo spazio <i>∆x</i> che una particella può percorrere in un tempo <i>∆t</i> sia sufficientemente piccolo rispetto alla dimensione globale del sistema <i>L</i>" (ciò è vero per temperature non troppo elevate).<br />
<br />
- Ipotesi di sistema markoviano<br />
"Un'ipotesi sottintesa nella trattazione termodinamica è che le proprietà degli urti fra le particelle non dipendano dalla storia pregressa delle particelle (cioè da come si è arrivati all'urto) ma solo dalle condizioni istantanee al momento dell'urto". <br />
<br />
Consideriamo quindi per semplicità un gas ideale (composto da particelle identiche ma distinguibili), per il quale valgono le ipotesi enunciate sopra oltre a quelle specifiche della <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_cinetica_dei_gas">Teoria cinetica dei gas</a> che abbiamo già trattato nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2012/05/l-dell_15.html">L'Equipartizione dell'Energia</a>" (a cui rimandiamo).<br />
<br />
Se il sistema è isolato (cioè non scambia né energia né massa con l'ambiente) saranno vere le due seguenti condizioni:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>N=n<sub>1</sub>+n<sub>2</sub>+n<sub>3</sub>+...</i></div>
<div style="text-align: center;">
<i>E=n<sub>1</sub>E<sub>1</sub>+n<sub>2</sub>E<sub>2</sub>+n<sub>3</sub>E<sub>3</sub>+...</i> </div>
dove <i>N</i> è il numero totale di particelle, <i>E</i> l'energia del sistema e <i>n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, n<sub>3</sub></i>, ... sono rispettivamente il numero di particelle di energia <i>E<sub>1</sub>,<sub> </sub>E<sub>2</sub>,<sub> </sub>E<sub>3</sub>, ...</i>.<br />
<br />
Possiamo ragionevolmente assumere che ad una data energia <i>E</i> del sistema (<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Stato_macroscopico">macrostato</a>) possano corrispondere diverse configurazioni (<a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Microstato_(fisica)">microstati</a>) di particelle <i>n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, n<sub>3</sub></i>, ... poste nei rispettivi livelli di energia; si possono perciò avere, per uno dato stato termodinamico, diverse distribuzioni delle particelle del sistema, una delle quali sarà la più favorita statisticamente (cioè la più probabile).<br />
<i>Nota</i>: supponiamo che all'equilibrio e in assenza di perturbazioni il sistema mantenga la sua configurazione statistica (a meno di piccole fluttuazioni).<br />
<br />
Si pone quindi il problema di <i>come contare</i> tutte le possibili configurazioni e stabilire quale sia la più probabile (cioè quale dei microstati possibili del sistema si possa realizzare nel maggior numero di modi).<br />
<i>Nota</i>: le seguenti assunzioni fanno riferimento alla fisica classica e non a quella quantistica delle particelle (che sono indistinguibili) e dei loro stati.<br />
<br />
Assumiamo quindi che tutti gli stati di energia <i>E<sub>1</sub>,<sub> </sub>E<sub>2</sub>,<sub> </sub>E<sub>3</sub>, ...</i> abbiano la stessa probabilità di essere occupati (cioè senza nessuna preferenza tra i livelli) e consideriamo una ben definita distribuzione descritta, come abbiamo detto, dal numero di particelle <i>n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, n<sub>3</sub></i>, ... poste nei rispettivi livelli di energia.<br />
<br />
Possiamo presumere che se permutiamo tra loro le <i>N</i> particelle, lo stato del sistema complessivo non cambi: il numero di modi possibili per ottenere la stessa identica distribuzione è perciò pari a <i>N!</i> essendo <i>N!=1x2x3x...xN</i> il numero di tutte le permutazioni possibili (vedi <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Permutazione">Wikipedia</a>).<br />
<i>Nota</i>: abbiamo implicitamente assunto che le particelle, sebbene identiche, siano tra loro <i>distinguibili</i> e quindi permutabili (l'indistinguibilità porta invece alle <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Statistica_di_Bose-Einstein">statistiche quantistiche</a>). <br />
<br />
Ma dobbiamo anche considerare che se permutiamo tra loro le <i>n<sub>1</sub></i> particelle del livello <i>E<sub>1</sub></i> non otteniamo una nuova configurazione (supponiamo cioè che lo stato di <i>E<sub>1</sub></i> sia indipendente da come le particelle vengono ordinate); ciò significa che dovremo dividere per<i> n<sub>1</sub>!</i> il risultato prima ottenuto:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>N!/n<sub>1</sub><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">!</span></i></div>
<div>
dove <i>n<sub>1</sub>!=1x2x3x...</i><i>x</i><i>n<sub>1</sub></i> è il numero delle permutazioni possibili su <i>E<sub>1</sub></i><span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">.</span><br />
<br />
Poiché ciò vale coerentemente per tutti i livelli di energia <i>E<sub>1</sub>,<sub> </sub>E<sub>2</sub>,<sub> </sub>E<sub>3</sub>, ...</i> si ottiene infine il numero complessivo <i>W</i> di tutti i modi possibili di riempimento dei livelli con le rispettive particelle:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>W=N!/(n<sub>1</sub>!n<sub>2</sub>!n<sub>3</sub>!...).</i></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Tuttavia la situazione che abbiamo rappresentato <i>non</i> è completa poiché dobbiamo considerare che i livelli di energia hanno una diversa probabilità di essere occupati (ad esempio per la loro <i>compatibilità</i> o meno con i momenti <b><i>p </i></b>delle particelle, vedi la nota seguente) e quindi dobbiamo assegnare un valore di probabilità <i>g<sub>i</sub></i> ad ogni livello di energia <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">E<sub>i</sub></i> (dove <i>i=1, 2, 3, ...</i>) con la condizione che<i> g<sub>1</sub>+g<sub>2</sub>+g<sub>3</sub>+...=1</i>.<br />
<i>Nota</i>: è noto che la relazione tra energia e momento di una particella è <i>E=p<sup>2</sup>/2m=(p<sub>x</sub><sup>2</sup>+p<sub>y</sub><sup>2</sup>+p<sub>z</sub><sup>2</sup>)/2m</i> quindi ad un dato livello di energia <i>E</i> possono corrispondere diverse orientazioni di <i><b>p</b></i>. <br />
<br />
Ciò significa che la probabilità di trovare <i>2</i> particelle nel livello <i>E<sub>1</sub></i> sarà pari a <i>g<sub>1</sub><sup>2</sup></i> (poiché le probabilità vanno moltiplicate tra loro) e quindi per tutte le <i>n<sub>1</sub></i> particelle avremo la probabilità <i>g<sub>1</sub><sup>n<sub>1</sub></sup></i> che occupino quello stato; in generale dovremo perciò tener conto del fattore <span style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);"><i style="text-align: center;"><i>g<sub>i</sub><sup>n<sub>i</sub></sup></i></i></span> nel calcolo delle probabilità.</div>
<div>
<i>Nota</i>: per la definizione della funzione <i>continua</i> di probabilità <i>g(E)</i> vedi il post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/07/il-calcolo-degli-stati-di-energia-dngede_11.html">Il calcolo degli stati di energia: dN=g(E)dE</a>".<br />
<br />
Se quindi consideriamo tutti i livelli di energia del sistema otterremo infine che la probabilità della particolare distribuzione <i>n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, n<sub>3</sub></i>, ... è pari a<br />
<div style="text-align: center;">
<i>P=N!(</i><i><i>g<sub>1</sub><sup>n<sub>1</sub></sup></i></i><i><i>g<sub>2</sub><sup>n<sub>2</sub></sup></i></i><i><i>g<sub>3</sub><sup>n<sub>3</sub></sup></i>...)/(n<sub>1</sub>!n<sub>2</sub>!n<sub>3</sub>!...).</i><br />
<div style="text-align: left;">
<i>Nota</i>: la somma delle probabilità <i>P<span style="text-align: center;"><sub>i</sub></span></i> di tutte le possibili configurazioni è correttamente pari a <i>1</i> risultando: <i>∑P<span style="text-align: center;"><sub>i</sub></span>=(g1+g2+g3+...)</i><i><i><sup>N</sup></i>=1</i> (vedi <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_multinomiale#Teorema_multinomiale">Wikipedia</a>). <i><br /></i></div>
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<br />
È a questo punto che <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann">Boltzmann</a> (nel 1877) fa la seguente fondamentale ipotesi che lega l'entropia <i>S</i> (già definita termodinamicamente nel post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2011/12/entropia-una-grandezza-anomala_72.html">Entropia: una grandezza anomala!</a>") alla probabilità <i>P</i> di una data distribuzione di particelle**:<br />
<div style="text-align: center;">
<i>S=k<sub>B</sub>lnP</i></div>
dove <i>k<sub>B</sub></i> è la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Boltzmann">costante di Boltzmann</a> (<i>ln</i> indica il <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_naturale">logaritmo naturale</a>); il termine <i style="background-color: rgba(255 , 255 , 255 , 0); text-align: center;">k<sub>B</sub>lnP</i> rappresenta quindi <i>l'entropia statistica</i> del sistema.<i> </i><br />
<br />
Questa definizione di entropia è generale e vale per qualsiasi distribuzione del sistema, anche quando ci troviamo fuori dall'equilibrio*** ed è evidente che il termine <i>k<sub>B</sub>lnP</i> è indipendente dal percorso seguito dal sistema ma solo dallo stato in cui esso si trova (cioè dalla sua particolare configurazione): l'entropia <i>S</i> è, come nel caso termodinamico, una funzione di stato. <br />
<i>Nota</i>: se <i>P=1</i> (cioè se si ha una sola possibile distribuzione delle particelle) risulta <i>S=0</i> e l'entropia è nulla (vedi il <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Terzo_principio_della_termodinamica">Terzo principio della termodinamica</a>).<br />
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<br />
Se ora supponiamo che il sistema isolato passi, in modo regolare nel tempo, da tutte le configurazione previste per quel sistema a parità di energia (<a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_ergodica">ipotesi ergodica</a>), allora la distribuzione che si realizza nel maggior numero di modi (cioè quella più probabile) è quella in cui il sistema passa in <i>media</i> la maggior parte del tempo (a parte cioè piccole fluttuazioni).<br />
<br />
Proseguendo con questa ipotesi di evoluzione dinamica del sistema, diventa lecito supporre che se ci troviamo lontano dall'equilibrio (bassa entropia) il sistema evolverà verso l'equilibrio (massima entropia) poiché tenderà naturalmente (in senso statistico) a quello stato di massima probabilità compatibile con le sue caratteristiche fisiche. <br />
<br />
Rimandiamo infine al post "<a href="http://significatofisico.blogspot.it/2014/06/la-legge-statistica-di-distribuzione_37.html">La Legge statistica di Distribuzione</a>" per il calcolo della distribuzione delle particelle <i style="text-align: center;"><i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">n<sub>i</sub></i></i> nei vari livelli di energia <i style="-webkit-text-size-adjust: auto; background-color: rgba(255, 255, 255, 0);">E<sub>i</sub></i> quando il sistema si trova all'equilibrio, cioè quando per ipotesi la probabilità dello stato è massima.<br />
<br />
(*) Solitamente abbiamo a che fare con sistemi fisici composti da un grande numero di particelle, dell'ordine del <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Avogadro">Numero di Avogadro</a>.<br />
(**) Supponiamo che esista una relazione tra <i>S</i> e <i>P</i> cioè <i>S=f(P)</i> allora se consideriamo un sistema composto da due parti (dove <i>S<sub>1</sub></i> e <i>S<sub>2</sub></i> sono le rispettive entropie mentre <i>P<sub>1</sub></i> e <i>P<sub>2</sub></i> le probabilità dei due stati) ed essendo <i>S=S<sub>1</sub>+S<sub>2</sub></i> (le entropie si sommano) e <i>P=P<sub>1</sub>P<sub>2</sub></i> (le probabilità si moltiplicano) avremo <i>S(P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>)=S(P<sub>1</sub>)+S(P<sub>2</sub>)</i>; ora come è noto l'unica funzione che soddisfa questa relazione è proprio quella logaritmica.<br />
(***) Al contrario le variabili termodinamiche come temperatura, pressione o volume sono ben definite solo all'equilibrio dove non variano nel tempo.</div>
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