mercoledì 18 aprile 2012

La Legge di Stokes

Per introdurre la legge di Stokes dobbiamo prima derivare il coefficiente di viscosità di un liquido; ricordiamo che con viscosità si intende "una grandezza fisica che quantifica la resistenza dei fluidi allo scorrimento, quindi la coesione interna del fluido" (vedi Wikipedia).

A tale scopo consideriamo un fluido che scorre tra due piani paralleli posti a distanza e supponiamo che il piano superiore (di superficie S) sia posto in movimento costante vz da una forza F applicata tangenzialmente al piano*; mentre il piano inferiore è in quiete rispetto al laboratorio.
Inoltre, a causa della viscosità tra il piano superiore e il fluido sottostante, anche il fluido a contatto verrà messo in moto trascinando a sua volta gli strati sottostanti (cioè la viscosità agisce anche tra gli strati stessi del fluido).

Immaginiamo quindi che il fluido sia costituito da strati elementari (paralleli ai due piani) ognuno di spessore infinitesimo z e supponiamo che ogni strato elementare differisca di una velocità relativa v costante da quello del corrispondente strato sottostante (supponiamo cioè un flusso laminare).

Ora la deformazione ø dello strato di fluido considerato, dovuta alla forza applicata F (o meglio allo sforzo di taglio tangenziale definito come il rapporto F/S), sarà data per definizione dallo spostamento infinitesimo x delle particelle del fluido dello strato considerato, rispetto allo spessore dello strato stesso e pari a z:
ø=x/z
dove x=vt è lo spostamento percorso nel tempo t dalle particelle dello strato in esame con velocità relativa v rispetto a quello sottostante.
Nota: la definizione di deformazione ø=x/z dovuta allo sforzo di taglio è l'analogo di quella data per lo sforzo di trazione ε=δl/l che indica la deformazione lungo un campione di lunghezza l.

Inoltre la relazione che lega lo sforzo di taglio, definito come il rapporto F/S, alla variazione della deformazione ø nel tempo t è per definizione (fissata temperatura e pressione):
F/S=µø/t
dove µ è il ricercato coefficiente di viscosità del liquido.

Infine avendo definito ø=x/z segue ø/t=2x/z∂t=v/z e quindi si ha:
F/S=µdv/dz.
Nota: v(z)=x/t è costante rispetto a t ma varia rispetto alla distanza z tra i due piani; inoltre si ha per le derivate incrociate 2x/∂z∂t=∂2x/∂t∂z=∂v/∂z essendo dx(z,t)=(∂x/∂z)dz+(∂x/∂t)dt un differenziale esatto.

In definitiva avremo perciò, come definizione del coefficiente di viscosità (valido nel caso considerato per lo scorrimento tra due piani): 
µ=(F/S)(dz/dv)=(F/S)(z/vz)
essendo per ipotesi dv/dz=vz/z il gradiente di velocità lungo z (ricordiamo che vz è la velocità del piano superiore mentre z è la distanza tra i due piani).
Nota: è necessario osservare però che "normalmente accanto a ogni misura di viscosità, occorre indicare in che condizioni e con quale strumento (inclusi marca e modello) è stata realizzata" (vedi Wikipedia).

Si noti che questa relazione è valida per un fluido newtoniano, un fluido cioè dove "la viscosità dipende, per definizione, solo dalla temperatura e dalla pressione (e dalla composizione chimica del fluido se esso non è una sostanza pura), ma non dalla forza applicata" (vedi Wikipedia).

Il significato fisico di µ per un fluido è in realtà da ricercare nelle forze di coesione intermolecolari; infatti all'aumentare della temperatura, e quindi dell'energia cinetica delle molecole, la viscosità diminuisce poiché si riduce l'effetto delle forze di coesione tra le molecole (accade viceversa nei gas).

A questo punto, come anticipato, abbiamo tutti gli elementi per introdurre la legge di Stokes che definisce una particolare forza di attrito dinamica** che indicheremo con Fd.

Ecco l'enunciato (vedi Wikipedia):
"La legge di Stokes del 1851 esprime la forza di attrito viscoso a cui è soggetta una sfera in moto rispetto ad un fluido, con un numero di Reynolds Re minore di 105 (cioè per un flusso laminare)***: 
Fd=-6πµrv
dove Fd è la forza dinamica di attrito viscoso, µ è il coefficiente di viscosità, r è il raggio della sfera e v è la velocità della sfera rispetto al fluido".
Nota: quando il numero di Reynolds è superiore a 105 (quindi per un flusso turbolento) la legge di Stokes diviene quadratica, cioè è proporzionale al quadrato della velocità.

In particolare si osservi che il numero di Reynolds Re prima citato è una costante adimensionale che "permette di valutare se il flusso di scorrimento di un fluido è in regime laminare (in corrispondenza del quale si hanno valori più bassi del numero di Reynolds) o turbolento (in corrispondenza del quale si hanno valori più elevati del parametro)" (vedi Wikipedia).
Nota: nel post "Analisi dimensionale: un esempio!" abbiamo derivato la relazione Re=vρd/µ dove ρ è la densità del fluido, d il diametro del tubo in cui scorre e v è la velocità del fluido.

(*) Il moto è costante proprio perché la forza F (costante) che trascina il piano è controbilanciata (una volta raggiunto lo stato stazionario) dalla forza di attrito viscoso del fluido.
(**) La legge di Stokes è valida sperimentalmente solo per piccole sfere (al più di circa 2 millimetri) fatte cadere in recipienti relativamente grandi (come ad esempio cilindri di 6-7 cm di diametro e 25-30 cm di altezza).
(Per una applicazione della legge di Stokes vedi il post "Il Moto Browniano")
(***) Coerentemente abbiamo supposto un flusso laminare anche nella derivazione del coefficiente di viscosità µ (vedi sopra).

mercoledì 11 aprile 2012

La Dilatazione relativa del Tempo

Come definizione generale potremmo forse affermare che "il tempo è la dimensione nella quale si concepisce e si misura il trascorrere degli eventi" (vedi Wikipedia). Ma dovremmo aggiungere subito che "l'unico modo convincente di rispondere alla domanda che cos'è il tempo è forse quello operativo, dal punto di vista strettamente fisico-sperimentale: il tempo è ciò che si misura con degli strumenti adatti" (cioè attraverso un orologio*).

Ora come strumento di misura del tempo possiamo, ad esempio, utilizzare un orologio a luce (ideale)** costituito da due specchi piani e paralleli che chiameremo A e B (posti rispettivamente sul pavimento e sul soffitto del nostro laboratorio S) sui quali si riflette perpendicolarmente un raggio di luce. L'unità di misura del tempo ∆t del nostro orologio ideale sarà per definizione data dalla distanza 2AB (cioè quella di andata e ritorno del raggio)*** divisa per la velocità della luce:
∆t=2AB/c.

Ma vediamo ora come viene valutato l'intervallo di tempo ∆t' dell'orologio a luce (che in teoria potrebbe essere diverso da ∆t) se questo si muove orizzontalmente a velocità v lungo l'asse X (cioè perpendicolarmente alla verticale degli specchi) rispetto all'osservatore in quiete nel laboratorio S.
Nota: potremmo evitare di mettere in moto l'orologio in quiete (magari alterandolo) considerando invece un osservatore in moto a velocità v lungo l'asse X (secondo la teoria della relatività il risultato è lo stesso).

In questo caso l'osservatore in quiete osserverà che il raggio di luce si muove da A a B e poi torna ancora in A (impiegando un tempo ∆t') mentre gli specchi si spostano di una distanza pari a v∆t' lungo X. Quindi il raggio di luce percorrerà, per due volte, l'ipotenusa (di lunghezza c∆t'/2) di un triangolo rettangolo di base v∆t'/2 e altezza AB.

Allora, se per ipotesi la velocità del raggio di luce dell'orologio in moto è sempre pari a c, risulterà per il teorema di Pitagora:
(c∆t')2=(2AB)2+(v∆t')2
ed essendo come abbiamo visto 2AB=c∆t per l'osservatore in quiete, segue
∆t'=∆t/(1-v2/c2)1/2.
Nota: abbiamo assunto per motivi di simmetria spazio-temporale che la distanza AB, perpendicolare al moto, sia la stessa in entrambi i riferimenti (vedi il post "La Contrazione relativa delle Lunghezze"). 

Il significato fisico del nostro esperimento è perciò che, relativamente all'osservatore in quiete, l'intervallo di tempo ∆t' dell'orologio in moto appare maggiore rispetto all'intervallo temporale ∆t (misurato con lo stesso identico orologio ma che si trova in quiete).
Nota: ∆t si definisce tempo proprio poiché è quello che viene misurato dall'orologio in quiete rispetto al fenomeno osservato (questa osservazione sarà determinante nel post "La Contrazione relativa delle Lunghezze").

Si osservi che questo risultato è dovuto a due precise ipotesi:
1) la velocità della luce c è la stessa per entrambi gli orologi, in quiete o in moto (o meglio per entrambi gli osservatori inerziali);
2) le leggi della fisica sono le stesse per tutti i sistemi inerziali (cioè questo risultato è valido per qualsiasi osservatore inerziale ed è indipendente dallo strumento che utilizziamo per misurare il tempo).
Nota: se la teoria della relatività è vera, qualsiasi orologio (in un dato riferimento) deve segnare lo stesso tempo altrimenti, grazie allo sfasamento temporale, potremmo determinare il moto assoluto di quel riferimento.

In effetti come è noto, da queste due ipotesi possiamo derivare le Trasformazioni di Lorentz (che ci permettono di calcolare le coordinate spazio-tempo di un dato fenomeno per qualsiasi sistema di riferimento inerziale) da cui si può ricavare la relazione relativistica tra gli intervalli temporali prima ottenuta.

(*) "Una analisi microscopica del problema mostra come la definizione di orologio sia adatta solo a una trattazione macroscopica del problema e non consenta di formulare una definizione corretta per le equazioni del moto di particelle descritte dalla meccanica quantistica" (vedi Wikipedia).
(**) Consideriamo qui un orologio ideale a moto perpetuo; in realtà ogni volta che il raggio di luce viene riflesso questo perde energia riscaldando le pareti degli specchi oppure disperdendosi nel rimbalzo (tuttavia ciò non è significativo ai fini della nostra misura del tempo).
(***) È corretto considerare un percorso di andata e ritorno poiché la stessa velocità della luce viene misurata su un percorso di andata e ritorno; proprio per evitare eventuali asincronie di orologi in quiete posti a distanza, che potrebbero compromettere la misura in un percorso di solo andata.
(Il postulato di relatività assume in modo più restrittivo, per definire il concetto di simultaneità e sincronizzare due o più orologi posti in quiete in luoghi diversi, che la velocità della luce sia la stessa in tutte le direzioni).

martedì 3 aprile 2012

L'Equazione della Funzione d'Onda

Abbiamo già mostrato nel post "L'ipotesi di de Broglie: L=h/p" come si possa associare ad una qualsiasi particella la fase di un'onda periodica:
S=kx±wt
dove k=2π/L e w=2π/T (essendo L e T la lunghezza e il periodo dell'onda).
In particolare si è visto che per una particella di energia E e quantità di moto p sono per ipotesi valide le due relazioni:
T=h/E     e     L=h/p
dove h è la costante di Planck.

Quindi se consideriamo una generica funzione d'onda armonica di ampiezza A e fase S=kx-wt che si propaga lungo l'asse X:
f(x,t)=Aei(kx-wt)
allora potremo per ipotesi associare* questa funzione d'onda ad una particella di energia E e quantità di moto p attraverso la relazione:
F(x,t)=Ae2πi(px-Et)/h
avendo sostituito i valori di k=2πp/h e w=2πE/h nella relazione precedente.
Nota: il significato fisico di F(x,t) verrà trattato nel post "La Funzione d'Onda (quantistica)".

A questo punto è utile chiedersi se esiste una equazione dinamica**, che possa cioè descrivere il moto di una particella libera, di cui la funzione d'onda F(x,t) è soluzione; sarà poi possibile generalizzare tale equazione anche in presenza di campi di forze esterni allo scopo di derivare dei risultati che possano essere verificati sperimentalmente.

Vediamo quindi se è possibile una derivazione teorica dell'equazione d'onda (che ricordiamo è stata introdotta come ipotesi teorica dal fisico austriaco Erwin Schrödinger nel 1926) a partire proprio dalla funzione d'onda F(x,t).

Come prima cosa si osservi che valgono queste due relazioni di derivazione parziale di F(x,t):
∂F(x,t)/∂t=-i(2πE/h)F(x,t)     e     ∂2F(x,t)/∂x2=-(2πp/h)2F(x,t)
e che inoltre vale la seguente relazione (non relativistica) per l'energia cinetica di una particella di massa m e quantità di moto p=mv:
E=(1/2)mv2=p2/2m.

Ora se moltiplichiamo per F(x,t) entrambi i membri dell'equazione precedente si ottiene:
F(x,t)E=F(x,t)(p2/2m)
da cui ricaviamo infine (sostituendo le espressioni delle derivate parziali di F(x,t) prima ricavate):
(ih/2π)∂F(x,t)/∂t=-(h/2π)2(1/2m)∂2F(x,t)/∂x2.
L'equazione così ottenuta è in effetti identica a quella proposta per la prima volta da Schrödinger per una particella libera.

Inoltre nel caso la particella sia soggetta ad un potenziale V(x,t) l'energia totale diventa Etot=p2/2m+V e l'equazione d'onda assume (con le stesse ipotesi di prima) la sua forma più generale (vedi Wikipedia):
(ih/2π)∂F(x,t)/∂t=-(h/2π)2(1/2m)∂2F(x,t)/∂x2+V(x,t)F(x,t) 
dove per semplicità abbiamo considerato la sola dimensione X.

Tuttavia è bene sottolineare, nonostante la particolare derivazione qui mostrata, che l'equazione di Schrödinger non è in realtà ottenibile da qualche principio fisico già noto in precedenza; ma è un'equazione da assumere come ipotesi a priori il cui significato fisico è pertanto quello di una ipotesi di lavoro empirica** da verificare cioè sperimentalmente, come in effetti è già stato fatto in diversi esperimenti di laboratorio (in ambito non relativistico).

(*) Se consideriamo un'onda singola, non solo la particella non è localizzata, ma la velocità di fase V=w/k è priva di significato fisico poiché in questo caso risulta: V=E/p=c2/v>c essendo w=2πE/h e k=2πp/h (vedi sopra).
Perciò ad ogni particella dobbiamo invece associare un pacchetto d'onde (sovrapponiamo cioè un infinito numero di onde a quella fondamentale F(x,t)): in questo caso possiamo definire un'onda localizzata con velocità di gruppo Vg=dw/dk che rappresenta la velocità della particella (risulta infatti Vg=dE/dp=v con E=c(m02c2+p2)1/2) (vedi Wikipedia).
D'altra parte si osservi però che, risultando Vg≠V, l'onda è dispersiva (vedi il post "Velocità di Fase e di Gruppo!") e non può rappresentare fisicamente una particella ben definita (che non cambia cioè forma mentre è in moto).
(**) La situazione è del tutto analoga a quella della seconda Legge di Newton; infatti la nota equazione dinamica F(r(t))=md2r(t)/dt2 descrive per ipotesi il moto di un corpo di massa m sottoposto ad una forza F(r(t)) la cui soluzione r(t) permette di stabilire la posizione della particella ad ogni istante (fissato lo stato inziale r(0) al tempo t=0).