mercoledì 28 dicembre 2011

Campo conservativo => irrotazionale!

Ecco la definizione classica di campo vettoriale conservativo secondo Wikipedia:
"Un campo vettoriale F(x,y,z) si dice conservativo se esiste un campo scalare U(x,y,z) tale che:
F(x,y,z)=gradU(x,y,z)
dove grad è l'operatore gradiente. Se U(x,y,z) esiste, è detto potenziale scalare per il campo F(x,y,z)".

Ma vediamo invece una definzione alternativa.
Poiché il gradiente di una funzione scalare U(x,y,x) è così definito:
gradU(x,y,z)=i∂U/∂x+j∂U/∂y+k∂U/∂z
(dove i,j,k sono i tre versori) la relazione tra il differenziale esatto dU(x,y,z) (vedi il post "Un differenziale... esatto!") e il gradiente della funzione U(x,y,z) è la seguente:
dU=gradUds.
Infatti poiché dU=(∂U/∂x)dx+(∂U/∂y)dy+(∂U/∂z)dz ed essendo lo spostamento infinitesimo ds=idx+jdy+kdz, basta fare il prodotto scalare tra gradU e ds per ottenere dU (si ricordi che ij=ik=jk=0 data la perpendicolarità tra i versori).

Perciò un campo vettoriale F(x,y,z) si dice altresì conservativo se esiste un campo scalare U(x,y,z) tale che:
dU(x,y,z)=F(x,y,z)ds
essendo questa una definizione equivalente a quella del gradiente data sopra (basta sostituire dU=gradUds).
Nota: per quanto si è definito sopra, le forze conservative F(x,y,z) dipendono esclusivamente dalla variabile spazio e non dal tempo, dalla velocità o da altre variabili (condizione necessaria ma non sufficiente).

L'introduzione del differenziale esatto dU(x,y,z) ci permette di fare alcune interessanti considerazioni (anche in riferimento a quanto visto nel post "Un differenziale... esatto!").

Ad esempio, nel caso di un campo di forze F(x,y,z), se integriamo il differenziale dU(x,y,z)=F(x,y,z)ds (come abbiamo già descritto nel post "Energia potenziale<=>Forza conservativa") si ottiene l'energia potenziale U(x,y,z) del campo che (essendo dU un differenziale esatto) dipende solo dai punti A e B in cui si trova il corpo, rispettivamente prima e dopo lo spostamento dovuto al campo di forze, e non dipende perciò dal percorso.

Inoltre si osservi che le componenti del campo vettoriale F(x,y,z) sono (essendo F(x,y,z)=gradU(x,y,z)):
Fx=∂U/∂x,   Fy=∂U/∂y,   Fz=∂U/∂z
da cui segue subito che le derivate parziali incrociate di F(x,y,z) coincidono con le derivate parziali seconde incrociate di U(x,y,z):
∂Fi/∂j=∂2U/∂i∂j   (dove i,j=x,y,z).
Ora, poiché le derivate seconde incrociate di un differenziale esatto non dipendono dall'ordine di derivazione, cioè 2U/∂i∂j=∂2U/∂j∂i (vedi il post "Un differenziale... esatto!") risulterà:
∂Fx/∂y=∂Fy/∂x,   ∂Fy/∂z=∂Fz/∂y,   ∂Fz/∂x=∂Fx/∂z
ma ciò significa (per come è definito l'operatore rotore):
rotF(x,y,z)=i(∂Fz/∂y-∂Fy/∂z)+j(∂Fx/∂z-∂Fz/∂x)+k(∂Fy/∂x-∂Fx/∂y)=0
cioè un campo conservativo è irrotazionale (vedi Wikipedia).

Si noti però che non è sempre vera l'implicazione inversa: infatti la condizione rotF(x,y,z)=0 implica che il campo di forze F(x,y,z) è conservativo ma solo se il dominio su cui è definito il campo F è stellato* (secondo il Lemma di Poincaré).
Nota: per un semplice esempio di campo irrotazionale, ma non globalmente conservativo, vedi Wikipedia.

Questa ultima affermazione si può dimostrare ricordando il Teorema del rotore. Infatti, poiché rotF=0 implica (secondo tale teorema) che l'integrale di Fds lungo una qualsiasi linea chiusa è nullo (ma solo se il dominio di F è stellato), allora segue che l'integrale non dipende dal percorso e quindi dU=Fds è un differenziale esatto; ma ciò significa, secondo la definizione data sopra, che il campo F(x,y,z) è conservativo (cvd).
Nota: per il significato fisico di campo conservativo vedi il post "L'Energia Meccanica si conserva?".

(*) Intuitivamente un insieme S si dice stellato se esiste almeno un punto x in S dal quale qualunque punto di S è visibile (vedi Wikipedia).

mercoledì 21 dicembre 2011

Il Principio di Conservazione... termodinamico!

In questo post vogliamo enunciare il principio di conservazione dell'energia riferito ad un sistema termodinamico chiuso (per i dettagli vedi Wikipedia).
Nota: un sistema si definisce chiuso se non scambia massa con l'ambiente esterno, tuttavia può scambiare qualsiasi forma di energia o lavoro.

Si osservi innanzitutto che la quantità totale di energia U (cioè l'energia cinetica e potenziale) di un sistema a molte particelle in uno stato arbitrario è generalmente ignota.
Si può tuttavia conoscere la variazione ∆U=UB-UA che l’energia interna subisce quando il sistema passa dallo stato iniziale A a quello finale B durante una trasformazione, in quanto possiamo misurare il lavoro L compiuto sul sistema oltre all'energia Q fornita al sistema come calore.

È noto che per un sistema meccanico vale la relazione (vedi il post "Il Teorema della 'Vis Viva'"):
∆Ec=L
cioè la variazione di energia cinetica ∆Ec è pari al lavoro L compiuto dal campo di forze esterne sul sistema meccanico; a questa dobbiamo sommare la variazione di energia potenziale ∆Epot del sistema per ottenere la variazione complessiva di energia:
∆Emecc=∆Ec+∆Epot=Lnc
dove Lnc è il lavoro dovuto a forze non conservative tipo l'attrito (come descritto nel post "E se le forze non sono conservative?").
Nota: in generale risulta L=Lcons+Lnc dove Lcons=-∆Epot è il lavoro derivante da forze conservative, da cui perciò risulta: ∆Emecc=Lnc.

Tuttavia nel caso di un sistema termodinamico (cioè un sistema meccanico a molte particelle) dobbiamo tener conto anche dell'energia Q scambiata sotto forma di calore in modo che l'energia totale si conservi.
Nota: è grazie alla meccanica statistica se possiamo trattare sistemi a molte particelle attraverso grandezze macroscopiche come il calore (vedi il post "Entropia statistica e termodinamica").

In effetti su un sistema termodinamico chiuso (che cioè non può scambiare massa con l'esterno) possiamo agire dall'esterno in due modi: compiendo del lavoro L e fornendo del calore Q.
Nota: vedi ad esempio l'esperimento di Joule che dimostra come lavoro e calore sono in realtà due diverse forme di trasferimento dell'energia.

Possiamo perciò enunciare il Primo principio della termodinamica per un sistema chiuso a molte particelle (dove <Ec> e <Epot> rappresentano i valori medi dell'energia), che in pratica esprime la conservazione dell'energia:
∆U=∆<Ec>+∆<Epot>=L+Q
dove U è una funzione di stato (cioè non dipende dal percorso della trasformazione) detta energia interna del sistema, mentre L è il lavoro esterno fatto sul sistema e Q il calore fornito al sistema (che contribuiscono cioè ad aumentare l'energia interna).
Nota: i segni positivi del lavoro fatto sul sistema e del calore fornito al sistema sono scelti coerentemente: se L e Q aumentano anche ∆U aumenta.

Si noti che la variazione di energia interna è pari a ∆U=∆<Emecc> poiché stiamo trattando un sistema a molte particelle, cioè un sistema che può essere affrontato grazie alla meccanica statistica dove i valori medi dell'energia cinetica <Ec> e potenziale <Epot> sono calcolati su tutte le particelle del sistema (vedi il post "L'espansione adiabatica di Joule").

Ma vediamo un semplice esempio.
Si può dimostrare che per un gas ideale la variazione di energia interna U(T) dipende solo dalla temperatura*, perciò nel caso di una trasformazione isoterma (cioè a temperatura costante), risulta:
∆U(T)=0   =>   Q=-L.
Ciò significa che, non variando la temperatura, tutto il calore fornito per ipotesi al sistema si deve trasformare in lavoro negativo (cioè fatto dal sistema) che diminuisce l'energia interna in modo che ∆U(T)=0.

Ad esempio per una trasformazione reversibile** dove dU=δQ+δL se il lavoro è dato solo dalla variazione di volume, cioè δL=-pdV (vedi il post "Il Lavoro di Volume"), allora quando il sistema si espande la sorgente esterna deve compensare la perdita di calore per evitare che il sistema si raffreddi (essendo la trasformazione per ipotesi isoterma).

Inoltre si osservi che per una trasformazione isoterma con variazione di volume, nonostante la variazione di energia interna ∆U(T) sia nulla, l'entropia S del sistema varia poiché (come si può dimostrare, vedi la nota***) dipende dal rapporto dei volumi Vf/Vi rispettivamente dello stato finale e iniziale del sistema (vedi Wikipedia).
Nota: per la definizione di entropia di un sistema vedi il post "Entropia: una grandezza anomala!".

(*) Possiamo esprimere U(T,V) come funzione di T e V e quindi dU=(∂U/∂T)dT+(∂U/∂V)dV; ora per un gas ideale vale la relazione sperimentale e teorica ∂U/∂V=0 da cui segue dU=(∂U/∂T)dT perciò U(T) dipende solo dalla temperatura (vedi Wikipedia).
(**) Per una trasformazione reversibile (quindi differenziabile) possiamo scrivere, per un sistema chiuso: dU=δQ+δL dove risulta δQ=TdS (vedi il post "Entropia: una grandezza anomala!") e in presenza di solo lavoro di volume si ha δL=-pdV. Quindi si ottiene dU=TdS-pdV che è un differenziale esatto (vedi il post "Un differenziale... esatto!"); integrando dU(S,V) (con T e p costanti) si ha U(S,V)=TS-pV che perciò è una funzione di stato e non dipende dal tipo di trasformazione (vedi Wikipedia).
(***) Per una trasformazione reversibile e isoterma risulta dU=δQ+δL=0 da cui segue (per un lavoro solo di volume dove δL=-pdV): δQ=pdV; inoltre dall'equazione di stato dei gas perfetti segue T=pV/nR per cui sostituendo si ha per la variazione infinitesima di entropia dS=δQ/T=nRdV/V e integrando tra i due volumi (dello stato finale e iniziale del sistema): ∆S=nRln(Vf/Vi ) (cvd).
(Si osservi che essendo l'entropia una funzione di stato, il risultato ottenuto vale anche per una trasformazione irreversibile).

mercoledì 14 dicembre 2011

Entropia: una grandezza anomala!

Abbiamo già discusso la differenza tra il significato fisico del termine calore e quello di temperatura nel post "Calore o Temperatura?"; questi due concetti fisici sono fondamentali per definire l'entropia termodinamica (o meglio la variazione di entropia) che viene così definita (vedi Wikipedia):
"La variazione della funzione di stato entropia S venne introdotta nel 1864 da Rudolf Clausius nell'ambito della termodinamica come
∆S=Qrev/T
dove Qrev è la quantità di calore assorbito o ceduto in maniera reversibile e isoterma dal sistema a temperatura T (costante)".
Nota: per mantenere costante la temperatura T di un sistema termodinamico si può, ad esempio, lasciare che questo si espanda mentre assorbe la quantità di calore Qrev.

È importante sottolineare che solo il calore scambiato reversibilmente, diviso per la temperatura assoluta del sistema (alla quale viene scambiato), rappresenta per definizione la variazione di entropia di un sistema che passa, ad esempio, dallo stato A a quello B.

Facciamo ora alcune osservazioni preliminari sulla definizione data sopra:
-> è più utile definire la variazione di entropia poiché così si evita di introdurre uno stato di riferimento assoluto (difficile da definire) rispetto al quale l'entropia dovrebbe essere definita (mentre la variazione non dipende dal riferimento);
-> l'entropia è una funzione di stato (come è possibile dimostrare)* quindi non dipende dal tipo di trasformazione o dal percorso seguito (che può essere reversibile o meno) ma solo dagli stati iniziale e finale della trasformazione;
-> la variazione di entropia è definita solo per scambi reversibili di calore ma possiamo calcolarla anche su percorsi irreversibili essendo una funzione di stato (considerando cioè solo lo stato iniziale e finale della trasformazione).
Nota: per la definizione statistica del concetto termodinamico di entropia vedi il post "L'Entropia secondo Boltzman".

A questo punto, per fare ulteriori considerazioni sull'entropia, è utile introdurre il Teorema di Clausius (vedi Wikipedia):
"Esso afferma che in un qualsiasi processo ciclico vale la relazione
cicloδQ/T≤0
dove δQ è il calore scambiato dal sistema e T è la temperatura assoluta della sorgente di calore. L'uguaglianza vale solo nel caso di una trasformazione reversibile, mentre per qualunque processo irreversibile vale il segno < ".
Nota: per la dimostrazione del teorema di Clausius vedi il post "Clausius e Carnot: cicli, principî e motori!"

Si osservi che il valore δQ/T sotto integrale non definisce in generale una funzione di stato e quindi non rappresenta l'entropia del sistema; tuttavia ciò è vero quando vale il segno di uguale (infatti per una funzione di stato l'integrale calcolato su un ciclo è sempre nullo) e cioè quando il calore è scambiato in modo reversibile.

Se ora consideriamo due trasformazioni consecutive, cioè una che va dallo stato A a quello B in modo irreversibile e poi un'altra che da B torna in A in modo reversibile, l'integrale sopra può essere scomposto nella somma di due parti:
cicloδQ/T=ABδQirr/T+BAδQrev/T<0
e quindi in generale possiamo scrivere (ricordando che AB=-BA ):
ABδQirr/T<ABδQrev/T=S(B)-S(A)
dove S(X) è definita (a meno di una costante additiva) come l'entropia del sistema nello stato X.
"Ora se in particolare consideriamo la trasformazione irreversibile da A a B in un sistema isolato, l'integrando al primo membro sarà nullo** (essendo in tale sistema δQirr=0)***, quindi in definitiva si ottiene:
S(B)≥S(A)
per qualunque trasformazione termodinamica del sistema isolato" (vedi Wikipedia); il segno di uguale, come abbiamo detto prima, vale solo per una trasformazione reversibile, che passa cioè attraverso stati di equilibrio (e quindi dS=δQrev/T=0 essendo δQrev=0).
Nota: un sistema è isolato quando non scambia con l'ambiente esterno né massa, né lavoro, né calore (cioè δQ=0) o qualsiasi altra forma di energia.

L'entropia è quindi una grandezza anomala nel senso che per essa vale, come abbiamo mostrato, un principio di non conservazione:
"In un sistema isolato e per una trasformazione irreversibile (in pratica tutte le trasformazioni lo sono) l'entropia tende sempre ad aumentare"!

Questo enunciato di non conservazione rappresenta una delle formulazioni del Secondo principio della termodinamica.
Nota: per le altre formulazioni equivalenti del secondo principio vedi il post "Clausius e Carnot: cicli, principî e motori!"

(*) Dal Teorema di Clausius (descritto sopra) segue subito che l'entropia è una funzione di stato (e quindi che il dS è un differenziale esatto): infatti se il calore è scambiato reversibilmente l'integrale del dS=δQrev/T calcolato su un ciclo è nullo indipendentemente dal percorso seguito (cvd).
(**) L'integrando al secondo membro con δQrev non dipende dal tipo di trasformazione ma solo dallo stato iniziale A e finale B (dato che l'entropia è una funzione di stato); inoltre l'entropia è nulla solo quando δQrev=0 essendo per definizione dS=δQrev/T.
(***) Anche se δQirr/T=0 potremmo comunque avere, per una trasformazione reversibile che collega gli stessi stati A e B, δQrev/T>0 e quindi S(B)>S(A); perciò solo se δQrev=0 l'entropia è nulla.
(Vedi ad esempio il post "L'espansione adiabatica di Joule" dove l'entropia dipende dalla variazione di volume (vedi la fine del post "Il Principio di Conservazione... termodinamico") e quindi aumenta pur essendo δQirr=0).

mercoledì 7 dicembre 2011

Una Legge "indotta": Faraday&Lenz

In questo post partiamo da un esperimento abbastanza semplice da realizzare e che tratta l'induzione elettromagnetica.

Dotiamoci allo scopo di una spira di corrente (un anello di materiale conduttore), di una calamita (una barretta magnetica con i poli nord/sud) e di un apparecchio per misurare la corrente che circola nella spira (un amperometro collegato in serie).

Supponiamo che inizialmente nella spira non circoli corrente, quindi muoviamo la barretta magnetica (ad esempio lungo l'asse della spira): vedremo che l'apparecchio di misura indicherà una variazione della corrente (ma solo quando muoviamo la calamita).

Se rammentiamo quanto detto nel post "La Forza-elettro-motrice" (cioè che la f.e.m. è la causa della corrente in un circuito elettrico) e osserviamo che la spira rappresenta in pratica un circuito elettrico chiuso, dovremo ammettere che durante l'esperimento è stata indotta una f.e.m. che ha causato la circolazione della corrente.

È intuitivo affermare, data la semplicità dell'esperimento, che la f.e.m. (e quindi il campo elettrico lungo l'anello)* è dovuta al campo magnetico variabile (generato dal moto del magnete) che attraversa la spira: è perciò questa la causa del moto delle cariche elettriche lungo l'anello conduttore.

In effetti possiamo definire formalmente quanto è stato osservato durante l'esperimento, già descritto dal fisico inglese Michael Faraday, che nel 1831 enunciò una legge fisica che comprende e generalizza il fenomeno (vedi Wikipedia):
"La legge di Faraday afferma che la forza elettromotrice indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico variabile è pari all'opposto della variazione del flusso magnetico del campo attraverso l'area abbracciata dal circuito nell'unità di tempo: 
f.e.m.=-dΦB/dt
dove ΦB è il flusso del campo magnetico B".
Nota: questa legge è nota anche come la legge dell'induzione elettromagnetica dato che viene indotta una forza elettromotrice nel circuito elettrico.

Si noti che nella relazione scritta sopra compare un segno meno, questo è in realtà dovuto alla legge di Lenz (Wikipedia).
In particolare "la legge di Lenz, formulata dal fisico russo Heinrich Friedrich Emil Lenz nel 1834, permette di individuare la direzione della forza elettromotrice risultante dall'induzione elettromagnetica:
La forza elettromotrice indotta è sempre tale da generare un campo magnetico che si oppone alla variazione del flusso del campo magnetico concatenato con il circuito".
Perciò il segno meno significa che la f.e.m. si oppone alla variazione del flusso magnetico ed è in pratica dovuto al principio di conservazione dell'energia. Infatti se nell'esperimento precedente non valesse la legge di Lenz, basterebbe muovere appena la barretta magnetica verso la spira e questa verrebbe attirata dalla spira stessa** in modo da innescare un moto continuo e accelerato (in assenza di attrito) con conseguente guadagno di energia cinetica*** a costo praticamente nullo!

Si noti infine che la legge di Faraday-Lenz è ovviamente vera anche in assenza di una spira di corrente nello spazio vuoto (cioè in assenza di cariche): un campo magnetico variabile genera sempre una f.e.m. e quindi un campo elettrico lungo linee chiuse, perpendicolari a quelle magnetiche.
Nota: è noto che la legge di Faraday-Lenz rappresenta una delle quattro equazioni di Maxwell che descrivono il campo elettromagnetico.
 
(*) Per chiarire la relazione tra forza elettromotrice, campo e potenziale elettrico vedi il post "La Carica di prova e il Potenziale elettrico".
(**) Quando in un anello conduttore circola una corrente, questo si comporta come una lamina magnetica bipolare che può attirare o respingere un altro magnete, come nell'esperimento che abbiamo descritto.
(***) In realtà oltre all'energia cinetica della barretta magnetica si otterrebbe anche energia di tipo termico ed energia di radiazione e.m. a causa del moto accelerato della carica lungo la spira.

mercoledì 30 novembre 2011

La Forza-elettro-motrice

Il significato di forza in fisica è generalmente usato per un sistema meccanico, tuttavia ecco cosa si intende ancora oggi con il termine forza elettromotrice (secondo Wikipedia):
"La forza elettromotrice, comunemente abbreviata in f.e.m., è la causa della differenza di potenziale ∆V tra due punti di un circuito aperto o del flusso di corrente elettrica I all'interno di un circuito elettrico (chiuso per definizione)".

Per chiarire la definizione ricordiamo innanzitutto che "la differenza di potenziale ∆V tra due punti immersi in un campo vettoriale conservativo corrisponde all'energia necessaria per spostare un elemento di valore unitario (unità di carica) dal potenziale più basso al punto con maggior potenziale"* (vedi Wikipedia).
Nota: per chiarire il significato di potenziale elettrico (o differenza di potenziale) vedi il post "La Carica di prova e il Potenziale elettrico".

Ed inoltre rammentiamo che l'elemento duale del potenziale V cioè "la corrente elettrica I è un qualsiasi moto ordinato di cariche elettriche, definito operativamente come la quantità di carica elettrica che attraversa una determinata superficie nell'unità di tempo" (vedi Wikipedia).

Quindi la f.e.m. di un generatore può essere definita in questi due casi**:
a) circuito aperto: misurando la tensione E ai capi di un generatore a circuito aperto, cioè in "uno stato di non collegamento fra due punti dove la differenza di potenziale può assumere valori arbitrari" (Wikipedia);
oppure
b) circuito chiuso: rilevando la tensione ∆V ai capi di un generatore a circuito chiuso, cioè in uno stato di "interconnessione di elementi elettrici collegati insieme in un percorso chiuso in modo che la corrente possa fluire con continuità" (Wikipedia).
Nel caso b dobbiamo però tener conto della resistenza interna del generatore che riduce la f.e.m. utilizzabile a circuito chiuso.

Se ad esempio consideriamo un generatore di tensione la cui forza elettromotrice è pari ad E (misurata a vuoto, come nel caso a), la differenza di potenziale ∆V che può generare (misurata sotto carico, come nel caso b) è pari a ∆V=E-RI dove R è la sua resistenza interna ed I è la corrente del circuito: E rappresenta la forza elettromotrice del circuito elettrico.

Ma vediamo la definizione generale di forza elettromotrice; in entrambi i casi sopra discussi possiamo definire così la f.e.m.*** (vedi Wikipedia):
f.e.m.=L/q
dove L rappresenta (nel caso a) il lavoro che farebbe un generatore sulla unità di carica q per spostare quest'ultima dal punto di potenziale più basso al punto con maggior potenziale oppure in modo equivalente (nel caso b), è il lavoro fatto per spostare la carica q lungo la linea chiusa che definisce un circuito elettrico; ma in questo caso dobbiamo considerare anche il lavoro per vincere la resistenza interna R del generatore (come detto sopra): 
L=qE=q(∆V+RI). 

Infine in presenza di un flusso continuo di cariche (cioè se I=dq/dt), possiamo definire la f.e.m. con i valori infinitesimi di lavoro e di carica:
f.e.m.=dL/dq.

(*) Se il campo elettrico è conservativo, il lavoro non dipende dal percorso della carica ma dipende solo dai punti A e B in cui essa si trova prima e dopo lo spostamento (vedi il post "Energia potenziale<=>Forza conservativa").
(**) Esiste anche un terzo caso (che tratteremo nel post "Una Legge indotta: Faraday&Lenz") cioè la forza elettromotrice indotta; essa si manifesta lungo un percorso chiuso (in un campo elettrico non conservativo) anche in assenza di elementi elettrici o di cariche elettriche.
(***) La f.e.m. è spesso indicata con E oppure a volte con V, anche se il simbolo V di solito indica il potenziale elettrico (vedi il post "La Carica di prova e il Potenziale elettrico").

mercoledì 23 novembre 2011

Il Lavoro di Volume

In riferimento al post "Un differenziale... esatto!" (in cui abbiamo esaminato la funzione di stato del volume di un gas) vogliamo mostrare che, al contrario della variazione di volume dV(T,p) "il lavoro delle forze di pressione δW=-pdV(T,p) dipende dal percorso seguito, e non può essere scritto come variazione di una funzione di stato" (vedi Wikipedia).

Partiamo dal lavoro meccanico di una forza F costante che agisce perpendicolarmente sulla parete S di un recipiente che contiene un gas:
∆W=F∆h
dove ∆h indica lo spostamento della parete parallelo ad F.
Nota: per la definizione generale di lavoro vedi il post "E se le forze non sono conservative?".

Se ora definiamo la pressione p=F/S esercitata da un pistone che comprime la parete esterna del gas, possiamo calcolare il lavoro svolto dalla forza (indicato con il segno meno poiché la variazione di volume ∆V è negativa, mentre il lavoro ∆W compiuto sul sistema è positivo per definizione):
∆W=-p∆V
dove ∆V=S∆h è la variazione del volume V del recipiente: il lavoro ∆W dovuto alle forze di pressione è detto lavoro di volume.
Nota: per una espansione avremo invece ∆V positivo, ma ∆W compiuto dal sistema è per definizione negativo, perciò risulta di nuovo: ∆W=-p∆V.

Durante la trasformazione abbiamo supposto che la pressione p fosse costante (essendo F=costante), ma cosa accade se la pressione varia?
In questo caso il lavoro di volume W potrebbe dipendere dal percorso della trasformazione e non solo dallo stato iniziale e finale del sistema.
Nota: la relazione ∆W=-p∆V con p costante è del tutto generale e vale anche per gas reali (non ideali).

Consideriamo quindi una trasformazione reversibile dove la variazione dV è infinitesima e la pressione p può variare con continuità; si ricordi infatti che nel post "Un differenziale... esatto!" abbiamo ottenuto per un gas ideale:
dV=(nR/p)dT-(nRT/p2)dp
da cui perciò possiamo ottenere il lavoro di volume infinitesimo δW=-pdV semplicemente sostituendo il valore di dV:
δW=-(nR)dT+(nRT/p)dp.

A questo punto si può dimostrare che δW non è un differenziale esatto, infatti le derivate parziali seconde incrociate non coincidono* (vedi il post "Un differenziale... esatto!"):
-∂(nR)/∂p≠∂(nRT/p)∂T.
Nota: per convenzione indichiamo con la lettera d il differenziale esatto mentre usiamo la lettera δ per indicare quello non esatto.

Ciò significa che non possiamo definire il lavoro di volume W come una funzione che dipende solo dalle variabili di stato**; il lavoro compiuto dalle forze di pressione dipende cioè dal percorso seguito dal sistema durante la trasformazione: quindi W non è una funzione di stato***.
Nota: tuttavia se p=costante si ottiene di nuovo dW=-pdV e non dipende dal percorso ma dalla sola variabile V cioè ∆W=-p∆V.

In effetti il significato fisico del differenziale esatto di una grandezza fisica è legato proprio alla possibilità di definire una funzione che dipenda solo dalle variabili (di stato) in cui si trova il sistema e che quindi non dipenda dal percorso seguito.
Nota: nel caso di una sola variabile basta che la funzione ammetta derivata prima e che questa sia continua (e quindi integrabile) affinchè il differenziale sia esatto (vedi il post "Un differenziale... esatto!").

(*) Se δW fosse un differenziale esatto oltre ad esprimerlo nella forma dW=(∂W/∂T)dT+(∂W/∂p)dp dovrebbe risultare: 2W/∂T∂p=∂2W/∂p∂T; tuttavia essendo (vedi sopra) δW=-(nR)dT+(nRT/p)dp si ha ∂W/∂T=-nR e ∂W/∂p=nRT/p e quindi risulta -∂(nR)/∂p≠∂(nRT/p)∂T (cvd).
(**) Una volta stabilita l'equazione di stato di un gas si possono definire le variabili termodinamiche indipendenti; ad esempio per un gas ideale risulta pV=nRT dove le variabili (p,V,T,n) definiscono lo stato di equilibrio: saranno perciò sufficienti solo due variabili per definire la funzione di stato (fissato il numero n di moli).
(***) Se δW non è un differenziale esatto dobbiamo integrare la relazione δW=-pdV=-(nR)dT+(nRT/p)dp per ottenere il lavoro di volume W; questa operazione dipende dal percorso: se ad esempio facciamo variare prima la temperatura o viceversa prima la pressione (per raggiungere lo stesso stato finale (Tf,pf)) otteniamo due diversi lavori: W1≠W2 (vedi Wikipedia).

giovedì 17 novembre 2011

Un differenziale... esatto!

In questo post vediamo come la definizione matematica di differenziale esatto sia strettamente legata al significato fisico della funzione di stato di un sistema (cioè una grandezza fisica che non dipende dal percorso seguito) che abbiamo già introdotto nel post "Variabili e Funzioni termodinamiche".

Andiamo per gradi e cominciamo col definire il differenziale esatto di una funzione (per i dettagli vedi Wikipedia):
"In matematica, un differenziale dF è detto esatto se la funzione F esiste"; la condizione di esistenza di F è necessaria ma, come vedremo, non sufficiente affinché il dF esista.

La definizione è semplice ma non banale, infatti:
"È sempre possibile calcolare il differenziale dF di una data funzione F(x,y,z) (se questo esiste) ma se il dF è definito arbitrariamente, F in generale potrebbe non esistere".
Perciò un differenziale è detto esatto se e solo se è integrabile: infatti solo in questo caso dal dF possiamo risalire a F per integrazione.

In particolare data una funzione ad una sola variabile F(x) "si definisce differenziale esatto di l'espressione
dF=F'(x)dx
dove F' è la derivata prima di F".
Perciò nel caso di una sola variabile il dF esiste se F(x) ammette derivata prima e se questa è continua e quindi integrabile.
Nota: la continuità di una funzione, definita su un intervallo chiuso e limitato, è condizione sufficiente (ma non necessaria) per l'integrabilità.

Mentre nel caso di "una funzione di due variabili denominata F(x,y) si avrà:
dF=(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy
dove ∂F/∂x è la derivata parziale di F rispetto a x e la stessa cosa vale per y".
Notaper definire il dF dovrà perciò esistere F(x,y) e le sue derivate parziali rispetto a x e a y e queste dovranno essere integrabili per ottenere F(x,y).

Ma come si può verificare se un arbitrario δF(x,y) è un differenziale esatto e quindi se esiste la relativa funzione (di stato) F(x,y)?
Nota: vedi ad esempio il post "Il Lavoro di Volume" dove viene definito il lavoro di volume infinitesimo δW=-pdV che non è un differenziale esatto*.

Ciò è possibile poiché secondo il Teorema di Schwarz per una funzione a più variabili l'ordine di derivazione non conta** e cioè le derivate seconde incrociate della funzione F(x,y) sono uguali:
2F/∂x∂y=∂2F/∂y∂x
e quindi se F(x,y) esiste, questa condizione deve essere verificata.
Nota: nel caso di funzioni a n variabili la definizione di derivate seconde incrociate è del tutto analoga:2F/∂xi∂xj=∂2F/∂xj∂xi con i,j=1,...,n.

Si osservi però che l'uguaglianza delle derivate seconde incrociate è necessaria ma non sufficiente per l'esistenza di un differenziale esatto: per il Teorema di Poincaré, il dominio su cui è definita la forma differenziale deve essere semplicemente connesso affinché essa sia esatta.
Nota: quindi si deve sempre esaminare se il dominio del dF è semplicemente connesso.

Ora, una volta verificato che il differenziale dF è esatto, la funzione primitiva F esiste e si ottiene per integrazione del dF; ma ciò significa anche che se integro tra due stati qualsiasi A e B, l'integrale di linea del dF dipende solo dagli estremi di integrazione*** e non dal percorso seguito, cioè F è una funzione di stato del sistema.
Nota: in generale il differenziale di una funzione F(xi) a più variabili è: dF(xi)=(∂F/∂x1)dx1+(∂F/∂x2)dx2+...+ (∂F/∂xi)dxi.

Ad esempio nel post "Variabili e Funzioni termodinamiche" abbiamo definito la funzione di stato V(T,p)=nRT/p e perciò "per un piccolo cambiamento infinitesimale di temperatura e pressione, possiamo scrivere:
dV=(∂V/∂T)dT+(∂V/∂p)dp
e quindi derivando la funzione di stato V(T,p):
dV=(nR/p)dT-(nRT/p2)dp".

Ma "se la forma differenziale dV della funzione V(T,p) è un differenziale esatto, l'ordine di derivazione di V rispetto a T e p è irrilevante, e le derivate seconde incrociate sono uguali"; ed infatti risulta:
2V/∂T∂p=2V/∂p∂T=-nR/p(cvd).
Nota: come previsto per un differenziale esatto, se integriamo dV tra pi e pf e poi tra Ti e Tf (o viceversa) si ottiene  ∆V=Vf-Vi=nR(Tf/pf-Ti/pi) in modo indipendente dal percorso seguito (vedi Wikipedia).

Nel post "Il Lavoro di Volume" vedremo invece il caso di una grandezza fisica che dipende dal percorso seguito dal sistema durante una trasformazione e che viene introdotta a partire dal suo differenziale (che quindi non è esatto): in questo caso l'integrale dipende dal percorso.

(*) Si osservi che nonostante δW non sia integrabile (dato che non è un differenziale esatto) possiamo però integrare -pdV che come detto dipende dal percorso seguito nell'integrazione (vedi Wikipedia).
(**) Più precisamente ciò è vero solo "se F(x,y) ammette derivate seconde miste continue allora queste coincidono in ogni punto" (vedi Wikipedia).
(***) È possibile generalizzare il Teorema fondamentale del calcolo (valido per funzioni ad una variabile) a funzioni dipendenti da più variabili ottenendo la dipendenza dai soli estremi di integrazione (e quindi l'indipendenza dal cammino); ma ciò è vero, come dicevamo, solo quando si integra un differenziale esatto!

mercoledì 9 novembre 2011

Variabili e Funzioni termodinamiche

Nel post "Un gas ideale o... perfetto!" abbiamo introdotto alcune variabili (come la pressione p, la temperatura T e il volume V) che definiscono lo stato di equilibrio termodinamico di un gas secondo la legge dei gas perfetti.
Nota: uno stato termodinamico è in equilibrio se i parametri che definiscono quello stato sono stazionari (vedi Wikipedia).

Ora a partire da queste (e anche altre) variabili possiamo definire la funzione di stato di un sistema termodinamico che per definizione dipende solo dallo stato (di equilibrio) in cui si trova il sistema.
In particolare ciò significa che:
"Nel corso di una trasformazione termodinamica tra due stati di equilibrio, la variazione della funzione di stato non dipende dal percorso seguito dal sistema, ma dipende solo dagli stati di equilibrio iniziale e finale" (vedi Wikipedia).
Nota: una volta definita l'equazione di stato di un gas si possono definire le variabili termodinamiche indipendenti (come nel caso di un gas ideale).

Ad esempio dalla legge dei gas perfetti pV=nRT (vedi il post "Una Legge di Stato: pV=nRT") possiamo derivare la funzione di stato del volume:
V(T,p)=nRT/p.
Quindi se facciamo variare la temperatura o la pressione del gas dai valori iniziali Ti e pi fino ai valori finali Tf e pf si ottiene per la variazione di volume*:
∆V=Vf-Vi=nR[Tf/pf-Ti/pi]
che come si nota è indipendente dal percorso seguito dal sistema** ma dipende solo dalle variabili di stato iniziali e finali T e p rispettivamente.

Dovrebbe quindi essere chiaro il significato fisico di una funzione di stato:
"Fisicamente, tale funzione ha la proprietà di dipendere solo dallo stato di equilibrio in cui si trova il sistema, indipendentemente dal percorso intrapreso dal sistema per raggiungere questo stato".

Perciò in generale non ha importanza se il sistema ha seguito una trasformazione reversibile o irreversibile: la variazione tra stato iniziale e finale, definiti in condizioni di equilibrio, è la stessa in entrambi i casi.

(*) Come vedremo nel post "Un differenziale... esatto!" se verifichiamo che il differenziale del volume dV=(∂V/∂T)dT+(∂V/∂p)dp è esatto (cioè se 2V/∂T∂p=∂2V/∂p∂T) allora V(T,p) è una funzione di stato e quindi la variazione ∆V(T,p) non dipende dal percorso; ciò vale per ogni funzione di stato che per definizione dipende solo dallo stato del sistema.
(**) Possiamo ad esempio far variare per prima la pressione da pi a pf mantenendo la temperatura costante e pari a Ti, e poi la temperatura da Ti a Tf mantenendo la pressione costante e pari a pf senza cambiare il risultato finale (vedi Wikipedia).

giovedì 3 novembre 2011

Una Legge di Stato: pV=nRT

Analizziamo meglio l'equazione di stato dei gas perfetti che abbiamo introdotto nel post "Un gas ideale o... perfetto!" e che, ricordiamo, descrive in condizioni di equilibrio termodinamico la relazione tra pressione p, volume V e temperatura T di un gas ideale (vedi Wikipedia):
pV=nRT.
Ricordiamo che in questa equazione n/V rappresenta la densità del gas, R è una costante universale, mentre n è il numero di moli del gas*.
Nota: si ricordi che lo stato termodinamico di un gas ideale è in equilibrio quando i parametri che lo definiscono sono stazionari (vedi Wikipedia).

Vogliamo mostrare come l'equazione dei gas ideali rappresenti la generalizzazione delle tre seguenti leggi empiriche (ricavate cioè sperimentalmente):
I) Legge di Boyle (quando T=costante):
pV=costante
che significa che in condizioni di temperatura costante, il volume è inversamente proporzionale alla pressione;
II) Legge di Gay-Lussac (con V=costante):
p/T=costante 
cioè in un gas a volume costante, la pressione è proporzionale alla temperatura assoluta;
III) Legge di Charles (per p=costante):
V/T=costante 
quando un gas è mantenuto a pressione costante, il volume è proporzionale alla temperatura assoluta.

Nel 1834 Émile Clapeyron combinò le leggi di Boyle e di Charles nella prima formulazione della legge dei gas ideali (vedi Wikipedia) comprendendo di fatto anche la legge di Gay-Lussac.
Come è facile verificare, la legge di stato pV=nRT comprende tutte le relazioni prima enunciate (ponendo rispettivamente T, V e p costanti).

Inoltre, per mostrare la capacità predittiva di questa semplice equazione di stato, possiamo derivare la seguente relazione (posto p=costante e T=costante):
IV) Legge di Avogadro:
n/V=costante
da cui si deduce che "il numero di moli fratto il volume, cioè la densità del gas, rimane costante restando costanti pressione e temperatura" (vedi Wikipedia): in altri termini volumi uguali di gas diversi, alla stessa temperatura e pressione, contengono lo stesso numero di molecole!

Questo semplice esempio mostra come una legge fisica sia sempre strettamente legata ad una o più leggi empiriche e più in particolare agli esiti sperimentali da cui viene dedotta (anche se, va sottolineato, non sempre una legge fisica viene derivata per via sperimentale come invece abbiamo visto in questo esempio); in generale il significato fisico di una legge risiede proprio in questo stretto legame tra teoria ed esperimento.

(*) La mole è una delle sette unità di misura fondamentali del Sistema internazionale e rappresenta una quantità di sostanza pari per definizione a circa 6,022x1023 entità interagenti (cioè atomi, molecole o altre particelle di una sostanza); questo numero, detto di Avogadro, viene oggi definito come il numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio isotopo 12.

giovedì 27 ottobre 2011

Un gas ideale o... perfetto!

L'equazione dei gas perfetti è un buon esempio di come in fisica si proceda spesso per modelli derivati sperimentalmente al fine di descrivere i fenomeni naturali e come questi modelli siano validi sotto ben definite condizioni fisiche.
Nota: sul modo di procedere della scienza vedi anche il post "Il Metodo Scientifico".

Osserviamo subito che "per gas ideale (o gas perfetto) si intende un gas che possieda le seguenti proprietà:
  • le molecole sono considerate puntiformi [quindi prive di volume e di energia di rotazione interna];
  • le molecole interagiscono tra loro e con le pareti del recipiente attraverso urti perfettamente elastici [perciò l'energia meccanica si conserva];
  • sono trascurabili le forze di interazione a distanza tra le molecole del gas [ovvero si trascura l'energia potenziale];
  • le molecole del gas sono considerate identiche tra loro ma distinguibili [possiamo cioè applicare i principi della meccanica statistica];
  • il moto delle molecole è casuale e disordinato in ogni direzione ma soggetto a leggi deterministiche [siamo quindi in condizioni non quantistiche]."
    (Vedi Wikipedia)
Questa premessa è necessaria poiché "in fisica e in termodinamica si usa generalmente l'approssimazione detta dei gas perfetti: il gas cioè viene considerato costituito da atomi puntiformi, che si muovono liberi da forze di attrazione o repulsione fra loro e le pareti del contenitore".

È proprio grazie a questa approssimazione che è possibile "formulare la legge nota come equazione di stato dei gas perfetti, che descrive, in condizioni di equilibrio termodinamico (dove le variabili di stato son ben definite), la relazione fra pressione, volume e temperatura del gas: 
pV=nRT 
dove p è la pressione, V il volume occupato dal gas, n il numero di moli, R la costante universale dei gas perfetti e T la temperatura" (vedi Wikipedia).
Nota: per chiarimenti sulla legge di stato dei gas perfetti vedi il post "Una Legge di Stato: pv=nRT".

Ad esempio, in condizioni stabili di equilibrio termodinamico, dalla relazione precedente si ricava subito che, indipendentemente dal tipo di gas, ponendo n=1 segue V=RT/p e quindi sostituendo i relativi valori si ha che "una mole di gas perfetto occupa 22,4 litri a temperatura di 0 °C e pressione di 1 atmosfera".
Nota: per questo motivo un volume pari a 22,4 litri è detto volume molare (si ricordi che 1litro=1dm³).

Tuttavia, per quanto è stato premesso sui gas ideali, si osservi che "i gas reali vengono descritti dalla legge dei gas perfetti con buona approssimazione solo quando la pressione è sufficientemente bassa e la temperatura sufficientemente alta" (vedi Wikipedia).
Nota: in queste condizioni possiamo trascurare l'energia potenziale dovuta alle forze di interazione tra le molecole come richiesto per i gas ideali.

Tenendo conto di queste particolari condizioni possiamo attribuire un preciso significato fisico all'equazione di stato dei gas perfetti in modo che abbia una corrispondenza diretta, anche se approssimata, con la realtà sperimentale.

venerdì 21 ottobre 2011

Il principio "immaginario" di causalità

Quando si parla di causalità* tra eventi fisici è naturale porsi la seguente domanda: "Ogniqualvolta si assiste a due eventi A e B in rapida successione, è logico pensare che ci sia una qualche connessione fra i due eventi, e in particolar modo, che l'evento che viene cronologicamente per primo produca il successivo e che quindi l'evento A sia la causa dell'evento B?" (vedi Wikipedia).

In particolare il filosofo scozzese David Hume (1711-1776) esaminò con attenzione il processo fisico di causa ed effetto e si pose la seguente questione: "Con quale procedimento e su quali basi si può desumere B dato l'evento A?".

Sempre seguendo Wikipedia: "L'esempio famoso di Hume è quello della palla da biliardo A lanciata contro un'altra B: per un qualunque osservatore apparirà sempre prima una palla che si scontra con un'altra e poi il mettersi in moto di quest'ultima". Nella sua critica al concetto di causalità "Hume tentò di capire quale fosse il ragionamento che ci fa prevedere il moto di B conoscendo soltanto quello di A".

Secondo Hume ci sono solo due ragionamenti che possono portare a questo nesso causale: uno che possiamo definire a priori e l'altro a posteriori.
Tuttavia "escluse subito un ragionamento a priori, ovvero una inferenza necessaria che ad A fa seguire necessariamente B, in quanto fra due eventi è impossibile ricavare una qualsiasi relazione necessaria".
Ma escluse anche il ragionamento a posteriori poiché "si può solo affermare, in base all'esperienza, che A precede B o che A è molto vicino temporalmente a B ma non si può dedurre niente che leghi indiscutibilmente l'evento A a quello B".

"Il fatto insomma che ad un evento A segua da milioni di anni un evento B non può darci la certezza assoluta che ad A segua sempre B e nulla ci impedisce di pensare che un giorno le cose andranno diversamente e, per esempio, a B segua A" (vedi Wikipedia).

In definitiva il significato fisico del principio di causalità, in mancanza di "un principio di uniformità della natura che si incarichi di mantenere costanti in eterno le leggi della natura", è esclusivamente legato alla nostra pura immaginazione di osservatori!

(*) Questo post è da considerarsi come introduttivo al post "Prima la causa e poi... l'effetto?" dove affronteremo il problema della causalità tra due eventi secondo la teoria della relatività.

venerdì 14 ottobre 2011

Prima la causa e poi... l'effetto?

Consideriamo due eventi A e B nello spazio-tempo relativistico che supponiamo si verifichino, rispettivamente, nel punto x1 al tempo t1 e nel punto x2 al tempo t2 in un determinato sistema di riferimento inerziale; formalmente possiamo esprimere i due eventi come: A(x1,t1) e B(x2,t2).

Ora se definiamo la distanza spaziale tra i due eventi ∆x=x2-x1 e l'intervallo temporale ∆t=t2-t1 avremo due possibilità (c è la velocità della luce):
(1)   ∆x/∆t≤c   oppure   ∆x/∆t>c   (2)

Ciò significa che i due eventi A e B (a seconda della loro distanza ∆x e dell'intevallo temporale ∆t) potrebbero essere connessi tra loro, perlomeno, da un raggio di luce che collega A a B (nel caso 1) o viceversa (nel caso 2) non potrebbero essere in nessun modo correlati (cioè fisicamente connessi tra loro).
Nota: si può mostrare che la relazione che intercorre tra i due eventi (cioè il caso 1 oppure il caso 2) resta la stessa per ogni sistema di riferimento inerziale*.

È evidente che solo nella ipotesi 1 potremmo stabilire una relazione di causa ed effetto tra i due eventi; mentre nella ipotesi 2 non potremmo mai stabilire nessun tipo di correlazione (poiché secondo la relatività nessuna informazione viaggia più veloce della luce).

Inoltre la teoria della relatività ristretta mostra** che nel caso qualsiasi osservatore inerziale (che si muove cioè ad una qualsiasi velocità v≤c rispetto al sistema di riferimento degli eventi A e B) vedrà i due eventi nello stesso ordine temporale: ciò significa, ad esempio, che se t2>t1 allora l'evento A si verificherà prima di B in ogni sistema di riferimento inerziale considerato.
Mentre nel caso 2 l'ordine degli eventi dipenderà dalla velocità v dei vari osservatori: in questo caso, come abbiamo detto, non potremmo mai avere nessun tipo di correlazione (vedi Wikipedia).

Si noti che questo fatto è del tutto coerente con la relazione di causa ed effetto; infatti solo nel caso di una correlazione fisica tra gli eventi A e B (siamo nel caso 1) questa sarebbe vera in qualsiasi sistema di riferimento inerziale, come ci aspetteremmo.

Il problema potrebbe però porsi per ipotetiche particelle che viaggiano più veloce della luce (i presunti tachioni)***; in questo caso infatti la correlazione causale potrebbe verificarsi anche nel caso 2 (cioè gli eventi potrebbero essere in correlazione proprio grazie ad un tachione inviato da A a B).
Tuttavia, come abbiamo detto, in questa ipotesi l'ordine temporale non sarebbe lo stesso per tutti gli osservatori: potrebbe cioè accadere che alcuni di essi vedano verificarsi l'effetto prima della causa!

Il significato fisico di causa ed effetto, in questo caso anomalo (e presunto) di velocità superluminali, sarebbe perciò tutto da rivedere.
Si osservi però che, nella realtà, non esiste un principio fisico della natura per cui ad un evento A debba sempre seguire necessariamente un evento B, anche se questi appaiono correlati da un principio di causa ed effetto.
Nota: per approfondimenti vedi il post "Il principio 'immaginario' di causalità".

(*) È noto che in relatività l'intervallo spazio-temporale è una relazione invariante tra due eventi (vedi Wikipedia)∆s2=∆x2-c2∆t2; perciò nel caso 1 (cioè ∆x/∆t≤c) risulterà ∆s2≤0 mentre nel caso 2 (∆x/∆t>c) avremo ∆s2>0 per ogni osservatore inerziale (cvd).
(**) Secondo le trasformazioni di Lorentz tra due diversi riferimenti in moto relativo v vale la relazione ∆t'=γ(∆t-v∆x/c2) che si può riscrivere come ∆t'=γ(1-v∆x/∆tc2)∆t; si può facilmente verificare che se vale la relazione di causalità |∆x/∆t|≤c allora γ(1-v∆x/∆tc2)≥0 cioè ∆t' ha lo stesso segno di ∆t e quindi l'ordine temporale resta invariato (cvd).
(***) A proposito dei tachioni e dei problemi che la loro esistenza porrebbe alla teoria della Relatività vedi il post "Più veloce della luce!".

venerdì 7 ottobre 2011

Fusione nucleare: fonte di energia?

Iniziamo col dire che "in fisica nucleare la fusione è il processo di reazione nucleare attraverso il quale i nuclei di due o più atomi vengono compressi tanto da far prevalere l'interazione forte sulla repulsione elettromagnetica" (vedi Wikipedia).

Quindi solo quando la forza di compressione dei nuclei prevale sulla repulsione elettromagnetica questi possono fondersi "unendosi tra loro ed andando così a generare un nucleo di massa maggiore dei nuclei reagenti nonché, talvolta, uno o più neutroni liberi".

Ciò che di questa reazione è particolarmente interessante è che "la fusione di elementi fino ai numeri atomici 26 e 28 (ferro e nichel) è esoenergetica, ossia emette più energia di quanta ne richieda il processo di compressione"(!)
Nota: in questi processi la conservazione dell'energia è rispettata ma non quella della massa che si trasforma in energia attraverso la nota relazione E=mc2.

È quindi evidente che se fossimo in grado di controllare e confinare in laboratorio una reazione di questo tipo, non solo sarebbe probabilmente in grado di automantenersi (utilizzando una parte dell'energia prodotta per comprimere i nuclei), ma ne potremmo utilizzare una buona parte per le nostre esigenze energetiche.

In effetti proprio per sfruttare questa possibilità che ci regala la natura "negli ultimi sessant'anni è stato profuso un notevole sforzo teorico e sperimentale per mettere a punto la fusione nucleare per generare elettricità".

Tuttavia, nonostante "il processo di fusione sia il meccanismo che alimenta il Sole e le altre stelle poiché all'interno di esse, tramite la nucleosintesi, si generano tutti gli elementi che costituiscono l'universo dal litio fino all'uranio", ricreare in laboratorio questa reazione in modo controllato, confinato e soprattutto per ricavarne una fonte di energia sicura e pulita, non è stato ancora possibile*.

Ad ogni modo, anche se è molto difficile riprodurlo in laboratorio, il processo di fusione nucleare ha acquisito un preciso significato fisico proprio grazie alle teorie fisiche che lo descrivono e che hanno trovato conferma sia nello spazio astronomico sia, e purtroppo soprattutto, nella costruzione della bomba a fusione nucleare.

(*) In realtà esistono i generatori di neutroni (come il cosiddetto Fusor): in questi particolari dispositivi è possibile accelerare le particelle e, per motivi statistici, una piccola percentuale di queste raggiunge una energia tale da generare la fusione e liberare neutroni; tuttavia l'energia ottenuta da tali dispositivi è di molto inferiore a quella utilizzata per generare la fusione stessa.

lunedì 26 settembre 2011

Più veloce della luce!

Nella letteratura scientifica sono state introdotte da tempo, ma solo teoricamente, particolari particelle denominate tachioni.
Secondo Wikipedia: "Il tachione (dal greco ταχύς tachýs, "veloce") è una particella che viaggia ad una velocità superiore a quella della luce. La prima descrizione teorica dei tachioni è attribuita al fisico Arnold Sommerfeld".

Tale definizione però, e in particolare il superamento della velocità della luce nel vuoto, pone dei seri problemi alla teoria della Relatività Ristretta di Albert Einstein*.
Come descritto da Wikipedia "secondo Einstein, la massa totale di una particella rispetto ad un dato sistema di riferimento è la somma della sua massa a riposo e dell'incremento di massa dovuto all'energia cinetica**; se m0 indica la massa a riposo, allora l'energia totale è data dalla relazione: 
E=m0c2/(1-v2/c2)1/2".
Nota: questa relazione è stata derivata nel post "Derivare la Massa Relativistica".

Risulta perciò evidente che, per valori di v>c, il valore al denominatore della precedente equazione diventa immaginario (poiché il numero sotto radice diventa negativo); possiamo però eliderlo ammettendo che anche il valore della massa dei tachioni sia espresso da un numero immaginario (in questo modo l'energia E resta un numero reale).

Ne consegue allora che avremmo tre categorie diverse di particelle (definite rispettivamente da v<c, v>c e v=0):
a) particelle comuni o bradioni con massa reale e velocità inferiori a c;
b) i presunti tachioni con massa immaginaria e velocità superiori a c;
c) le particelle con massa nulla come i fotoni dove risulta v=c.
Nota: si può dimostrare che per particelle con massa nulla deve risultare v=c (vedi il post "Massa a riposo "nulla"!).

In pratica ciò significa che "allo stesso modo in cui per i bradioni è impossibile superare la barriera della velocità della luce, lo stesso vale per i tachioni, che non possono avere velocità inferiori a quella della luce" non potendo certo passare improvvisamente da una massa reale ad una immaginaria e viceversa*** (vedi Wikipedia).

Tuttavia "è difficile interpretare il significato fisico di una massa di valore complesso. Un effetto curioso è che, a differenza delle particelle ordinarie, l'energia di un tachione diminuisce all'aumentare della sua velocità" come si può facilmente dedurre dall'equazione precedente per valori di v>c.

Nonostante queste ed altre contraddizioni della teoria relativistica, come per esempio l'impossibilità di distinguere tra passato e futuro nelle relazioni causali (che per i tachioni dipenderebbero dal sistema di riferimento, come descritto nel post "Prima la causa e poi... l'effetto?"), ciò non ha impedito ai fisici di fare alcune speculazioni teoriche sulle velocità superluminali (vedi Wikipedia).

Ricordiamo ad esempio che "il 23 settembre 2011 l'esperimento OPERA, presso i Laboratori nazionali del Gran Sasso, ha misurato la velocità dei neutrini che avrebbero percorso la distanza di 730Km tra l'acceleratore di particelle del CERN e il laboratorio del Gran Sasso con 60ns di anticipo rispetto alla velocità della luce", riaprendo a livello internazionale il dibattito teorico sull'esistenza dei tachioni.

In realtà i dati registrati a settembre dal rivelatore OPERA, che mettevano in discussione la teoria della relatività di Einstein, sono stati provocati (come è stato poi verificato dallo stesso gruppo di ricercatori), da un'anomalia nel funzionamento degli apparati per la misurazione (vedi Wikipedia).

È ovvio che se l'esperimento fosse stato confermato, il significato fisico della scoperta di particelle strane come i tachioni, avrebbe dovuto essere attentamente ridiscusso e analizzato alla luce delle loro particolari proprietà fisiche.

(*) Tuttavia "secondo la teoria della relatività generale, è possibile costruire modelli dello spazio-tempo in cui alcune particelle viaggiano più veloci della luce relativamente ad un osservatore distante" anche se, localmente, non superano la velocità della luce (vedi Wikipedia).
(**) Secondo la teoria della relatività l'energia totale E=mc2 di una particella in moto di massa m è data da E=m0c2+Ec (dove m0 è la massa a riposo ed Ec l'energia cinetica) da cui segue che m=m0+Ec/c2 perciò l'incremento di massa di una particella è dovuto all'energia cinetica.
(***) Si osservi però che "a livello teorico sarebbe possibile modificare istantaneamente la velocità attraverso un processo controllato di annichilazione e successiva ri-creazione di un oggetto ad una differente velocità" (vedi Wikipedia).

martedì 20 settembre 2011

Il Principio di Conservazione dell'energia

Per prima cosa vediamo cosa si intende, in generale, con Principio di Conservazione:
"In fisica, una legge di conservazione o principio di conservazione descrive la conservazione nel tempo di una grandezza fisica in un sistema fisico isolato" (vedi Wikipedia).
Nota: un sistema si definisce isolato quando non scambia con l'ambiente esterno né massa, né calore, né lavoro o qualsiasi altra forma di energia.

Perciò, requisito fondamentale per parlare di conservazione di una qualsiasi grandezza fisica, è proprio quello di trovarsi in un sistema fisico isolato.
Si osservi inoltre che "il termine principio indica le basi e i presupposti iniziali su cui si basa o poggia una teoria; da esso poi discendono tutta una serie di leggi secondarie che caratterizzano la teoria in questione" (vedi Wikipedia).

In particolare dal principio generale di conservazione discende "la legge di conservazione dell'energia che è la più importante delle leggi di conservazione note in fisica. Nella sua forma più intuitiva questa legge afferma che, sebbene possa essere trasformata e convertita da una forma all'altra, la quantità totale di energia di un sistema isolato è costante, ovvero il suo valore si mantiene immutato al passare del tempo" (vedi Wikipedia).
Nota: per la formalizzazione della conservazione dell'energia meccanica si veda il post "E se le forze non sono conservative?".

Il significato fisico della conservazione dell'energia è stato molto ben espresso dal grande fisico Richard Feynman:
"C’è un fatto, o se volete una legge, che governa i fenomeni naturali sinora noti. Non ci sono eccezioni a questa legge, per quanto ne sappiamo è esatta. La legge si chiama conservazione dell’energia ed è veramente un'idea molto astratta, perché è un principio matematico: dice che c’è una grandezza numerica che non cambia qualsiasi cosa accada. Non descrive un meccanismo o qualcosa di concreto. È solo un fatto un po’ strano: possiamo calcolare un certo numero, e quando finiamo di osservare la natura che esegue i suoi giochi, e ricalcoliamo quel numero, troviamo che non è cambiato" (tratto da "La fisica di Feynman" Vol.I).