mercoledì 8 marzo 2023

La Sfera di Bloch

È noto che lo stato quantistico di un qubit (quantum bit) è così definito:
|Ψ>=α|0>+β|1>
dove α e β sono numeri complessi che devono soddisfare la condizione:
|α|2+|β|2=1
per la normalizzazione a 1 della probabilità complessiva P=|α|2+|β|2.
Nota: ricordiamo che |α|2 e |β|2 rappresentano rispettivamente la probabilità che si verifichi lo stato |0> oppure |1>.

Ricordiamo innanzitutto che valendo la formula di Eulero e=cosø+isinø, in generale per un numero complesso x+iy si può scrivere:
x+iy=r(cosø+isinø)=re
dove r=(x2+y2)1/2 è il modulo e ø=arctan(y/x) è l'angolo tra r e la sua proiezione sull'asse X (pari a rcosø).
Inoltre ricordiamo che:
|x+iy|2=|re|2=r2(ee-iø)=r2
poiché |e|2=(ee-iø)=1 essendo e-iø il complesso coniugato di e.
Nota: è noto che il modulo al quadrato di un numero complesso è dato dal prodotto di quel numero per il suo coniugato.

Quindi possiamo porre nel nostro caso per i coefficienti complessi α e β:
α=r1e1   e   β=r2eiø2
dove ø1 e ø2 sono due angoli qualsiasi compresi tra 0 e .
Se inoltre poniamo r1=rcosθ e r2=rsinθ con r=1 si ha come richiesto:
|α|2+|β|2=|r1e1|2+|r2e2|2=cosθ2+sinθ2=1
poiché |e1|2=|e2|2=1 come visto sopra.

Quindi per lo stato di un qubit vale la seguente relazione:
|Ψ>=α|0>+β|1>=cosθ(e1)|0>+sinθ(e2)|1>
definita in funzione degli angoli θ, ø1 e ø2 di cui daremo di seguito una rappresentazione geometrica.

Si osservi però che moltiplicando lo stato |Ψ> per e-iø1 si ottiene un nuovo stato |Ψ'>=e-iø1|Ψ>:
|Ψ'>=e-iø1|Ψ>=e-iø1(α|0>+β|1>)=cosθ|0>+sinθ(e)|1>
dove ø=ø2-ø1.
Tuttavia la probabilità degli stati |0> e |1> resta invariata infatti:
|e-iø1α|2=(e-iø1α)(e-iø1α)*=(e-iø1e1)(αα*)=|α|2
e lo stesso vale per |e-iø1β|2=|β|2.
Nota: qui il simbolo (*) indica il valore coniugato del numero complesso.

Perciò possiamo omettere il termine e-iø1 dallo stato |Ψ'> poiché non ha effetti osservabili sperimentalmente e possiamo riscrivere:
|Ψ'> => |Ψ>=cosθ|0>+sinθ(e)|1>.

Infine per evidenziare una rappresentazione geometrica definiamo lo stato |Ψ> in funzione delle variabili x, iy e z ponendo:
cosθ=z
sinθ(e)=sinθcosø+isinθsinø=x+iy
o in modo equivalente
x=sinθcosø
y=sinθsinø
z=cosθ.

Ciò significa che se x, y e z vengono interpretate come coordinate, esse rappresentano le coordinate polari di una sfera di raggio unitario* |Ψ|=1:


Perciò lo stato |Ψ> in funzione delle coordinate x, iy e z diventa:
|Ψ>=cosθ|0>+sinθ(e)|1>=z|0>+(x+iy)|1>
quindi le coordinate di |Ψ> al quadrato, cioè z2 e |(x+iy)|2, rappresentano rispettivamente la probabilità che si verifichi lo stato |0> oppure |1>.
Nota: si ricordi che in generale |(x+iy)|2=(x+iy)(x-iy)=x2+y2.

Si noti però che quando θ=0 risulta |Ψ>=|0> mentre se θ=π/2 si ha** |Ψ>=|1> quindi per una descrizione completa della sfera possiamo porre:
|Ψ>=cos(θ/2)|0>+sin(θ/2)(e)|1>
dove 0≤θ≤π e 0≤ø<2π.
Questa rappresentazione geometrica*** dello spazio degli stati puri di un sistema quantistico a 2 stati è detta sfera di Bloch (vedi Wikipedia).

(*) Risulta |Ψ|2=<Ψ|Ψ>=(<0|α*+<1|β*)|(α|0>+β|1>)=α*α+β*β=1 essendo <0|0>=1, <0|1>=0, <1|0>=0 e <1|1>=1 per l'ortogonalità di |0> e |1>.
(**) Se poniamo θ=π/2 allora |Ψ>=e|1> che è equivalente a |Ψ>=|1> essendo |e|2 =1 (cioè la probabilità dello stato |1> non cambia).
(***)  Correttamente risulta per le probabilità dei due stati:
|cos(θ/2)|2+|sin(θ/2)(e)|2=cos2(θ/2)+sin2(θ/2)=1 essendo |e|2 =1.