Stati puri, miscele e sovrapposizioni!

Come è noto, definito uno stato |Ψ> di un qualsiasi sistema quantistico la sua evoluzione temporale, una volta fissato lo stato iniziale, è descritta dalla equazione di Schrödinger (vedi Wikipedia), scritta nella notazione di Dirac:

i(h/2π)∂|Ψ>/∂t=H|Ψ>

dove il valore medio dell'operatore hamiltoniano <H> rappresenta il valore di aspettazione dell'energia del sistema.

Si osservi che qui ci limitiamo a trattare il caso di uno spazio finito-dimensionale (cioè definito da n vettori di base |i>) per il quale si ha:

|Ψ>=∑ψ_i|i>

dove ψ_i sono le ampiezze di probabilità relative ai vettori di base |i>.
Nota: per chiarimenti sul vettore di stato di un sistema quantistico vedi i post "I numeri Compessi e la M.Q." e "Le grandezze Osservabili!".

È però possibile dare una descrizione alternativa ma equivalente a quella di Schrödinger definendo il seguente Operatore di densità*:

ρ=|Ψ><Ψ|

dove ρ è rappresentato da una matrice quadrata che si ottiene moltiplicando il vettore colonna |Ψ> per il suo duale vettore riga <Ψ|.
Nota: l'operatore |Ψ><Ψ| è un proiettore poiché applicato ad uno stato |Φ> si ha |Ψ><Ψ|Φ>=k|Ψ> con k=<Ψ|Φ> (cioè proietta |Φ> lungo |Ψ>).

Poiché il vettore di stato è definito rispetto ad una base ortonormale di vettori |i> si ha che gli elementi di matrice ρ_ij sono dati da**

ρ_ij=<i|ρ|j>

da cui segue subito (sostituendo ρ=|Ψ><Ψ| ed essendo ψ_i=<i|Ψ>):

ρ_ij=<i|Ψ><Ψ|j>=ψ_iψ_j

cioè gli elementi di ρ sono i prodotti delle ampiezze di probabilità (associate ai vettori di base dello stato considerato) per i coniugati.
Nota: solo quando i=j il prodotto ψ_iψ_i=|ψ_i|² rappresenta la probabilità che il sistema venga misurato nello stato i-esimo.

Inoltre se abbiamo a che fare con un sistema il cui stato non è ben definito, ma è dato da un ensemble statistico di stati possibili {Ψ_i} si può porre:

ρ=∑p_i|Ψ_i><Ψ_i|

dove p_i è la probabilità statistica che il sistema si trovi nello stato i-esimo: in pratica è la media pesata su tutti gli stati possibili del sistema con ∑p_i=1.
Nota: la probabilità p_i è di tipo statistico poiché è dovuta alla non esatta conoscenza dello stato del sistema (non è una sovrapposizione quantistica).

Si parla quindi di stato puro quando le p_i sono tutte nulle tranne una (e pari a 1), mentre negli altri casi avremo uno stato misto poiché si determina una media pesata su tutti gli stati |Ψ_i> in cui si potrebbe trovare il sistema.

Facciamo subito un esempio di stato puro e consideriamo lo stato di spin di un singolo elettrone (vedi il post "I numeri Complessi e la M.Q.") che può essere descritto in generale (ad es. rispetto alle basi |u> e |d> lungo Z):

|Ψ>=ψ_u|u>+ψ_d|d>.

Ciò significa che, dato uno spin preparato in uno stato qualunque |Ψ> e un apparato di misura orientato lungo l'asse Z, i prodotti ψ_uψ_u e ψ_dψ_d sono le rispettive probabilità che lo spin si trovi nello stato |u> oppure |d>.
Nota: secondo i postulati quantistici, prima della misura lungo l'asse Z gli stati |u> e |d> sono in sovrapposizione quantistica.

Si ricordi infatti che il principale postulato della meccanica quantistica stabilisce che il prodotto ψ_iψ_i (cioè |ψ_i|²) dà la probabilità che il sistema si trovi nello stato i-esimo (ψ_i è il complesso coniugato di ψ_i).

Perciò, come mostrato sopra, le componenti della matrice ρ sono:

ρ_uu=ψ_uψ_u , ρ_ud=ψ_uψ_d , ρ_du=ψ_dψ_u , ρ_dd=ψ_dψ_d

e in particolare risulta: Trρ=∑ρ_ii=∑ψ_iψ_i=1.
Nota: Tr è l'operatore traccia cioè la somma degli elementi ψ_iψ_i della diagonale di ρ quindi si ha Trρ=1 (essendo normalizzata a 1).

Ad esempio se prepariamo (misuriamo) lo stato di spin dell'elettrone nella direzione dell'asse X positivo (detto stato right) allora possiamo scrivere (vedi il post "I numeri Complessi e la M.Q."):

|Ψ_r>=(1/2)^1/2|u>+(1/2)^1/2|d>

quindi risulta per tutti gli elementi della matrice ρ [2x2]:

ρ_uu=ρ_ud=ρ_du=ρ_dd=1/2

dove correttamente si ha Trρ=ρ_uu+ρ_dd=1/2+1/2=1 (cioè la condizione di normalizzazione ψ_uψ_u+ψ_dψ_d=1 è soddisfatta).
Nota: perciò la probabilità che lo spin, misurato lungo l'asse Z, sia up oppure down è pari a 1/2.

Ma ciò che risulta di grande interesse è che per uno stato puro, come quello appena trattato, vale la condizione*** ρ=ρ² e ciò ci permette di distinguere, come vedremo nel prossimo post, uno stato puro da uno stato misto!
Nota: moltiplicando per se stessa la matrice ρ composta da elementi uguali a 1/2 si ottiene di nuovo la matrice ρ.

(*) L'evoluzione di ρ nel tempo è descritta dalla equazione di Von Neumann:
i(h/2π)∂ρ/∂t=[H,ρ] dove [H,ρ]=Hρ-ρH è il commutatore di H e ρ. 
(**) Posto |Ψ>=∑ψ_j|j> si ha <i|Ψ>=∑ψ_j<j|i>=ψ_i poiché solo quando j=i si ha <i|i>=1; inoltre dato un operatore A risulta A_ij=<i|A|j> infatti possiamo scrivere <i|A|Ψ>=∑ψ_j<i|A|j>=∑ψ_jA_ij $<=$$>$ <i|A|Ψ>=<i|∑Φ_j|j>=Φ_i (per j=i), che rappresenta l'equazione A|Ψ>=|Φ> in forma matriciale.
(***) Per uno stato puro si ha ρ=|Ψ><Ψ| quindi ρ²=|Ψ><Ψ|Ψ><Ψ|=ρ essendo per la condizione di normalizzazione <Ψ|Ψ>=1.