sabato 29 marzo 2014

Le 2 leggi di Kirchhoff

Prima di enunciarle è importante osservare che le Leggi di Kirchhoff sono di tipo empirico e "furono formulate da Gustav Robert Kirchhoff nel 1845 a seguito di esperimenti empirici e precedono storicamente le ben più complesse e generali equazioni di Maxwell" (vedi Wikipedia).

Come abbiamo già anticipato nel post "Condensatore e Induttore: concentratori di energia!", le leggi di Kirchoff "si applicano ai circuiti elettronici a parametri concentrati, cioè circuiti che non irradiano, dove l'energia si può considerare concentrata nei componenti del circuito".
Nota: per trascurare eventuali perdite di energia dovute ad irradiazione si devono considerare sistemi lentamente variabili nel tempo*.

Ricordiamo anche che "un circuito elettrico è detto a parametri concentrati (o a costanti concentrate) se è costituito da dispositivi abbastanza piccoli rispetto alla minima lunghezza d'onda di una qualsiasi grandezza elettrica misurata su di essi" (vedi Wikipedia).
Nota: sono cioè trascurabili eventuali interferenze di campi elettromagnetici con i dispositivi che vengano generati dal circuito stesso.

Ciò che risulta notevole è che "sotto queste ipotesi le leggi di Kirchhoff sono un'approssimazione delle leggi dell'elettromagnetismo di Maxwell, che non implicano nessuna ipotesi sulla natura dei componenti del circuito".
Nota: i componenti di un circuito vengono rappresentati da elementi ideali di tipo attivo (come i generatori di forze elettromotrici) o passivo (come resistori, condensatori o induttori).

Da quanto abbiamo anticipato risulta evidente che tali leggi, che ora enunceremo, si applicano a qualsiasi circuito elettrico e cioè "all'interconnessione di elementi elettrici in un percorso chiuso in modo che la corrente possa fluire con continuità" (vedi Wikipedia).

In questo contesto generale di connessioni elettriche tra piccoli dispositivi, diamo due definizioni:
-> col termine nodo si definisce un punto di connessione tra gli elementi che costituiscono un circuito elettrico;
-> mentre una maglia è un percorso chiuso formato dagli elementi elettromagnetici di un circuito (che possono essere attivi o passivi).

Enunciamo quindi le due leggi di Kirchhoff:
I) La somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti dallo stesso nodo;
II) La somma delle forze elettromotrici (generatori di tensione) contenute in una maglia è uguale alla somma delle forze contro-elettromotrici (cioè le cadute di tensione ai capi dei componenti) contenute nella stessa maglia.
Nota: parliamo di somme algebriche, quindi le forze contro-elettromotrici avranno segno opposto a quelle elettromotrici (per le correnti alternate si sommeranno invece i fasori).

Facciamo alcune osservazioni:
->  la prima legge esprime il principio di continuità della corrente e quindi della conservazione della carica: le cariche elettriche non possono crearsi o distruggersi lungo il circuito (in assenza di dispersioni);
Nota: quindi se iIi rappresenta la somma algebrica delle correnti entranti e uscenti in un nodo deve risultare iIi=0 affinché la carica elettrica si conservi.
-> la seconda legge afferma, data la conservazione dell'energia, che le cadute di tensione ai capi degli elementi** devono controbilanciare complessivamente quelle dei generatori: il lavoro per far compiere ad una carica un percorso chiuso deve essere uguale a zero.
Nota: il lavoro compiuto su una carica elettrica è per definizione L=qV quindi se iVi (somma algebrica delle tensioni) viene calcolata lungo una maglia chiusa deve risultare iVi=0 in modo che iLi=q∑iVi=0 (per ipotesi il campo è conservativo).

Inoltre si è implicitamente assunto che l'energia erogata dai generatori venga dissipata dai componenti (come i resistori) per effetto Joule oppure venga immagazzinata dagli stessi (come condensatori e induttori) sotto forma di energia elettrica o magnetica; trascuriamo perciò come già anticipato l'irraggiamento dei campi e.m. variabili.
Nota: per il funzionamento elettrico e magnetico di condensatori e induttori vedi il post "Condensatore e Induttore: concentratori di energia!".

Ma qual è l'utilità delle due leggi di Kirchhoff?
Ebbene tali leggi ci permettono, dato un qualsiasi circuito elettrico, di derivare un sistema di equazioni relative alle correnti e alle tensioni incognite in modo da poter determinare i loro valori: l'analisi di un circuito elettrico consiste proprio nel calcolo delle correnti che attraversano ogni singolo componente e delle relative tensioni misurate ai loro capi.

(*) Come abbiamo visto nel post "Un effetto Foto-elettrico!" l'energia dei fotoni che compongono una radiazione elettromagnetica è inversamente proporzionale al periodo T dell'onda (essendo E=h/T); perciò sistemi elettromagnetici lentamente variabili nel tempo sono a bassa emissione di energia.
(**) Secondo la Legge di Ohm la tensione V(t) ai capi di un resistore R è V(t)=RI(t) mentre le relazioni tra corrente I(t) e tensione V(t) ai capi di un condensatore C e un induttore L sono rispettivamente: I(t)=CdV(t)/dt e V(t)=LdI(t)/dt (vedi il post "Condensatore e Induttore: concentratori di energia!").