lunedì 1 ottobre 2018

Il Principio di minima Azione!

Introduciamo questo post dicendo subito che (vedi Wikipedia):
"In fisica il principio di minima azione è un principio variazionale che stabilisce che nei fenomeni della natura l'azione viene sempre minimizzata. A partire da questo principio si determina l'equazione del moto di un sistema dinamico".

In particolare il principio variazionale di minima azione si definisce con il calcolo delle variazioni: "un campo dell'analisi matematica che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni" (vedi Wikipedia).

Consideriamo ad esempio il moto di una particella con legge oraria q(t) (e quindi velocità q'(t)=dq(t)/dt) e definiamo una ipotetica funzione L(q,q') che sia funzione della coordinata q e della velocità q' (consideriamo per semplicità il caso monodimensionale con una solo coordinata).
Nota: q sta a indicare una coordinata generale, non necessariamente cartesiana.

Per definire l'equazione del moto (in cui compare L(q,q') detta lagrangiana* del sistema) introduciamo ora un'altra funzione S(q(t)) chiamata Azione (in realtà è un funzionale essendo una funzione di funzione):
S(q(t))=∫t1t2L(q,q')dt
che perciò dipende dal percorso q(t) compiuto dalla particella, una volta fissati il punto iniziale q(t1) e finale q(t2).
Nota: esistono infiniti percorsi tra q(t1) e q(t2) su cui calcolare S(q(t)) che perciò varia con continuità in funzione del percorso.

Facciamo quindi l'ipotesi fondamentale, secondo cui l'equazione del moto della particella si può ottenere ponendo la seguente condizione su S:
δS(q)=0
condizione del tutto analoga a porre nullo il differenziale dF di una funzione F (a un solo valore) per trovare i punti estremali (massimo, minimo o sella): si cerca cioè quale sia, tra tutti quelli possibili, il percorso che rende minimo l'integrale S(q) fissati i punti iniziale e finale.
Nota: si parla di Principio di minima azione poiché nel caso del moto meccanico la condizione δS=0 individua proprio un minimo per l'azione S.

Tale condizione si traduce quindi nella seguente equazione:
δS(q)=δt1t2L(q,q')dt=t1t2δL(q,q')dt=0
dove
δL(q,q')=(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q')δq'
è l'analogo del differenziale di una funzione F(x,y) a due variabili (si ricordi infatti che dF(x,y)=(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy); inoltre δq'=dδq/dt.

Prima di sviluppare l'integrale è utile derivare, rispetto al tempo, il termine (∂L/∂q')δq:
d(∂L/∂q')δq/dt=δqd(∂L/∂q')/dt+(∂L/∂q')δq'
da cui si può ricavare facilmente (∂L/∂q')δq' (che compare nel δL):
(∂L/∂q')δq'=d(∂L/∂q')δq/dt-δqd(∂L/∂q')/dt.

Possiamo ora inserire nell'integrale del δS il valore del δL (con il (∂L/∂q')δq' appena ricavato); si ottiene perciò:
δS(q)=∫t1t2δL(q,q')dt=t1t2[(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q')δq']dt=
=∫t1t2(∂L/∂q)δqdt+t1t2[d(∂L/∂q')δq/dt]dt-t1t2[δqd(∂L/∂q')/dt]dt.

Si osservi che il secondo termine a destra dell'equazione è nullo risultando:
t1t2[d(∂L/∂q')δq/dt]dt=[(∂L/∂q')δq]t1t2=0
avendo posto come condizione al contorno: δq(t1)=δq(t2)=0 (dato che i punti iniziale e finale del percorso non variano).

Perciò se vogliamo che il δS sia nullo dovremo porre (raccogliendo δqdt dal primo e terzo termine):
δS(q)=t1t2[(∂L/∂q)-d(∂L/∂q')/dt]δqdt=0
ciò significa che il termine sotto integrale deve essere nullo (essendo δq≠0):
∂L/∂q-d(∂L/∂q')/dt=0
e questa è proprio l'equazione (detta di Eulero-Lagrange) che L(q,q') deve soddisfare per il Principio di minima azione**.

Ma a questo punto resta una domanda fondamentale, come è fatta la lagrangiana L(q,q') di un sistema dinamico qualsiasi?

Ebbene ogni sistema fisico ha la sua lagrangiana***, ad esempio nel caso di sistemi meccanici si pone (come ipotesi da verificare sperimentalmente):
L(q,q')=T(q')-V(q)
dove T(q') è l'energia cinetica del sistema (che dipende dalla velocità q') e V(q) è l'energia potenziale (che dipende dalla posizione q).
In particolare si ricordi che per una particella di massa m risulta:
T(q')=mq'2/2   e   -∂V(q)/∂q=F(q) 
dove F(q) è la forza a cui è sottoposta la particella lungo il percorso.

È facile mostrare che tale equazione è equivalente a quella del moto di Newton F=mq''. Basta infatti inserire L=T-V nell'equazione di Eulero-Lagrange (si ricordi che T dipende solo da q' mentre V dipende da q):
∂L/∂q-d(∂L/∂q')/dt=-∂V/∂q-d(∂T/∂q')/dt=F-mq''=0.
dove q'' è l'accelerazione impressa alla particella dalla forza F (cvd).
(Per approfondimenti vedi il seminario sul Principio di minima azione di Arrigo Amadori)

(*) L'introduzione della funzione L(q,q') è dovuta a Lagrange ed è apparsa nel suo libro "Méchanique Analitique" nel 1788 scritto proprio con lo scopo di ridurre la teoria meccanica ad operazioni algebriche, senza ragionamenti geometrici o meccanici (in effetti il libro non contiene figure).
(**) Il Principio di minima azione è un principio locale (essendo espresso da una equazione differenziale) e quindi la scelta del percorso viene definita puntualmente, istante per istante, senza nessun tipo di finalismo.
(***) Tutte le leggi fondamentali della fisica possono essere scritte nei termini di una lagrangiana. In particolare L=(g)1/2(R-(1/2)FµvFµv-ψ*Dψ) descrive un sistema dinamico di particelle come elettroni e quark, soggette a gravità, campi elettromagnetici e forze nucleari.