lunedì 1 ottobre 2018

Il Principio di minima Azione!

Introduciamo questo post dicendo subito che (vedi Wikipedia):
"In fisica il principio di minima azione è un principio variazionale che stabilisce che nei fenomeni della natura l'azione viene sempre minimizzata. A partire da questo principio si determina l'equazione del moto di un sistema dinamico".

Come mostreremo il principio variazionale di minima azione si definisce grazie al calcolo delle variazioni che è "un campo dell'analisi matematica che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni" (vedi Wikipedia).

Consideriamo ad esempio il moto di una particella con legge oraria q(t) e velocità q'(t)=dq(t)/dt); come vedremo possiamo definire una ipotetica funzione L(q,q') detta lagrangiana* del sistema, che è appunto funzione della coordinata q(t) e della velocità q'(t).
Notaconsideriamo per semplicità il caso con una solo coordinata dove q indica una coordinata generale, non necessariamente cartesiana.

Ora per definire l'equazione del moto, introduciamo un'altra funzione S(q(t)) chiamata Azione in cui compare la stessa L(q,q') (in realtà S è un funzionale essendo una funzione di funzione), ed è così definita:
S(q(t))=∫t1t2L(q,q')dt.

Come si vede S(q(t)) dipende dal percorso q(t) compiuto dalla particella (una volta fissati il punto iniziale q(t1) e finale q(t2)); in effetti esistono infiniti percorsi tra q(t1) e q(t2) su cui calcolare S(q(t)) che perciò può variare con continuità, in funzione del percorso.
Nota: questa osservazione ci permette di trattare S(q(t)) come se fosse una funzione (differenziabile) anche se è una funzione di funzione (funzionale).

Facciamo quindi l'ipotesi fondamentale, che la natura sembra sempre rispettare, secondo cui l'equazione del moto della particella si può ricavare ponendo la seguente condizione su S(q):
δS(q)=0.

Tale condizione è del tutto analoga a porre nullo il differenziale dF(x) di una funzione F(x) (a un solo valore) per trovare i punti estremali (massimo, minimo o sella): si cerca cioè quale sia, tra tutti quelli possibili, il percorso q che rende minimo l'integrale S(q) fissati i punti iniziale e finale.
Nota: si parla di Principio di minima azione poiché, nel caso del moto meccanico, la condizione δS=0 individua un minimo per l'azione S.

Questa condizione si traduce quindi nella seguente equazione:
δS(q)=δt1t2L(q,q')dt=t1t2δL(q,q')dt=0
dove
δL(q,q')=(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q')δq'
è l'analogo del differenziale di una funzione F(x,y) a due variabili (si ricordi infatti che dF(x,y)=(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy); inoltre si è posto δq'=dδq/dt.

Prima di sviluppare l'integrale è utile fare la derivata, rispetto al tempo, del termine (∂L/∂q')δq:
d(∂L/∂q')δq/dt=δqd(∂L/∂q')/dt+(∂L/∂q')δq'
da cui si ricava facilmente il termine (∂L/∂q')δq' che useremo di seguito:
(∂L/∂q')δq'=d(∂L/∂q')δq/dt-δqd(∂L/∂q')/dt.

Possiamo quindi inserire nell'integrale del δS(q) il valore del δL(q,q') prima definito (sostituendo poi il termine (∂L/∂q')δq' appena ricavato); si ottiene:
δS(q)=∫t1t2δL(q,q')dt=t1t2[(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q')δq']dt=
=∫t1t2(∂L/∂q)δqdt+t1t2[d(∂L/∂q')δq/dt]dt-t1t2[δqd(∂L/∂q')/dt]dt.

Si osservi che il secondo termine a destra dell'equazione è nullo risultando:
t1t2[d(∂L/∂q')δq/dt]dt=[(∂L/∂q')δq]t1t2=0
avendo posto come condizione al contorno δq(t1)=δq(t2)=0 (poiché i punti iniziale e finale del percorso non variano).

Perciò se vogliamo che il δS sia nullo dovremo porre (raccogliendo δqdt dal primo e terzo termine dell'equazione del δS(q)):
δS(q)=t1t2[(∂L/∂q)-d(∂L/∂q')/dt]δqdt=0
ciò significa che il termine sotto integrale deve essere nullo (essendo δq≠0):
∂L/∂q-d(∂L/∂q')/dt=0.
Questa è proprio l'equazione, detta di Eulero-Lagrange, che L(q,q') deve soddisfare per il Principio di minima azione** e che rappresenta l'equazione del moto del sistema (l'analogo per la meccanica di F=mq'').

Ma a questo punto resta una domanda fondamentale, come è fatta la lagrangiana L(q,q') di un sistema dinamico qualsiasi?

Ebbene si ipotizza che ogni sistema fisico abbia la propria lagrangiana***. Ad esempio nel caso di sistemi meccanici si pone (e se ne può verificare per via sperimentale la validità):
L(q,q')=T(q')-V(q)
dove T(q') è l'energia cinetica del sistema (che dipende dalla velocità q') e V(q) è l'energia potenziale (funzione della posizione q).
In particolare ricordiamo che per una particella di massa m risulta:
T(q')=mq'2/2   e   -∂V(q)/∂q=F(q) 
dove F(q) è la forza a cui è sottoposta la particella lungo il percorso.
Nota: anche nel caso non conservativo dove non è definibile un potenziale (ad esempio per il campo magnetico), possiamo introdurre una funzione L(q,q') che soddisfi il principio di minima azione.

Si noti che tale equazione è equivalente a quella del moto di Newton: F=mq'' (dove q'' è l'accelerazione impressa alla particella dalla forza F); per mostrarlo basta inserire L=T(q')-V(q) nell'equazione di Eulero-Lagrange e poi derivare (ricordando che T dipende solo da q' mentre V dipende da q):
∂L/∂q-d(∂L/∂q')/dt=-∂V/∂q-d(∂T/∂q')/dt=F-mq''=0.
(Per approfondimenti vedi il seminario sul Principio di minima azione di Arrigo Amadori).

(*) L'introduzione della funzione L(q,q') è dovuta a Lagrange ed è apparsa nel suo libro "Méchanique Analitique" nel 1788 scritto proprio con lo scopo di ridurre la teoria meccanica ad operazioni algebriche, senza ragionamenti geometrici o meccanici (in effetti il libro non contiene figure).
(**) Il Principio di minima azione è un principio locale (essendo espresso da una equazione differenziale) e quindi la scelta del percorso viene definita puntualmente, istante per istante, senza nessun tipo di finalismo.
(***) Sembra che tutte le leggi fondamentali della fisica possano essere scritte nei termini di una lagrangiana. Ad esempio L=(g)1/2(R-(1/2)FµvFµv-ψ*Dψ) descrive un sistema dinamico di particelle come elettroni e quark, soggette a gravità, campi elettromagnetici e forze nucleari.