lunedì 1 ottobre 2018

Il Principio di minima Azione!

Introduciamo questo post dicendo subito che (vedi Wikipedia):
"In fisica il principio di minima azione è un principio variazionale che stabilisce che nei fenomeni della natura l'azione viene sempre minimizzata. A partire da questo principio si determina l'equazione del moto di un sistema dinamico".

Come vedremo il principio variazionale di minima azione si definisce grazie al calcolo delle variazioni: "un campo dell'analisi matematica che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni" (vedi Wikipedia).

Consideriamo ad esempio il moto di una particella con legge oraria q(t) (e quindi velocità q'(t)=dq(t)/dt) e definiamo una ipotetica funzione L(q,q') che sia funzione della coordinata q e della velocità q' (consideriamo per semplicità il caso monodimensionale con una solo coordinata).
Nota: q indica una coordinata generale, non necessariamente cartesiana.

Per definire l'equazione del moto introduciamo ora un'altra funzione S(q(t)) (in cui compare L(q,q') detta lagrangiana* del sistema) chiamata Azione; in realtà S è un funzionale essendo una funzione di funzione, ed è così definita:
S(q(t))=∫t1t2L(q,q')dt.
Perciò S(q(t)) dipende dal percorso q(t) compiuto dalla particella, una volta fissati il punto iniziale q(t1) e finale q(t2).
Nota: esistono infiniti percorsi tra q(t1) e q(t2) su cui calcolare S(q(t)) che perciò può variare con continuità in funzione del percorso.

Facciamo quindi l'ipotesi fondamentale, secondo cui l'equazione del moto della particella si può ottenere ponendo la seguente condizione su S(q):
δS(q)=0
condizione del tutto analoga a porre nullo il differenziale dF(x) di una funzione F(x) (a un solo valore) per trovare i punti estremali (massimo, minimo o sella): si cerca cioè quale sia, tra tutti quelli possibili, il percorso q che rende minimo l'integrale S(q) fissati i punti iniziale e finale.
Nota: si parla di Principio di minima azione poiché, nel caso del moto meccanico, la condizione δS=0 individua un minimo per l'azione S.

Tale condizione si traduce quindi nella seguente equazione:
δS(q)=δt1t2L(q,q')dt=t1t2δL(q,q')dt=0
dove
δL(q,q')=(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q')δq'
è l'analogo del differenziale di una funzione F(x,y) a due variabili (si ricordi infatti che dF(x,y)=(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy); inoltre si è posto δq'=dδq/dt.

Prima di sviluppare l'integrale è utile fare la derivata, rispetto al tempo, del termine (∂L/∂q')δq:
d(∂L/∂q')δq/dt=δqd(∂L/∂q')/dt+(∂L/∂q')δq'
da cui si ricava facilmente il termine (∂L/∂q')δq' che useremo di seguito:
(∂L/∂q')δq'=d(∂L/∂q')δq/dt-δqd(∂L/∂q')/dt.

Possiamo quindi inserire nell'integrale del δS il valore del δL (sostituendo poi il termine (∂L/∂q')δq' appena ricavato); si ottiene perciò:
δS(q)=∫t1t2δL(q,q')dt=t1t2[(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q')δq']dt=
=∫t1t2(∂L/∂q)δqdt+t1t2[d(∂L/∂q')δq/dt]dt-t1t2[δqd(∂L/∂q')/dt]dt.

Si osservi che il secondo termine a destra dell'equazione è nullo risultando:
t1t2[d(∂L/∂q')δq/dt]dt=[(∂L/∂q')δq]t1t2=0
avendo posto come condizione al contorno δq(t1)=δq(t2)=0 dato che i punti iniziale e finale del percorso non variano.

Perciò se vogliamo che il δS sia nullo dovremo porre (raccogliendo δqdt dal primo e terzo termine):
δS(q)=t1t2[(∂L/∂q)-d(∂L/∂q')/dt]δqdt=0
ciò significa che il termine sotto integrale deve essere nullo (essendo δq≠0):
∂L/∂q-d(∂L/∂q')/dt=0
e questa è proprio l'equazione (detta di Eulero-Lagrange) che L(q,q') deve soddisfare per il Principio di minima azione**.

Ma a questo punto resta una domanda fondamentale, come è fatta la lagrangiana L(q,q') di un sistema dinamico qualsiasi?

Ebbene si ipotizza che ogni sistema fisico abbia la propria lagrangiana***, ad esempio nel caso di sistemi meccanici si pone (e si verifica sperimentalmente):
L(q,q')=T(q')-V(q)
dove T(q') è l'energia cinetica del sistema (che dipende dalla velocità q') e V(q) è l'energia potenziale (funzione della posizione q).
In particolare ricordiamo che per una particella di massa m risulta:
T(q')=mq'2/2   e   -∂V(q)/∂q=F(q) 
dove F(q) è la forza a cui è sottoposta la particella lungo il percorso.

È facile mostrare che tale equazione è equivalente a quella del moto di Newton F=mq'' (dove q'' è l'accelerazione impressa alla particella dalla forza F); basta infatti inserire L=T-V nell'equazione di Eulero-Lagrange e poi derivare (si ricordi che T dipende solo da q' mentre V dipende da q):
∂L/∂q-d(∂L/∂q')/dt=-∂V/∂q-d(∂T/∂q')/dt=F-mq''=0.
(Per approfondimenti vedi il seminario sul Principio di minima azione di Arrigo Amadori).

(*) L'introduzione della funzione L(q,q') è dovuta a Lagrange ed è apparsa nel suo libro "Méchanique Analitique" nel 1788 scritto proprio con lo scopo di ridurre la teoria meccanica ad operazioni algebriche, senza ragionamenti geometrici o meccanici (in effetti il libro non contiene figure).
(**) Il Principio di minima azione è un principio locale (essendo espresso da una equazione differenziale) e quindi la scelta del percorso viene definita puntualmente, istante per istante, senza nessun tipo di finalismo.
(***) Tutte le leggi fondamentali della fisica possono essere scritte nei termini di una lagrangiana. In particolare L=(g)1/2(R-(1/2)FµvFµv-ψ*Dψ) descrive un sistema dinamico di particelle come elettroni e quark, soggette a gravità, campi elettromagnetici e forze nucleari.