giovedì 11 maggio 2023

Base locale e derivata covariante (seconda parte)

Nel precedente post abbiamo visto come si può costruire una base curvilinea locale a partire da una base cartesiana e viceversa, in particolare abbiamo ottenuto le seguenti relazioni tra le basi dei due riferimenti:
ei=(∂xj/∂xi)ej   ,   ei=(∂xj/∂xi)ej
dove ei sono le basi del riferimento cartesiano (x1,..., xn) mentre ej sono le basi del riferimento curvilineo (x1,..., xn) in uno spazio Rn (con i,j=1,..., n).
Nota: come sempre le coordinate curvilinee sono definite in funzione di quelle cartesiane e viceversa, inoltre sono funzioni differenziabili.

È interessante osservare che possiamo riscrivere le relazioni sopra (raccogliendo componenti x basi) come:
ei=(∂xjej)/∂xi=r/∂xi   ,   ei=(∂xjej)/∂xi=∂r/∂xi
dove si è posto r=∂xjej=xjej e quindi il differenziale dr del raggio vettore r si può scrivere, nei due riferimenti, come basi x componenti:
dr=(∂r/∂xj)dxj =ejdxj   oppure   dr=(∂r/∂xj)dxj=ejdxj.
Nota: dr è un vettore e quindi deve restare invariato nei due riferimenti.

Ricordiamo inoltre che in generale un vettore T si può definire in funzione delle sue basi ei e delle sue componenti Ti:
T=T1e1+...+Tnen=Tiei
dove abbiamo applicato la notazione di Einstein sugli indici i=1,..., n.

Abbiamo ricordato sopra che se cambiamo riferimento le basi cambiano come ej=(∂xi/∂xj)ei quindi se vogliamo che il vettore T=Tjej resti invariato anche le sue componenti Tj dovranno trasformarsi (in modo inverso):
Tj=(∂xj/∂xi)Ti
in modo cioè che nel nuovo riferimento il vettore T resti invariato:
T=Tjej=(∂xj/∂xi)Ti(∂xi/∂xj)ei=Tiei=T
essendo (∂xj/∂xi)(xi/xj)=1.
Nota: dal differenziale dxj=(∂xj/∂xi)dxi segue dxj/dxj=(∂xj/∂xi)(xi/xj)=1.

Calcoliamo ora la derivata del vettore T=Tiei lungo una coordinata xj qualsiasi, questa sarà definita (come derivata di una funzione prodotto):
∂T/∂xj=∂(Tiei )/∂xj=(∂Ti/∂xj)ei+Ti(∂ei/∂xj)
dove il termine ∂ei/∂xj tiene conto della possibile variazione delle basi ei rispetto alle coordinate xj: questa derivata è detta derivata covariante e in pratica estende il concetto usuale di derivata direzionale.
Nota: si dice derivata covariante perché preserva il carattere di invarianza rispetto alla trasformazione di coordinate (vedi il relativo post).

Si osservi che se le coordinate sono cartesiane, allora le basi non variano in funzione delle coordinate (cioè mantengono sempre stesso modulo e direzione in ogni punto e quindi ∂ei/∂xj=0); in tal caso la derivata si riduce alla classica derivata direzionale (calcolata cioè lungo l'asse coordinato xj):
∂T/∂xj=(∂Ti/∂xj)ei
dove ricordiamo T è un vettore n-dimensionale (con i,j=1,..., n).

Tuttavia nel caso più generale di coordinate curvilinee il modulo e la direzione delle basi può variare da punto a punto e quindi il termine ∂ei/∂xj è generalmente diverso da zero*.

Vediamo quindi un esempio riprendendo le coordinate curve polari (r,θ) introdotte nel precedente post e le relative basi (er,eθ) ottenute in funzione delle coordinate cartesiane (ex,ey):
er=cosθex+sinθey
eθ=-rsinθex+rcosθey.
ricordando che il vettore T si esprime come (con i=r,θ):
T=Tiei=Trer+Tθeθ.

In questo caso particolare i valori dei termini ∂ei/∂xj espressi in funzione di ereθ sono (con i,j=r,θ):
er/∂r=∂(cosθex+sinθey)/∂r=0
er/∂θ=-sinθex+cosθey=(1/r)eθ
eθ/∂r=-sinθex+cosθey=(1/r)eθ
eθ/∂θ=-rcosθex-rsinθey=-rer
dove notiamo che er/∂θ=eθ/∂r e infatti in generale risulta:
∂ei/∂xj=∂ej/∂xi.
Nota: ciò accade in generale quando le derivate seconde incrociate sono uguali**, per le funzioni lisce questa condizione è sempre soddisfatta.

Perciò le derivate rispetto ad r e θ del vettore T sono (con i=r,θ):
∂T/∂r=∂(Tiei )/∂r=(∂Ti/∂r)ei+Tr(∂er/∂r)+Tθ(∂eθ/∂r)
∂T/∂θ=∂(Tiei )/∂θ=(∂Ti/∂θ)ei+Tr(∂er/∂θ)+Tθ(∂eθ/∂θ)
e quindi sostituendo i valori delle derivate delle basi ottenuti sopra:
∂T/∂r=(∂Ti/∂r)ei+(1/r)Tθeθ
∂T/∂θ=(∂Ti/∂θ)ei+(1/r)Treθ-rTθer.

Si osservi in particolare che se supponiamo che le componenti di T lungo r e θ non variano (cioè se ∂Ti/∂r=0 e ∂Ti/∂θ=0) si ottiene:
∂T/∂r=(1/r)Tθeθ
∂T/∂θ=(1/r)Treθ-rTθer
in questo caso si ha cioè il contributo dovuto alla sola variazione delle basi.
Nota: è evidente che il punto r=0 deve essere escluso, infatti qui le coordinate non sono invertibili come richiesto***.

Se infine vogliamo che T venga trasportato parallelamente rispetto alla superficie curva, dovremo annullare la derivata covariante ponendo:
∂T/∂r=0   e   ∂T/∂θ=0
cioè dovremo annullare i valori delle componenti delle derivate parziali ottenuti sopra, rispettivamente lungo er ed eθ.
 
(*) Solitamente nella derivata covariante per indicare i termini (∂ei/∂xj) si usano i simboli di Christoffel del secondo tipo così definiti: Γkij=(∂ei/∂xj)ek. Perciò ∂T/∂xj=(∂Ti/∂xj)ei+TiΓkijek=(∂Ti/∂xj+TkΓikj)ei (scambiando k con i).
(**) Dalle seguenti relazioni tra basi (vedi il precedente post):
er=(∂x/r)ex+(y/r)ey e eθ=(∂x/θ)ex+(y/θ)ey si ottiene derivando
er/θ=(∂x/rθ)ex+(y/rθ)ey e eθ/r=(∂x/θr)ex+(y/θr)ey
da cui si ha: er/θ=eθ/r se ∂x/rθ=∂x/θr e y/rθ=y/θr (cvd).
(***) Condizione generale affinché le coordinate siano invertibili è che il determinante della matrice Jacobiana non si annulli.

[Una ottima esposizione di questi concetti si trova nella Playlist Video di Dermot Green - Queen's University Belfast]

Base locale e derivata covariante (prima parte)

Come è noto un sistema di riferimento cartesiano è formato da n rette ortogonali che si intersecano in un punto O detto origine, ognuna delle rette è orientata e riporta una unità di misura: in questo modo è possibile identificare qualsiasi punto dello spazio euclideo Rn con una n-upla di numeri reali (x1, x2,..., xn) in modo univoco (vedi Wikipedia).

Generalizzando è possibile costruire geometricamente, a partire da un sistema di riferimento cartesiano, un altro riferimento qualsiasi detto curvilineo, che avrà lo stesso numero di coordinate ma nel quale le linee coordinate sono generalmente delle curve (vedi Wikipedia).

Ad esempio, come avevamo già visto nel post "Trasformazioni di basi, vettori e... co-vettori!", consideriamo un sistema di coordinate cartesiano bidimensionale (x1,x2) e un nuovo sistema di coordinate curvilinee (x1,x2) che sono note in funzione delle prime*:
x1=x1(x1,x2)   ,   x2=x2(x1,x2)
e dove vale anche la trasformazione inversa:
x1=x1(x1,x2)   ,   x2=x2(x1,x2)
ed inoltre tali funzioni sono per definizione differenziabili (funzioni lisce).
Nota: le coordinate devono essere indipendenti e quindi ∂xi/∂xj=δij cioè ∂xi/∂xj=0 se i≠j e ∂xi/∂xj=1 solo se i=j (δij è la delta di Kronecker). 

Consideriamo ad esempio il riferimento cartesiano rappresentato in figura dove è indicata la retta x1 e il relativo vettore di base unitario e1 con origine nel punto O da cui parte una linea curva coordinata x1 con vettore di base unitario e1 ad essa tangente come illustrato in figura:


Ora si osservi che tra il tratto infinitesimo dx1 della retta x1 e il tratto infinitesimo dx1 tangente alla linea curva x1 (che quindi approssima la linea in quel punto) esiste la seguente relazione trigonometrica:
dx1=dx1cosα
e quindi la proiezione del vettore di base e1 sulla retta x1 è pari a
|e1|cosα=|e1|(dx1/dx1)
dove |e1|=1 è il modulo unitario di e1 mentre α è l'angolo tra dx1 e dx1.
In modo equivalente la proiezione del vettore di base e1 sulla retta x2 è:
|e1|sinα=|e1|(dx2/dx1)
valendo di nuovo la relazione trigonometrica:
dx2=dx1sinα.

Perciò la nuova base locale e1 espressa in funzione delle basi cartesiane e1 ed e2 (che ricordiamo sono per semplicità tutti vettori di modulo 1) è:
e1=(|e1|cosα)e1+(|e1|sinα)e2
e quindi utilizzando le relazioni ricavate sopra
e1=(∂x1/x1)e1+(x2/x1)e2
avendo posto |e1|=|e2|=1 e ∂x1/∂x1=cosα , ∂x2/∂x1=sinα.
Nota: abbiamo indicato le derivate parziali dato che le coordinate sono funzioni di più variabili.

Si osservi che dal rapporto trigonometrico di due infinitesimi come dx1/dx1dx2/dx1 siamo passati alle derivate parziali ∂x1/x1x2/x1 supponendo in particolare che la variazione di x1 rispetto a x1 e quella di x2 sempre rispetto a x1 siano rispettivamente pari a cosαsinα.
Nota: ciò è vero poiché x1 approssima (nell'origine) la coordinata di un riferimento ruotato di un angolo α rispetto a quello cartesiano (x1, x2)**.

In modo analogo per la base e2 si ha (anche se non è mostrato in figura):
e2=(∂x1/x2)e1+(x2/x2)e2
dove ricordiamo che le basi sono state tutte normalizzate:
|e1|=|e2|=1   e   |e1|=|e2|=1.
Nota: per costruzione geometrica le basi (e1,e2) sono tangenti alle linee coordinate (x1,x2) e ciò vale in generale per più coordinate.

Se viceversa volessimo derivare le basi cartesiane e1 e e2 a partire da quelle curvilinee e1 e e2 un ragionamento analogo ci porterebbe ad ottenere:
e1=(∂x1/x1)e1+(x2/x1)e2
e2=(∂x1/x2)e1+(x2/x2)e2.
che rappresentano le relazioni inverse di quelle prima ottenute.

Quindi riscrivendo quanto abbiamo ottenuto sopra in forma più generale (applicando la notazione di Einstein sugli indici ripetuti) si ha:
ei=(∂xj/∂xi)ej   ,   ei=(∂xj/∂xi)ej
dove gli indici i,j=1,..., n indicano il numero di coordinate e le relative basi.
Nota: si osservi che gli elementi (∂xj/∂xi) e (∂xj/∂xi) definiscono rispettivamente la matrice jacobiana e la sua inversa.

Ma facciamo subito un esempio introducendo le coordinate curvilinee (r,θ) (ponendo cioè x1=r e x2) dove r≥0 è la distanza dall'origine (polo) mentre 0≤θ≤2π è l'angolo tra r e l'asse X (coordinate polari).

Per calcolare le nuove basi e1=er e e2=eθ è utile definire le coordinate cartesiane (x,y) in funzione delle nuove coordinate (r,θ):
x(r,θ)=rcosθ  ,   y(r,θ)=rsinθ.

Possiamo quindi ottenere le nuove basi er e eθ utilizzando le equazioni alle derivate parziali ottenute sopra (dove x1=r e x2):
er=(∂x/r)ex+(y/r)ey
eθ=(∂x/θ)ex+(y/θ)ey.
Perciò le basi del nuovo riferimento curvilineo di coordinate (r,θ) espresse in funzione delle basi cartesiane note ex ed ey sono:
er=cosθex+sinθey
eθ=-rsinθex+rcosθey
ed inoltre essendo perpendicolari il loro prodotto scalare è nullo:
<er,eθ>=-rcosθsinθ+rsinθcosθ=0.
Nota: la base eθ non è unitaria poiché risulta |eθ|=r tuttavia possiamo porre come base unitaria θ=-sinθex+cosθey e quindi eθ=rθ.

È importante osservare che le basi er e eθ dipendono dalle coordinate (r,θ) come in effetti capita generalmente per le basi curvilinee: viceversa le basi cartesiane ex ed ey sono sempre le stesse in ogni punto dello spazio.

Come vedremo nel prossimo post le relazioni ricavate sopra saranno utili per definire la trasformazione di un vettore affinché resti invariato quando passa da un riferimento ad un altro e definiremo la sua derivata covariante.

(*) Ricordiamo che gli apici indicano entità che si trasformano in modo controvariante (come le componenti di un vettore) mentre i pedici indicano entità che si trasformano in modo covariante (come ad esempio le relative basi) come descritto in "Trasformazioni di basi, vettori e... co-vettori!".
(**) In due dimensioni la trasformazione delle coordinate per una rotazione degli assi è: x1=x1cosα-x2sinαx2=x1sinα+x2cosα da cui segue subito ∂x1/∂x1=cosα , ∂x2/∂x1=sinα come già derivato sopra.

[Una ottima esposizione di questi concetti si trova nella Playlist Video di Dermot Green - Queen's University Belfast]