venerdì 13 dicembre 2019

Le grandezze Osservabili!

Come afferma Wikipedia "in fisica si definisce osservabile una qualsiasi grandezza che è in qualche modo misurabile"; dove in qualche modo significa "misurabile direttamente tramite le operazioni e gli opportuni strumenti di misura oppure indirettamente attraverso calcolo analitico".
Nota: ad esempio i campi e i potenziali, come quelli elettromagnetici, sono grandezze fisiche ma non sono direttemente misurabili.

In generale se in un esperimento vogliamo misurare una grandezza è opportuno, per eliminare gli errori casuali, ripetere la misurazione molte volte per poter determinare un valore medio, che per definizione è il valore più vicino a quello reale (in assenza di errori sistematici).
Nota: si suppone che gli errori casuali, in senso statistico, tendano a compensarsi nel calcolo del valore medio.

Supponiamo ad esempio che durante la misurazione di una certa grandezza A sia stato misurato c1 volte il valore a1, c2 volte il valore a2 e in generale cn volte il valore an; il valore medio, pesato dai coefficienti cn, sarà quindi:
<A>=(c1a1+c2a2+...+cnan)/N=∑anP(an)
dove P(an)=cn/N (N=c1+c2+...+cn) è la probabilità di ottenere il valore an.
Nota: è implicito che il numero di misure deve essere sufficientemente alto affinché questa relazione sia statisticamente valida.

La definizione di valore medio di una grandezza osservabile è valida anche in meccanica quantistica, dove però A è rappresentato da un operatore lineare, cioè una funzione tra due spazi vettoriali "che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare" (vedi Wikipedia).
Nota: se gli spazi vettoriali hanno dimensione finita un operatore lineare è sempre rappresentabile da una matrice associata ad essa.

Come abbiamo già anticipato nel post "I numeri Complessi e la M.Q." gli stati di un sistema quantistico vengono descritti nello spazio vettoriale di Hilbert che generalizza lo spazio euclideo (vedi Wikipedia).
Ciò in pratica significa che se un operatore A agisce su uno stato |S> produce un nuovo vettore di stato, che viene indicato con A|S> (secondo la notazione di Dirac).
Nota: ricordiamo che il vettore |S> viene chiamato ket ma è possibile definire anche il suo duale <S| chiamato bra (vedi oltre).

Ora, come tutti i vettori, anche quello di stato può essere definito come combinazione lineare di una base dello spazio (|a1>, |a2>, ..., |an>) moltiplicata per le relative componenti* (𝜶1, 𝜶2, ..., 𝜶n):
|S>=𝜶1|a1>+𝜶2|a2>+...+𝜶n|an>=𝜶n|an>.

In particolare, per motivi che diventeranno subito chiari, scegliamo come base quella che soddisfa la seguente relazione:
A|an>=an|an>
dove ricordiamo an rappresenta il valore di una misura dell'osservabile A.

Tale relazione afferma che quando A agisce su una delle basi |an> restituisce la stessa base moltiplicata per an: si può mostrare che l'insieme (|a1>, |a2>, ..., |an>) può essere scelto come una base ortonormale (cioè vettori di norma unitaria e ortogonali tra loro) dello spazio vettoriale considerato.
Nota: si dice che an è l'autovalore del relativo autovettore |an>; inoltre an è un numero reale essendo A per scelta un operatore hermitiano.

Facciamo quindi agire l'operatore A sullo stato |S> (e quindi sulle sue basi):
A|S>=𝜶nA|an>
da cui ricordando che A|an>=an|an> si ha:
A|S>=𝜶nan|an>.

Prima di compiere l'ultimo passaggio dobbiamo definire un nuovo elemento, cioè il duale del vettore |S> (detto ket) che viene indicato con <S| (chiamato bra)** prendendo il suo complesso coniugato:
 <S|=<an|𝜶n
dove con 𝜶n abbiamo indicato il complesso coniugato di 𝜶n.
Nota: se ad esempio |S> viene rappresentato da un vettore colonna il duale <S| è un vettore riga i cui elementi sono i complessi coniugati di |S>.

A questo punto possiamo far agire il vettore duale <S| sul vettore di stato A|S> prima derivato, cioè sostituendo quanto ottenuto sopra:
 <S|A|S>=<an|𝜶n𝜶nan|an>.
Nota: usando la notazione bra-ket basta applicare in sequenza i bra e i ket di <S| e A|S> derivati sopra nel simbolo di sommatoria.

Se si osserva che la sequenza <an|𝜶n𝜶nan|an> può essere riscritta come 𝜶n𝜶nan<an|an> (poiché 𝜶n𝜶nan è solo un coefficiente moltiplicativo) ed inoltre essendo <an|an>=1 (dato che la base scelta è normalizzata)*** si ha:
<S|A|S>=𝜶n𝜶nan.

Poiché il prodotto 𝜶n𝜶n rappresenta per ipotesi la probabilità P(an) che si verifichi l'evento an (è uno dei postulati della meccanica quantistica), allora segue dalla definizione di valor medio (introdotta all'inizio del post):
<S|A|S>=𝜶n𝜶nan=∑P(an)an=<A>.

Ciò significa che ogni volta che desideriamo ottenere il valor medio di una grandezza osservabile in meccanica quantistica, basta inserire l'operatore che la rappresenta tra il bra e il ket del relativo vettore di stato.

(*) Gli elementi del campo dello spazio vettoriale di Hilbert sono in generale numeri complessi.
(**) Per chiarimenti sullo spazio vettoriale duale vedi anche il post "Trasformazioni di basi, vettori e... co-vettori!". 
(***) Con la notazione < | > si indica il prodotto scalare tra due vettori, in particolare <an|an> indica il quadrato della norma di |an> che è pari a 1.

mercoledì 23 ottobre 2019

I numeri Complessi e la M.Q.

In questo post cercheremo di mostrare, attraverso l'esame di un semplice sistema quantistico, il ruolo dei numeri complessi nella rappresentazione formale di uno stato quantico.

Ricordiamo innanzitutto che un numero complesso z è così definito:
z=a+ib
dove a e b sono due numeri reali mentre i=(-1)1/2 è l'unità immaginaria; i numeri complessi sono perciò una diretta estensione dei numeri reali.
Nota: il valore di i è stato introdotto per risolvere, ad esempio, una equazione come x2+1=0 che non ha soluzioni nel campo dei numeri reali.

Come è noto gli stati di un sistema quantistico vengono descritti nello spazio vettoriale di Hilbert che generalizza lo spazio euclideo (vedi Wikipedia):
"Uno spazio di Hilbert H=(H, < , >) è uno spazio vettoriale reale o complesso sul quale è definito un prodotto interno < , > (tale che, detta d la distanza indotta da < , > su H, lo spazio metrico  (H,d) sia completo)".
Nota: uno spazio metrico è un insieme di elementi, detti punti, nel quale è definita una distanza, detta anche metrica (vedi Wikipedia).

Per i nostri scopi non è necessario entrare nei dettagli dello spazio vettoriale H ma possiamo procedere illustrando un semplice sistema quantistico. Per farlo utilizzeremo un singolo elettrone che, come è noto, è dotato di una proprietà detta Spin che può assumere solo due stati.

La cosa interessante è che nello spazio di Hilbert, possiamo indicare gli stati come vettori; cioè se ad esempio misuriamo lo spin lungo l'asse Z possiamo porre, a seconda del risultato della misura*, uno dei seguenti vettori come stato del sistema (secondo la notazione di Dirac):
|u> (stato up) oppure |d> (stato down)
ricordando che la probabilità di trovare lo spin in uno dei 2 stati è la stessa.
Nota: per definizione |u> punta lungo l'asse positivo di Z mentre |d> lungo quello negativo.

Se sommiamo questi due stati (vettori), in modo da ottenerne un terzo, questo descriverà il generico stato di spin |S> lungo uno qualsiasi degli assi:
|S>=a|u>+b|d>
dove a e b sono le componenti di |S> (siamo in uno spazio vettoriale!) rispettivamente lungo |u> (asse positivo di Z) e |d> (asse negativo di Z).
Nota: abbiamo in pratica scelto le due basi |u> e |d> per descrivere qualsiasi stato del nostro sistema quantistico a due dimensioni.

Si osservi che secondo un noto postulato della meccanica quantistica i prodotti aa e bb indicano rispettivamente la probabilità di trovare (misurare) lo spin nello stato up oppure down.
Nota: con a e b indichiamo il complesso coniugato rispettivamente di a e di b; come vedremo a e b sono in generale numeri complessi.

La cosa poco intuitiva dello spin è che se lo misuriamo lungo un qualsiasi asse, il suo valore è sempre definito nel verso positivo oppure negativo dell'asse di misura (ci aspetteremmo invece di misurare la sua proiezione, come accade nel caso classico per una grandezza vettoriale).

Supponiamo quindi di aver misurato lo spin dell'elettrone nello stato |u> (cioè lungo l'asse Z positivo) e subito dopo eseguiamo una misura lungo l'asse X: se lo spin si trova lungo l'asse X positivo indicheremo tale stato con il vettore |r> (right) definendolo rispetto alle basi |u> e |d>:
|r>=a|u>+b|d>
(dove come detto i prodotti aa e bb indicano la probabilità di trovare lo spin lungo l'asse Z positivo oppure negativo rispettivamente).

Gli esperimenti indicano che dobbiamo porre a=b=(1/2)1/2 poiché la probabilità di trovare lo stato |u> oppure |d> lungo l'asse Z (dopo aver eseguito la misura lungo X) è la stessa:
aa=bb=1/2
cioè si ha il 50% di probabilità per entrambi gli stati e perciò risulta:
 |r>=(1/2)1/2|u>+(1/2)1/2|d>.
Nota: la somma delle probabilità è normalizzata a 1 infatti P=aa+bb=1.

Possiamo fare la stessa misura lungo l'asse Y e troveremo lo stesso risultato: cioè se misuriamo prima lo spin lungo l'asse Z e subito dopo lungo l'asse X oppure Y, allora lo stato dell'elettrone lungo l'asse Z non è più definito, ha cioè la stessa probabilità di trovarsi nello stato up oppure down(!)
Nota: se invece eseguiamo più volte di seguito la misura dello spin lungo lo stesso asse si ottiene sempre lo stesso valore.

Se inoltre indichiamo con |l> (left) lo stato dello spin preparato lungo l'asse X negativo, si può dimostrare la relazione (vedi la Nota sotto):
|l>=(1/2)1/2|u>-(1/2)1/2|d>.
Ed infine considerando anche lo stato lungo l'asse Y positivo |i> (in) oppure negativo |o> (out), si ha rispettivamente:
|i>=(1/2)1/2|u>+i(1/2)1/2|d>
|o>=(1/2)1/2|u>-i(1/2)1/2|d>
dove abbiamo dovuto introdurre** l'unità immaginaria i (in modo che per tutti questi stati risulti correttamente per le probabilità: aa=bb=1/2).
Nota: gli stati di spin si ottengono ponendo, oltre ai dati sperimentali che definiscono le probabilità, anche le relazioni di indipendenza lineare: <u|d>=<d|u>=<r|l>=<l|r>=<i|o>=<o|i>=0.

Si osservi quindi come sia necessario inserire l'unità immaginaria i nella definizione degli ultimi due stati di spin***. È altresì corretto supporre che ciò non riguardi solo questo semplice esempio ma sia vero in generale: senza i numeri complessi, non potremmo definire correttamente gli stati di un sistema quantistico e le relative probabilità.

(*) Dopo la misura lo stato di spin dell'elettrone è definito e si dice che l'elettrone è stato preparato nello stato di spin relativo all'asse di misura.
(**) Si può dimostrare che non possiamo fare a meno dell'introduzione dell'unità immaginaria i nella definizione degli stati di spin (da non confondere con lo stato in: |i>).
(***) Questo elementare sistema quantistico può essere definito qubit (quantum bit), poiché presenta solo due stati; sembra che tutti i sistemi quantistici possano essere costruiti combinando solo qubit.

domenica 23 giugno 2019

Il Teorema di Bayes e... un Test!

Per derivare il teorema di Bayes o teorema della probabilità delle cause, dovuto al reverendo Thomas Bayes (1702-1761), dobbiamo innanzitutto introdurre la definizione di probabilità condizionata (vedi Wikipedia):
"In teoria della probabilità la probabilità condizionata di un evento A rispetto a un evento B è la probabilità che si verifichi A, sapendo che B si è verificato"; la indicheremo di seguito con il simbolo P(A|B) (viceversa con P(B|A) indicheremo la probabilità di B quando A è noto).
Nota: è chiaro che la conoscenza dell'evento B non cambia l'esito di A ma solo la sua probabilità di verificarsi (vedi la nota*).

È inoltre utile definire in modo preliminare quello che nel calcolo delle probabilità viene chiamato spazio campionario (vedi Wikipedia):
"Lo spazio campionario S o insieme universo è l'insieme dei possibili risultati di un esperimento casuale"; ad esempio, nel caso del lancio di un dado a sei facce, è l'insieme dei sei elementi {1, 2, 3, 4, 5, 6} cioè S=6.

Per dimostrare il teorema di Bayes introduciamo quindi il seguente grafico dove, all'interno di un universo S di possibili eventi, sono definiti:
- l'insieme A: che contiene gli elementi (x+y) che corrispondono all'evento dato A (ad esempio il lancio di un dado);
- l'insieme B: che contiene gli elementi (y+z) che corrispondono all'evento dato B (ad esempio l'uscita di un numero dispari nell'evento A).
Inoltre supponiamo che gli eventi A e B siano dipendenti, cioè che il verificarsi di uno cambi la probabilità di verificarsi dell'altro*.


Quindi per definire la probabilità P(A|B) che accada l'evento A noto l'evento B (o viceversa la probabilità P(B|A)) basta osservare che y rappresenta la parte di elementi comuni ad A e B e quindi (vedi grafico):
P(A|B)=y/(y+z)   o viceversa   P(B|A)=y/(x+y).

Inoltre se indichiamo con S lo spazio di tutti i possibili eventi avremo S=x+y+z+w (dove w indica gli elementi non compresi in A o in B) e quindi la probabilità di verificarsi di A e di B è:
P(A)=(x+y)/S   e   P(B)=(y+z)/S
cioè P(A) e P(B) esprimono il rapporto tra i casi favorevoli e quelli possibili.

A questo punto è semplice ottenere la formula di Bayes:
P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
basta infatti sostituire i valori delle varie probabilità (viste sopra) per verificare questa relazione.

Ma vediamo, come esempio significativo, quello di un test diagnostico: consideriamo ad esempio l'esame di una data patologia, il cui rischio di ammalarsi della popolazione è già stato misurato ed è pari all'1%.

Stabiliamo quindi l'uso dei seguenti simboli:
P(+): indica la probabilità che il test abbia esito positivo;
P(malato): definisce la probabilità che il paziente sia malato;
P(+|malato): è la probabilità che il test sia positivo se il paziente è malato;
P(malato|+): è la probabilità che il paziente sia malato se il test è positivo.

Inoltre poiché un test non è mai certo al 100%, supponiamo che gli esiti positivi o negativi del test in seguito rivelati infondati, siano i seguenti:
P(+|sano)=7% (falsi positivi: sono i test errati nel riscontrare la malattia);
P(-|malato)=10% (falsi negativi: i test errati nel non rivelare la malattia).

Applicando la formula di Bayes si può quindi calcolare P(malato/+) cioè la probabilità che il paziente sia malato quando il test risulta positivo:
P(malato/+)=P(+|malato)*P(malato)/P(+)
dove sappiamo già che:
P(+|malato)=90% (poiché per il 10% dei malati si ha un falso negativo);
P(malato)=1% (dato che questo è il dato verificato per la popolazione).

Dobbiamo perciò calcolare la probabilità P(+) che il test abbia esito positivo. Per questo si devono sommare le probabilità condizionate con esito positivo del test (cioè P(+|sano) e P(+|malato)), che vanno moltiplicate rispettivamente per le probabilità che il paziente sia sano oppure malato (cioè P(sano) e P(malato))**. In sintesi possiamo scrivere:
P(+)=P(+|sano)*P(sano)+P(+|malato)*P(malato)=7,83%
essendo come già descritto sopra:
P(+|sano)*P(sano)=(7%)*(99%)   e   P(+|malato)*P(malato)=(90%)*(1%).

Siamo infine in grado di calcolare P(malato/+) in termini percentuali con la formula di Bayes:
P(malato/+)=(90%)*(1%)/(7,83%)=11,49%
che è una probabilità piuttosto bassa che il paziente sia malato quando il test risulta positivo, contrariamente alla nostra aspettativa.

È quindi evidente come il test diagnostico dell'esempio (con quei dati valori di falsi positivi e negativi) non sia sufficiente per stabilire, con una probabilità significativa, la malattia del paziente!***.

(*) Ad esempio sapendo che il lancio di un comune dado ha dato esito dispari, la probabilità a posteriori di indovinare il numero uscito sarà di 1/3 e non più di 1/6 come supposto a priori prima del lancio. Infatti in riferimento al grafico avremo S=6, x=0, y=1 e z=2 da cui P(A|B)=1/3.
(**) Per chiarire come si ottiene P(+) poniamo gli eventi A=malato, B=+ e A=(S-A)=sano (sono gli elementi non contenuti in A). Quindi in riferimento a quanto visto sopra con i diagrammi si ha: P(B|A)=y/(x+y), P(A)=(x+y)/S, P(B/A)=z/(S-A) e P(A)=(S-A)/S perciò essendo P(B)=(y+z)/S si può verificare la relazione di P(B)=P(+) indicata sopra.
(***) È possibile fare un calcolo più diretto. Se consideriamo 1.000 persone, si ha che 10 (1%) sono malate e di queste 1 non risulta al test (10% di falsi negativi); perciò le altre 9 risultano positive al test. Le restanti 990 (99%) sono sane di cui 69,3 risultano positive al test (7% di falsi positivi); mentre le altre 920,7 risultano negative al test. In definitiva si hanno 9 persone malate e positive al test su un totale di 69,3+9=78,3 positive al test. Quindi risulta P(malato/+)=9/78,3=11,49% come visto sopra.

venerdì 10 maggio 2019

Fisica, modelli, esperimenti e... realtà!

In questo post vogliamo ritornare su un famoso e cruciale esperimento quantistico (vedi il post "Effetto Compton: onda o particella") per mostrare come in fisica, per descrivere fenomeni complessi, si faccia spesso uso di modelli basati su una astrazione semplificata della realtà, cogliendo a volte solo una parte della fisica presente negli esperimenti.

Consideriamo cioè il caso dell'effetto Compton dove il modello idealizzato dell'esperimento è semplice: si ha infatti un unico fotone che colpisce un elettrone libero (in quiete nel sistema di riferimento del laboratorio) e si ipotizza un urto meccanico elastico tra i due corpi dove l'energia cinetica si conserva; inoltre essendo il sistema per ipotesi isolato, anche la quantità di moto si conserva.
Nota: per la descrizione degli urti meccanici tra due corpi vedi il post "L'urto Elastico o Anelastico".

Dobbiamo quindi assegnare al fotone un quanto di energia sia prima (Eγ=hν) che dopo l'urto (Eγ'=hν') oltre ad una quantità di moto sia prima (pγ=hν/c) che dopo l'urto (pγ'=hν'/c); mentre l'elettrone di massa m0 (e massa relativistica m) acquisisce energia cinetica solo dopo l'urto (Ee=mc2-m0c2) oltre ad una ben definita quantità di moto (pe=mv).
Nota: per la definizione di massa ed energia relativistica vedi il post "Derivare la Massa Relativistica".

In definitiva le equazioni di conservazione dell'energia e della quantità di moto sono le seguenti:
Eγ=Eγ'+Ee
pγ=pγ'+pe.
Sostituiamo quindi i valori delle diverse energie e relative quantità di moto e consideriamo ad esempio il caso in cui il fotone colpisce l'elettrone e rincula indietro esattamente da dove è venuto; in questo caso particolare le equazioni si riducono al caso lineare lungo un solo asse:
hν=hν'+(mc2-m0c2)
hν/c=-hν'/c+pe.
Nota: dalla nota equazione relativistica E2=p2c2+m02c4 si ricava (posto m0=0) la relazione tra energia e quantità di moto del fotone: E=pc.

Perciò ricordando che ν=c/λ ed essendo m2c4=pe2c2+m02c4 (vedi il post "Derivare la Massa Relativistica") si ottiene con qualche passaggio che il fotone deve variare la sua lunghezza d'onda λ a causa dell'urto:
∆λ=λ'-λ=2h/m0c.

Nel caso più generale il modello prevede una precisa correlazione tra l'angolo di deflessione φ del fotone e la sua lunghezza d'onda λ'; si ottiene infatti, in modo analogo a prima, la nota equazione (vedi Wikipedia):
∆λ=(h/m0c)(1-cosφ).
Nota: ponendo l'angolo di scattering del fotone φ=π si ottiene di nuovo ∆λ=2h/m0c; mentre per φ=0 non si ha deflessione e quindi ∆λ=0.

Ora se ripetiamo l'esperimento molte volte troveremo una relazione che possiamo riportare in un grafico e confrontare con la teoria; in particolare lungo l'asse X segniamo la lunghezza dell'onda e lungo Y la sua intensità (cioè il numero di fotoni deflessi) dato che molti sono i fotoni sparati in un dato istante sul bersaglio in cui si trovano gli elettroni.
Nota: nell'esperimento un fascio collimato di fotoni, viene sparato su un bersaglio di grafite ad una ben definita lunghezza d'onda λ.

Ed ecco i grafici ottenuti per alcuni degli angoli di deflessione fissati:
Come risulta evidente dai grafici, i picchi di intensità confermano solo in parte le previsioni del modello; in particolare ci sono due aspetti dei risultati dell'esperimento, non previsti dal modello, che vanno spiegati: 

1) Il bersaglio su cui incidono i fotoni è di grafite quindi è possibile che essi a volte colpiscano atomi di carbonio invece che elettroni, in questo caso la massa m0 che compare in ∆λ=(h/m0c)(1-cosφ) è molto grande e quindi la differenza tra la lunghezza d'onda incidente e quella deflessa tende a zero.
Nota: per questo motivo nelle figure compare sempre un picco che coincide in pratica con quello incidente, oltre a quello deflesso.

2) Gli elettroni bersaglio non si trovano quasi mai in quiete rispetto al laboratorio e quindi la quantità di moto iniziale assume diversi possibili valori, perciò il picco dell'onda non è una unica riga verticale ma è distribuito su diversi valori della lunghezza d'onda.
Nota: poiché (in media) la quantità di moto iniziale dell'elettrone è nulla, il picco massimo rappresenta la media sulle varie lunghezze d'onda.

Tuttavia, nonostante gli evidenti limiti dovuti ad una semplificazione della realtà, il modello non è privo di significato fisico e ci permette di convalidare con buona approssimazione la nostra interpretazione di un urto meccanico relativistico tra corpi quantistici, dandoci una corretta spiegazione dell'esperimento (che valse a Compton il premio Nobel nel 1927).

mercoledì 23 gennaio 2019

Minkowski e lo Spazio-Tempo geometrico

Nel 1908 il matematico Hermann Minkowski dichiarava:
"Le concezioni di spazio e di tempo che desidero esporvi sono sorte dal terreno della fisica sperimentale, e in ciò sta la loro forza. Esse sono fondamentali. D'ora in poi lo spazio di per sé stesso o il tempo di per sé stesso sono condannati a svanire in pure ombre, e solo una specie di unione tra i due concetti conserverà una realtà indipendente" (vedi Wikipedia).

Prima di provare a chiarire questa affermazione introducendo i diagrammi spazio-tempo di Minkowski, che permettono una rappresentazione geometrica delle leggi della Relatività ristretta, dobbiamo dare alcune definizioni:

- Evento: indica un fenomeno fisico localizzato in uno specifico punto dello spazio quadrimensionale in un sistema di riferimento fissato (X, Y, Z, T).

- Punto evento: sono le coordinate istantanee (x, y, z, t) di un evento, cioè un punto preciso dello spazio, nell'istante in cui si verifica il fenomeno fisico.

- Linea di universo: questa linea rappresenta il percorso compiuto dagli oggetti, essa unisce i punti evento corrispondenti alle coordinate istantanee.

In realtà lo spazio-tempo di Minkowski appare come un usuale spazio euclideo, su cui è però definita una distanza ∆s differente da quella euclidea (già introdotta nel post "Tempo Proprio (e paradosso dei gemelli)"):
∆s2=c2∆t2-∆x2
dove ∆x e ∆t indicano rispettivamente gli intervalli di spazio e di tempo tra due eventi in un dato sistema di riferimento inerziale, mentre ∆s è detto separazione spazio-temporale tra gli eventi.
Nota: per semplicità consideriamo solo le coordinate (x, t) dato che le coordinate (y, z) non cambiano passando da un riferimento all'altro.

Inoltre, in modo analogo alla classica distanza dello spazio euclideo, anche l'intervallo ∆s è un invariante per tutti gli osservatori inerziali!
Nota: i diagrammi di Minkowski si applicano solo nell'ambito della Relatività ristretta, cioè in condizioni di spazio piatto (assenza di gravità).

A questo punto possiamo fare dei semplici esempi di linee di universo nello spazio-tempo di Minkowski:

a) Il primo diagramma, descritto dagli assi ortogonali (X, cT), indica la linea di universo di un corpo che si muove tra due punti evento: A (partenza) e B (arrivo) con velocità v minore della luce, come descritto in figura:


In generale si osservi che l'asse cT indica la linea di universo di un osservatore O che non si sposta nello spazio (cioè x=0) ma solo nel tempo; mentre l'asse X indica la linea del suo presente (cioè tutti i punti con t=0).
Nota: se il passato non esiste più e il futuro deve ancora realizzarsi, allora il presente comprende tutti gli eventi che definiscono la realtà di O.

Si osservi che nel grafico c∆t indica la distanza che percorre la luce nel tempo ∆t (che separa i due eventi A e B); mentre la linea tratteggiata di riferimento indica la linea di universo di un raggio di luce (essendo x=ct).

Nel nostro caso risulta c∆t>∆x quindi i due eventi A e B possono essere connessi casualmente: cioè la distanza ∆x tra i due eventi può essere coperta da un oggetto con velocità v minore di quella della luce: ∆x=v∆t.
Nota: sulla connessione causale tra due eventi vedi il post "Prima la causa e poi... l'effetto?".

La separazione spazio-temporale tra i due eventi è quindi:
∆s2=c2∆t2-∆x2>0
e ciò caratterizza, come già detto prima, tutti gli osservatori inerziali per i quali l'intervallo ∆s resta invariato (fissati i due eventi A e B); in generale risulta ∆s>0 per tutti gli eventi contenuti in quello che viene definito il futuro di O.
Nota: il futuro di O è formato da tutte le posizioni dello spazio-tempo che potrebbe occupare O (cioè i punti compresi tra le due rette x=±ct con t>0).

b) In questo secondo diagramma consideriamo invece la linea di universo di un osservatore O' che si muove con velocità v rispetto all'ossevatore in quiete O del diagramma precedente:


Si può facilmente mostrare* che gli assi cT' e X' di O' sono inclinati con la stessa pendenza θ come indicato in figura; inoltre per ottenere le coordinate di un qualsiasi evento P (rispetto a O') basta tracciare le parallele agli assi cT' e X' (come si fa per cT e X nel sistema in quiete O)**.

c) Infine in questo terzo diagramma rappresentiamo due osservatori O e O', rispettivamente in quiete e in moto lungo l'asse X, che valutano in modo diverso lo stesso evento fisico P:


Infatti l'osservatore O' si trova sulla linea del presente di O (t=0), mentre l'evento P si trova nel presente di O' (t'=0) e allo stesso tempo si trova nel futuro di O e ciò significa, in modo del tutto inaspettato, che il futuro di O (ad esempio l'evento P) si è già realizzato(!)
Nota: in sintesi se O' è reale per O e P è reale per O' allora P è reale per O (se si accetta la proprietà transitiva di realtà tra gli eventi).

È probabile che considerazioni come questa fecero scrivere ad Einstein:
"Le persone come noi, che credono nella fisica, sanno che la distinzione tra passato, presente e futuro non è che un'illusione, per quanto tenace"***.
Nota: non esistendo in Relatività un tempo assoluto, il ragionamento precedente si può estendere a qualsiasi punto dello spazio-tempo.

(*) Le trasformazioni di Lorentz per x' e t' sono come è noto: x'=γ(x-vt) e t'=γ(t-vx/c2) quindi posto x'=0 (per ottenere l'asse T') e t'=0 (per ricavare l'asse X') si ha rispettivamente: ct=x(c/v) e x=ct(c/v) perciò la pendenza θ dei due assi T' e X' è la stessa (come indicato in figura) cioè tanθ=c/v.
(**) Il tempo e lo spazio dei due osservatori O e O' non sono direttamente confrontabili sul grafico, in effetti dobbiamo considerare la iperbole di calibrazione ∆s2=±1 per confrontare gli intervalli unitari.
(***) Il testo è contenuto in una lettera che Albert Einstein mandò alla sorella del suo caro amico Michele Besso, in occasione della sua morte.