martedì 23 marzo 2021

Perché un modello esteso dell'elettrone?

È noto che nel Modello Standard le particelle elementari vengono modellizzate come puntiformi, tuttavia ciò porta a valori infiniti per alcune quantità che le caratterizzano, in particolare quelle legate alle mutue interazioni tra particelle e campi.
Nota: con l'aggettivo puntiforme si intende una particella elementare priva di qualsiasi struttura interna.

Vediamo ad esempio come si può definire l'energia di una particella carica a riposo in meccanica classica relativistica, considerando anche l'energia del campo elettrostatico da essa generato oltre alla sua energia di massa (vedi Wikipedia):
mc2=m0c2+(1/2) ε0E2dV     (1.1)
dove E=F/e=e/4πε0R2 è il campo elettrico a distanza R dalla particella di massa m (F è la forza di Coulomb) ed ε0 è la permittività elettrica del vuoto, mentre m0 è la massa nuda della particella priva di campo elettrico*.
Nota: in tutti i post useremo, anche se non dichiarate, le unità di misura del sistema metrico internazionale SI.

Se ad esempio integriamo tra il raggio r ipotetico di un elettrone e il volume V=(4/3)πR3 che lo circonda all'infinito si ha:
(1/2) ε0E24πR2dR=(1/2) (e2/4πε0R2)dR     (1.2)
posto dV=4πR2dR ed essendo E=e/4πε0R2. Quindi calcolando l'integrale tra r e infinito si ottiene:
-(e2/8πε0R)|r=e2/8πε0r     (1.3)
per cui l'energia complessiva dell'elettrone con il suo campo è (secondo la eq.1.1):
mc2=m0c2+e2/8πε0r.     (1.4)
Tuttavia ciò significa che se l'elettrone è puntiforme e il raggio r tende a 0 allora la sua energia mc2 tende ad infinito**.

Nei  prossimi post mostreremo come sia possibile definire, secondo una proposta dell'autore, un modello esteso dell'elettrone dove tutte le quantità che lo definiscono sono finite, tenendo però conto che le attuali misure sperimentali indicano una dimensione della carica elettrica non superiore a circa 10-19 metri, che è la migliore risoluzione degli odierni acceleratori di particelle***. 
Nota: come vedremo la carica elettrica del modello esteso in realtà è assunta come puntiforme mentre è la massa ad essere distribuita in modo esteso sulla superficie del modello.

(*) La massa nuda m0 è un parametro libero della teoria che non è possibile misurare direttamente, poiché non possiamo separare una particella carica dal campo elettrico che essa stessa genera.
(**) Nelle teorie di campo quantistiche si usano procedure matematiche di rinormalizzazione per eliminare tali divergenze.
(***) Per le particelle-sonda che circolano negli acceleratori a velocità prossime a c si ha E=hc/λ da cui segue λ=hc/E e per E=10 TeV (energia massima raggiungibile da un acceleratore) si ha λ=1,2x10-19 m (ricordando che 1 eV=1,6x10-19 Joule).

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

ATTENZIONE
Per il seguito di questo post vedi il Blog Electron Extended Model dove verrà proposto dall'autore un modello dell'elettrone non puntiforme.