giovedì 27 dicembre 2012

Una Coppia di Forze

Nel post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)" abbiamo definito il momento meccanico di una forza, rispetto ad un punto fissato, come il prodotto vettoriale tra il vettore di posizione e la forza stessa: 
M=rxF 
dove indica il vettore di posizione della forza F rispetto ad un punto O fissato.

Inoltre abbiamo stabilito per definizione che "la direzione di M è perpendicolare al piano definito da F e da r; il verso, come garantito dalla regola della mano destra, è quello di un osservatore che vede ruotare F in senso antiorario" (vedi Wikipedia).
Nota: l'effetto del momento è proprio quello di produrre una rotazione intorno ad un punto di riferimento o asse (come l'apertura di una porta).

Perciò il modulo del momento, dato dal prodotto vettoriale rxF, è così definito:
M=rFsinθ
dove θ è l'angolo tra r e F come mostrato in figura:


Se si osserva che la distanza b (cioè la perpendicolare, tracciata dal punto O, alla linea di azione della forza F) è data da b=rsinθ possiamo riscrivere il modulo del momento meccanico:
M=Fb
quindi il modulo del momento di una forza è dato dal prodotto della forza per il suo braccio b.

Ma vediamo cosa accade per due forze F1 e F2. In questo caso il momento totale, calcolato rispetto ad uno stesso punto O, è dato dalla somma vettoriale:
M=r1xF1+r2xF2
dove r1 e r2 sono i vettori di posizione delle rispettive forze (rispetto ad O)*.

Se ora supponiamo che le due forze abbiano lo stesso modulo (cioè F1=F2=F), stessa direzione ma versi opposti (cioè sono parallele e giaciono sullo stesso piano), allora il modulo M è:
M=F1b1-F2b2=F(b1-b2)=Fb 
dove il segno meno è dovuto ai versi opposti dei momenti e dove b corrisponde alla distanza fra le linee di azione delle due forze (poiché b1 e b2 giaciono sulla retta perpendicolare alle due forze) ed è quindi indipendente dal punto O di riferimento.
Nota: se invece il punto di riferimento O fosse posto tra le due forze avremmo per la distanza b=b1+b2 (avendo i momenti ugual verso).

Questo particolare sistema costituisce una coppia di forze ed è evidente che solo nel caso in cui b=0 (cioè quando le forze agiscono sulla stessa retta d'azione) il momento della coppia risulta nullo.

Per chiarire il significato fisico del momento meccanico si osservi che in generale (come mostrato nel post "L'equazione del Razzo!") per un sistema di N particelle di massa totale M l'accelerazione del centro di massa  acm è dovuta alla risultante delle forze esterne che agisce sul centro di massa:
Fext=Macm=F1+F2+...+FN.
Quindi nel caso risulti  Fext=0 l'accelerazione del centro di massa è nulla, ma ciò non implica necessariamente che risulti anche Mext=0 (e quindi che la variazione del momento angolare L sia nulla essendo Mext=dL/dt).

Ad esempio nel caso di due sole forze se risulta Fext=F1+F2=0 ciò non implica necessariamente che risulti:
Mext=F1b1-F2b2=F(b1-b2)=0 
poiché F1 e F2 potrebbero non trovarsi sulla stessa retta di azione (cioè b≠0).
Nota: ricordiamo anche che in generale se Fext=0 allora Mext è indipendente dalla scelta del punto di riferimento O (vedi il post "Cos'è il Vettore di Posizione?").

Tutto ciò spiega perché se dalla conservazione della quantità di moto Fext=dP/dt=0 si ottiene, per una coppia di forze, la relazione F1=-F2 (in modo che la risultante sia nulla) allora per garantire che le forze siano sulla stessa retta di azione (cioè b=0), è necessaria anche la conservazione del momento angolare L cioè Mext=dL/dt=0 (vedi il post "Sistemi in Equilibrio (meccanico)").

È perciò vero che se consideriamo le forze interne Fint che agiscono tra due corpi F12 e F21 allora dalla conservazione della quantità di moto Fint=dP/dt=0 e da quella del momento angolare Mint=dL/dt=0 possiamo dedurre il principio di azione e reazione per due corpi interagenti, risultando F12=-F21 (con la stessa retta d'azione).

(*) È noto che la condizione di equilibrio per la rotazione è, nel caso di due forze (opposte e parallele): M=F1b1-F2b2=0 (vedi "Sistemi in Equilibrio (meccanico)"); da cui si ricava subito la relazione F1/F2=b2/b1 che è quella tipica di una leva meccanica e cioè "una macchina semplice che trasforma l'energia, ed è un'applicazione del principio di equilibrio dei momenti" (vedi Wikipedia).

venerdì 7 dicembre 2012

La Contrazione relativa delle Lunghezze

In questo post vogliamo mostrare come, nella Teoria della Relatività, sia centrale il concetto di dilatazione relativa del tempo (già trattato nel post "La Dilatazione relativa del Tempo") e come in particolare la contrazione relativa delle lunghezze sia una conseguenza di tale effetto.

Ricordiamo quindi la relazione precedentemente ricavata (vedi post):
∆t'=∆t/(1-v2/c2)1/2
dove l'intervallo di tempo ∆t' misurato da un orologio posto in un sistema di riferimento, appare maggiore rispetto all'intervallo temporale ∆t misurato in un riferimento che, per ipotesi, è in quiete rispetto al fenomeno osservato (∆t è detto tempo proprio).

Si ricordi che l'intervallo ∆t misurato dall'orologio in quiete è denominato tempo proprio poiché per definizione: "il tempo proprio è il tempo misurato in un sistema di riferimento solidale con il fenomeno di cui si misura la durata" (vedi Wikipedia): in particolare il tempo proprio è il tempo misurato da un unico orologio nel punto in cui si verifica il fenomeno fisico che stiamo misurando*.

Si noti inoltre che un orologio riproduce il medesimo intervallo di tempo se si trova in quiete o in moto inerziale poiché, come assume la teoria della relatività, le leggi fisiche sono le stesse in entrambi i riferimenti: perciò l'effetto di dilatazione del tempo è relativo al moto dell'osservatore.
Nota: l'effetto diventa verificabile quando due orologi in moto vengono posti a confronto, come accade nel noto paradosso dei gemelli (vedi il post).

Fatte queste fondamentali premesse introduciamo un righello posto lungo l'asse X, che si suppone essere rigido**, la cui lunghezza rispetto ad un osservatore in quiete è ∆l; vogliamo ora determinare la sua lunghezza, misurata da un osservatore in moto parallelo all'asse X con velocità v.

Si noti innanzitutto che l'osservatore in quiete S col righello, può misurare il passaggio dell'osservatore in moto S' dai due estremi A e B della sua riga, con due diversi orologi*** (posti rispettivamente in A e in B): quindi egli misura un intervallo di tempo non proprio pari a ∆t'=∆l/v.
Nota: d'altra parte per misurare la velocità v di S' si possono porre due orologi sincronizzati lungo X, ad esempio in A e B, ricavando: v=∆t'/∆l.

Viceversa l'osservatore in moto S' misura, nello stesso luogo e con un unico orologio, il tempo del passaggio dagli estremi A e B del righello (ad esempio col suo orologio da polso) e quindi misura un tempo proprio ∆t=∆l'/v.
Nota: risulta perciò evidente come la situazione tra i due sistemi di riferimento S e S' non sia affatto simmetrica.

Utilizzando la relazione precedente ∆t'=∆t/(1-v2/c2)1/2 si ottiene, sostituendo i valori rispettivamente di ∆t'=∆l/v e ∆t=∆l'/v prima definiti:
∆l/v=(∆l'/v)/(1-v2/c2)1/2
da cui risulta immeditamente che
∆l'=∆l(1-v2/c2)1/2
cioè la lunghezza ∆l' misurata dall'osservatore in moto risulta minore di un fattore (1-v2/c2)1/2 rispetto alla lunghezza ∆l misurata in quiete.

Si osservi che (come abbiamo assunto nel post "La Dilatazione relativa del tempo") la misura delle lunghezze perpendicolari al moto non è soggetta a contrazioni; in questo caso infatti la situazione è del tutto simmetrica e quindi la lunghezza di un segmento perpendicolare è la stessa rispetto a due osservatori in moto relativo.
Nota: ciò significa che lungo gli assi Y e Z dei due riferimenti non si osservano variazioni nelle misure delle lunghezze.

Come avevamo anticipato il significato fisico della contrazione relativa delle lunghezze è strettamente legato alla dilatazione relativa del tempo; in questo senso possiamo affermare che il concetto di tempo è centrale nella teoria della relatività di Einstein.

(*) In effetti a seconda che il fenomeno temporale osservato possa (oppure no) essere misurato da un unico orologio, possiamo considerare il sistema di riferimento in quiete (oppure no) rispetto al fenomeno osservato.
(**) Con corpo rigido qui intendiamo un corpo che, relativamente al sistema in quiete, non è soggetto a deformazioni; come vedremo la contrazione vista dall'osservatore in moto è solo un effetto relativistico, non dovuto a forze reali che agiscono sul corpo.
(***) Si è supposto implicitamente che nella misura dell'intervallo di tempo misurato con due orologi (tempo non proprio) questi sono sincronizzati: in generale dati due orologi posti in A e B (nello stesso sistema di riferimento) possiamo porre una sorgente di luce nel punto di mezzo e porre t=0 per entrambi gli orologi nell'istante in cui arriva il segnale luminoso. 
(Ricordiamo che il postulato di relatività assume, per definire la simultaneità, che la velocità della luce sia la stessa in tutte le direzioni e per tutti gli osservatori inerziali).