martedì 23 aprile 2013

Il concetto fisico di Derivata

Prima di introdurre la definizione di derivata è indispensabile ricordare quello di funzione:
"In matematica, una funzione, anche detta applicazione, mappa o trasformazione, è definita dai seguenti oggetti:
  • Un insieme X detto dominio della funzione f.
  • Un insieme Y detto codominio della funzione f.
  • Una relazione che ad ogni elemento x dell'insieme X associa uno ed un solo elemento y dell'insieme Y, indicandolo con f(x).
Si dice che x è l'argomento della funzione, o un valore della variabile indipendente; mentre y o f(x) è un valore della variabile dipendente della funzione" (vedi Wikipedia).
Nota: in questo post consideriamo solamente funzioni reali di variabili reali.

A questo punto la definizione di derivata è immediata:
"In matematica, la derivata è la misura di quanto il valore di una funzione cambi al variare del suo argomento" (vedi Wikipedia).
Il problema è quindi quello di calcolare, in generale, il valore di questa variazione.

Ma andiamo per gradi e cominciamo ad introdurre il rapporto incrementale di una funzione (con riferimento alla figura che segue):
"Sia f(x) una funzione reale nella variabile reale x; si definisce incremento della funzione (o della variabile dipendente) attorno al punto di ascissa x0 la quantità
∆f(x0)=f(x0+h)-f(x0)
per una fissata quantità h diversa da zero; si definisce incremento della variabile indipendente la corrispettiva quantità
∆x=(x0+h)-(x0)=h.
Si definisce quindi rapporto incrementale della funzione attorno a x0 e rispetto all'incremento h il numero reale:
∆f(x0)/∆x=[f(x0+h)-f(x0)]/h
cioè il rapporto degli incrementi" (vedi Wikipedia).

Ora si osservi che è possibile definire una retta secante y(x) che interseca il grafico della funzione f(x) nei punti di ascissa x0 e x0+h; come è facile mostrare* l'equazione della retta è:
y(x)=f(x0)+[∆f(x0)/∆x](x-x0)
da cui risulta evidente che il rapporto incrementale ∆f(x0)/∆x prima definito, rappresenta il coefficiente angolare della retta secante come illustrato in figura (dove compare x invece di x0):

File:Derivativa.png

A questo punto è facile notare che se si fa tendere h-->0 allora la retta secante tende a coincidere con la tangente al grafico della funzione nel punto x0 ed in particolare avremo**:
df(x0)/dx=limh-->0[f(x0+h)-f(x0)]/h.
Quindi il rapporto incrementale calcolato dal limite df(x0)/dx rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente nel punto x0.
Nota: si osservi che il coefficiente angolare m (vedi nota*) coincide con il valore della tangente dell'angolo α formato dalla retta tangenta con l'asse X cioè m=∆f(x0)/∆x=sinα/cosα (vedi Wikipedia).
(Qui trovi un esempio di come varia la derivata di una funzione)

Possiamo perciò affermare che il coefficiente angolare, e quindi la derivata di una funzione, misura in che modo varia la funzione in quel punto.
Nota: non sempre il coefficiente angolare di una funzione può essere definito, cioè non è detto che il limite che definisce la derivata esista (ad esempio se la funzione non è continua in quel punto).

Se osserviamo che quasi tutte le grandezze fisiche dipendono da altre grandezze o parametri, il significato fisico della derivata è proprio quello di definire in che modo varia una grandezza fisica rispetto alla sua variabile correlata (ma ciò è vero solo se questa grandezza può essere espressa da una funzione continua e derivabile)***.
Nota: naturalmente una grandezza fisica può dipendere da più variabili; il concetto di derivata si può in effetti estendere a più variabili.

(*) Possiamo definire in generale una retta con l'equazione y(x)=q+m(x-x0) dove m è il coefficiente angolare mentre il termine (x-x0) impone la condizione y(x0)=q per x=x0: nel nostro caso risulta in particolare q=f(x0) e m=∆f(x0)/∆x essendo y(x)=f(x0)+[∆f(x0)/∆x](x-x0).
(**) La notazione df(x0)/dx è stata introdotta da Leibniz nel 1675 ca. e i simboli df(x0) e dx indicano i rispettivi valori infinitesimi (cioè entità numeriche infinitamente piccole).
(***) La condizione di continuità di una funzione è necessaria ma non sufficiente per la derivabilità; ad esempio la funzione a valore assoluto f(x)=|x| è continua ma non derivabile nel punto x0=0 (poiché il limite calcolato per x>0 è diverso da quello calcolato per x<0).
(Vedi anche la definizione di funzione continua su Wikipedia)

mercoledì 3 aprile 2013

La composizione del moto!

È proprio vero che, come si legge su Wikipedia: "la più importante conseguenza delle trasformazioni galileiane è la composizione della velocità" (vedi Wikipedia).

Per chiarire questa affermazione e il suo significato fisico cominciamo col ricordare che "in fisica, una trasformazione galileiana è un insieme di leggi che descrivono il legame tra le coordinate di un oggetto in due sistemi di riferimento cartesiani diversi, l'uno in moto rettilineo uniforme rispetto all'altro, nell'ipotesi che le velocità in gioco siano molto inferiori alla velocità della luce" (vedi Wikipedia).

È infatti noto che per indicare le posizioni e le velocità di un oggetto rispetto a due diversi sistemi di riferimento si può usare il formalismo dei vettori (essendo posizione e velocità in ambito classico delle grandezze vettoriali).

Se ad esempio abbiamo due osservatori O1 e O2 in moto relativo uniforme (che per ipotesi coincidono con l'origine di due sistemi inerziali*), che misurano la posizione di un oggetto P in tempi successivi, possiamo scrivere (utilizzando la somma vettoriale):
P1(t)=P1-2(t)+P2(t)
dove P1(t) indica la posizione dell'oggetto in moto P e P1-2(t) è la posizione dell'osservatore in moto O2 (entrambi visti da O1) mentre P2(t) indica l'oggetto P visto da O2 come indicato in figura:

Trasformazione galileiana posizione.png
Nota: P è detto vettore di posizione: vedi il post "Cos'è il Vettore di Posizione?".

A questo punto è facile ottenere, per derivazione, la relazione vettoriale tra le diverse velocità**:
v1(t)=dP1(t)/dt=v1-2(t)+v2(t)
ed inoltre, considerando che i due osservatori sono in moto rettilineo uniforme (cioè v1-2(t)=costante), risulterà:
a1(t)=dv1(t)/dt=d[v1-2(t)+v2(t)]/dt=a2(t)
cioè l'oggetto P ha la stessa accelerazione rispetto ad entrambi i riferimenti*** (essendo dv1-2(t)/dt=0).
Nota: si osservi che le trasformazioni galileane (cioè le coordinate cartesiane dell'oggetto P rispetto a O1 oppure O2) sono implicite nella relazione vettoriale esposta sopra: P1(t)=P1-2(t)+P2(t).

Possiamo verificare sperimentalmente che le relazioni ottenute sono vere e che perciò la composizione vettoriale dei moti ha un effettivo significato fisico (almeno per v<<c). Ma ciò significa anche che, stabilito il carattere vettoriale del moto, possiamo trattare lo spostamento di un corpo considerando la sua scomposizione lungo i relativi assi cartesiani (come si fa appunto con i vettori).

Facciamo subito un esempio. È noto che un corpo cade per effetto gravitazionale in assenza della resistenza dell'aria (lungo l'asse verticale Y) con una velocità:
vy(t)=gt 
dove g è l'accelerazione gravitazionale, costante in prossimità del suolo.
Integrando possiamo ottenere il suo spostamento lungo Y ad ogni istante, partendo da un punto fissato y(0)=0: 
y(t)=(1/2)gt2.
Ora se il corpo P oltre a cadere lungo Y, viene anche sparato lungo l'asse orizzontale X ad una velocità vx costante con uno spostamento:
x(t)=vxt
possiamo comporre il moto di y(t) e x(t) lungo gli assi X e Y ottenendo per lo spostamento P(t) del proiettile:
P(t)=ivxt+j(1/2)gt2
(dove i e j sono i versori degli assi X e Y) e quindi per la velocità v(t)=dP/dt:
v(t)=ivx+jvy(t).

In pratica ciò significa che, per ottenere la traiettoria di P (cioè per ottenere y in funzione di x), possiamo sostituire il valore di t=x/vx in y(t) prima ricavato:
y(x)=(1/2)g(x/vx)2=ax2 
che definisce il moto a parabola di un proiettile (posto a=(1/2)g(1/vx2)).
Perciò il moto parabolico di un corpo è definito, in generale, dalla somma vettoriale di due moti indipendenti: uno è quello uniforme rettilineo (lungo l'asse X) e l'altro è quello accelerato e perpendicolare (lungo l'asse Y).

È noto che quanto visto sopra per la composizione dei moti non vale più quando si devono sommare alte velocità prossime a quelle di un'onda elettromagnetica (poiché non è più possibile effettuare misure simultanee); in questo caso alle trasformazioni di Galileo (valide solo per velocità minori di quella della luce) si devono sostituire quelle di Lorentz (valide per qualsiasi velocità) e al posto dei vettori si useranno i quadrivettori dello spazio-tempo.
Nota: per una breve introduzione alla teoria della Relatività speciale vedi il post "La Relatività ristretta o... speciale!"

(*) Per chiarire il significato fisico di sistema inerziale vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale".
(**) Le trasformazioni delle velocità restano invariate anche quando il sistema di riferimento di O2 è traslatorio accelerato poiché i suoi versori (ij e k) rispetto a O1 sono comunque costanti; si ricordi infatti che in generale risulta:
dP/dt=d(ix+jy+kz)/dt=v+(xdi/dt+ydj/dt+zdk/dt).
(Viceversa per un sistema rotante le derivate dei versori non sono più nulle).
(***) Si osservi che con il solo uso dei vettori di posizione abbiamo in pratica ottenuto il principio di relatività galileiano: cioè le leggi della meccanica (e quindi la dinamica dei corpi) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali (dato che le accelerazioni restano invariate).