lunedì 30 luglio 2012

Derivare la Massa Relativistica

Scopo di questo post è mostrare come sia possibile derivare la relazione della massa relativistica a partire da tre principi relativistici:
I) la legge di conservazione della massa relativistica (e quindi dell'energia);
II) la legge di conservazione della quantità di moto relativistica;
III) la legge di composizione relativistica delle velocità.
In questo modo apparirà chiaro perché la massa relativistica soddisfa le leggi di conservazione della massa e della quantità di moto in ambito relativistico.

Supponiamo a questo scopo di avere due corpi di uguale massa m0 (misurati in quiete) distanti tra loro; immaginiamo poi che il primo corpo sia messo in moto con velocità v in rotta di collisione con il secondo (che è in quiete) lungo l'asse X.
Ipotizziamo inoltre che l'urto sia completamente anelastico: cioè dopo l'urto i due corpi si uniscono (in un sol corpo) e viaggiano alla stessa velocità V.
Nota: per la definizione di urto anelastico vedi il post "L'urto Elastico o Anelastico".

Possiamo perciò scrivere le due seguenti relazioni, dove m0 indica la massa in quiete mentre m è la massa in moto (che chiameremo relativistica) in rotta di collisione.
Nota: si osservi che a priori non possiamo affermare che le due masse sono uguali.

La prima relazione che scriviamo è vera per la conservazione della massa (ma anche, moltiplicando entrambi i termini dell'equazione per c2, per la conservazione dell'energia) dove M indica la massa complessiva dopo l'urto:
m+m0=M.
Mentre la seconda relazione vale per la conservazione della quantità di moto, dove V è la velocità di M dopo l'urto (ricordando che m0 è in quiete):
mv=MV.
Nota: abbiamo implicitamente stabilito di scrivere la quantità di moto nella forma: p=(massa relativistica)x(velocità) ma si veda anche la penultima nota.

Da queste due relazioni si ricava subito mv=(m+m0)V da cui segue che m(v-V)=m0V e quindi si ottiene la seguente relazione tra il rapporto delle velocità e quello delle masse:
v/V=1+m0/m.

Ora chiediamoci cosa vede invece un osservatore in moto con velocità v (solidale cioè con il corpo in moto m) lungo l'asse X: in questo caso il primo corpo appare in quiete mentre è il secondo a muoversi con velocità -v verso il primo corpo.
Perciò, dopo l'urto, la massa M si muoverà con velocità -V rispetto al sistema in moto, essendo la situazione del tutto simmetrica.

Per chiarire meglio la situazione si osservi che nel caso classico, la relazione tra le due velocità V e -V è data dalla composizione galileiana delle velocità:
-V=V-v
essendo v la velocità relativa tra i due riferimenti, dalla quale si ottiene subito
v/V=2
da cui sostituendo nella equazione sopra segue la relazione classica m=m0.
Nota: vedremo invece come nel caso relativistico risulti v/V≈2 solo quando v<<c.

Utilizzando invece la relazione relativistica tra le velocità -V e V del corpo in moto M si può derivare il rapporto relativistico v/V; tale relazione è definita come è noto dalle Trasformazioni di Lorentz:
-V=(V-v)/(1-vV/ c2).
Nota: come anticipato sopra per v<<c si ottiene di nuovo la relazione classica -V=V-v.

Riscriviamo quindi l'equazione precedente (eliminando il denominatore) nella forma di una equazione di secondo grado:
(v/c2)V2-2V+v=0
la cui soluzione* è (posto ß=v/c):
V=(c2/v)[1-(1-ß2)1/2]
dove abbiamo escluso la soluzione col segno positivo poiché risulterebbe V>c.

Infine da questa soluzione ricaviamo (moltiplicandola per 1/v) la relazione
v/V=ß2/[1-(1-ß2)1/2]
e quindi, dall'equazione prima ottenuta v/V=1+m0/m deduciamo (per sostituzione e dopo alcuni passaggi algebrici) la massa relativistica:
m=m0/(1-ß2)1/2
che perciò dipende dalla velocità relativa v dei due sistemi inerziali.

Si osservi però che essendo l'energia relativistica definita, a meno di una costante, come la massa m (essendo cioè E=mc2) si preferisce identificare con il termine massa del corpo quella definita in quiete m0 (vedi Wikipedia) che in effetti è un invariante relativistico (come mostreremo di seguito).
Nota: invece di esprimere la quantità di moto nella forma classica p=mdx/dt è forse meglio scrivere p=m0dx/dτ dove m0 è la massa in quiete e τ è il tempo proprio della particella in moto con dτ=dt(1-ß2)1/2 (vedi il post "La Dilatazione relativa del Tempo").

Si elevi ora al quadrato la relazione precedente e si moltiplichino entrambi i termini per c4 da cui si ottiene (eliminando il denominatore):
m2c4-m2v2c2=m02c4 
che possiamo riscrivere nella forma nota, forse la relazione più importante della relatività:
E2-p2c2=m02c4
essendo E=mc2 l'energia relativistica**, p=mv la quantità di moto relativistica e m0 la massa in quiete della particella, che quindi risulta indipendente dal sistema di riferimento (cioè è un invariante relativistico)***.
Nota: per altre considerazioni sulla precedente relazione vedi anche il post "Massa a riposo 'nulla'!"

(*) Ricordiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado ax2+bx+c=0 è data da x=[-b±(b2-4ac)1/2]/2a; perciò nel nostro caso essendo (v/c2)V2-2V+v=0 risulta: V=(c2/v)[1±(1-ß2)1/2].
(**) L'energia totale relativistica E della particella è data, per ipotesi, dalla sua energia in quiete E0=m0c2 sommata all'energia cinetica Ec cioè E=m0c2+Ec. In questo modo dalla relazione E=mc2 si ricava subito la relazione classica (essendo 1/(1-ß2)1/2≈1+ß2/2+...):
Ec=mc2-m0c2=m0c2[1/(1-ß2)1/2-1]≈(1/2)m0v2 quando v<<c.
(***) Si noti infatti come la massa in quiete m0 sia deducibile da qualsiasi sistema di riferimento, una volta noti l'energia E e la quantità di moto p della particella in moto, senza dipendere dalla velocità relativa v.

martedì 17 luglio 2012

L'espansione adiabatica di Joule

Nel post "Il Principio di Conservazione... termodinamico!" abbiamo visto come si può definire (per un sistema termodinamico) l'energia interna U che, per un sistema chiuso (che non scambia cioè massa con l'esterno), è in relazione col calore fornito Q e il lavoro L fatto sul sistema; tuttavia per motivi pratici si preferisce definire la variazione di energia interna ∆U (più facile da valutare del valore assoluto):
∆U=Q+L.
Questa relazione, ricordiamo, rappresenta il primo principio della termodinamica.

In particolare si osservi che, per definizione, l'energia interna di un gas si identifica con l'energia totale delle sue molecole: cioè l'energia cinetica (di traslazione, rotazione e vibrazione) va sommata all'energia potenziale dovuta, in pratica, all'attrazione intermolecolare.

Ora si ricordi, come abbiamo già visto nel post "L'Equipartizione dell'Energia", che secondo la Teoria cinetica dei gas l'energia cinetica media di un gas ideale è pari a
<Ec>=(q/2)nRT
dove q è il numero di gradi di libertà delle molecole del gas mentre n è il numero di moli e T la temperatura del gas.

Poiché per un gas ideale per definizione (vedi il post "Un gas ideale o... perfetto!"), non si hanno forze di interazione a distanza (cioè l'energia potenziale è nulla), avremo per la variazione di energia interna ∆U del sistema quella dovuta alla sola energia cinetica:
∆U=(q/2)nR∆T 
che perciò dipende dalla variazione di temperatura del gas.
Nota: l'equazione di stato dei gas perfetti è pV=nRT quindi se l'energia interna aumenta (cioè ∆T>0) allora anche la pressione del sistema aumenta (se V=costante).

Alla luce di queste considerazioni è facile interpretare un esperimento classico compiuto nell'ottocento dal fisico inglese James Prescott Joule, che fece espandere liberamente un gas, contenuto in un serbatoio rigido, in un altro serbatoio adiacente vuoto e connesso da un rubinetto; entrambi i serbatoi immersi in un calorimetro in equilibro termico ad una data temperatura T.

Joule osservò, dopo l'espansione libera e irreversibile causa del salto repentino del gas nel secondo recipiente, che il termometro posto dentro al calorimetro non segnava (quasi) nessuna variazione della temperatura (si suppone che per un gas ideale risulti proprio ∆T=0).
Nota: la relazione tra la variazione di temperatura ∆T di un sistema termodinamico e il calore Q scambiato con l'ambiente è ∆T=Q/C dove C è la capacità termica del sistema in esame.

Quindi, essendo nullo sia il calore scambiato Q=C∆T=0 (trasformazione adiabatica) che il lavoro esterno L=0 della trasformazione (essendo rigide le pareti del contenitore non veniva fatto nessun lavoro con l'esterno), ottenne per l'energia interna del gas: 
∆U=Q+L=0.

Da ciò dedusse, essendo l'energia interna di un gas ideale U(T,V) funzione* della temperatura T e del volume V, che l'energia interna non dipende dal volume** (che nell'esperimento varia) ma solo dalla temperatura (che infatti nell'esperimento non varia risultando ∆U(T)=0).
Nota: possiamo esprimere, come variabili indipendenti di U, anche p e T oppure p e V (che sono variabili dell'equazione di stato pV=nRT) per cui U=f(T,V)=f(p,T)=f(p,V).

Il significato fisico di questo esperimento diventa subito evidente se consideriamo la teoria cinetica dei gas, da cui sappiamo per il principio di equipartizione dell'energia che ∆U dipende proprio dalla variazione ∆T della temperatura: come abbiamo prima ricordato ∆U=(q/2)nR∆T.
Nota: per chiarimenti sulla relazione tra l'energia cinetica e la temperatura di un gas vedi il post "L'Equipartizione dell'Energia".

Ma cosa accade se consideriamo un gas reale quando per pressioni elevate e basse temperature le condizioni di gas ideale decadono (poiché dobbiamo tener conto dell'energia potenziale intermolecolare)?
Come discusso nel post "Il Teorema del Viriale" a cui rimandiamo, per un sistema a molte particelle come un gas vale in generale la relazione:
<Ec>=-(1/2)<iriFiext+∑ijrijFijint>
dove <Ec> è la media temporale dell'energia cinetica di tutte le particelle.
Nota: la relazione <Ec>=(q/2)nRT ottenuta per un gas ideale è vera se trascuriamo le forze interne tra le molecole (infatti se poniamo ijrijFijint=0 risulta <Ec>=-(1/2)<iriFiext>=(q/2)nRT).

Si osservi che il contributo delle forze esterne -(1/2)iriFiext è dovuto, nel caso del gas, alle reazioni delle pareti quando vengono colpite dalle molecole (quindi rappresenta l'energia interna U(T,V)), mentre quello delle forze interne ijrijFijint è dovuto alle interazioni molecolari (cioè all'energia potenziale Upot(V)); avremo perciò per l'energia del gas U(T,V) oltre al contributo cinetico anche quello potenziale:
U(T,V)=(q/2)nRT+(1/2)Upot(V)
dove Upot(V) è appunto l'energia potenziale dovuta alle forze intermolecolari (generalmente attrattive); tale energia (essendo in pratica inversamente proporzionale alla distanza) diminuisce in media all'aumentare della distanza tra le molecole e quindi dipende dal volume del gas***.
Nota: per un gas reale l'equazione di stato è perciò pV=nRT+(1/q)ijrijFijint (avendo posto (2/q)U(T,V)=pV) che infatti si riconduce a quella dei gas ideali per ijrijFijint=0 (risultando pV=nRT).

(*) Una volta stabilita l'equazione di stato di un gas si possono definire le variabili termodinamiche indipendenti; nel caso di un gas ideale risulta pV=nRT dove le variabili (p,V,T,n) definiscono lo stato di equilibrio: saranno perciò sufficienti solo due variabili per definire la funzione di stato (fissato il numero n di moli).
(**) Si può ricavare teoricamente la relazione che definisce la variazione di energia interna di un gas U(T,V) rispetto al volume e risulta (fissata la temperatura):
(∂U/∂V)T=T(∂p/∂T)V-p.
Da ciò deriva immediatamente che per un gas ideale con p=nRT/V:
(∂U/∂V)T=T(∂(nRT/V)/∂T)V-nRT/V=0
cioè U(T) non dipende dal volume.
(***) Per un gas reale tipo van der Waals l'equazione di stato è:
(p+n2a/V2)(V-nb)=nRT
dove il termine n2a/V2 tiene conto dell'effetto delle forze intermolecolari di coesione (forze attrattive) mentre nb considera le dimensioni finite delle molecole (forze repulsive); da cui si deriva che per un gas reale con
p=nRT/(V-nb)-n2a/Vsi ha (vedi la nota**):
(∂U/∂V)T=T(∂p/∂T)V-p=n2a/V2 da cui integrando Upot(V)=-n2a/V+K
(dove K è una costante che può dipendere dalla temperatura fissata).

martedì 3 luglio 2012

Il Pendolo (non) isocrono!

Come è noto "il pendolo semplice è un sistema fisico costituito da un filo inestensibile e da una massa puntiforme m fissata alla sua estremità e soggetta all'attrazione gravitazionale (che supponiamo uniforme nello spazio e costante nel tempo)" (vedi Wikipedia).

In particolare ricordiamo che con isocronismo del pendolo si intende che "le oscillazioni di piccola ampiezza (cioè per sinθθ) si svolgono tutte nello stesso tempo, a prescindere dalla loro ampiezza"(vedi Wikipedia); ed è ciò che vogliamo mostrare di seguito, con qualche annotazione.

Nella seguente figura, supposto che il filo a cui è appesa la massa è inestensibile e il punto di rotazione è privo di attrito, è mostrata la componente della forza gravitazionale F=mg (per ipotesi costante) che agisce sulla massa m e determina il moto.

In particolare mentre la componenete normale è controbilanciata dal vincolo del filo inestensibile* la componente che determina il moto è tangenziale alla sua traiettoria:
Ft=-mgsinθ
dove θ rappresenta l'angolo che il filo di lunghezza L forma con la verticale, mentre il segno meno indica che Ft si oppone all'aumentare dell'angolo θ.
Nota: il filo è sottoposto ad una tensione τ=Fc-Fl dovuta alla forza gravitazionale longitudinale Fl=-mgcosθ (che quindi non contribuisce al moto) e a quella centripeta Fc=mv2/L (dovuta alla velocità v di rotazione). 


Si osservi che al variare del tempo t, lo spostamento x(t) lungo l'arco di circonferenza** descritto dalla massa m è dato da
x(t)=Lθ(t)
essendo per definizione di variabile angolare θ(t)=x(t)/L.

Come è noto per piccoli angoli risulta sinθ(t)≈θ(t) perciò con questa approssimazione si ottiene subito x(t)≈Lsinθ(t) e quindi sostituendo il valore di sinθ(t)x(t)/L nell'equazione Ft=-mgsinθ:
Ft-mgx(t)/L.
Inoltre, essendo per definizione di forza Ft=md2x(t)/dt2 possiamo infine scrivere l'equazione del pendolo isocrono:
md2x(t)/dt2=-mgx(t)/L.
Nota: in funzione dell'angolo θ si ha anche md2θ(t)/dt2=-mgθ(t)/L essendo x(t)=Lθ(t).

La soluzione di questa equazione è nota (ed è formalmente identica a quella del moto armonico semplice md2x(t)/dt2=-kx(t) posto k=mg/L):
x(t)=x0cos(2π/T)t
dove x0 rappresenta, per definizione, il punto in cui si trova la massa m al tempo t=0 lungo la circonferenza (istante in cui la massa viene lasciata libera di oscillare) mentre T è il periodo di oscillazione:
T=2π(L/g)1/2.
Nota: possiamo porre x0=0 quando il pendolo si trova nella posizione più bassa (cioè θ=0); in questo caso risulta correttamente x(t)=0 per x0=0 (cioè il pendolo resta in posizione di quiete).

Si noti che questa ultima relazione definisce il significato fisico del pendolo cosiddetto isocrono: infatti a parità di lunghezza L le oscillazioni avranno tutte lo stesso periodo T indipendentemente dalla loro ampiezza x0.

Nel caso invece la relazione di approssimazione sinθ(t)≈θ(t) non sia più valida*** il periodo del pendolo, che in generale non è isocrono, dipende dall'ampiezza x0 dell'oscillazione; infatti risulta:
T=2π(L/g)1/2[1+(1/2)2sin2(x0/2L)+(3/8)2sin4(x0/2L)+...].
Nota: l'equazione non approssimata del pendolo da cui si ricava T è md2θ(t)/dt2=-mgsinθ(t)/L non valendo più la relazione x(t)≈Lsinθ(t).

Ma allora per quale motivo il pendolo viene solitamente considerato, anche per oscillazioni non troppo piccole, come se fosse isocrono?

La risposta è dovuta al piccolo errore che di solito si commette nella approssimazione fatta; si osservi infatti che, confrontando le due ultime equazioni, occorre un'ampiezza di ben 23° per commettere un errore di circa l'1% sul periodo esatto: in pratica solo una oscillazione su cento!

(*) L'equazione completa del moto del pendolo (inestensibile e privo di attrito) è F=mg+τ dove τ è la tensione del filo; quindi oltre alla componente tangenziale Ft=-mgsinθ che definisce il moto, avremo anche la componente normale lungo la direzione del filo Fc=τ-mgcosθ (essendo Fc=mv2/L la forza centripeta del pendolo): possiamo quindi ricavare la tensione τ del filo una volta determinata la variabile θ(t) (essendo v(t)=dx(t)/dt=Ldθ(t)/dt).
(**) Poiché la massa m è vincolata a muoversi per inerzia su un piano (non agendo forze trasversali) e lungo la circonferenza di raggio L, è sufficiente una sola variabile x(t) per descrivere il moto in modo appropriato (ma possiamo anche usare la variabile angolare θ(t)=x(t)/L).
(***) Restano comunque vere le ipotesi di inestensibilità del filo (privo di massa) e assenza di attrito; ovviamente la relazione sinθ(t)≈θ(t) è vera in relazione all'errore che vogliamo ottenere (come osserviamo di seguito).