giovedì 17 gennaio 2013

Il Teorema del Viriale

Prima di darne il relativo significato fisico, partiamo dalla dimostrazione del teorema in oggetto: il Teorema del Viriale.

Anticipiamo solo che fu Rudolf Clausius a sviluppare per primo il teorema per cercare di trattare i gas reali per i quali, a differenza dei gas ideali, è necessario tenere conto dell'interazione tra le molecole e quindi dell'energia potenziale che contribuisce all'energia interna del sistema.
Nota: per approfondire questo tema vedi il post "L'espansione adiabatica di Joule".

Consideriamo quindi un sistema di particelle puntiformi di massa mi ognuna delle quali individuata dal vettore di posizione ri (rispetto ad un sistema di riferimento inerziale) e soggetta ad una forza Fi=dpi/dt dove pi=mivi è la quantità di moto di ogni singola particella.

A questo punto introduciamo una quantità scalare G che porterà ad un risultato notevole:
G=∑ipiri
dove la sommatoria comprende tutte le particelle del sistema.

Se ora deriviamo G rispetto al tempo si ottiene la relazione:
dG/dt=∑ipi(dri/dt)+∑iri(dpi/dt)
dove il primo termine del secondo membro risulta (essendo vi=dri/dt la velocità della i-esima particella):
ipi(dri/dt)=imivivi=2Ec
essendo Ec=(1/2)∑imivi2 l'energia cinetica totale del sistema di particelle;
mentre il secondo termine diventa (essendo Fi=dpi/dt):
iri(dpi/dt)=iriFi.

In definitiva si ha che la variazione di G rispetto al tempo è data dalla relazione
dG/dt=2Ec+iriFi.
Questa relazione può essere integrata rispetto a t nell'intervallo di tempo ∆t=T e quindi, dividendo l'integrale ottenuto per T, otteniamo al primo membro la media temporale (indicata con le parentesi < , >) della variazione di G:
<dG/dt>=[G(T)-G(0)]/T.
Inoltre se consideriamo le medie temporali anche al secondo membro segue:
[G(T)-G(0)]/T=<2Ec>+<∑iriFi>.

Da ciò risulta evidente che in generale, per intervalli di tempo molto grandi (cioè per T-->∞) e se G=∑ipiri non cresce indefinitamente col tempo (cioè se le coordinate ri e le velocità vi rimangono finite), la quantità al primo membro diventa praticamente nulla* da cui segue perciò:
 <Ec>=-(1/2)<∑iriFi>
dove <Ec> è la media temporale dell'energia cinetica di tutte le particelle.
Nota: in generale si può scomporre la sommatoria iriFi separando le forze esterne da quelle interne: iriFi=∑iriFiext+∑ijrijFijint dove il pedice ij si riferisce ad ogni coppia di particelle (con i≠j) e rij è la distanza tra esse.

In particolare se tutte le forze Fi si possono derivare da un potenziale scalare Ui(r) e quindi Fi=gradUi(r) (vedi il post "Campo conservativo=>irrotazionale!") avremo in definitiva:
<Ec>=-(1/2)<∑irigradUi(r)>.
dove Ui(r) rappresenta l'energia potenziale della i-esima particella.
Nota: se Fi=gradUi(r) allora risulta dUi(r)=Fids che è un differenziale esatto e quindi integrandolo si ottiene l'energia potenziale Ui(r) (vedi il relativo post).

Ora se per ogni coppia (i,j) di particelle agiscono per ipotesi solo le forze interne tra le particelle (cioè seiriFiext=0) e se supponiamo che l'energia potenziale sia del tipo Uij(r)=-kij/rijn (dove kij è una costante qualsiasi per ogni coppia di particelle) segue dopo qualche calcolo (risultando rijgradUij(r)=nUij(r))**:
<Ec>=-(1/2)n<U(r)>
dove <U(r)> è la media temporale dell'energia potenziale di tutte le coppie di particelle; in particolare si ha n=1 nel caso dell'energia potenziale gravitazionale***.
Nota: la distanza rij tra due particelle indicate rispettivamente con ri ed rj, è data da rij=ri-rj (vettore diretto verso i); perciò rij e Fij=gradUij(r) (forza diretta verso j) hanno versi opposti e quindi rijFij=-rijgradUij(r).

Possiamo infine enunciare come promesso il Teorema del Viriale:
"In meccanica classica, il teorema del viriale è una proposizione formale che lega la media temporale dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un sistema stabile di N particelle, che ha importanti risvolti in diverse branche della fisica. La prima formulazione del teorema è dovuta a Rudolf Clausius, nel 1870. Il nome viriale deriva dal latino vis che significa forza o energia" (vedi Wikipedia).

(*) Se il moto è periodico (cioè se le sue coordinate assumono ad ogni periodo T fissato gli stessi valori) avremo G(T)=G(0) e quindi G(T)-G(0)=0.
(**) Come abbiamo mostrato nel post "Il Principio di Azione<=>Reazione!" per le forze interne tra particelle vale la relazione Fij=-Fji quindi per ogni coppia di particelle avremo (essendo rij opposto a Fij): 
riFij+rjFji=(ri-rj)Fij=rijFij=-rijgradUij(r)=nUij(r) essendo per ipotesi l'energia potenziale Uij(r)=-kij/rijn e quindi Fij=gradUij(r)=nkij/rijn+1=-nUij(r)/rij.
(***) Consideriamo ad esempio il caso di una particella di massa m che si muove, per attrazione gravitazionale, attorno ad una massa M di moto circolare costante di raggio r (con M>>m in modo da poter considerare la massa M in quiete inerziale). Avremo allora che l'energia cinetica del sistema è data da Ec=(1/2)mv2 mentre l'energia potenziale è U(r)=-k/r dove k=GMm (e quindi Fg=dU(r)/dr=k/r2).
Ora poiché la forza centripeta (dovuta all'accelerazione del moto circolare) è pari a Fc=mv2/r dovrà risultare Fc=Fg (affinché il corpo mantenga costante il suo moto circolare di raggio r); da cui infine si ottiene mv2=k/r e quindi -U(r)=mv2=2Ec come previsto dal teorema del viriale.