dP/dt=mdv/dt-vedm/dt
dove ve è la velocità (supposta costante) di espulsione del carburante rispetto al razzo che a sua volta si muove di velocità v rispetto a un riferimento inerziale*.Nota: si ricordi che la massa m del razzo comprende anche quella del suo combustibile interno (che poi viene espulso sotto forma di gas).
In questa rappresentazione la parte del sistema di cui studiamo il moto, è proprio quello a massa variabile del razzo, che perde massa espellendo il carburante; in particolare nel caso non agiscano forze esterne sul sistema (come ad esempio la forza di gravità) si ottiene Fext=dP/dt=0 (cioè la quantità di moto totale si conserva) e l'equazione precedente diventa:
mdv/dt=vedm/dt
da cui risulta evidente che l'accelerazione del razzo è dovuta alla variazione di massa dello stesso e alla velocità di espulsione costante del carburante.Nota: nella trattazione classica (non relativistica) la massa totale del sistema massa+carburante si conserva.
Proseguendo con le nostre ipotesi, consideriamo ora un semplice sistema che varia la sua massa interna: ad esempio della sabbia che si accumula, attraverso un imbuto, su un nastro trasportatore (infinito) che si muove a velocità costante.
Nota: supponiamo che il motore del nastro mantenga costante il moto della sabbia, vincendo la sua inerzia, man mano che questa viene depositata.
Consideriamo quindi la quantità di moto di tutti i granelli di sabbia di massa m1, m2 ... mN quando vengono depositati sul nastro; valutiamo per esempio la situazione ad un determinato istante di tempo, quando sul nastro si trovano N particelle di sabbia che si muovono tutte alla velocità v=costante del nastro (posto m=m1+m2+...+mN):
Ora si ricordi che in generale (vedi il post "L'equazione del Razzo!") per un sistema di N particelle possiamo definire la quantità di moto totale:
dove m=m1+m2+...+mN è la massa totale mentreNota: supponiamo che il motore del nastro mantenga costante il moto della sabbia, vincendo la sua inerzia, man mano che questa viene depositata.
Consideriamo quindi la quantità di moto di tutti i granelli di sabbia di massa m1, m2 ... mN quando vengono depositati sul nastro; valutiamo per esempio la situazione ad un determinato istante di tempo, quando sul nastro si trovano N particelle di sabbia che si muovono tutte alla velocità v=costante del nastro (posto m=m1+m2+...+mN):
P=m1v+m2v+...+mNv=mv.
È chiaro che la quantità di moto varia nel tempo (poiché mentre si accumulano i granelli varia m) perciò passando con buona approssimazione al continuo possiamo scrivere (derivando P rispetto al tempo e ricordando che v=costante):
dP/dt=mdv/dt+vdm/dt=vdm/dt.
Nota: si suppone che la funzione m(t) che rappresenta l'accumulo della massa sul nastro sia una funzione continua rispetto al tempo e derivabile.
La variazione della quantità di moto dP/dt, dovuta all'accumulo della sabbia, implica che sul nastro trasportatore agisca una forza motrice esterna Fext=vdm/dt che mantiene costante la sua velocità (altrimenti con l'inerzia della sabbia il nastro tenderebbe a fermarsi).
La variazione della quantità di moto dP/dt, dovuta all'accumulo della sabbia, implica che sul nastro trasportatore agisca una forza motrice esterna Fext=vdm/dt che mantiene costante la sua velocità (altrimenti con l'inerzia della sabbia il nastro tenderebbe a fermarsi).
Nota: nella trattazione non abbiamo incluso la massa costante M del nastro dato che, risultando (m+M)dv/dt=0 e vd(m+M)/dt=vdm/dt, sarebbe ininfluente.
P=m1v1+m2v2+...+mNvN=mvcm
vcm=drcm/dt
è la velocità del centro di massa del sistema definito come
rcm=(m1r1+m2r2+...+mNrN)/m.
Quindi per un sistema a massa variabile m(t) avremo in definitiva:
dP/dt=mdvcm/dt+vcmdm/dt
che rappresenta la seconda legge di Newton per un corpo (o un sistema di particelle) a massa variabile (detta anche prima equazione cardinale).
Perciò nel caso in cui risulti vcm=v=costante si ottiene di nuovo l'equazione prima ottenuta per la sabbia che si accumula sul nastro trasportatore (che è appunto un sistema a massa variabile):
Ma torniamo al nostro nastro trasportatore: la forza esterna del motore, applicata al nastro per trasportare la sabbia a velocità costante, sarà data come abbiamo visto dalla variazione della sua quantità di moto:
Perciò nel caso in cui risulti vcm=v=costante si ottiene di nuovo l'equazione prima ottenuta per la sabbia che si accumula sul nastro trasportatore (che è appunto un sistema a massa variabile):
dP/dt=vdm/dt.
Nota: poiché tutti i granelli si muovono a velocità v è ovvio che risulti vcm=v (infatti essendo P=m1v+m2v+...+mNv=mvcm segue v=vcm). Ma torniamo al nostro nastro trasportatore: la forza esterna del motore, applicata al nastro per trasportare la sabbia a velocità costante, sarà data come abbiamo visto dalla variazione della sua quantità di moto:
Fext=dP/dt=vdm/dt.
Da questa relazione possiamo ottenere la potenza fornita dalla forza esterna al nastro, che è così definita:
Pext=dL/dt=Fextds/dt=Fextv
essendo dL=Fextds il lavoro infinitesimo fatto dalla forza per un tratto ds (con v=ds/dt). Quindi poichè Fext e v hanno stessa direzione e verso risulta per sostituzione (essendo Fext=vdm/dt):
Pext=dL/dt=v2dm/dt.
Si osservi però che il lavoro infinitesimo dL=v2dm fatto dalla forza esterna nel far girare il nastro, non si trasforma completamente nell'energia cinetica di un elemento di massa dm pari a dEc=(1/2)dmv2 ma esattamente la metà finisce in energia interna ∆Eint del sistema; infatti per la conservazione dell'energia deve risultare:
∆Eint=dL-dEc=(1/2)dL
che viene presumibilmente spesa dalle forze di attrito del nastro per mettere in moto i granelli di sabbia.**
Nota: solo quando m=costante tutto il lavoro L compiuto su un sistema meccanico si traduce in una variazione della sua energia cinetica risultando L=∆Ec (vedi il post "Il Teorema della 'Vis Viva'").
(*) Ricordiamo che vale la seguente relazione: ve=vc-v dove vc è la velocità del combustibile espulso dal razzo rispetto al sistema inerziale prescelto.
(*) Ricordiamo che vale la seguente relazione: ve=vc-v dove vc è la velocità del combustibile espulso dal razzo rispetto al sistema inerziale prescelto.
(**) Si osservi che "la spiegazione quantistica dell'attrito ne lega le cause all'interazione elettrostatica attrattiva tra le molecole delle superfici di contatto" (vedi Wikipedia); perciò il sistema considerato (sabbia+nastro) non è esclusivamente di tipo meccanico.