L'Entropia secondo Boltzmann

Riprendiamo da Wikipedia alcuni concetti fondamentali che ci permetteranno di definire statisticamente il concetto termodinamico di entropia (già introdotto nel post "Entropia: una grandezza anomala!"):

- Sistema termodinamico
"Un sistema termodinamico è una porzione di spazio materiale, separata dal resto dell'universo termodinamico (ovvero dall'ambiente esterno) mediante una superficie di controllo (o confine) reale o immaginaria, rigida o deformabile".

- Stato termodinamico
"Uno stato termodinamico di un sistema termodinamico è l'insieme dei valori assunti dai parametri macroscopici che lo caratterizzano, come la pressione, il volume, l'entropia, la temperatura e così via".

- Equilibrio termodinamico
"Si dice che un sistema è in equilibrio termodinamico se le sue variabili (o parametri o coordinate) termodinamiche, (ad esempio pressione, volume e temperatura nel caso di un fluido omogeneo), sono ben definite e non variano nel tempo".
Nota: per poter definire lo stato di un sistema termodinamico è quindi necessario che sia in condizioni di equilibrio.

Deve essere inoltre chiaro che per trasformazione termodinamica "si intende un processo tramite il quale un sistema termodinamico passa da uno stato di equilibrio termodinamico ad un altro" (vedi Wikipedia).
Nota: la termodinamica studia le trasformazioni quasi-statiche che passano attraverso infiniti stati di equilibrio (come quelle reversibili).

L'osservazione fondamentale per trattare statisticamente un sistema termodinamico, "uno dei cardini del pensiero di Boltzmann, è che le quantità misurabili nel mondo macroscopico (cioè, le quantità termodinamiche come temperatura e pressione) si possano ottenere con operazioni di media su quantità microscopiche" (vedi Wikipedia).

È proprio grazie a questa ultima ipotesi, come vedremo, che possiamo collegare le grandezze termodinamiche di un sitema classico alla dinamica microscopica delle particelle che lo compongono; tuttavia solo se il numero N di particelle del sistema è abbastanza grande si possono applicare considerazioni statistiche*.
Nota: per N che tende ad infinito avremo (per mantenere la densità costante) che anche il volume V tende a infinito (limite termodinamico).

Questo assunto si basa su alcune ipotesi fondamentali (vedi Wikipedia):

- Ipotesi stocastica
"Il sistema obbedisce all'ipotesi del caos molecolare. Questo implica che la distribuzione di velocità in una qualsiasi direzione sia gaussiana: cioè, le particelle non hanno una direzione preferenziale di moto. Se questo è vero nel caso di un gas perfetto, non è sempre vero per tutti i sistemi".

- Ipotesi di sitema infinito
"Nella realtà, nessun sistema è infinito, ma ha una dimensione finita: tuttavia, perché la deduzione abbia senso, occorre che lo spazio ∆x che una particella può percorrere in un tempo ∆t sia sufficientemente piccolo rispetto alla dimensione globale del sistema L" (ciò è vero per temperature non troppo elevate).

- Ipotesi di sistema markoviano
"Un'ipotesi sottintesa nella trattazione termodinamica è che le proprietà degli urti fra le particelle non dipendano dalla storia pregressa delle particelle (cioè da come si è arrivati all'urto) ma solo dalle condizioni istantanee al momento dell'urto".

Consideriamo quindi per semplicità un gas ideale (composto da particelle identiche ma distinguibili), per il quale valgono le ipotesi enunciate sopra oltre a quelle specifiche della Teoria cinetica dei gas che abbiamo già trattato nel post "L'Equipartizione dell'Energia" (a cui rimandiamo).

Se il sistema è isolato (cioè non scambia né energia né massa con l'ambiente) saranno vere le due seguenti condizioni:

N=n₁+n₂+n₃+...

E=n₁E₁+n₂E₂+n₃E₃+...

dove N è il numero totale di particelle, E l'energia del sistema e n₁, n₂, n₃, ... sono rispettivamente il numero di particelle di energia E₁, E₂, E₃, ....

Possiamo ragionevolmente assumere che ad una data energia E del sistema (macrostato) possano corrispondere diverse configurazioni (microstati) di particelle n₁, n₂, n₃, ... poste nei rispettivi livelli di energia; si possono perciò avere, per uno dato stato termodinamico, diverse distribuzioni delle particelle del sistema, una delle quali sarà la più favorita statisticamente (cioè la più probabile).
Nota: supponiamo che all'equilibrio e in assenza di perturbazioni il sistema mantenga la sua configurazione statistica (a meno di piccole fluttuazioni).

Si pone quindi il problema di come contare tutte le possibili configurazioni e stabilire quale sia la più probabile (cioè quale dei microstati possibili del sistema si possa realizzare nel maggior numero di modi).
Nota: le seguenti assunzioni fanno riferimento alla fisica classica e non a quella quantistica delle particelle (che sono indistinguibili) e dei loro stati.

Assumiamo quindi che tutti gli stati di energia E₁, E₂, E₃, ... abbiano la stessa probabilità di essere occupati (cioè senza nessuna preferenza tra i livelli) e consideriamo una ben definita distribuzione descritta, come abbiamo detto, dal numero di particelle n₁, n₂, n₃, ... poste nei rispettivi livelli di energia.

Possiamo presumere che se permutiamo tra loro le N particelle, lo stato del sistema complessivo non cambi: il numero di modi possibili per ottenere la stessa identica distribuzione è perciò pari a N! essendo N!=1x2x3x...xN il numero di tutte le permutazioni possibili (vedi Wikipedia).
Nota: abbiamo implicitamente assunto che le particelle, sebbene identiche, siano tra loro distinguibili e quindi permutabili (l'indistinguibilità porta invece alle statistiche quantistiche).

Ma dobbiamo anche considerare che se permutiamo tra loro le n₁ particelle del livello E₁ non otteniamo una nuova configurazione (supponiamo cioè che lo stato di E₁ sia indipendente da come le particelle vengono ordinate); ciò significa che dovremo dividere per n₁! il risultato prima ottenuto:

N!/n₁!

dove n₁!=1x2x3x...xn₁ è il numero delle permutazioni possibili su E₁.

Poiché ciò vale coerentemente per tutti i livelli di energia E₁, E₂, E₃, ... si ottiene infine il numero complessivo W di tutti i modi possibili di riempimento dei livelli con le rispettive particelle:

W=N!/(n₁!n₂!n₃!...).

Tuttavia la situazione che abbiamo rappresentato non è completa poiché dobbiamo considerare che i livelli di energia hanno una diversa probabilità di essere occupati (ad esempio per la loro compatibilità o meno con i momenti p delle particelle, vedi la nota seguente) e quindi dobbiamo assegnare un valore di probabilità g_i ad ogni livello di energia E_i (dove i=1, 2, 3, ...) con la condizione che g₁+g₂+g₃+...=1.
Nota: è noto che la relazione tra energia e momento di una particella è E=p²/2m=(p_x²+p_y²+p_z²)/2m quindi ad un dato livello di energia E possono corrispondere diverse orientazioni di p.

Ciò significa che la probabilità di trovare 2 particelle nel livello E₁ sarà pari a g₁² (poiché le probabilità vanno moltiplicate tra loro) e quindi per tutte le n₁ particelle avremo la probabilità g₁^n₁ che occupino quello stato; in generale dovremo perciò tener conto del fattore g_i^n_i nel calcolo delle probabilità.

Nota: per la definizione della funzione continua di probabilità g(E) vedi il post "Il calcolo degli stati di energia: dN=g(E)dE".

Se quindi consideriamo tutti i livelli di energia del sistema otterremo infine che la probabilità della particolare distribuzione n₁, n₂, n₃, ... è pari a

P=N!(g₁^n₁g₂^n₂g₃^n₃...)/(n₁!n₂!n₃!...).

Nota: la somma delle probabilità P_i di tutte le possibili configurazioni è correttamente pari a 1 risultando: ∑P_i=(g1+g2+g3+...)^N=1 (vedi Wikipedia).

È a questo punto che Boltzmann (nel 1877) fa la seguente fondamentale ipotesi che lega l'entropia S (già definita termodinamicamente nel post "Entropia: una grandezza anomala!") alla probabilità P di una data distribuzione di particelle**:

S=k_BlnP

dove k_B è la costante di Boltzmann (ln indica il logaritmo naturale); il termine k_BlnP rappresenta quindi l'entropia statistica del sistema. 

Questa definizione di entropia è generale e vale per qualsiasi distribuzione del sistema, anche quando ci troviamo fuori dall'equilibrio*** ed è evidente che il termine k_BlnP è indipendente dal percorso seguito dal sistema ma solo dallo stato in cui esso si trova (cioè dalla sua particolare configurazione): l'entropia S è, come nel caso termodinamico, una funzione di stato. 
Nota: se P=1 (cioè se si ha una sola possibile distribuzione delle particelle) risulta S=0 e l'entropia è nulla (vedi il Terzo principio della termodinamica).

Se ora supponiamo che il sistema isolato passi, in modo regolare nel tempo, da tutte le configurazione previste per quel sistema a parità di energia (ipotesi ergodica), allora la distribuzione che si realizza nel maggior numero di modi (cioè quella più probabile) è quella in cui il sistema passa in media la maggior parte del tempo (a parte cioè piccole fluttuazioni).

Proseguendo con questa ipotesi di evoluzione dinamica del sistema, diventa lecito supporre che se ci troviamo lontano dall'equilibrio (bassa entropia) il sistema evolverà verso l'equilibrio (massima entropia) poiché tenderà naturalmente (in senso statistico) a quello stato di massima probabilità compatibile con le sue caratteristiche fisiche.

Rimandiamo infine al post "La Legge statistica di Distribuzione" per il calcolo della distribuzione delle particelle n_i nei vari livelli di energia E_i quando il sistema si trova all'equilibrio, cioè quando per ipotesi la probabilità dello stato è massima.

(*) Solitamente abbiamo a che fare con sistemi fisici composti da un grande numero di particelle, dell'ordine del Numero di Avogadro.
(**) Supponiamo che esista una relazione tra S e P cioè S=f(P) allora se consideriamo un sistema composto da due parti (dove S₁ e S₂ sono le rispettive entropie mentre P₁ e P₂ le probabilità dei due stati) ed essendo S=S₁+S₂ (le entropie si sommano) e P=P₁P₂ (le probabilità si moltiplicano) avremo S(P₁P₂)=S(P₁)+S(P₂); ora come è noto l'unica funzione che soddisfa questa relazione è proprio quella logaritmica.
(***) Al contrario le variabili termodinamiche come temperatura, pressione o volume sono ben definite solo all'equilibrio dove non variano nel tempo.

Le 2 leggi di Kirchhoff

Prima di enunciarle è importante osservare che le Leggi di Kirchhoff sono di tipo empirico e "furono formulate da Gustav Robert Kirchhoff nel 1845 a seguito di esperimenti empirici e precedono storicamente le ben più complesse e generali equazioni di Maxwell" (vedi Wikipedia).

Come abbiamo già anticipato nel post "Condensatore e Induttore: concentratori di energia!", le leggi di Kirchoff "si applicano ai circuiti elettronici a parametri concentrati, cioè circuiti che non irradiano, dove l'energia si può considerare concentrata nei componenti del circuito".
Nota: per trascurare eventuali perdite di energia dovute ad irradiazione si devono considerare sistemi lentamente variabili nel tempo*.

Ricordiamo anche che "un circuito elettrico è detto a parametri concentrati (o a costanti concentrate) se è costituito da dispositivi abbastanza piccoli rispetto alla minima lunghezza d'onda di una qualsiasi grandezza elettrica misurata su di essi" (vedi Wikipedia).
Nota: sono cioè trascurabili eventuali interferenze di campi elettromagnetici con i dispositivi che vengano generati dal circuito stesso.

Ciò che risulta notevole è che "sotto queste ipotesi le leggi di Kirchhoff sono un'approssimazione delle leggi dell'elettromagnetismo di Maxwell, che non implicano nessuna ipotesi sulla natura dei componenti del circuito".
Nota: i componenti di un circuito vengono rappresentati da elementi ideali di tipo attivo (come i generatori di forze elettromotrici) o passivo (come resistori, condensatori o induttori).

Da quanto abbiamo anticipato risulta evidente che tali leggi, che ora enunceremo, si applicano a qualsiasi circuito elettrico e cioè "all'interconnessione di elementi elettrici in un percorso chiuso in modo che la corrente possa fluire con continuità" (vedi Wikipedia).

In questo contesto generale di connessioni elettriche tra piccoli dispositivi, diamo due definizioni:
-> col termine nodo si definisce un punto di connessione tra gli elementi che costituiscono un circuito elettrico;
-> mentre una maglia è un percorso chiuso formato dagli elementi elettromagnetici di un circuito (che possono essere attivi o passivi).

Enunciamo quindi le due leggi di Kirchhoff:
I) La somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti dallo stesso nodo;
II) La somma delle forze elettromotrici (generatori di tensione) contenute in una maglia è uguale alla somma delle forze contro-elettromotrici (cioè le cadute di tensione ai capi dei componenti) contenute nella stessa maglia.
Nota: parliamo di somme algebriche, quindi le forze contro-elettromotrici avranno segno opposto a quelle elettromotrici (per le correnti alternate si sommeranno invece i fasori).

Facciamo alcune osservazioni:
->  la prima legge esprime il principio di continuità della corrente e quindi della conservazione della carica: le cariche elettriche non possono crearsi o distruggersi lungo il circuito (in assenza di dispersioni);
Nota: se ∑_iI_i rappresenta la somma algebrica delle correnti entranti e uscenti in un nodo deve risultare ∑_iI_i=0 affinché la carica elettrica si conservi (vedi il post "L'equazione di... continuità!").
-> la seconda legge afferma che le cadute di tensione ai capi degli elementi** devono controbilanciare quelle dei generatori: il lavoro per far compiere ad una carica un percorso chiuso deve essere uguale a zero (data la conservazione dell'energia).
Nota: il lavoro compiuto su una carica è L=qV quindi se ∑_iV_i (somma algebrica delle tensioni) viene calcolata lungo una maglia chiusa deve risultare ∑_iV_i=0 in modo che L=∑_iL_i=q∑_iV_i=0 (se il campo è conservativo).

Inoltre si è implicitamente assunto che l'energia erogata dai generatori venga dissipata dai componenti (come i resistori) per effetto Joule oppure venga immagazzinata dagli stessi (come condensatori e induttori) sotto forma di energia elettrica o magnetica; trascuriamo perciò come già anticipato l'irraggiamento dei campi e.m. variabili.

Nota: per il funzionamento elettrico e magnetico di condensatori e induttori vedi il post "Condensatore e Induttore: concentratori di energia!".

Ma qual è l'utilità delle due leggi di Kirchhoff?
Ebbene tali leggi ci permettono, dato un qualsiasi circuito elettrico, di derivare un sistema di equazioni relative alle correnti e alle tensioni incognite in modo da poter determinare i loro valori: l'analisi di un circuito elettrico consiste proprio nel calcolo delle correnti che attraversano ogni singolo componente e delle relative tensioni misurate ai loro capi.

(*) Come descritto nel post "Un effetto Foto-elettrico!" l'energia dei fotoni che compongono una radiazione e.m. è inversamente proporzionale al periodo T dell'onda (essendo E=h/T); perciò sistemi elettromagnetici lentamente variabili nel tempo sono a bassa emissione di energia.

(**) Secondo la Legge di Ohm la tensione V(t) ai capi di un resistore R è V(t)=RI(t) mentre le relazioni tra corrente I(t) e tensione V(t) ai capi di un condensatore C e un induttore L sono rispettivamente: I(t)=CdV(t)/dt e V(t)=LdI(t)/dt (vedi "Condensatore e Induttore: concentratori di energia!").

Un problema di massa variabile

Nel post "L'equazione del Razzo!" (a cui rimandiamo) abbiamo derivato l'equazione dinamica che lega la variazione della quantità di moto totale dP/dt del centro di massa del sistema (razzo+combustibile), alla variazione della velocità del razzo dv/dt e a quella della sua massa dm/dt (dovuta all'espulsione del carburante):

dP/dt=mdv/dt-v_edm/dt

dove v_e è la velocità (supposta costante) di espulsione del carburante rispetto al razzo che a sua volta si muove di velocità v rispetto a un riferimento inerziale*.
Nota: si ricordi che la massa m del razzo comprende anche quella del suo combustibile interno (che poi viene espulso sotto forma di gas).

In questa rappresentazione la parte del sistema di cui studiamo il moto, è proprio quello a massa variabile del razzo, che perde massa espellendo il carburante; in particolare nel caso non agiscano forze esterne sul sistema (come ad esempio la forza di gravità) si ottiene F^ext=dP/dt=0 (cioè la quantità di moto totale si conserva) e l'equazione precedente diventa:

mdv/dt=v_edm/dt

da cui risulta evidente che l'accelerazione del razzo è dovuta alla variazione di massa dello stesso e alla velocità di espulsione costante del carburante.
Nota: nella trattazione classica (non relativistica) la massa totale del sistema massa+carburante si conserva.

Proseguendo con le nostre ipotesi, consideriamo ora un semplice sistema che varia la sua massa interna: ad esempio della sabbia che si accumula, attraverso un imbuto, su un nastro trasportatore (infinito) che si muove a velocità costante.
Nota: supponiamo che il motore del nastro mantenga costante il moto della sabbia, vincendo la sua inerzia, man mano che questa viene depositata.

Consideriamo quindi la quantità di moto di tutti i granelli di sabbia di massa m₁, m₂ ... m_N quando vengono depositati sul nastro; valutiamo per esempio la situazione ad un determinato istante di tempo, quando sul nastro si trovano N particelle di sabbia che si muovono tutte alla velocità v=costante del nastro (posto m=m₁+m₂+...+m_N):

P=m₁v+m₂v+...+m_Nv=mv.

È chiaro che la quantità di moto varia nel tempo (poiché mentre si accumulano i granelli varia m) perciò passando con buona approssimazione al continuo possiamo scrivere (derivando P rispetto al tempo e ricordando che v=costante):

dP/dt=mdv/dt+vdm/dt=vdm/dt.

Nota: si suppone che la funzione m(t) che rappresenta l'accumulo della massa sul nastro sia una funzione continua rispetto al tempo e derivabile.

La variazione della quantità di moto dP/dt, dovuta all'accumulo della sabbia, implica che sul nastro trasportatore agisca una forza motrice esterna F^ext=vdm/dt che mantiene costante la sua velocità (altrimenti con l'inerzia della sabbia il nastro tenderebbe a fermarsi).

Nota: nella trattazione non abbiamo incluso la massa costante M del nastro dato che, risultando (m+M)dv/dt=0 e vd(m+M)/dt=vdm/dt, sarebbe ininfluente.

Ora si ricordi che in generale (vedi il post "L'equazione del Razzo!") per un sistema di N particelle possiamo definire la quantità di moto totale:

P=m₁v₁+m₂v₂+...+m_Nv_N=mv_cm

dove m=m₁+m₂+...+m_N è la massa totale mentre

v_cm=dr_cm/dt

è la velocità del centro di massa del sistema definito come

r_cm=(m₁r₁+m₂r₂+...+m_Nr_N)/m.

Quindi per un sistema a massa variabile m(t) avremo in definitiva:

dP/dt=mdv_cm/dt+v_cmdm/dt

che rappresenta la seconda legge di Newton per un corpo (o un sistema di particelle) a massa variabile (detta anche prima equazione cardinale).

Perciò nel caso in cui risulti v_cm=v=costante si ottiene di nuovo l'equazione prima ottenuta per la sabbia che si accumula sul nastro trasportatore (che è appunto un sistema a massa variabile):

dP/dt=vdm/dt.

Nota: poiché tutti i granelli si muovono a velocità v è ovvio che risulti v_cm=v (infatti essendo P=m₁v+m₂v+...+m_Nv=mv_cm segue v=v_cm).

Ma torniamo al nostro nastro trasportatore: la forza esterna del motore, applicata al nastro per trasportare la sabbia a velocità costante, sarà data come abbiamo visto dalla variazione della sua quantità di moto:

F^ext=dP/dt=vdm/dt.

Da questa relazione possiamo ottenere la potenza fornita dalla forza esterna al nastro, che è così definita:

P^ext=dL/dt=F^extds/dt=F^extv

essendo dL=F^extds il lavoro infinitesimo fatto dalla forza per un tratto ds (con v=ds/dt). Quindi poichè F^ext e v hanno stessa direzione e verso risulta per sostituzione (essendo F^ext=vdm/dt):

P^ext=dL/dt=v²dm/dt.

Si osservi però che il lavoro infinitesimo dL=v²dm fatto dalla forza esterna nel far girare il nastro, non si trasforma completamente nell'energia cinetica di un elemento di massa dm pari a dE_c=(1/2)dmv² ma esattamente la metà finisce in energia interna ∆E_int del sistema; infatti per la conservazione dell'energia deve risultare:

∆E_int=dL-dE_c=(1/2)dL

che viene presumibilmente spesa dalle forze di attrito del nastro per mettere in moto i granelli di sabbia.**

Nota: solo quando m=costante tutto il lavoro L compiuto su un sistema meccanico si traduce in una variazione della sua energia cinetica risultando L=∆E_c (vedi il post "Il Teorema della 'Vis Viva'").

(*) Ricordiamo che vale la seguente relazione: v_e=v_c-v dove v_c è la velocità del combustibile espulso dal razzo rispetto al sistema inerziale prescelto.

(**) Si osservi che "la spiegazione quantistica dell'attrito ne lega le cause all'interazione elettrostatica attrattiva tra le molecole delle superfici di contatto" (vedi Wikipedia); perciò il sistema considerato (sabbia+nastro) non è esclusivamente di tipo meccanico.

Condensatore e Induttore: concentratori di energia!

Come è noto un circuito elettrico è il luogo fisico dove si manifestano fenomeni di natura elettromagnetica; in particolare "un circuito elettrico è l'interconnessione di elementi elettrici in un percorso chiuso in modo che la corrente possa fluire con continuità" (vedi Wikipedia).
Nota: ricordiamo che la corrente I(t) è definita come la quantità di carica dQ che attraversa la sezione di un conduttore nel tempo dt: I(t)=dQ(t)/dt.

Si osservi inoltre che un circuito elettrico "soddisfa con buona approssimazione il modello a parametri concentrati, secondo il quale è possibile assumere che tutti i fenomeni avvengono esclusivamente all'interno dei componenti elettronici e delle interconnessioni tra questi"*.

Vogliamo ora introdurre due noti componenti elettronici che, dal punto di vista matematico, possono essere definiti attraverso le relazioni che legano la tensione elettrica V(t) (misurata ai capi dei dispositivi) alla corrente I(t) (che circola in essi) e che, come vedremo di seguito, evidenziano una certa simmetria.

Si ha infatti per il dispositivo elettronico denominato condensatore:

I(t)=CdV(t)/dt

mentre per il dispositivo detto induttore risulta:

V(t)=LdI(t)/dt

dove C rappresenta la capacità mentre L definisce l'induttanza del componente (come descriveremo di seguito).

Analizziamo quindi queste due relazioni dal punto di vista del significato fisico descrivendo in che modo sono state ricavate; per semplicità supponiamo che i valori di I(t) e V(t) siano due funzioni derivabili del tempo e trascuriamo andamenti transitori ponendoci in condizione di regime.

Partiamo dalla prima relazione dove V(t) indica la tensione elettrica** (variabile) applicata alle due piastre del condensatore, che sono separate da un isolante, e su cui si accumula la carica elettrica (per i dettagli vedi Wikipedia); il campo elettrico all'interno del condensatore si forma proprio quando viene applicata una tensione V(t) in modo da separare le cariche elettriche presenti sulle piastre conduttrici (e che si mantiene costante grazie all'isolante posto tra esse fino alla scarica del condensatore).

Nota: all'esterno del condensatore il campo elettrico è praticamente nullo dato che le cariche presenti sulle due piastre ravvicinate sono uguali ed opposte.

Possiamo definire la capacità C del condensatore come il rapporto tra la carica Q(t) accumulata sulle piastre e la tensione elettrica V(t) applicata:

C=Q(t)/V(t).

Nota: in pratica C misura la predisposizione all'accumulo di carica del condensatore e dipende dalle sue caratteristiche fisiche e geometriche (vedi Wikipedia).

Perciò se riscriviamo Q(t)=CV(t) e calcoliamo la variazione della carica Q(t) rispetto al tempo otteniamo (secondo le regole di derivazione):

dQ(t)/dt=CdV(t)/dt+V(t)dC/dt

da cui, supponendo che la capacità C resti invariata (dC/dt=0) e ricordando che per definizione I(t)=dQ(t)/dt, si ottiene la relazione prima introdotta:

I(t)=CdV(t)/dt.

Nota: in realtà qui la corrente I(t) (detta di spostamento) non è dovuta ad un moto fisico di cariche tra le due piastre (che sono separate da un isolante) ma alla variazione del campo elettrico interno*** (vedi Wikipedia).

Passiamo ora alla seconda relazione relativa all'induttore, dove I(t) rappresenta la corrente elettrica (variabile) che scorre lungo un avvolgimento di materiale conduttivo (tipicamente rame), realizzato come un solenoide (vedi Wikipedia); poiché un conduttore percorso da corrente I(t) genera un campo magnetico B(t), all'interno del solenoide di sezione S avremo un flusso magnetico Φ_B(t)=B(t)/S (poiché B(t) è supposto uniforme).
Nota: se il solenoide è molto lungo rispetto al diametro delle spire, il campo magnetico è uniforme e paralleo all'asse delle spire ed è in pratica nullo all'esterno.

Ora, come abbiamo visto nel post "Una Legge 'indotta': Farday&Lenz", la variazione del flusso magnetico Φ_B(t) generato in un circuito chiuso come quello del solenoide, induce una forza elettromotrice V(t) nel circuito stesso:

V(t)=dΦ_B(t)/dt

che ricordiamo si oppone alla variazione del flusso.
Nota: consideriamo il valore positivo di V(t) poiché nel circuito essa rappresenta una forza contro-elettromotrice (perché si oppone alla variazione del flusso).

Definiamo quindi, in modo analogo al condensatore, l'induttanza L dell'induttore come il rapporto tra il flusso magnetico Φ_B(t) accumulato nell'induttore e la corrente I(t) che circola in esso:

L=Φ_B(t)/I(t).

Nota: L misura la predisposizione all'accumulo di flusso Φ_B(t) nell'induttore e dipende dalle sue caratteristiche fisiche e geometriche (vedi Wikipedia).

Quindi se riscriviamo Φ_B(t)=LI(t) e calcoliamo la variazione del flusso Φ_B(t) rispetto al tempo ricaviamo:

dΦ_B(t)/dt=LdI(t)/dt+I(t)dL/dt

da cui, supponendo che l'induttanza L resti invariata (dL/dt=0) e ricordando che V(t)=dΦ_B(t)/dt, si ottiene la relazione prima introdotta:

V(t)=LdI(t)/dt.

Nota: si ricordi che V(t) non rappresenta una differenza di potenziale ma una forza elettromotrice (detta anche tensione elettrica) indotta dalla variazione di corrente.

Possiamo infine calcolare l'energia immagazzinata dai due dispositivi.

Iniziamo col definire la potenza elettrica dei due componenti (vedi Wikipedia):
"In elettrotecnica la Potenza P(t) è il lavoro elettrico W(t) svolto su una carica elettrica da un campo elettrico nell'unità di tempo" cioè:

P(t)=dW(t)/dt=V(t)dQ(t)/dt=V(t)I(t).

Nota: per definizione di f.e.m. il lavoro elettrico elementare fatto su una carica infinitesima dQ è pari a dW(t)=V(t)dQ(t) (vedi il post "La Forza-elettro-motrice").

Perciò utilizzando le relazioni prima ricavate, nel caso del condensatore otteniamo il lavoro elementare nell'unità di tempo (essendo I(t)=dQ(t)/dt):

dW_C(t)/dt=V(t)I(t)=V(t)dQ(t)/dt

da cui segue (essendo C=Q(t)/V(t)):

dW_C(t)=(Q(t)/C)dQ(t)

ed integrando rispetto alla carica Q(t) che si accumula sulle piastre si ricava:

W_C(t)=(1/2)Q(t)²/C=(1/2)CV(t)²

che quindi dipende da C e dalla tensione elettrica al quadrato V(t)² applicata alle piastre del condensatore.

Mentre per quanto riguarda l'induttore avremo per il lavoro infinitesimo nell'unità di tempo (essendo V(t)=dΦ_B(t)/dt):

dW_L(t)/dt=V(t)I(t)=I(t)dΦ_B(t)/dt

da cui si ricava (essendo L=Φ_B(t)/I(t)):

dW_L(t)=(Φ_B(t)/L)dΦ_B(t)

ed integrando rispetto al flusso Φ_B(t) che si accumula nell'induttore segue:

W_L(t)=(1/2)Φ_B(t)²/L=(1/2)LI(t)²

che perciò dipende da L e dalla corrente al quadrato I(t)² che circola nell'induttore.

In definitiva possiamo affermare che i due dispositivi esaminati, quando vengono posti all'interno di un circuito elettrico ideale (che è appunto un modello a parametri concentrati), si comportano come due veri e propri concentratori di energia (elettrica e magnetica rispettivamente).

Nota: abbiamo considerato due dispositivi puri (capacitivi o induttivi ma non ibridi) e che non presentano dispersioni o inerzia al caricamento (cioè ideali e con resistenza nulla).

(*) In particolare risulta che "un sistema elettromagnetico costituito da dispositivi che soddisfino ragionevolmente l'ipotesi dei parametri concentrati può essere studiato trascurando la geometria del circuito [...] sostituendo le equazioni di Maxwell con le più semplici leggi di Kirchhoff" (vedi Wikipedia).
(Per approfondire vedi anche il post "Le 2 leggi di Kirchhoff")
(**) Per chiarire i concetti di forza elettromotrice (detta anche tensione elettrica) e potenziale elettrico (o differenza di potenziale poiché dipende solo dai punti del campo considerato) vedi il post "La Carica di prova e il Potenziale elettrico".
(***) In particolare la corrente di spostamento è data dall'integrale della variazione del campo elettrico E(t) che attraversa la superficie S tra le due piastre: .

Revisione Blog 2.0

Avviso ai miei 7 lettori! ;-)

Ho appena finito di revisionare tutti i post del blog correggendo imprecisioni o inesattezze, ma soprattutto aggiornando i link ai vari post in modo che quelli più vecchi siano collegati agli ultimi post inseriti.

Buon Significato Fisico a Tutti!

PS: siete sempre invitati a segnalarmi eventuali imprecisioni, scorrettezze o errori di stompa... :(
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La Carica di prova e il Potenziale elettrico

Come è noto una carica di prova, che chiameremo q, posta in un campo elettrico E è considerata tale solo se è "sufficientemente piccola da provocare una perturbazione trascurabile sull'eventuale distribuzione di carica che genera il campo" (vedi Wikipedia).

In effetti, come avevamo già visto nel post "Elettro e Magnetismo", possiamo così definire il campo elettrico stazionario:
"Il campo elettrico E(r) in un punto r è definito come il rapporto tra la forza elettrica F(r) generata dal campo su un oggetto carico e la carica q dell'oggetto stesso:

E(r)=lim_q-->0 F(r)/q ".

La carica di prova q viene fatta tendere a zero proprio per non perturbare il campo elettrico mentre il rapporto F(r)/q resta costante: ad esempio la forza generata da una carica Q su una carica di prova q è F(r)=kQq/r² dove k è la costante di Coulomb ed r la distanza tra le due cariche; perciò risulta E(r)=kQ/r² che è indipendente dalla carica q (vedi anche Wikipedia).

Passiamo ora alla definizione di potenziale elettrico V(r) che, proprio grazie alla carica di prova q, si riconduce a quella di energia potenziale elettrica U_e(r); quest'ultima è infatti così definita (vedi Wikipedia):
"L'energia potenziale elettrica U_e(r) posseduta da una carica elettrica puntiforme q nella posizione r in presenza di un campo elettrico E(r) è pari all'opposto del lavoro W(r) [cioè al lavoro compiuto dalla forza elettrostatica F(r)=qE(r) per portare q da una posizione di riferimento r₀, in cui la carica ha un'energia nota, alla posizione r]; più semplicemente in formule:

dove V(r) è, per definizione, il potenziale elettrico in r [o meglio la differenza di potenziale rispetto ad r₀] e ds è lo spostamento infinitesimo della carica"*.
Nota: per la definizione di energia potenziale vedi anche il post "Energia potenziale<=>Forza conservativa".

Quindi in definitiva il potenziale elettrico V(r) in un punto r del campo è definito come il rapporto tra l'energia potenziale elettrica U_e(r) e la carica di prova q:

V(r)=U_e(r)/q

ed è, come il campo elettrico, anch'esso indipendente dalla carica di prova q.
Nota: si veda Wikipedia per il calcolo esteso del potenziale elettrico nel caso di una o più cariche elettriche.

Tuttavia si deve osservare che nell'integrazione del lavoro infinitesimo dW=Fds abbiamo implicitamente supposto che dW sia un differenziale esatto (vedi il post "Un differenziale... esatto!") e quindi che l'integrale dipenda solo dagli estremi di integrazione e non dal percorso (ciò significa che lungo una linea chiusa l'integrale di dW è nullo).
Nota: quando ciò accade si dice che il campo di forze è conservativo (vedi anche il post "Campo conservativo=>irrotazionale!").

Se viceversa l'integrazione di Fds dipende dal tipo di percorso e non solo dagli estremi indicati (cioè il campo di forze non è conservativo), allora il lavoro W generato lungo una linea chiusa non è nullo (e quindi dW non è un differenziale esatto).

Ovviamente anche in questo caso possiamo definire (come già fatto nel post "La Forza-elettro-motrice") la quantità:

V=W/q 

dove W è ancora il lavoro compiuto sulla carica di prova, ma non è più definibile una funzione W(r) che dipenda esclusivamente dalla posizione r della carica (e quindi nemmeno l'energia potenziale sarà definibile come nel caso conservativo cioè: U_e(r)=-W(r)).
Nota: quando il differenziale del lavoro non è esatto lo indichiamo come δW=Fds (invece di dW); ad esempio nel post "Il Lavoro di Volume" abbiamo definito δW=-pdV che infatti non è un differenziale esatto.

In questi casi V non è più chiamato potenziale elettrico (proprio per indicare che una funzione potenziale non è definibile) ma indica, più in generale, la cosiddetta forza elettromotrice o in breve f.e.m.**.

Ciò accade, ad esempio, nel caso particolare della forza elettromotrice indotta lungo un circuito chiuso, poiché essa è dovuta al fenomeno fisico dell'induzione elettromagnetica e non ad una differenza di potenziale tra due punti del campo.

In questo caso, come abbiamo già visto nel post "Una Legge 'indotta': Faraday&Lenz" si ricordi che (vedi Wikipedia):
"La legge di Faraday afferma che la forza elettromotrice V indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico B è pari all'opposto della variazione del flusso magnetico Φ_B del campo attraverso l'area abbracciata dal circuito nell'unità di tempo: 

V=-dΦ_B/dt".

Quindi V non dipende solo dal punto del campo in cui viene calcolato il flusso magnetico Φ_B ma anche dalla variazione del flusso in quel punto rispetto al tempo***.

(*) Il motivo del segno meno, per cui il lavoro è pari all'opposto dell'energia potenziale, è che in questo modo ad un lavoro W corrisponde una variazione negativa -∆V=W/q del potenziale della carica.
(**) Con f.e.m. si intende anche la tensione elettrica E fra due punti di un circuito aperto come quella ai capi di un generatore elettrico sconnesso dal circuito (vedi il post "La Forza-elettro-motrice").
(***) Oltre al simbolo V, detto anche tensione elettrica, si indica più correttamente la forza-elettro-motrice con l'acronimo f.e.m. (oppure con il simbolo E); il simbolo V indica più frequentemente il potenziale elettrico o la differenza di potenziale (vedi sopra).

Il Motore Elettrico: ma come funziona?

Come funziona il motore elettrico a corrente continua è, a parole, presto detto (vedi Wikipedia):

"La corrente elettrica passa in un avvolgimento di spire che si trova nel rotore (la parte mobile). Questo avvolgimento, composto da fili di rame, crea un campo elettromagnetico al passaggio di corrente. Questo campo elettromagnetico è immerso in un altro campo magnetico creato dallo statore (l'insieme delle parti fisse), il quale è caratterizzato dalla presenza di una o più coppie polari (calamite, elettrocalamite, ecc.).

Il rotore inizia a girare in quanto il campo magnetico del rotore tende ad allinearsi a quello dello statore analogamente a quanto avviene per l'ago della bussola che si allinea col campo magnetico terrestre. Durante la rotazione il sistema costituito dalle spazzole e dal collettore commuta l'alimentazione elettrica degli avvolgimenti del rotore in modo che il campo magnetico dello statore e quello del rotore non raggiungano mai l'allineamento perfetto, in tal modo si ottiene la continuità della rotazione".

Data la descrizione generale del funzionamento del motore elettrico, traduciamo tutto questo in equazioni.

Introduciamo allo scopo due figure esplicative.

Nella prima figura (qui di seguito) è illustrato lo statore del motore elettrico (cioè i due magneti permanenti Nord e Sud) con all'interno l'avvolgimento delle spire del rotore (la parte mobile), entrambi visti in sezione:

Mentre nella seguente figura sono mostrati in dettaglio alcuni conduttori della spira del rotore di raggio r compresi nell'angolo dθ (cioè i fili di rame in neretto), con indicati diversi valori elettrici che descriveremo di seguito:

Nota: in figura con E abbiamo indicato la forza contro-elettromotrice indotta (contro perché si oppone alla rotazione del rotore); tuttavia nel testo che segue la indicheremo con V (per coerenza con le formule dei post citati nel testo) mentre con E indicheremo la forza elettromotrice della batteria.

Supponiamo per ipotesi una distribuzione uniforme dell'avvolgimento della spira e indichiamo con N il numero totale dei conduttori e quindi con

dn=(N/2π)dθ

il numero di conduttori compresi in dθ (con buona approssimazione).

Nota: integrando dn tra 0 e 2π si ottiene correttamente il numero totale N dei conduttori.

Mentre con B indichiamo il campo magnetico dello statore, diretto in senso radiale rispetto all'asse del rotore (come indicato nella prima figura) e assunto costante in modulo. Ciò significa che ogni conduttore, attraversato dalla corrente costante I e sottoposto al campo magnetico perpendicolare B, è soggetto ad una forza elementare dF (la forza di Lorentz)* tangente alla circonferenza del rotore (come indicato nella seconda figura).

Il modulo della forza elementare dF=Fdn esercitata su dn=(N/2π)dθ conduttori adiacenti (posti in serie) tutti di lunghezza L, è perciò:

dF=ILBdn=ILB(N/2π)dθ

essendo la forza di Lorentz F=qvB=ILB (poiché v_|_B) dove I=q/T=qv/L è la corrente costante delle cariche elettriche che circolano nei conduttori di lunghezza L a velocità v.

Quindi il momento della coppia infinitesima del rotore (cioè la forza dF per il braccio perpendicolare r) è:

dM=rdF=IB(N/2π)da

dove da=Lrdθ è l'area infinitesima (segnata in neretto nella seconda figura) attraversata dal campo magnetico B costante. 

Nota: integrando l'area infinitesima da tra 0 e 2π si ottiene correttamente l'area del cilindro A=2πrL del rotore.

Ricordando che il flusso magnetico infinitesimo è dΦ_B=Bda (essendo B costante) si ha infine:

dM=I(N/2π)dΦ_B

ed integrando su tutti i contributi si ha la coppia totale del motore elettrico:

M=(N/2π)Φ_BI=K_cI

che perciò risulta proporzionale alla corrente I essendo K_c=(N/2π)Φ_B la costante di coppia (che dipende dalla struttura del rotore).

Calcoliamo ora la forza contro-elettromotrice dV indotta nei dn conduttori adiacenti, che si oppone alla variazione dΦ_B/dt del flusso magnetico generando una caduta di tensione ai morsetti del motore** (come richiesto dalle leggi di Kirchhoff) e opponendosi quindi alla sua rotazione.
Nota: la variazione dΦ_B è dovuta alla rotazione del rotore i cui conduttori tagliano perpendicolarmente il campo costante B cioè: dΦ_B=Bda essendo da=Lrdθ l'area infinitesima variabile.

Ricordando che nel post "Una Legge 'indotta': Faraday&Lenz" abbiamo introdotto la forza elettromotrice V=-dΦ_B/dt (e quindi nel nostro caso risulta V=-NdΦ_B/dt avendo moltiplicato per tutti gli N conduttori), allora per i dn conduttori adiacenti risulta:

dV=-(dΦ_B/dt)dn=-(N/2π)wdΦ_B

essendo dn=(N/2π)dθ e dn/dt=(N/2π)dθ/dt=(N/2π)w dove w=dθ/dt è la velocità angolare del rotore***.

Nota: se definiamo L_r=Φ_B/I come l'induttanza (costante) del rotore allora V=dΦ_B/dt=L_rdI/dt (forza contro-elettromotrice con segno "+").

Perciò la forza contro-elettromotrice complessiva V (cioè con segno positivo) ai morsetti del motore è (integrando su tutti i contributi):

V=(N/2π)Φ_Bw=K_ew

che quindi risulta proporzionale alla velocità angolare w essendo K_e=(N/2π)Φ_B la costante di forza elettromotrice (che dipende dalla struttura del motore).

Nota: risulta K_e=K_c dato che K_e e K_c sono strutturalmente identiche.

Si osservi infine come la potenza sviluppata dal motore elettrico e definita come P=VI risulti uguale (in assenza di dispersioni) a quella meccanica:

P=VI=(K_ew)(M/K_c)=wM

come già avevamo ricavato nel post "Potenza e Coppia in... bicicletta!".
Nota: per definizione di f.e.m. (vedi il post "La Forza-elettro-motrice") il lavoro elettrico dW fatto su una carica infinitesima dq è pari a dW=Vdq quindi risulta: P=dW/dt=Vdq/dt=VI essendo I=dq/dt la corrente.

Vediamo infine il significato fisico del motore elettrico: poiché V è legata alla velocità angolare w del motore (e quindi alla velocità della ruota motrice v=wr) mentre I è correlata alla coppia M espressa dal motore, quest'ultimo trasforma l'energia elettrica completamente in energia meccanica (in assenza di dispersioni) come prova la relazione P=VI=wM.

(*) Secondo la forza di Lorentz una carica elettrica q in moto con velocità v in presenza di un campo magnetico B subisce una forza F=qvxB diretta secondo la regola della mano destra.
(**) L'equazione che descrive la dinamica della corrente I è data dalla relazione: E=R_sI+L_sdI/dt+V dove R_s e L_s rappresentano rispettivamente la resistenza e l'induttanza delle spire, mentre V=L_rdI/dt è la forza contro-elettromotrice misurata ai morsetti del motore (L_r è l'induttanza del rotore) ed E la forza elettromotrice della batteria.

(***) Possiamo anche ricavare (essendo dΦ_B=Bda e da/dt=Lrdθ/dt=Lv):

dV=(dΦ_B/dt)dn=(N/2π)vBLdθ.
Si osservi che tale relazione esprime la legge del flusso tagliato: un conduttore rettilineo L di un circuito chiuso, in moto con velocità v rispetto ad un campo magnetico uniforme B, genera una forza contro-elettromotrice V=(vxB)L che si oppone alla variazione del flusso (nel nostro caso v_|_B e integrando dV tra 0 e 2π si ha V=NvBL per tutti gli N conduttori).