L'equazione del Razzo!

È noto che "la terza legge della dinamica formulata da Isaac Newton nel 1687 è il principio fondamentale che permette di descrivere il movimento di un razzo a reazione poiché essa afferma che: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria" (vedi Wikipedia).

Nota: sulla terza legge di Newton vedi il post "Il Principio di Azione<=>Reazione".

Inoltre è utile ricordare, prima di derivare l'equazione dinamica del razzo, che in assenza di forze esterne "questo principio stabilisce che in un sistema di particelle la quantità di moto totale P rimane costante, ovvero la sua derivata nel tempo è nulla: dP/dt=0".

Proviamo innanzitutto a dimostrare quest'ultima affermazione:
"Si supponga di avere un sistema costituito da un numero N di punti materiali di massa m_i e velocità v_i. La quantità di moto totale del sistema è data da

P=m₁v₁+m₂v₂+...+m_Nv_N.

Ora se si deriva P rispetto al tempo, supponendo che la massa dei singoli punti sia costante, si trova:

dP/dt=m₁dv₁/dt+m₂dv₂/dt+...+m_Ndv_N/dt=F^ext+F^int=0.

Infatti risulta rispettivamente:

F^ext=0

poiché la risultante delle forze esterne è nulla per ipotesi e inoltre:

F^int=∑_k≠j(F_kj+F_jk)=0

essendo la somma delle forze interne nulla per il terzo principio della dinamica, poiché un corpo k che esercita una forza F_kj sul corpo j è anch'esso sottoposto ad una forza F_jk uguale di modulo e direzione ma di verso opposto" (vedi Wikipedia).
Nota: abbiamo posto F=dP/dt=F^ext+F^int poiché la variazione della quantità di moto di un sistema di particelle è dovuta alla risultante di tutte le forze applicate su di esso (si generalizza così la seconda legge di Newton).

Si conclude perciò che, per il terzo principio della dinamica (da cui segue F^int=0), la quantità di moto totale del sistema deve restare costante (se siamo in assenza di forze esterne) risultando dP/dt=0 (cvd).
Nota: è chiaro che se le forze esterne non sono nulle risulta, per un sistema qualsiasi di particelle: F^ext=dP/dt.

Ora, come applicazione del principio di azione e reazione, supponiamo di avere un razzo di massa totale m (che può essere considerato come un sistema rigido di particelle + il suo carburante variabile) che si muove all'istante t con una velocità v e quindi con una quantità di moto:

 p(t)=mv

dal quale viene poi emessa (all'istante t+dt) una quantità di massa dm (cioè una particella infinitesima di carburante sotto forma di gas)* ad una velocità v_c (sempre rispetto al sistema inerziale prescelto).

Allora il razzo, dopo l'espulsione, varia la sua velocità (proprio per reazione all'azione del gas espulso) di una quantità dv acquisendo cioè una velocità:

v'=v+dv.

Perciò al tempo t+dt la quantità di moto totale è (rispettivamente del razzo più quella della massa dm espulsa):

 p'(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dmv_c

da cui segue che nel tempo dt la variazione di quantità di moto totale del sistema è 

dP=p'(t+dt)-p(t)=(m-dm)(v+dv)+dmv_c-mv=mdv+(v_c-v)dm

avendo trascurato il prodotto dmdv (che è un infinitesimo di ordine superiore).

Dobbiamo però osservare che essendo m(t+dt)<m(t) (poiché la massa del razzo diminuisce col tempo) segue che dm=m(t+dt)-m(t)<0 è una quantità di massa negativa e quindi è corretto scrivere (cambiando segno a dm): 

dP=mdv-(v_c-v)dm.

Perciò otteniamo, in presenza di forze esterne F^ext applicate al sistema** (come la gravità, la resistenza dell'aria, etc.), l'equazione dinamica del razzo:

 F^ext=dP/dt=mdv/dt-v_edm/dt

dove v_e=v_c-v rappresenta la velocità costante di espulsione del carburante (sotto forma di gas) rispetto al razzo.
Nota: la velocità di espulsione v_e è un parametro caratteristico del razzo ed è supposta costante.

Quindi se consideriamo solo la forza di gravità (trascurando l'attrito dell'aria e supponendo che l'accelerazione di gravità g sia costante) avremo: 

F^ext=-mg 

dove il segno meno indica che la forza di gravità si oppone al moto verticale del razzo.

Se perciò consideriamo il moto verticale del razzo l'equazione differenziale diventa (posto F^ext=-mg e moltiplicando per dt/m l'equazione prima ricavata):

-gdt=dv+v_e(dm/m)

dove si è tenuto conto che il vettore v_e ha segno opposto rispetto a dv.
Integrando dal tempo iniziale t₀ fino a t (e quindi integrando i termini del secondo membro, rispettivamente, dalla velocità iniziale v₀ a quella finale v(t) e dalla massa iniziale m₀ a quella residua m(t)) si ottiene la velocità del razzo:

v(t)=v₀+v_eln(m₀/m(t))-gt.

Ciò significa che la velocità del razzo v(t) dipende da quella dei gas espulsi v_e e dalla massa m(t) di combustibile residuo al tempo t; mentre l'accelerazione di gravità g si oppone ad essa.

Infine, per chiarire meglio il significato fisico dell'equazione dinamica del razzo, osserviamo che per un sistema di N particelle (nel nostro caso quello complessivo del razzo+combustibile dove la massa totale resta invariata) possiamo definire la quantità di moto totale ad un certo istante come:

P=m₁v₁+m₂v₂+...+m_Nv_N=mv_cm

dove m=m₁+m₂+...+m_N è la massa totale mentre

v_cm=dr_cm/dt

è la velocità del centro di massa del sistema definito come

r_cm=(m₁r₁+m₂r₂+...+m_Nr_N)/m.

Quindi l'accelerazione del centro di massa a_cm=dv_cm/dt è dovuta alla risultante delle forze esterne che agisce sul centro di massa (si ricordi che la risultante delle forze interne è nulla) infatti:

F^ext=mdv_cm/dt=m₁dv₁/dt+m₂dv₂/dt+...+m_Ndv_N/dt=F₁+F₂+...+F_N.

Nota: questa equazione è la prima equazione cardinale della dinamica che generalizza la seconda legge di Newton per un sistema a più particelle.

Perciò nel caso del nostro sistema (razzo+combustibile) avremo, quando il razzo è in orbita in assenza di gravità:

 F^ext=dP/dt=dmv_cm/dt=0.

Da ciò segue subito che la velocità del centro di massa del sistema deve restare costante nel sistema di riferimento prescelto (cioè risulta v_cm=costante essendo la massa complessiva m=costante); tuttavia il razzo può variare la sua quantità di moto poiché questa viene controbilanciata ad ogni istante dalla fuoriuscita di carburante (in modo che la quantità di moto totale risulti P=costante).

Più esattamente posto dP/dt=0 risulta dall'equazione del razzo prima ricavata***:

mdv=v_edm.

dove m è la massa complessiva e v_e la velocità del gas vista dal razzo.

(*) In pratica stiamo considerando un tasso di decremento costante della massa: dm/dt=costante; possiamo ad esempio porre m(t)=m₀-kt in modo che m(0)=m₀ e dm/dt=-k.

(**) È implicito che la forza esterna si intende applicata al centro di massa di tutto il sistema (cioè razzo+combustibile) come vedremo di seguito.
(***) Si osservi che l'equazione del moto del razzo: F^ext=mdv/dt-v_edm/dt è espressa in modo diverso dalla seconda legge di Newton per un sistema a massa variabile: F^ext=mdv_cm/dt+v_cmdm/dt poiché qui v_cm si riferisce al centro di massa del sistema (vedi il post "Un problema di massa variabile").