Analisi dimensionale: un esempio!

In questo post vedremo come a volte, ricorrendo ad una semplice analisi dimensionale, è possibile risolvere un problema fisico anche complesso; ad esempio quello di determinare la velocità critica alla quale il flusso di un fluido diventa turbolento.

Abbiamo già trattato un liquido con flusso laminare (vedi il post "La Legge di Stokes"): ricordiamo di nuovo che "in fluidodinamica si parla di flusso laminare o di regime laminare quando il moto del fluido avviene con scorrimento di strati infinitesimi gli uni sugli altri senza alcun tipo di rimescolamento di fluido, neanche su scala microscopica" (vedi Wikipedia).

In generale si può affermare che "il flusso di un fluido viscoso a basse velocità si può considerare laminare; tuttavia quando la velocità è sufficientemente elevata, il moto diventa disordinato e irregolare, cioè turbolento"*.
Si pone perciò il problema di determinare la velocità critica alla quale il moto di un fluido diventa turbolento; in pratica si vuole sapere da quali parametri dipende la velocità media degli strati di fluido (rispetto al tubo in cui scorre), alla quale il flusso laminare diventa irregolare.

Perciò la prima domanda che dobbiamo porci è: da cosa dipende la velocità critica v_c del fluido in esame?
Possiamo ragionevolmente supporre che essa dipenda dal coefficiente di viscosità µ, dalla densità ρ del fluido e dal diametro d del tubo; scriviamo quindi la seguente relazione di proporzionalità:

v_c÷µ^aρ^bd^c

dove il segno ÷ indica appunto una relazione di proporzionalità (diretta o inversa) che dipende dal segno degli esponenti a, b e c che ora ci proponiamo di ricavare.

Riscriviamo perciò l'equazione precedente in termini dimensionali:

 [v_c]=[µ^a][ρ^b][d^c]

e quindi, ricordando che le dimensioni di tutte le grandezze fisiche sono espresse dai relativi simboli (in questo caso M, L, e T che rappresentano rispettivamente massa, lunghezza e tempo), possiamo scrivere una relazione tra le dimensioni fondamentali (vedi Wikipedia) delle singole grandezze fisiche**:

(L/T)=(M/LT)^a(M/L³)^b(L)^c.

È facile risolvere questa equazione dimensionale e ricavare gli esponenti:

a=1, b=-1 e c=-1

e quindi, tornando all'equazione di proporzionalità prima introdotta, si ottiene per la velocità critica del fluido (a meno di una costante adimensionale):

v_c÷µ/ρd.

In effetti, per poter inserire il segno di uguale (cioè per ottenere una relazione che risulti esatta sperimentalmente) dobbiamo introdurre una costante adimensionale, indicata con R_e e detta numero di Reynolds:

v_c=R_eµ/ρd.

Si noti che il numero di Reynolds R_e=vρd/µ determina, a parità dei valori di µ, ρ e d, il flusso turbolento (oppure laminare o di transizione intermedia) di un determinato fluido; ciò significa che in generale v indica una velocità qualsiasi del fluido ma una volta determinata sperimentalmente la velocità critica v_c alla quale il flusso diventa turbolento (oppure laminare o di transizione) si può ottenere il valore corrispondente di R_e della conduttura in esame (vedi Wikipedia).

Si osservi infine che dalla relazione precedente risulta evidente che la viscosità µ del fluido determina la sua resistenza nel mantenere un flusso laminare (poiché fa aumentare la velocità critica del fluido alla quale diventa turbolento) ovviamente a parità di densità ρ del fluido e di diametro d del tubo.

Se in particolare fissiamo pressione e temperatura (e quindi la viscosità non varia se il fluido è newtoniano)*** e se la densità ρ è costante (fluido incomprimibile) allora il valore di R_e dipende solo dalla particolare geometria della conduttura: ad esempio, per condutture cilindriche risulta R_e≈4.000 per la velocità critica di passaggio al regime turbolento.

(*) Nel caso di flusso turbolento il moto è regolato dalle leggi del caos deterministico; ciò significa che "se fossimo in grado di conoscere esattamente tutto il campo di velocità del fluido in un dato istante e fossimo in grado di risolvere le equazioni di Navier-Stokes potremmo ottenere tutti i campi del moto futuro. Ma se conoscessimo il campo con una piccolissima imprecisione questa dopo un certo tempo renderebbe la soluzione trovata completamente differente da quella reale" (vedi Wikipedia).
(**) Si veda anche il post "Ma cosa significa Misurare?" dove abbiamo indicato le sette grandezze fondamentali del Sistema Internazionale: il sistema di unità di misura universalmente accettato dai fisici.
(***) "In un fluido newtoniano, la viscosità dipende, per definizione, solo dalla temperatura e dalla pressione (e dalla composizione chimica del fluido se esso non è una sostanza pura), non dalla forza applicata" (vedi Wikipedia).
(Per chiarimenti sulla viscosità si veda il post "La Legge di Stokes").

La Legge di Stokes

Per introdurre la legge di Stokes dobbiamo prima derivare il coefficiente di viscosità di un liquido; ricordiamo che con viscosità si intende "una grandezza fisica che quantifica la resistenza dei fluidi allo scorrimento, quindi la coesione interna del fluido" (vedi Wikipedia).

A tale scopo consideriamo un fluido che scorre tra due piani paralleli posti a distanza z e supponiamo che il piano superiore (di superficie S) sia posto in movimento costante v_z da una forza F applicata tangenzialmente al piano*; mentre il piano inferiore è in quiete rispetto al laboratorio.
Inoltre, a causa della viscosità tra il piano superiore e il fluido sottostante, anche il fluido a contatto verrà messo in moto trascinando a sua volta gli strati sottostanti (cioè la viscosità agisce anche tra gli strati stessi del fluido).

Immaginiamo quindi che il fluido sia costituito da strati elementari (paralleli ai due piani) ognuno di spessore infinitesimo ∂z e supponiamo che ogni strato elementare differisca di una velocità relativa v costante da quello del corrispondente strato sottostante (supponiamo cioè un flusso laminare).

Ora la deformazione ø dello strato di fluido considerato, dovuta alla forza applicata F (o meglio allo sforzo di taglio tangenziale definito come il rapporto F/S vedi oltre), sarà data per definizione dallo spostamento infinitesimo ∂x delle particelle del fluido dello strato considerato, rispetto allo spessore dello strato stesso e pari a ∂z:

ø=∂x/∂z

dove ∂x=v∂t è lo spostamento percorso nel tempo ∂t dalle particelle dello strato in esame con velocità relativa v rispetto a quello sottostante.
Nota: la definizione di deformazione ø=∂x/∂z dovuta allo sforzo di taglio è l'analogo di quella data per lo sforzo di trazione ε=δl/l che indica la deformazione lungo un campione di lunghezza l.

Inoltre la relazione che lega lo sforzo di taglio, definito come il rapporto F/S, alla variazione della deformazione ∂ø nel tempo ∂t è per definizione (fissata temperatura e pressione):

F/S=µ∂ø/∂t

dove µ è il ricercato coefficiente di viscosità del liquido.
Nota: possiamo anche scrivere (F/S)∂t=µ∂ø e integrando nel tempo si ottiene (F/S)t=µø cioè la deformazione ø nel tempo è proporzionale allo sforzo di taglio e inversamente proporzionale a µ: ø=(F/S)t/µ.

Infine avendo definito ø=∂x/∂z segue ∂ø/∂t=∂²x/∂z∂t=∂v/∂z e quindi si ha:

F/S=µdv/dz.

Nota: v(z)=∂x/∂t è costante rispetto a t ma varia rispetto alla distanza z tra i due piani; inoltre si ha per le derivate incrociate ∂²x/∂z∂t=∂²x/∂t∂z=∂v/∂z essendo dx(z,t)=(∂x/∂z)dz+(∂x/∂t)dt un differenziale esatto.

In definitiva avremo perciò, come definizione del coefficiente di viscosità (valido nel caso considerato per lo scorrimento tra due piani): 

µ=(F/S)(dz/dv)=(F/S)(z/v_z)

essendo per ipotesi dv/dz=v_z/z il gradiente di velocità lungo z (ricordiamo che v_z è la velocità del piano superiore mentre z è la distanza tra i due piani).
Nota: è necessario osservare però che "normalmente accanto a ogni misura di viscosità, occorre indicare in che condizioni e con quale strumento (inclusi marca e modello) è stata realizzata" (vedi Wikipedia).

Si noti che questa relazione è valida per un fluido newtoniano, un fluido cioè dove "la viscosità dipende, per definizione, solo dalla temperatura e dalla pressione (e dalla composizione chimica del fluido se esso non è una sostanza pura), ma non dalla forza applicata" (vedi Wikipedia).

Il significato fisico di µ per un fluido è in realtà da ricercare nelle forze di coesione intermolecolari; infatti all'aumentare della temperatura, e quindi dell'energia cinetica delle molecole, la viscosità diminuisce poiché si riduce l'effetto delle forze di coesione tra le molecole (accade viceversa nei gas).

A questo punto, come anticipato, abbiamo tutti gli elementi per introdurre la legge di Stokes che definisce una particolare forza di attrito dinamica** che indicheremo con F_d.

Ecco l'enunciato (vedi Wikipedia):

"La legge di Stokes del 1851 esprime la forza di attrito viscoso a cui è soggetta una sfera in moto rispetto ad un fluido, con un numero di Reynolds R_e minore di 10⁵ (cioè per un flusso laminare)***: 

F_d=-6πµrv

dove F_d è la forza dinamica di attrito viscoso, µ è il coefficiente di viscosità, r è il raggio della sfera e v è la velocità della sfera rispetto al fluido".
Nota: quando il numero di Reynolds è superiore a 10⁵ (quindi per un flusso turbolento) la legge di Stokes diviene quadratica, cioè è proporzionale al quadrato della velocità.

In particolare si osservi che il numero di Reynolds R_e prima citato è una costante adimensionale che "permette di valutare se il flusso di scorrimento di un fluido è in regime laminare (in corrispondenza del quale si hanno valori più bassi del numero di Reynolds) o turbolento (in corrispondenza del quale si hanno valori più elevati del parametro)" (vedi Wikipedia).
Nota: nel post "Analisi dimensionale: un esempio!" abbiamo derivato la relazione R_e=vρd/µ dove ρ è la densità del fluido, d il diametro del tubo in cui scorre e v è la velocità del fluido.

(*) Il moto è costante proprio perché la forza F (costante) che trascina il piano è controbilanciata (una volta raggiunto lo stato stazionario) dalla forza di attrito viscoso del fluido.
(**) La legge di Stokes è valida sperimentalmente solo per piccole sfere (al più di circa 2 millimetri) fatte cadere in recipienti relativamente grandi (come ad esempio cilindri di 6-7 cm di diametro e 25-30 cm di altezza).
[Per una applicazione della legge di Stokes vedi il post "Il Moto Browniano"]
(***) Coerentemente abbiamo supposto un flusso laminare anche nella derivazione del coefficiente di viscosità µ (vedi sopra).

La Dilatazione relativa del Tempo

Come definizione generale possiamo affermare che:
"Il tempo è la dimensione nella quale si concepisce e si misura il trascorrere degli eventi" (vedi Wikipedia).
Ma dovremmo aggiungere subito che:
"L'unico modo convincente di rispondere alla domanda che cos'è il tempo è forse quello operativo, dal punto di vista strettamente fisico-sperimentale: il tempo è ciò che si misura con degli strumenti adatti" detti orologi*.

Come strumento di misura del tempo possiamo utilizzare un orologio a luce ideale** costituito da due specchi piani e paralleli che chiameremo A e B (posti rispettivamente sul pavimento e sul soffitto del nostro laboratorio) sui quali si riflette perpendicolarmente un raggio di luce.

L'unità di misura del tempo ∆t del nostro orologio ideale sarà data, per definizione, dalla distanza 2AB (cioè quella di andata e ritorno del raggio di luce)*** divisa per la velocità della luce:

∆t=2AB/c.

Nota: qui puoi vedere una semplice illustrazione dell'orologio a luce.

Ma vediamo ora come viene valutato l'intervallo di tempo ∆t' dell'orologio a luce da un osservatore inerziale che si muove orizzontalmente a velocità -v lungo l'asse X, rispetto all'osservatore in quiete con l'orologio: ∆t' in teoria potrebbe essere diverso da ∆t.
Nota: si preferisce non mettere in moto l'orologio con velocità v (magari alterandolo), si considera invece un osservatore in moto -v che misura l'intervallo ∆t' col proprio orologio (ma il risultato non cambia).

In questo caso l'osservatore in moto osserverà che il raggio di luce si muove da A a B e poi torna ancora in A (impiegando un tempo ∆t') mentre gli specchi si spostano di una distanza pari a v∆t' lungo X rispetto a lui.
Quindi il raggio di luce percorrerà, per due volte, l'ipotenusa (di lunghezza c∆t'/2) di un triangolo rettangolo di base v∆t'/2 e altezza AB.

Se per ipotesi la velocità del raggio di luce dell'orologio visto dall'osservatore in moto è sempre pari a c, risulterà per il teorema di Pitagora:

(c∆t')²=(2AB)²+(v∆t')²

ed essendo per l'osservatore in quiete 2AB=c∆t (vedi sopra), segue

∆t'=∆t/(1-v²/c²)^1/2.

Nota: abbiamo assunto per motivi di simmetria che la distanza AB, perpendicolare al moto, sia la stessa misurata in entrambi i riferimenti (vedi il post "La Contrazione relativa delle Lunghezze"). 

Il significato fisico del nostro esperimento è il seguente:
l'intervallo di tempo ∆t' misurato dall'osservatore in moto appare maggiore rispetto all'intervallo temporale ∆t dell'orologio misurato in quiete.
Nota: ∆t si definisce tempo proprio poiché è quello che viene misurato dall'orologio in quiete rispetto all'osservatore (questa osservazione sarà determinante nel post "La Contrazione relativa delle Lunghezze").

Si osservi che questo risultato è dovuto a due precise ipotesi:
1) la velocità della luce c è la stessa per entrambi gli orologi, in quiete o in moto, e quindi per entrambi gli osservatori inerziali;
2) le leggi della fisica sono le stesse per tutti i sistemi inerziali, perciò l'intervallo temporale è indipendente dallo strumento utilizzato.
Nota: se la teoria della relatività è vera, qualsiasi orologio di un sistema inerziale deve segnare lo stesso tempo altrimenti, grazie allo sfasamento temporale, potremmo determinare il moto assoluto di quel riferimento.

Come è noto, da queste due ipotesi possiamo derivare le Trasformazioni di Lorentz (che ci permettono di calcolare le coordinate spazio-tempo di un dato fenomeno per qualsiasi sistema di riferimento inerziale) da cui si può ricavare la relazione relativistica tra gli intervalli temporali prima ottenuta.

(*) Secondo Wikipedia "una analisi microscopica del problema mostra come la definizione di orologio sia adatta solo a una trattazione macroscopica del problema e non consenta di formulare una definizione corretta per le equazioni del moto di particelle descritte dalla meccanica quantistica".
(**) Consideriamo qui un orologio ideale a moto perpetuo; in realtà ogni volta che il raggio di luce viene riflesso questo perde energia riscaldando le pareti degli specchi oppure disperdendo fotoni nel rimbalzo (tuttavia ciò non è significativo ai fini della nostra misura del tempo).
(***) È corretto considerare un percorso di andata e ritorno: la velocità della luce viene misurata su un percorso di andata e ritorno proprio per evitare eventuali asincronie di orologi in quiete posti a distanza (che potrebbero compromettere la misura in un percorso di solo andata).
(Il postulato di relatività assume inoltre che la velocità della luce così misurata sia la stessa in tutte le direzioni e per tutti gli osservatori inerziali).

L'Equazione della Funzione d'Onda

Abbiamo già mostrato nel post "L'ipotesi di de Broglie: L=h/p" come si possa associare ad una qualsiasi particella la fase di un'onda periodica:

S=kx±wt

dove k=2π/L e w=2π/T (essendo L e T la lunghezza e il periodo dell'onda).
In particolare si è visto che per una particella di energia E e quantità di moto p sono per ipotesi valide le due relazioni:

T=h/E     e     L=h/p

dove h è la costante di Planck.

Quindi se consideriamo una generica funzione d'onda armonica di ampiezza A e fase S=kx-wt che si propaga lungo l'asse X:

F(x,t)=Ae^i(kx-wt)

allora potremo per ipotesi associare* questa funzione d'onda ad una particella di energia E e quantità di moto p attraverso la relazione:

ψ(x,t)=Ae^{2πi(px-Et)/h}

avendo sostituito i valori di k=2πp/h e w=2πE/h nella relazione precedente.
Nota: il significato fisico di ψ(x,t) verrà trattato nel post "La Funzione d'Onda (quantistica)".

A questo punto è utile chiedersi se esiste una equazione dinamica**, che possa cioè descrivere il moto di una particella libera, di cui la funzione d'onda ψ(x,t) è soluzione; sarà poi possibile generalizzare tale equazione anche in presenza di campi di forze esterni allo scopo di derivare dei risultati che possano essere verificati sperimentalmente.

Vediamo quindi se è possibile una derivazione teorica dell'equazione d'onda (che ricordiamo è stata introdotta come ipotesi teorica dal fisico austriaco Erwin Schrödinger nel 1926) a partire proprio dalla funzione d'onda ψ(x,t).

Come prima cosa si osservi che valgono queste due relazioni di derivazione parziale di ψ(x,t):

∂ψ(x,t)/∂t=-i(2πE/h)ψ(x,t)     e     ∂²ψ(x,t)/∂x²=-(2πp/h)²ψ(x,t)

e che inoltre vale la seguente relazione (non relativistica) per l'energia cinetica di una particella di massa m e quantità di moto p=mv:

E=(1/2)mv²=p²/2m.

Ora se moltiplichiamo per ψ(x,t) entrambi i membri dell'equazione precedente si ottiene:

ψ(x,t)E=ψ(x,t)(p²/2m)

da cui ricaviamo infine (sostituendo le espressioni delle derivate parziali di ψ(x,t) prima ricavate):

(ih/2π)∂ψ(x,t)/∂t=-(h/2π)²(1/2m)∂²ψ(x,t)/∂x².

L'equazione così ottenuta è in effetti identica a quella proposta per la prima volta da Schrödinger per una particella libera.

Inoltre nel caso la particella sia soggetta ad un potenziale V(x,t) l'energia totale diventa E_tot=p²/2m+V e l'equazione d'onda assume (con le stesse ipotesi di prima) la sua forma più generale (vedi Wikipedia):

(ih/2π)∂ψ(x,t)/∂t=-(h/2π)²(1/2m)∂²ψ(x,t)/∂x²+V(x,t)ψ(x,t) 

dove per semplicità abbiamo considerato la sola dimensione X.

Tuttavia è bene sottolineare, nonostante la particolare derivazione qui mostrata, che l'equazione di Schrödinger non è in realtà ottenibile da qualche principio fisico già noto in precedenza; ma è un'equazione da assumere come ipotesi a priori il cui significato fisico è pertanto quello di una ipotesi di lavoro empirica** da verificare cioè sperimentalmente, come in effetti è già stato fatto in diversi esperimenti di laboratorio (in ambito non relativistico).

(*) Se consideriamo un'onda singola, non solo la particella non è localizzata, ma la velocità di fase V=w/k è priva di significato fisico poiché in questo caso risulta: V=E/p=c²/v>c essendo w=2πE/h e k=2πp/h (vedi sopra).
Perciò ad ogni particella dobbiamo invece associare un pacchetto d'onde (sovrapponiamo cioè un infinito numero di onde a quella fondamentale): in questo caso possiamo definire un'onda localizzata con velocità di gruppo V_g=dw/dk che rappresenta la velocità della particella (risulta infatti V_g=dE/dp=v con E=c(m₀²c²+p²)^1/2) (vedi Wikipedia).
D'altra parte si osservi però che, risultando V_g≠V, l'onda è dispersiva (vedi il post "Velocità di Fase e di Gruppo!") e non può rappresentare fisicamente una particella ben definita (che non cambia cioè forma mentre è in moto).
(**) La situazione è del tutto analoga a quella della seconda Legge di Newton; infatti la nota equazione dinamica F(r(t))=md²r(t)/dt² descrive per ipotesi il moto di un corpo di massa m sottoposto ad una forza F(r(t)) la cui soluzione r(t) permette di stabilire la posizione della particella ad ogni istante (fissato lo stato inziale r(0) al tempo t=0).

L'urto Elastico o Anelastico

Per poter trattare gli urti tra due corpi dal punto di vista meccanico in un sistema isolato (che come vedremo possono essere di tipo elastico o anelastico), è necessario introdurre il principio di conservazione della quantità di moto (vedi Wikipedia).

È nota la relazione di Newton che lega la forza F che agisce su un corpo di massa m e la variazione della quantità di moto p=mv che subisce il corpo:

F=dp/dt.

Sappiamo anche che questa relazione è generalizzabile ad un sistema di N punti materiali, dove F rappresenta la risultante delle forze interne F_int più quella delle forze esterne F_ext che agiscono sui vari corpi e P è la quantità di moto complessiva (cioè la somma delle singole quantità di moto):

F=dP/dt=F_int+F_ext.

Nota: per chiarimenti su questa relazione vedi anche il post "L'equazione del Razzo!".

Ora per un sistema isolato risulta per definizione F_ext=0 ma anche per la risultante delle forze interne si ha F_int=0; infatti (come abbiamo visto nel post "Il Principio di Azione<=>Reazione!") un corpo che esercita una forza F₁₂ su un altro corpo, è soggetto a sua volta ad una forza F₂₁ uguale in modulo e direzione ma di verso opposto*. Segue perciò che:

dP/dt=0

cioè la quantità di moto in un sistema isolato è costante nel tempo.

Vediamo quindi le due diverse definizioni di urto in un sistema isolato** (secondo Wikipedia):
-> Urto elastico: "In meccanica classica un urto elastico è un urto durante il quale si conserva l'energia meccanica totale del sistema (cioè l'energia cinetica+potenziale), ed in particolare l'energia cinetica" (poiché di solito l'energia potenziale, come ad esempio quella gravitazionale, è trascurabile);
-> Urto anelastico: "L'urto anelastico è l'urto in cui l'energia meccanica totale non si conserva. Nel caso poi sia anelastico totale, i corpi, dopo la collisione, si uniscono e possono essere considerati come un unico corpo" (cioè l'energia meccanica si trasforma, almeno in parte, mentre quella totale si conserva - vedi l'esempio sotto).

Perciò in generale, per risolvere il problema cinematico di corpi che si urtano in un sistema isolato, dovremo fare le seguenti considerazioni:
-> Urto elastico: la quantità di moto si conserva (come abbiamo mostrato sopra per un sistema isolato) e anche l'energia cinetica, per definizione (trascurando quella potenziale).
Tuttavia le due leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto, utili per determinare il moto dopo l'urto, sono sufficienti solo in determinati casi***; dobbiamo spesso conoscere altri dati dell'esperimento (come per esempio l'angolo di deviazione dei corpi dopo l'urto) oppure sfruttare la simmetria del sistema per risolvere il problema.
-> Urto anelastico: anche in questo caso la quantità di moto si conserva ma non l'energia cinetica (trascuriamo quella potenziale), per definizione.
Sappiamo che l'energia totale si conserva, tuttavia è spesso difficile valutare quali sono e come si trasformano esattamente le energie in gioco; ma se l'urto è completamente anelastico (cioè se i corpi si uniscono dopo l'urto), conoscendo le condizioni iniziali e ricordando che la velocità finale è l'unica incognita (in modulo e direzione), è possibile determinare il moto del sistema dopo l'urto.

Come esempio di urto completamente anelastico, consideriamo due corpi di massa m₁ e m₂ che si scontrano lungo lo stesso asse (con velocità v₁ e -v₂ rispettivamente); la quantità di moto come abbiamo detto si conserva:

m₁v₁-m₂v₂=(m₁+m₂)v_cm

(dove v_cm è la velocità del centro di massa dei due corpi uniti dopo l'urto); mentre la perdita di energia cinetica è data da

∆E_c=(1/2)(m₁+m₂)v²_cm-(1/2)(m₁v²₁+m₂v²₂)

da cui si ottiene (ricavando il valore di v_cm dalla precedente equazione):

∆E_c=-(1/2)µ(v₁+v₂)²

dove µ=m₁m₂/(m₁+m₂) è la cosiddetta massa ridotta del sistema.

Tale perdita di energia viene impiegata dal sistema per deformare e saldare insieme i due corpi al momento dell'urto (energia potenziale elastica) con conseguente sviluppo di calore (energia termica); ovviamente l'energia totale, anche se si trasforma, complessivamente si conserva.

(*) Nel caso relativistico, dove l'azione a distanza non può essere considerata istantanea, il principio di azione e reazione non è più valido; tuttavia la conservazione della quantità di moto vige ancora, a patto di tenere conto della quantità di moto associata al campo che trasporta l’interazione.
(**) Consideriamo qui solo il caso classico; nel caso relativistico (trascurando l'interazione tra i corpi e quindi la quantità di moto associata al campo) la conservazione della quantità di moto è ancora valida se utilizziamo la massa relativistica: p=mv dove m=m₀/(1-v²/c²)^1/2; quindi anche per la conservazione dell'energia dobbiamo usare la forma relativistica: E=mc² (vedi Wikipedia).
(A titolo di esempio si veda l'urto elastico relativistico dell'effetto Compton).
(***) È ovvio che il caso monodimensionale è il più facile da trattare; in due o tre dimensioni aumenta il numero delle incognite (poiché aumentano i gradi di libertà) e quindi le equazioni derivate dalla conservazione della quantità di moto e dell'energia sono sufficienti solo in casi particolari.

Un effetto Foto-elettrico!

Descriveremo in questo post l'effetto Fotoelettrico che, come è noto, "è il fenomeno fisico caratterizzato dall'emissione di elettroni da una superficie, solitamente metallica, quando questa viene colpita da una radiazione elettromagnetica avente una certa frequenza"* (vedi Wikipedia).

Mostriamo subito l'equazione che descrive questo fenomeno fisico, derivata nel 1905, e che valse il premio Nobel ad Albert Einstein nel 1921:

(1/2)mv²=h/T-W.

L'equazione è piuttosto semplice, in essa sono indicati i seguenti termini:
-> (1/2)mv² è l'energia cinetica di un elettrone di massa m (posto sulla superficie metallica) che fuoriesce dalla piastra a velocità v a causa della radiazione incidente;
-> h/T è l'energia di un fotone (cioè un quanto della radiazione elettromagnetica di frequenza 1/T) che collide su quel dato elettrone (trasferendogli per ipotesi tutta la sua energia)**;
-> W è il lavoro che si deve fare sull'elettrone per farlo uscire dalla piastra di metallo, per vincere cioè l'energia che lo tiene legato al metallo.

L'interpretazione di questa equazione, e quindi del fenomeno fisico che descrive, è la seguente: l'emissione di elettroni, in particolare la loro energia cinetica, dipende solo dalla frequenza 1/T della radiazione elettromagnetica incidente, una volta superata la soglia di emissione W.
Inoltre l'intensità dell'onda incidente*** (cioè l'energia che attraversa la superficie elementare nell'unità di tempo) è proporzionale al numero di fotoni e quindi al numero di elettroni emessi dalla piastra.

Questa in sintesi la spiegazione data da Einstein; ma per apprezzare meglio quale sia stata la sua straordinaria ipotesi (cioè il quanto di luce) ricordiamo cosa invece prevedeva la teoria classica:
-> poiché l'intensità di un'onda elettromagnetica dipende dal campo elettrico E ed essendo la forza F applicata all'elettrone q pari a F=qE, se aumenta l'intensità, deve aumentare anche l'energia cinetica degli elettroni: tuttavia l'effetto fotoelettrico, come abbiamo visto sopra, dipende solo dalla frequenza dell'onda elettromagnetica;
-> il fenomeno dovrebbe verificarsi per qualsiasi frequenza della radiazione, a patto che l'intensità di energia dell'onda superi la soglia minima di emissione W: in realtà l'esperimento mostra che è la frequenza 1/T dell'onda che deve superare la soglia minima affinché risulti h/T>W;
-> l'effetto fotoelettrico dovrebbe aver luogo anche a basse intensità, purché si dia abbastanza tempo agli elettroni di accumulare energia (essendo δL=Fds) in modo che possano liberarsi dalla superficie del metallo; tuttavia nessun ritardo di emissione è mai stato riscontrato: l'energia elettromagnetica non è distribuita uniformemente sul fronte d'onda ma è concentrata nei quanti di luce e si trasmette immediatamente.

Il significato fisico dell'effetto fotoelettrico è stato ben chiarito da Einstein, che nel suo articolo del 1905 con lucida comprensione del fenomeno scrisse:
"Quando un raggio di luce si espande partendo da un punto, l'energia non si distribuisce su volumi sempre più grandi, bensì rimane costituita da un numero finito di quanti di energia localizzati nello spazio, che si muovono senza suddividersi e che non possono essere assorbiti od emessi parzialmente".
Nota: la formula di Planck E=h/T si riferiva all'emissione o assorbimento delle pareti del corpo nero senza però postulare i quanti di luce.

Ma allora ciò significa che il modello ondulatorio della luce non è più valido?
Einstein così commenta nel suo articolo:
"La teoria ondulatoria della luce, che fa uso di funzioni spaziali continue, si è verificata ottima per quel che riguarda i fenomeni puramente ottici e sembra veramente insostituibile in questo campo. Tuttavia, bisogna tenere presente che le osservazioni ottiche si riferiscono a valori medi nel tempo e non a valori momentanei".

In effetti oggi sappiamo che l'intensità di un'onda e.m. è proporzionale al numero di fotoni che trasporta e che attraversano una superficie elementare nell'unità di tempo; in particolare, la probabilità di trovare un fotone (in un punto qualsiasi dello spazio) è proporzionale al quadrato dell'ampiezza del campo elettrico in quel determinato punto.
Nota: il concetto di probabilità quantistica è meglio descritto nel post "La Funzione d'Onda (quantistica)".

(*) Gli elettroni emessi dalla superficie metallica (catodo) vengono raccolti da una seconda superfice (anodo) e quindi, grazie alla differenza di potenziale che esiste tra le due piastre, si genera una corrente che permette di misurare il comportamento degli elettroni.
(**) In realtà, secondo l'effetto Compton (vedi il post "Effetto Compton: onda o particella?"), non è possibile che tutta l'energia del fotone si trasferisca ad un elettrone libero (per la conservazione della quantità di moto e dell'energia): il fotone nell'urto (per ipotesi elastico) viene deflesso, variando la sua energia, ma non viene mai assorbito completamente.
(***) L'intensità di un'onda elettromagnetica è definita classicamente dal vettore di Poynting S; ad esempio nel caso di una onda piana il suo modulo è proporzionale al quadrato del campo elettrico: S=E²/Z (dove Z=(µ/ε)^1/2 è l'impedenza caratteristica del materiale entro cui si propaga l'onda).

Il Principio di Azione<=>Reazione!

"Citando dal libro La fisica di Berkeley, le 3 leggi di Newton sono così formulate:

1. Prima legge di Newton. Un corpo non soggetto a forze esterne, o tale che la risultante delle forze esterne agenti su di esso è pari a zero, permane nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme (accelerazione nulla) cioè:
   
   a=0 quando F=0.
2. Seconda legge di Newton. La risultante delle forze applicate su un corpo è uguale al prodotto della massa del corpo per l'accelerazione:
   
   F=ma.
3. Terza legge di Newton. Quando due corpi interagiscono, la forza F₁₂ che il primo corpo (1) esercita sul secondo (2) è uguale e opposta alla forza F₂₁ che il secondo (2) esercita sul primo (1):
   
   F₁₂=-F₂₁".
   (Per tutti i dettagli vedi Wikipedia)

Si osservi innanzitutto che questi tre principi dinamici sono veri solo rispetto ad un sistema inerziale privo di accelerazioni (vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?"); per i sistemi non inerziali è invece necessario introdurre delle forze apparenti, almeno se vogliamo mantenere valida la prima legge di inerzia anche in questi riferimenti: in effetti tali forze sono dovute al moto accelerato dell'osservatore ma non esistono realmente (vedi il post "Una forza del tutto... apparente!").
Nota: come è noto queste leggi fisiche, essendo non relativistiche, sono valide per velocità molto minori di quelle della luce.

In particolare vogliamo ora soffermarci sulla terza Legge di Newton che, è bene sottolinearlo, non è derivabile dalle altre due leggi ed è ovviamente vera anche in presenza di forze esterne (per il principio di sovrapposizione delle forze).

Si osservi che solo l'esperienza può mostrare che le forze si presentano sempre in coppia e che l'eventuale esistenza di una singola forza che agisce tra due corpi è del tutto impossibile: infatti tutte le volte che un corpo esercita una forza su un altro corpo, quest'ultimo a sua volta agisce sul primo (in modo praticamente immediato)*; questa coppia di forze è sempre uguale in modulo, con la stessa direzione ma di verso opposto:

F₁₂=-F₂₁.

Come notevole esempio rammentiamo uno dei primi progetti di elicottero, meglio conosciuto come la vite aerea proposta nel 1480 circa da Leonardo da Vinci (vedi Wikipedia):

Proprio a causa del principio di azione e reazione questo aeromobile non avrebbe mai potuto decollare: infatti la rotazione della vite aerea, che sfrutta correttamente i principi dell'aerodinamica, presenta il problema della contro-rotazione della base, in cui è inserita l'asse dell'elica e sulla quale si deve far forza per farla girare: ad esempio, se esercitassimo la forza delle braccia sull'asse dell'elica e quella delle gambe sulla base, quest'ultima si metterebbe a ruotare per reazione appena si solleva da terra.
Nota: negli elicotteri moderni questo problema è stato risolto inserendo un'elica sulla coda in modo da bilanciare la contro-rotazione causata dal rotore principale.

È però fondamentale osservare che la coppia di forze di azione e reazione, non agisce mai sullo stesso corpo, per definizione.
Nel caso ad esempio di un libro appoggiato sopra ad un tavolo le due forze:
-> F_g: la forza di gravità della Terra che agisce sul libro;
-> F_p: la forza di contatto del piano del tavolo che agisce sul libro (impedendogli di cadere);
non rappresentano una coppia di forze di azione e reazione (nonostante risulti F_g=-F_p) poiché entrambe agiscono sullo stesso oggetto: il libro.
In realtà le coppie di forze che soddisfano la condizione F₁₂=-F₂₁ sono in questo caso due:
-> Forza gravitazionale della Terra che agisce sul libro <=> Forza gravitazionale del libro che agisce sulla Terra;
-> Forza di contatto del libro che agisce sul piano <=> Forza di contatto del piano che agisce sul libro.

Ma ora chiediamoci: cosa potrebbe accadere ad un sistema meccanico isolato, ad esempio composto da sole due masse, se la terza legge non fosse valida?
In questo caso l'azione F₁₂ (del primo corpo che agisce sul secondo) non sarebbe uguale ed opposta alla sua reazione F₂₁ e quindi la risultante F=F₁₂+F₂₁ (che agirebbe sul centro di massa del sistema)** sarebbe diversa da zero; ciò significherebbe che il sistema, in assenza di forze esterne, dovrebbe accelerare continuamente (essendo per la seconda legge di Newton a=F/m) senza alcuna spesa di energia!

Risulta perciò evidente che il significato fisico della terza legge di Newton è strettamente legato al principio di conservazione dell'energia.
Si può infatti dimostrare che il teorema della conservazione della quantità di moto P del centro di massa del sistema (e quindi dell'energia cinetica, essendo E=P²/2m) discende direttamente dal principio di azione e reazione (vedi il post "L'equazione del Razzo!").
Tuttavia non è vero il contrario: la conservazione della quantità di moto non implica necessariamente questo pincipio di azione e reazione (poiché occorre anche la conservazione del momento della quantità di moto)***.

(*) Si osservi che la legge di azione e reazione implica una azione a distanza istantanea; perciò nel contesto relativistico, dove la velocità della luce pone dei limiti assoluti, questo principio non è valido. Considereremo quindi il caso classico dove i tempi di trasmissione dell'interazione sono trascurabili (vedi anche le note del post "L'urto Elastico o Anelastico").
(**) Per un sistema di N particelle definiamo la quantità di moto totale come P=m₁v₁+m₂v₂+...+m_Nv_N=Mv_cm dove M è la massa totale e dove v_cm=dr_cm/dt è la velocità del centro di massa definito come r_cm=(m₁r₁+m₂r₂+...+m_Nr_N)/M.
Perciò l'accelerazione del centro di massa a_cm=dv_cm/dt è dovuta alla risultante delle forze esterne che agisce sul centro di massa (quelle interne si annullano a coppie):
F^ext=Ma_cm=m₁dv₁/dt+m₂dv₂/dt+...+m_Ndv_N/dt=F₁+F₂+...+F_N.
(***) Se consideriamo ad esempio le forze F₁₂ e F₂₁ che agiscono tra due corpi, dalla conservazione della quantità di moto (F^int=dP/dt=0) si ottiene la relazione F₁₂=-F₂₁ ma per garantire che le forze siano sulla stessa retta di azione è necessaria la conservazione del momento angolare (vedi il post "Una coppia di Forze").