Base locale e derivata covariante (seconda parte)

Nel precedente post abbiamo visto come si può costruire una base curvilinea locale a partire da una base cartesiana e viceversa, in particolare abbiamo ottenuto le seguenti relazioni tra le basi dei due riferimenti:

e_i=(∂x^j/∂xⁱ)e_j   ,   e_i=(∂x^j/∂xⁱ)e_j

dove e_i sono le basi del riferimento cartesiano (x¹,..., xⁿ) mentre e_j sono le basi del riferimento curvilineo (x¹,..., xⁿ) in uno spazio Rⁿ (con i,j=1,..., n).

Nota: come sempre le coordinate curvilinee sono definite in funzione di quelle cartesiane e viceversa, inoltre sono funzioni differenziabili.

È interessante osservare che possiamo riscrivere le relazioni sopra (raccogliendo componenti x basi) come:

e_i=(∂x^je_j)/∂xⁱ=∂r/∂xⁱ   ,   e_i=(∂x^je_j)/∂xⁱ=∂r/∂xⁱ

dove si è posto ∂r=∂x^je_j=∂x^je_j e quindi il differenziale dr del raggio vettore r si può scrivere, nei due riferimenti, come basi x componenti:

dr=(∂r/∂x^j)dx^j =e_jdx^j   oppure   dr=(∂r/∂x^j)dx^j=e_jdx^j.

Nota: dr è un vettore e quindi deve restare invariato nei due riferimenti.

Ricordiamo inoltre che in generale un vettore T si può definire in funzione delle sue basi e_i e delle sue componenti Tⁱ:

T=T¹e₁+...+Tⁿe_n=Tⁱe_i

dove abbiamo applicato la notazione di Einstein sugli indici i=1,..., n.

Abbiamo ricordato sopra che se cambiamo riferimento le basi cambiano come e_j=(∂xⁱ/∂x^j)e_i quindi se vogliamo che il vettore T=T^je_j resti invariato anche le sue componenti T^j dovranno trasformarsi (in modo inverso):

T^j=(∂x^j/∂xⁱ)Tⁱ

in modo cioè che nel nuovo riferimento il vettore T resti invariato:

T=T^je_j=(∂x^j/∂xⁱ)Tⁱ(∂xⁱ/∂x^j)e_i=Tⁱe_i=T

essendo (∂x^j/∂xⁱ)(∂xⁱ/∂x^j)=1.

Nota: dal differenziale dx^j=(∂x^j/∂xⁱ)dxⁱ segue dx^j/dx^j=(∂x^j/∂xⁱ)(∂xⁱ/∂x^j)=1.

Calcoliamo ora la derivata del vettore T=Tⁱe_i lungo una coordinata x^j qualsiasi, questa sarà definita (come derivata di una funzione prodotto):

∂T/∂x^j=∂(Tⁱe_i )/∂x^j=(∂Tⁱ/∂x^j)e_i+Tⁱ(∂e_i/∂x^j)

dove il termine ∂e_i/∂x^j tiene conto della possibile variazione delle basi e_i rispetto alle coordinate x^j: questa derivata è detta derivata covariante e in pratica estende il concetto usuale di derivata direzionale.
Nota: si dice derivata covariante perché preserva il carattere di invarianza rispetto alla trasformazione di coordinate (vedi il relativo post).

Si osservi che se le coordinate sono cartesiane, allora le basi non variano in funzione delle coordinate (cioè mantengono sempre stesso modulo e direzione in ogni punto e quindi ∂e_i/∂x^j=0); in tal caso la derivata si riduce alla classica derivata direzionale (calcolata cioè lungo l'asse coordinato x^j):

∂T/∂x^j=(∂Tⁱ/∂x^j)e_i

dove ricordiamo T è un vettore n-dimensionale (con i,j=1,..., n).

Tuttavia nel caso più generale di coordinate curvilinee il modulo e la direzione delle basi può variare da punto a punto e quindi il termine ∂e_i/∂x^j è generalmente diverso da zero*.

Vediamo quindi un esempio riprendendo le coordinate curve polari (r,θ) introdotte nel precedente post e le relative basi (e_r,e_θ) ottenute in funzione delle coordinate cartesiane (e_x,e_y):

e_r=cosθe_x+sinθe_y

e_θ=-rsinθe_x+rcosθe_y.

ricordando che il vettore T si esprime come (con i=r,θ):

T=Tⁱe_i=T^re_r+T^θe_θ.

In questo caso particolare i valori dei termini ∂e_i/∂x^j espressi in funzione di e_r e e_θ sono (con i,j=r,θ):

∂e_r/∂r=∂(cosθe_x+sinθe_y)/∂r=0
∂e_r/∂θ=-sinθe_x+cosθe_y=(1/r)e_θ
∂e_θ/∂r=-sinθe_x+cosθe_y=(1/r)e_θ
∂e_θ/∂θ=-rcosθe_x-rsinθe_y=-re_r

dove notiamo che ∂e_r/∂θ=∂e_θ/∂r e infatti in generale risulta:

∂e_i/∂x^j=∂e_j/∂xⁱ.

Nota: ciò accade in generale quando le derivate seconde incrociate sono uguali**, per le funzioni lisce questa condizione è sempre soddisfatta.

Perciò le derivate rispetto ad r e θ del vettore T sono (con i=r,θ):

∂T/∂r=∂(Tⁱe_i )/∂r=(∂Tⁱ/∂r)e_i+T^r(∂e_r/∂r)+T^θ(∂e_θ/∂r)
∂T/∂θ=∂(Tⁱe_i )/∂θ=(∂Tⁱ/∂θ)e_i+T^r(∂e_r/∂θ)+T^θ(∂e_θ/∂θ)

e quindi sostituendo i valori delle derivate delle basi ottenuti sopra:

∂T/∂r=(∂Tⁱ/∂r)e_i+(1/r)T^θe_θ
∂T/∂θ=(∂Tⁱ/∂θ)e_i+(1/r)T^re_θ-rT^θe_r.

Si osservi in particolare che se supponiamo che le componenti di T lungo r e θ non variano (cioè se ∂Tⁱ/∂r=0 e ∂Tⁱ/∂θ=0) si ottiene:

∂T/∂r=(1/r)T^θe_θ
∂T/∂θ=(1/r)T^re_θ-rT^θe_r

in questo caso si ha cioè il contributo dovuto alla sola variazione delle basi.
Nota: è evidente che il punto r=0 deve essere escluso, infatti qui le coordinate non sono invertibili come richiesto***.

Se infine vogliamo che T venga trasportato parallelamente rispetto alla superficie curva, dovremo annullare la derivata covariante ponendo:

∂T/∂r=0   e   ∂T/∂θ=0

cioè dovremo annullare i valori delle componenti delle derivate parziali ottenuti sopra, rispettivamente lungo e_r ed e_θ.

 

(*) Solitamente nella derivata covariante per indicare i termini (∂e_i/∂x^j) si usano i simboli di Christoffel del secondo tipo così definiti: Γ^k_ij=(∂e_i/∂x^j)e_k. Perciò ∂T/∂x^j=(∂Tⁱ/∂x^j)e_i+TⁱΓ^k_ije_k=(∂Tⁱ/∂x^j+T^kΓⁱ_kj)e_i (scambiando k con i).
(**) Dalle seguenti relazioni tra basi (vedi il precedente post):
e_r=(∂x/∂r)e_x+(∂y/∂r)e_y e e_θ=(∂x/∂θ)e_x+(∂y/∂θ)e_y si ottiene derivando

∂e_r/∂θ=(∂x/∂r∂θ)e_x+(∂y/∂r∂θ)e_y e e_θ/∂r=(∂x/∂θ∂r)e_x+(∂y/∂θ∂r)e_y
da cui si ha: ∂e_r/∂θ=e_θ/∂r se ∂x/∂r∂θ=∂x/∂θ∂r e ∂y/∂r∂θ=∂y/∂θ∂r (cvd).

(***) Condizione generale affinché le coordinate siano invertibili è che il determinante della matrice Jacobiana non si annulli.

[Una ottima esposizione di questi concetti si trova nella Playlist Video di Dermot Green - Queen's University Belfast]