Nel
precedente post abbiamo visto come si può costruire una base curvilinea
locale a partire da una base cartesiana e viceversa, in particolare
abbiamo ottenuto le seguenti relazioni tra le basi dei due riferimenti:
ej=(∂xi/∂xj)ei ; ei=(∂xj/∂xi)ej
dove ei sono le basi del riferimento cartesiano (x1,..., xn) mentre ej sono le basi del riferimento curvilineo (x1,..., xn) in uno spazio Rn (con i,j=1,..., n).
In questo caso particolare i valori dei termini ∂ei/∂xj sono (con i,j=r,θ):
Si osservi che se supponiamo che le componenti di T lungo r e θ non variano (cioè se ∂Ti/∂r=0 e ∂Ti/∂θ=0) si ottiene:
(*) Dalle seguenti relazioni tra basi (vedi il precedente post):
er=(∂x/∂r)ex+(∂y/∂r)ey e eθ=(∂x/∂θ)ex+(∂y/∂θ)ey si ottiene:
[Una ottima esposizione di questi concetti si trova nella Playlist Video di Dermot Green - Queen's University Belfast]
Nota:
come sempre le coordinate curvilinee sono definite in funzione di quelle
cartesiane e viceversa, inoltre sono funzioni differenziabili.
È interessante osservare che possiamo riscrivere le relazioni sopra (raccogliendo basi per componenti) come:
È interessante osservare che possiamo riscrivere le relazioni sopra (raccogliendo basi per componenti) come:
ei=(∂xjej)/∂xi=∂r/∂xi ; ei=(∂xjej)/∂xi=∂r/∂xi
dove si è posto ∂r=∂xjej=∂xjej e quindi il differenziale dr del raggio vettore r si può scrivere, nei due riferimenti, come basi per componenti:dr=(∂r/∂xi)dxi =eidxi oppure dr=(∂r/∂xi)dxi=eidxi.
Nota: dr è un vettore e quindi deve restare invariato nei due riferimenti.
Ricordiamo inoltre che in generale un vettore T si può definire in funzione delle sue basi ei e delle sue componenti Ti:
Ricordiamo inoltre che in generale un vettore T si può definire in funzione delle sue basi ei e delle sue componenti Ti:
T=T1e1+...+Tnen=Tiei
dove abbiamo applicato la notazione di Einstein sugli indici i=1,..., n.
Abbiamo visto che se cambiamo riferimento le basi si trasformano come ej=(∂xi/∂xj)ei quindi se vogliamo che il vettore T resti invariato anche le sue componenti Tj dovranno trasformarsi ma in modo inverso:
Abbiamo visto che se cambiamo riferimento le basi si trasformano come ej=(∂xi/∂xj)ei quindi se vogliamo che il vettore T resti invariato anche le sue componenti Tj dovranno trasformarsi ma in modo inverso:
Tj=(∂xj/∂xi)Ti
in modo cioè che nel nuovo riferimento il vettore
T=Tjej=(∂xj/∂xi)Ti(∂xi/∂xj)ei=Tiei=T
resti invariato.
Nota: dal differenziale dxj=(∂xj/∂xi)dxi segue dxj/dxj=(∂xj/∂xi)(∂xi/∂xj)=1.
Calcoliamo ora la derivata del vettore T=Tiei lungo una coordinata xj qualsiasi, questa sarà così definita:
Calcoliamo ora la derivata del vettore T=Tiei lungo una coordinata xj qualsiasi, questa sarà così definita:
∂T/∂xj=∂(Tiei )/∂xj=(∂Ti/∂xj)ei+Ti(∂ei/∂xj)
dove il termine ∂ei/∂xj tiene conto della possibile variazione delle basi ei rispetto alle coordinate xj: questa derivata è detta derivata covariante e in pratica estende il concetto usuale di derivata direzionale.
Si osservi che se le coordinate sono cartesiane, allora le basi non variano in funzione delle coordinate (cioè mantengono sempre stesso modulo e direzione in ogni punto e quindi ∂ei/∂xj=0); in tal caso la derivata si riduce alla classica derivata direzionale (calcolata cioè lungo un asse coordinato):
Si osservi che se le coordinate sono cartesiane, allora le basi non variano in funzione delle coordinate (cioè mantengono sempre stesso modulo e direzione in ogni punto e quindi ∂ei/∂xj=0); in tal caso la derivata si riduce alla classica derivata direzionale (calcolata cioè lungo un asse coordinato):
∂T/∂xj=(∂Ti/∂xj)ei
dove ricordiamo T è un vettore n-dimensionale (con i,j=1,..., n).
Tuttavia nel caso più generale di coordinate curvilinee il modulo e la direzione delle basi può variare da punto a punto e quindi il termine ∂ei/∂xj è generalmente diverso da zero.
Vediamo quindi un esempio riprendendo le coordinate curve polari (r,θ) introdotte nel precedente post e le relative basi (er,eθ) ottenute in funzione delle coordinate cartesiane (ex,ey):
Tuttavia nel caso più generale di coordinate curvilinee il modulo e la direzione delle basi può variare da punto a punto e quindi il termine ∂ei/∂xj è generalmente diverso da zero.
Vediamo quindi un esempio riprendendo le coordinate curve polari (r,θ) introdotte nel precedente post e le relative basi (er,eθ) ottenute in funzione delle coordinate cartesiane (ex,ey):
er=cosθex+sinθey
eθ=-rsinθex+rcosθey.
In questo caso particolare i valori dei termini ∂ei/∂xj sono (con i,j=r,θ):
∂er/∂r=∂(cosθex+sinθey)/∂r=0
∂er/∂θ=-sinθex+cosθey=(1/r)eθ
∂eθ/∂r=-sinθex+cosθey=(1/r)eθ
∂eθ/∂θ=-rcosθex-rsinθey=-rer
∂er/∂θ=-sinθex+cosθey=(1/r)eθ
∂eθ/∂r=-sinθex+cosθey=(1/r)eθ
∂eθ/∂θ=-rcosθex-rsinθey=-rer
dove notiamo che ∂er/∂θ=∂eθ/∂r e infatti in generale risulta: ∂ei/∂xj=∂ej/∂xi (se le derivate seconde incrociate sono uguali)*.
Nota: per le funzioni lisce questa condizione è sempre soddisfatta.
Perciò le derivate rispetto ad r e θ del vettore T sono (con i,j=r,θ):
Nota: per le funzioni lisce questa condizione è sempre soddisfatta.
Perciò le derivate rispetto ad r e θ del vettore T sono (con i,j=r,θ):
∂T/∂r=∂(Tiei )/∂r=(∂Ti/∂r)ei+Tr(∂er/∂r)+Tθ(∂eθ/∂r)
∂T/∂θ=∂(Tiei )/∂θ=(∂Ti/∂θ)ei+Tr(∂er/∂θ)+Tθ(∂eθ/∂θ)
∂T/∂θ=∂(Tiei )/∂θ=(∂Ti/∂θ)ei+Tr(∂er/∂θ)+Tθ(∂eθ/∂θ)
e quindi sostituendo i valori delle derivate delle basi ottenuti sopra:
∂T/∂r=(∂Ti/∂r)ei+(1/r)Tθeθ
∂T/∂θ=(∂Ti/∂θ)ei+(1/r)Treθ-rTθer.
∂T/∂θ=(∂Ti/∂θ)ei+(1/r)Treθ-rTθer.
Si osservi che se supponiamo che le componenti di T lungo r e θ non variano (cioè se ∂Ti/∂r=0 e ∂Ti/∂θ=0) si ottiene:
∂T/∂r=(1/r)Tθeθ
∂T/∂θ=(1/r)Treθ-rTθer
∂T/∂θ=(1/r)Treθ-rTθer
in questo caso si ha cioè il contributo dovuto alla sola variazione delle basi.
Nota: è evidente che il punto r=0 deve essere escluso, infatti qui le coordinate non sono invertibili come richiesto**.
Nota: è evidente che il punto r=0 deve essere escluso, infatti qui le coordinate non sono invertibili come richiesto**.
(*) Dalle seguenti relazioni tra basi (vedi il precedente post):
er=(∂x/∂r)ex+(∂y/∂r)ey e eθ=(∂x/∂θ)ex+(∂y/∂θ)ey si ottiene:
∂er/∂θ=(∂x/∂r∂θ)ex+(∂y/∂r∂θ)ey e eθ/∂r=(∂x/∂θ∂r)ex+(∂y/∂θ∂r)ey
da cui si ha ∂er/∂θ=eθ/∂r se ∂x/∂r∂θ=∂x/∂θ∂r e ∂y/∂r∂θ=∂y/∂θ∂r (cvd).
da cui si ha ∂er/∂θ=eθ/∂r se ∂x/∂r∂θ=∂x/∂θ∂r e ∂y/∂r∂θ=∂y/∂θ∂r (cvd).
(**) Condizione generale affinché le coordinate siano invertibili è che il determinante della matrice Jacobiana non si annulli.
[Una ottima esposizione di questi concetti si trova nella Playlist Video di Dermot Green - Queen's University Belfast]
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