Base locale e derivata covariante (seconda parte)

Nel precedente post abbiamo visto come si può costruire una base curvilinea locale a partire da una base cartesiana e viceversa, in particolare abbiamo ottenuto le seguenti relazioni tra le basi dei due riferimenti:

e_j=(∂xⁱ/∂x^j)e_i   ;   e_i=(∂x^j/∂xⁱ)e_j

dove e_i sono le basi del riferimento cartesiano (x¹,..., xⁿ) mentre e_j sono le basi del riferimento curvilineo (x¹,..., xⁿ) in uno spazio Rⁿ (con i,j=1,..., n).

Nota: come sempre le coordinate curvilinee sono definite in funzione di quelle cartesiane e viceversa, inoltre sono funzioni differenziabili.

È interessante osservare che possiamo riscrivere le relazioni sopra (raccogliendo basi per componenti) come:

e_i=(∂x^je_j)/∂xⁱ=∂r/∂xⁱ   ;   e_i=(∂x^je_j)/∂xⁱ=∂r/∂xⁱ

dove si è posto ∂r=∂x^je_j=∂x^je_j e quindi il differenziale dr del raggio vettore r si può scrivere, nei due riferimenti, come basi per componenti:

dr=(∂r/∂xⁱ)dxⁱ =e_idxⁱ   oppure   dr=(∂r/∂xⁱ)dxⁱ=e_idxⁱ.

Nota: dr è un vettore e quindi deve restare invariato nei due riferimenti.

Ricordiamo inoltre che in generale un vettore T si può definire in funzione delle sue basi e_i e delle sue componenti Tⁱ:

T=T¹e₁+...+Tⁿe_n=Tⁱe_i

dove abbiamo applicato la notazione di Einstein sugli indici i=1,..., n.

Abbiamo visto che se cambiamo riferimento le basi si trasformano come e_j=(∂xⁱ/∂x^j)e_i quindi se vogliamo che il vettore T resti invariato anche le sue componenti T^j dovranno trasformarsi ma in modo inverso:

T^j=(∂x^j/∂xⁱ)Tⁱ

in modo cioè che nel nuovo riferimento il vettore

T=T^je_j=(∂x^j/∂xⁱ)Tⁱ(∂xⁱ/∂x^j)e_i=Tⁱe_i=T

resti invariato.

Nota: dal differenziale dx^j=(∂x^j/∂xⁱ)dxⁱ segue dx^j/dx^j=(∂x^j/∂xⁱ)(∂xⁱ/∂x^j)=1.

Calcoliamo ora la derivata del vettore T=Tⁱe_i lungo una coordinata x^j qualsiasi, questa sarà così definita:

∂T/∂x^j=∂(Tⁱe_i )/∂x^j=(∂Tⁱ/∂x^j)e_i+Tⁱ(∂e_i/∂x^j)

dove il termine ∂e_i/∂x^j tiene conto della possibile variazione delle basi e_i rispetto alle coordinate x^j: questa derivata è detta derivata covariante e in pratica estende il concetto usuale di derivata direzionale.

Si osservi che se le coordinate sono cartesiane, allora le basi non variano in funzione delle coordinate (cioè mantengono sempre stesso modulo e direzione in ogni punto e quindi ∂e_i/∂x^j=0); in tal caso la derivata si riduce alla classica derivata direzionale (calcolata cioè lungo un asse coordinato):

∂T/∂x^j=(∂Tⁱ/∂x^j)e_i

dove ricordiamo T è un vettore n-dimensionale (con i,j=1,..., n).

Tuttavia nel caso più generale di coordinate curvilinee il modulo e la direzione delle basi può variare da punto a punto e quindi il termine ∂e_i/∂x^j è generalmente diverso da zero.

Vediamo quindi un esempio riprendendo le coordinate curve polari (r,θ) introdotte nel precedente post e le relative basi (e_r,e_θ) ottenute in funzione delle coordinate cartesiane (e_x,e_y):

e_r=cosθe_x+sinθe_y

e_θ=-rsinθe_x+rcosθe_y.

In questo caso particolare i valori dei termini ∂e_i/∂x^j sono (con i,j=r,θ):

∂e_r/∂r=∂(cosθe_x+sinθe_y)/∂r=0
∂e_r/∂θ=-sinθe_x+cosθe_y=(1/r)e_θ
∂e_θ/∂r=-sinθe_x+cosθe_y=(1/r)e_θ
∂e_θ/∂θ=-rcosθe_x-rsinθe_y=-re_r

dove notiamo che ∂e_r/∂θ=∂e_θ/∂r e infatti in generale risulta: ∂e_i/∂x^j=∂e_j/∂xⁱ (se le derivate seconde incrociate sono uguali)*.
Nota: per le funzioni lisce questa condizione è sempre soddisfatta.

Perciò le derivate rispetto ad r e θ del vettore T sono (con i,j=r,θ):

∂T/∂r=∂(Tⁱe_i )/∂r=(∂Tⁱ/∂r)e_i+T^r(∂e_r/∂r)+T^θ(∂e_θ/∂r)
∂T/∂θ=∂(Tⁱe_i )/∂θ=(∂Tⁱ/∂θ)e_i+T^r(∂e_r/∂θ)+T^θ(∂e_θ/∂θ)

e quindi sostituendo i valori delle derivate delle basi ottenuti sopra:

∂T/∂r=(∂Tⁱ/∂r)e_i+(1/r)T^θe_θ
∂T/∂θ=(∂Tⁱ/∂θ)e_i+(1/r)T^re_θ-rT^θe_r.

Si osservi che se supponiamo che le componenti di T lungo r e θ non variano (cioè se ∂Tⁱ/∂r=0 e ∂Tⁱ/∂θ=0) si ottiene:

∂T/∂r=(1/r)T^θe_θ
∂T/∂θ=(1/r)T^re_θ-rT^θe_r

in questo caso si ha cioè il contributo dovuto alla sola variazione delle basi.
Nota: è evidente che il punto r=0 deve essere escluso, infatti qui le coordinate non sono invertibili come richiesto**.

(*) Dalle seguenti relazioni tra basi (vedi il precedente post):
e_r=(∂x/∂r)e_x+(∂y/∂r)e_y e e_θ=(∂x/∂θ)e_x+(∂y/∂θ)e_y si ottiene:

∂e_r/∂θ=(∂x/∂r∂θ)e_x+(∂y/∂r∂θ)e_y e e_θ/∂r=(∂x/∂θ∂r)e_x+(∂y/∂θ∂r)e_y
da cui si ha ∂e_r/∂θ=e_θ/∂r se ∂x/∂r∂θ=∂x/∂θ∂r e ∂y/∂r∂θ=∂y/∂θ∂r (cvd).

(**) Condizione generale affinché le coordinate siano invertibili è che il determinante della matrice Jacobiana non si annulli.

[Una ottima esposizione di questi concetti si trova nella Playlist Video di Dermot Green - Queen's University Belfast]