Trasformazioni di basi, vettori e... co-vettori!

Come avevamo già osservato nel post "Cos'è il Vettore di Posizione?" la definizione di vettore non dipende dal sistema di coordinate prescelto e quindi, se vogliamo trasformare le coordinate rispetto alle quali quel vettore è definito, saranno le sue componenti a variare* in modo che il vettore resti invariato in modulo e direzione.

È noto che un qualsiasi vettore V può essere descritto come la combinazione lineare delle sue componenti vⁱ moltiplicate per le rispettive basi vettoriali e_i (cioè l'insieme dei vettori che generano lo spazio vettoriale); ad esempio nel caso più semplice di uno spazio bidimensionale avremo:

V=e₁v¹+e₂v².

Nota: vedremo più avanti il significato fisico degli indici in apice e pedice, diciamo che per ora indicano le due diverse basi (vettori) e rispettive componenti (qui gli apici non indicano mai elevamenti di potenza!)

Nel caso perciò di una trasformazione di coordinate si avrà un cambio delle basi e_i (indicate dal trattino sotto) a cui corrisponde un cambio delle rispettive componenti vⁱ (anch'esse indicate dal trattino sotto) in modo che il vettore V resti invariato, cioè:

V=e₁v¹+e₂v².

Se usiamo il formalismo matriciale, possiamo indicare le componenti di V come una matrice colonna, mentre le basi sono rappresentate da una matrice riga; moltiplicandole tra loro si ottiene (per l'invarianza di V):

Nota: ricordiamo che il prodotto tra due matrici tipo (m,n)x(n,p) produce una matrice (m,p) sviluppando il prodotto righe per colonne.

Supponiamo ora che le basi di V si trasformino secondo una generica matrice di trasformazione A (matrice quadrata 2x2 e invertibile in A^-1):

allora affinché si ottengano di nuovo le equazioni di V sopra espresse, dovrà risultare per la trasformazione delle componenti:

infatti moltiplicando tra loro (membro a membro) le due ultime equazioni, si ottiene di nuovo l'identità V=V (essendo AxA^-1=I la matrice identità).
Nota: abbiamo implicitamente supposto, con l'introduzione della matrice di trasformazione A, una relazione lineare tra le componenti (come vedremo ciò è sempre vero per le coordinate in forma differenziale).

Dato il ruolo diretto della matrice A si dice che le basi vettoriali di V si trasformano in modo covariante, mentre le sue componenti, che viceversa dipendono dalla sua inversa A^-1, si trasformano in modo controvariante.
Nota: per convenzione le basi vettoriali (e₁,e₂) che si trasformano in modo covariante si indicano con il pedice mentre le componenti controvarianti del vettore (v¹,v²) si indicano con l'apice.

Quando la matrice A di trasformazione è ortogonale (come nel caso di una rotazione di assi cartesiani ortogonali)** allora per definizione vale la relazione A^-1=A^T (dove A^T è la matrice trasposta) da cui segue, facendo la trasposta di tutta la precedente equazione:

Nota: ricordiamo che la trasposta di un vettore colonna è un vettore riga (e viceversa); inoltre risulta per la trasposta A^T: (A^T)^T =A.

Si noti però che questa ultima espressione è formalmente identica alla trasformazione covariante delle basi e quindi (in questo caso) la distinzione tra trasformazione covariante e controvariante decade; inoltre quando la trasformazione è ortogonale si conserva il prodotto scalare tra vettori.

Nota: è per tale motivo che nella fisica classica non si parla quasi mai dei due tipi di trasformazione, è sufficiente quella covariante.

Tuttavia nel caso più generale di una trasfomazione di coordinate qualunque (non ortogonale) ci chiediamo: come si trasformano le componenti di un vettore affinché questo resti invariato e quindi il prodotto scalare si conservi? Per quanto visto sopra ciò equivale a chiedersi com'è fatta in generale la matrice di trasformazione A e la sua inversa A^-1.
Nota: se il modulo di un vettore è invariato allora anche il prodotto scalare resta invariato (dato che il modulo è la radice del vettore per se stesso).

Consideriamo ad esempio il caso classico di un lavoro infinitesimo dL (dovuto ad una forza F impressa ad un corpo che si sposta di un tratto infinitesimo ds), che è così definito nel caso bidimensionale:

dL=Fds=F₁dx¹+F₂dx².

Vogliamo che questo prodotto scalare tra vettori si conservi rispetto ad un sistema di coordinate qualunque, come in effetti accade nella realtà fisica (dato che il prodotto vettoriale Fds determina un invariante scalare).
Nota: invece delle classiche coordinate (x,y) abbiamo posto x=x¹ e y=x² (vedremo più avanti il significato degli indici messi in apice o pedice).

Consideriamo quindi una trasformazione di coordinate qualsiasi: trasformiamo ad esempio le coordinate (x¹,x²) in quelle di un nuovo sistema (x¹,x²) (dove le nuove coordinate sono note in funzione delle prime):

x¹=x¹(x¹,x²)   ;   x²=x²(x¹,x²)

ed inoltre esse devono ammettere la trasformazione inversa (affinché si possa passare da un sistema all'altro):

x¹=x¹(x¹,x²)   ;   x²=x²(x¹,x²).

Nota: per ipotesi tali funzioni sono differenziabili (funzioni lisce).

Per le note formule del calcolo differenziale di una funzione si ha:

dx¹=(∂x¹/∂x¹)dx¹+(∂x¹/∂x²)dx²   e   dx²=(∂x²/∂x¹)dx¹+(∂x²/∂x²)dx²

possiamo quindi riscrivere il dL=F₁dx¹+F₂dx² sostituendo dx¹ e dx²:

dL=F₁(∂x¹/∂x¹)dx¹+F₁(∂x¹/∂x²)dx²+F₂(∂x²/∂x¹)dx¹+F₂(∂x²/∂x²)dx².

Se ora raccogliamo rispetto a dx¹ e dx² risulta:

dL=[F₁(∂x¹/∂x¹)+F₂(∂x²/∂x¹)]dx¹+[F₁(∂x¹/∂x²)+F₂(∂x²/∂x²)]dx²

e il dL può essere riscritto nel nuovo sistema di coordinate:

dL=Fds=F₁dx¹+F₂dx²

avendo posto

F₁=F₁(∂x¹/∂x¹)+F₂(∂x²/∂x¹)
F₂=F₁(∂x¹/∂x²)+F₂(∂x²/∂x²)

ed essendo per le solite formule differenziali

dx¹=(∂x¹/∂x¹)dx¹+(∂x¹/∂x²)dx² 
dx²=(∂x²/∂x¹)dx¹+(∂x²/∂x²)dx².

Nota: come richiesto, con queste trasformazioni il lavoro infinitesimo dL resta invariato nel cambio di coordinate.

Le derivate parziali (∂xⁱ/∂x^j) e (∂x^j/∂xⁱ) rappresentano perciò gli elementi, rispettivamente, della matrice di trasformazione A ed A^-1 per F e per ds (dove A^-1 è detta matrice jacobiana di solito indicata con J).

Nota: quindi (F₁,F₂) si trasforma in modo covariante mentre (dx¹,dx²) in modo controvariante, come accade per basi e componenti di un vettore.

In definitiva possiamo scrivere per le componenti di F e ds (si sottintende il simbolo di sommatoria con la notazione di Einstein sugli indici ripetuti):

F_j=F_i(∂xⁱ/∂x^j)   e   dx^j=dxⁱ(∂x^j/∂xⁱ)

(con i, j=1, 2) grazie alle quali il prodotto scalare resta invariato e quindi, come già notato, anche il modulo di un vettore resta invariato (poiché è la radice del vettore moltiplicato per se stesso).

Perciò la legge generale di trasformazione delle componenti A_i di un vettore, che chiameremo covariante (o covettore) e quelle Bⁱ del rispettivo vettore controvariante, tale per cui il prodotto scalare C=A_iBⁱ=A_jB^j si conservi, è la seguente (come mostrato sopra per F_j e dx^j):

A_j=A_i(∂xⁱ/∂x^j)   e   B^j=Bⁱ(∂x^j/∂xⁱ)

con la solita regola di sommatoria sugli indici ripetuti con i, j=1, 2, ... n (dove per convenzione gli apici indicano le componenti di un vettore mentre i pedici quelle di un covettore).
Note: in questo modo qualsiasi prodotto scalare tra un vettore A e il relativo covettore B è un invariante per trasformazioni di coordinate.

Ora nel contesto matriciale di un prodotto scalare, le componenti A_i di un vettore riga definiscono un covettore (o vettore covariante) che, applicato a un vettore colonna (o vettore controvariante) di componenti Bⁱ, produce C=A_iBⁱ cioè un elemento scalare (del campo K) dallo spazio vettoriale V: l'insieme dei covettori (o funzionali f:V->K) definisce lo spazio duale***.
Nota: ricordiamo che il prodotto scalare tra A e B viene spesso indicato come <A,B> e che vettori e covettori sono legati dal tensore metrico g_ij=<e_i,e_j> (dove <e_i,e_j> è il prodotto scalare tra le basi) da cui A_i=g_ijA^j.
[Infatti risulta g_ijA^j=<e_i,e_j>A^j=<e_i,e_jA^j>=<e_i,A>=A_i ma anche g^ijA_i=A^j]

(*) Non sempre coordinate e componenti coincidono, nel caso ad esempio di coordinate curvilinee angolari queste non corrispondono alle componenti di un vettore, essendo quest'ultime delle lunghezze.
(**) Una trasformazione ortogonale viene espressa rispetto ad una base ortonormale (come ad esempio quella canonica degli assi cartesiani), tramite una matrice ortogonale e quindi invertibile.
(***) Data ad esempio la base canonica e¹=(1,0)^T, e²=(0,1)^T (vettori colonna) possiamo definire una base canonica duale come e₁=(1,0), e₂=(0,1) (vettori riga) che rispetta la condizione generale di dualità <e_i,e^j>=δ_ij (con δ_ij delta di Kronecker); per un qualsiasi vettore V risulta perciò: V=e_ivⁱ=e^jv_j.
[Si pone <e_i,e^j>=δ_ij affinché risulti correttamente: <A,B>=(e_iAⁱ)(e^jB_j)=A_iBⁱ]

(Si vedano anche le lezioni di Arrigo Amadori).

Clausius e Carnot: cicli, principî e motori!

Come è noto si possono enunciare le seguenti due formulazioni equivalenti del Secondo principio della termodinamica (vedi Wikipedia):

I) Clausius (1822-1888): non è possibile che il calore fluisca spontaneamente da temperature più basse a temperature più alte.
Nota: è possibile che il calore fluisca da un corpo freddo ad uno caldo (come in un frigo) ma ciò non può accadere spontaneamente.

II) Kelvin (1824-1907): non è possibile realizzare una macchina termica ciclica che trasformi il calore integralmente in lavoro.
Nota: il calore può trasformarsi integralmente in lavoro (ad esempio in una trasformazione isoterma) ma mai in una trasformazione ciclica.

Ricordiamo per inciso che con macchina termica si intende un dispositivo che opera tra due temperature e converte calore in lavoro in modo ciclico, producendo cioè ogni volta una certa quantità di lavoro (vedi Wikipedia).

Esiste una terza importante formulazione equivalente del secondo principio della termodinamica (che abbiamo già descritto nel post "Entropia: una grandezza anomala!") che afferma:
III) Clausius: in un sistema isolato e per una trasformazione irreversibile l'entropia tende sempre ad aumentare.

Si sa che l'entropia S è una funzione che dipende dallo stato termodinamico in cui si trova il sistema; se cioè un sistema passa dallo stato A a quello B in modo reversibile avremo per la sua variazione di entropia ∆S: 

∆S=∫_A^BdS=S_B-S_A

dove dS=δQ_rev/T è per definizione l'entropia infinitesima e dove Q_rev è la quantità di calore assorbito o ceduto in maniera reversibile e isoterma dal sistema a temperatura T.
Nota: per chiarimenti sulla definizione di entropia vedi il post "Entropia: una grandezza anomala!".

Poiché S è una funzione di stato possiamo considerare, come seconda variabile del sistema, la temperatura T per descrivere una qualsiasi trasformazione reversibile di un gas ideale; utilizzeremo quindi il piano cartesiano T-S di Gibbs (diagramma entropico) invece del noto piano di Clapeyron p-V per tracciare il grafico della trasformazione.
Nota: poiché l'equazione dei gas ideali è pV=nRT fissato il numero di moli n possiamo in generale descrivere il sistema con due sole variabili di stato.

Si noti che sul diagramma T-S una trasformazione isoterma (cioè T=costante) è descritta da una linea orizzontale, mentre una adiabatica (cioè Q=0) è rappresentata da una linea verticale (essendo S=costante).

Se ad esempio consideriamo un ciclo formato da due trasformazioni isoterme e due adiabatiche (alternate in sequenza) avremo un motore termico reversibile che trasforma calore in lavoro, meglio noto come ciclo di Carnot, descritto nel piano entropico T-S da una linea rettangolare:

È immediato calcolare il calore assorbito o ceduto reversibilmente nelle due trasformazioni isoterme (posto T₂>T₁ e S₂>S₁); avremo rispettivamente seguendo il diagramma (e ricordando che δQ_rev=TdS):

Q_f=∫_S1^S₂TdS=T₂(S₂-S₁)   e   -Q_c=∫_S2^S₁TdS=T₁(S₁-S₂)

dove per definizione Q_f è il calore fornito al sistema mentre -Q_c è quello ceduto all'ambiente dal sistema.
(Qui puoi vedere un video di Rai Scuola che mostra bene il ciclo di Carnot!)

Inoltre poiché la variazione di energia interna ∆U è nulla alla fine del ciclo (essendo U una funzione di stato), il lavoro svolto dalla macchina sull'ambiente durante la trasformazione ciclica è -L=Q (essendo per il Primo principio della termodinamica ∆U=L+Q) e quindi si ha:

-L=Q_f-Q_c=T₂(S₂-S₁)+T₁(S₁-S₂)=(T₂-T₁)(S₂-S₁)

essendo per definizione -L il lavoro fatto dal sistema e Q=Q_f-Q_c il calore totale fornito al sistema (essendo Q_f>Q_c risulta -L>0).

Nota: si osservi che l'area del rettangolo (T₂-T₁)(S₂-S₁) rappresenta proprio il calore Q scambiato durante la trasformazione.

Se ricordiamo che il rendimento di una macchina termica (o meglio l'efficienza di conversione calore/lavoro) è così definito:

η_rev=-L/Q_f=(Q_f-Q_c)/Q_f=1-Q_c/Q_f

allora inserendo i valori di -Q_c e Q_f prima ricavati si ha:

η_rev=1-Q_c/Q_f=1+T₁(S₁-S₂)/T₂(S₂-S₁)=1-T₁/T₂

da cui segue un risultato fondamentale del ciclo reversibile di Carnot*:

Q_f/T₂-Q_c/T₁=0.

Nota: si noti che se T₁=T₂ segue η_rev=0 cioè senza una differenza di temperatura ∆T non si può ottenere lavoro da una macchina termica.

Al fine di generalizzare questo risultato per qualsiasi ciclo termodinamico, dividiamo in due cicli di Carnot quello precedente, come mostrato in figura:

Nota: nella zona di sovrapposizione delle adiabatiche (nel punto (S₁+S₂)/2) i contributi di lavoro si elidono, quindi il processo è equivalente a quello visto sopra di una sola macchina di Carnot che lavori tra T₁ e T₂.

Per estensione se consideriamo un qualsiasi ciclo termodinamico, la curva del diagramma T-S potrà essere approssimata quanto si vuole da un insieme infinito di cicli di Carnot (rappresentati da rettangolini di larghezza infinitesima dS), compresi tra le rispettive temperature dell'estremità superiore T_max e inferiore T_min come mostrato in figura:

Perciò, come già visto sopra, per ogni rettangolo di larghezza infinitesima dS e altezza compresa tra T_max e T_min possiamo scrivere per gli incrementi infinitesimi di calore:

δQ_f/T_max-δQ_c/T_min=0 

e sommando su tutti gli infiniti rettangoli:

∫_cicloδQ_rev/T=0

tale relazione è valida per qualsiasi ciclo termodinamico reversibile.

Nota: lo stesso risultato si può ottenere su un diagramma p-V dove però i cicli di Carnot non sono rappresentati da un semplice rettangolo.

Infine per estendere questo risultato notevole anche ai cicli irreversibili, enunciamo un precedente risultato** ottenuto da Carnot (vedi Wikipedia) anch'esso equivalente al secondo principio della termodinamica:
IV) Carnot (1796-1832): il rendimento di una macchina termica irreversibile che lavora tra due temperature, è sempre minore del rendimento η_rev di una macchina equivalente ma reversibile: η_irr<η_rev.
Nota: si dimostra che il rendimento di tutte le macchine reversibili che lavorano tra T₁ e T₂ è lo stesso.

Quindi essendo η_rev=1-Q_c/Q_f allora a parità di condizioni il calore ceduto -Q_c in un ciclo irreversibile, sarà maggiore (in valore assoluto) del caso reversibile (poiché deve risultare η_irr<η_rev).
Ciò significa che per ogni rettangolo infinitesimo del diagramma prima definito, ma per un ciclo irreversibile, si ha:

δQ_f/T_max-δQ_c/T_min<0 

e perciò in generale per un qualsiasi ciclo irreversibile:

∫_cicloδQ_irr/T<0

che è la famosa diseguaglianza di Clausius***.
Nota: per approfondire questa relazione vedi il post "Entropia: una grandezza anomala!".

(*) Se definiamo l'energia non più utilizzabile o degradata come E_d=L_f-L dove L_f=Q_f=T₂∆S è il lavoro fatto dalla macchina a T₂ costante (isoterma) e L=(1-T₁/T₂ )Q_f è quello a fine ciclo allora E_d=T₂∆S-T₂∆S+T₁∆S=T₁∆S cioè l'energia degradata è proporzionale all'aumento di entropia(!) con E_d=-Q_c.
(**) Questo risultato è stato ottenuto da Carnot nel 1824 cioè prima (per motivi anagrafici) che Clausius e Kelvin enunciassero il secondo principio (da cui però viene solitamente derivato il teorema di Carnot!).

(***) Si può derivare la diseguaglianza di Clausius partendo in modo indifferente da uno qualsiasi degli enunciati I->IV sopra esposti (dato che se ne può dimostrare l'equivalenza).

Coriolis e le coordinate Polari!

La definizione di coordinate polari è semplice (vedi Wikipedia):

“In matematica, il sistema di coordinate polari è un sistema di coordinate bidimensionale nel quale ogni punto del piano è identificato da un angolo θ e da una distanza r da un punto fisso O detto polo"; il polo può ad esempio coincidere con il centro di un sistema cartesiano (vedi figura).

Inoltre è importante osservare che "un sistema di coordinate polari (r,θ) è in corrispondenza biunivoca con un sistema di coordinate cartesiane (X,Y), ossia ad un vettore di coordinate cartesiane ne corrisponde uno e uno solo in coordinate polari"; la corrispondenza tra le coordinate dei due sistemi nel primo quadrante (cioè per x>0 e y≥0), è la seguente:

x=rcosθ   e   y=rsinθ

dove r=(x²+y²)^1/2 e θ=arctan(y/x) (essendo y/x=tanθ).
Nota: per gli altri valori di x e y si deve correggere la definizione di θ data sopra con il termine kπ (vedi Wikipedia).

Se le coordinate cartesiane sono ideali per descrivere i moti traslazionali quelle polari si adattano meglio ai moti rotazionali dato che esprimono il moto di un punto nella componente lungo r (che definisce l'allontanamento o l'avvicinamento dall'origine) e nella componente tangente a θ (che invece rappresenta la rotazione attorno all'origine).

Consideriamo ad esempio un sistema cartesiano (X,Y) e facciamo coincidere il punto di origine O con il polo di un sistema di coordinate polari (r,θ) rispetto al quale viene descritto il moto di un punto P, come descritto in figura:

Supponiamo che il punto P sia in moto rispetto al sistema di riferimento polare; indichiamo P con i vettori di posizione P(t) o P_w(t) a seconda che il sistema sia, rispettivamente, in quiete (cioè w=0) oppure in rotazione (w indica appunto la velocità di rotazione angolare del sistema polare).

Nota: per la definizione del vettore di posizione vedi il post "Cos'è il Vettore di Posizione?".

Iniziamo col ricavare le relazioni della velocità e della accelerazione di P in coordinate polari quando w=0; in questo caso possiamo definire il vettore di posizione P(t) come:

P(t)=r(t)e_r(t)

dove e_r indica il versore radiale (cioè un vettore unitario con origine in O e direzione lungo r come mostrato in figura); questa relazione, che lega la posizione di P ad ogni istante t, è chiamata legge oraria del moto.
Nota: ricordiamo invece che in coordinate cartesiane (bidimensionali) si ha: P(t)=i(t)x(t)+j(t)y(t) dove i(t) e j(t) sono i relativi versori.

Se quindi vogliamo trovare la velocità v(t) basta derivare P(t) rispetto al tempo e si ottiene (l'apice indica la derivata rispetto al tempo):

v(t)=dP(t)/dt=r'e_r+re'_r=r'e_r+rθ'e_θ

poiché si può facilmente mostrare* che e'_r=θ'e_θ dove e_θ indica il versore tangente a θ (e quindi perpendicolare a e_r)** diretto in verso antiorario.
Nota: si osservi che il versore e_θ viene introdotto proprio per definire e'_r.

Si osservi come la velocità v(t) del punto P sia composta in ogni istante da una componente radiale v_r=r'e_r e una angolare v_θ=rθ'e_θ ad essa perpendicolare (abbiamo omesso per semplicità la variabile t).

Inoltre l'accelerazione a(t) si ottiene a sua volta per derivazione di v(t):

a(t)=dv(t)/dt=r''e_r+r'e'_r+r'θ'e_θ+rθ''e_θ+rθ'e'_θ 

ed essendo e'_θ=-θ'e_r (vedi la nota*) segue raccogliendo i termini:

a(t)=(r''-rθ'²)e_r+(rθ''+2r'θ')e_θ.

Come per la velocità, anche l'accelerazione è composta da una componente radiale a_r=(r''-rθ'²)e_r (dove compare l'accelerazione centripeta -rθ'²e_r diretta verso l'interno) e una angolare a_θ=(rθ''+2r'θ')e_θ (con il termine 2r'θ'e_θ detto accelerazione di Coriolis, nel caso in cui w=0).

Supponiamo adesso che il sistema di coordinate polari (r,θ) ruoti intorno all'asse Z con velocità angolare w(t) (sempre in riferimento alla figura precedente); indichiamo quindi con (r,θ) il sistema in rotazione con i relativi versori e_r ed e_θ (si noti che r è invariato nei due riferimenti).

In questo caso per derivare il moto di P, rispetto al sistema polare in rotazione (r,θ), introduciamo il vettore di posizione P_w(t):

P_w(t)=r(t)e_r(t).

Perciò oltre alla nuova velocità angolare θ' di P_w(t) dovremo considerare anche la velocità di rotazione w del sistema di riferimento; basterà quindi fare la seguente sostituzione nelle equazioni sopra di v(t) e a(t), per ottenere la velocità v_w(t) e l'accelerazione a_w(t) rispetto al sistema in rotazione:

θ'=(θ'+w)

essendo in generale la velocità angolare misurata dalla piattaforma:

θ'=θ'-w.

Risulta infatti θ'=θ' quando w=0 (cioè in assenza di rotazione) e θ'=w quando P_w ruota solidale con la piattaforma (cioè θ'=0).
Nota: la differenza dei due vettori θ' e w definisce un terzo vettore θ' posto anch'esso lungo l'asse Z di modulo (θ'-w).

Sostituendo perciò a θ' il valore di (θ'+w) e indicando con e_r ed e_θ i versori del sistema in rotazione, si ottengono direttamente le seguenti relazioni.
Per la velocità:

v(t)=r'e_r+r(θ'+w)e_θ=v_w+wre_θ

dove v_w=dP_w/dt=r'e_r+rθ'e_θ è la velocità rispetto al riferimento rotante (essendo P_w=re_r), mentre il termine wre_θ è chiaramente dovuto alla rotazione angolare w del sistema in moto.
Nota: possiamo anche scrivere, sotto forma di prodotto vettoriale: wre_θ=wxP_w poiché il vettore wre_θ è perpendicolare sia a w che a P_w.

E quindi anche per l'accelerazione avremo per sostituzione:

a(t)=[r''-r(θ'+w)²]e_r+[r(θ'+w)'+2r'(θ'+w)]e_θ

e sviluppando i vari termini nelle parentesi si ha

a(t)=a_w+2w(r'e_θ-rθ'e_r)-rw²e_r+rw'e_θ

dove a_w=dv_w/dt=(r''-rθ'²)e_r+(rθ''+2r'θ')e_θ è l'accelerazione rispetto al riferimento rotante (essendo v_w=r'e_r+rθ'e_θ) mentre risulta rw'e_θ=0 se la rotazione w del sistema è costante.

Si osservi che essendo v_w=r'e_r+rθ'e_θ la velocità rispetto al riferimento rotante, allora il termine (r'e_θ-rθ'e_r) rappresenta un vettore perpendicolare a v_w (poiché (r'e_r+rθ'e_θ)x(r'e_θ-rθ'e_r)=0); perciò possiamo anche scrivere: 2w(r'e_θ-rθ'e_r)=2wxv_w che è un vettore perpendicolare a w e v_w.
Nota: inoltre il vettore (r'e_θ-rθ'e_r), a causa della componente lungo e_θ, ha la stessa direzione della rotazione w.

Determiniamo ora quali sono le forze a cui è sottoposta una massa m rispetto al riferimento in rotazione con velocità costante w; avremo, secondo la legge di Newton applicata in modo improprio ad un sistema non inerziale (perché così introduciamo delle forze che non sono reali):

F_w=ma_w=ma-2mw(r'e_θ-rθ'e_r)+mrw²e_r

dove il secondo termine rappresenta la cosiddetta forza di Coriolis (il meno indica la direzione contraria alla rotazione w, vedi la nota sopra) mentre il terzo termine è la forza centrifuga (positiva perché diretta verso l'esterno).

Entrambe queste forze sono dette apparenti, cioè non generate dalla reale interazione con altri corpi, perché dovute esclusivamente alla rotazione w del sistema di riferimento (infatti esse si annullano per w=0), mentre solo F=ma è la forza reale applicata a P (in entrambi i riferimenti)***.
Nota: per chiarimenti sulle forze apparenti vedi il post "Una forza del tutto... apparente!".

(Qui puoi vedere un video del MIT che mostra in pratica l'effetto Coriolis!)

(*) Consideriamo la variazione infinitesima ∆e_r=e_r(t+∆t)-e_r(t)=∆e_re_θ (risulta ∆e_re_θ poiché ∆e_r unisce le punte dei due vettori differenza ed è diretto come e_θ, vedi la nota**) da cui e'_r=lim∆e_r/∆t=lim(∆e_r/∆t)e_θ=θ'e_θ. Analogamente si ricava che e'_θ=lim∆e_θ/∆t=lim(-∆e_θ/∆t)e_r=-θ'e_r (il meno è dovuto alla rotazione antioraria di θ(t) e indica il verso opposto a e_r).

(**) In generale per un versore u si ha uxu=1 (prodotto scalare) e quindi derivando d(uxu)/dt=u'xu+uxu'=2u'xu=0 ciò implica che u' è sempre perpendicolare a u (e ciò vale anche per e_r e e_θ).
(***) Se P ruota solidale con la piattaforma allora r'=0 e θ'=0 (e quindi w=θ') perciò si ha F_w=ma+mrw²e_r=0 essendo a=-rθ'²e_r l'accelerazione centipreta (vedi sopra con θ'=w): quindi nel sistema in rotazione dove P è in quiete, la forza centripeta viene bilanciata dalla forza apparente centrifuga.
(Vedi anche il post "Un forza del tutto... apparente!")

Onde, armoniche e... Fourier!

Abbiamo già trattato la definizione formale della funzione periodica di un'onda nel post "Ma cos'è una 'Onda?'" (a cui rimandiamo); qui vogliamo invece approfondire un aspetto importante dei moti oscillatori che riguarda le cosiddette frequenze armoniche così definite:
"Nello studio dei fenomeni oscillatori, le frequenze armoniche sono le frequenze il cui valore è multiplo intero della frequenza base (frequenza fondamentale) di un'onda" (vedi Wikipedia).

Questa semplice definizione riguarda un aspetto fondamentale delle funzioni periodiche che trae origine dall'analisi di Fourier: "Una branca di ricerca che prende il suo stimolo dalle ricerche di Jean Baptiste Joseph Fourier, che nei primi anni dell'ottocento, riuscì a dimostrare che una qualunque funzione periodica poteva essere vista come una somma di infinite 'opportune' funzioni sinusoidali (seno e coseno)" (vedi Wikipedia).

Infatti, sotto alcune ipotesi non troppo restrittive (vedi oltre), esiste una serie convergente (detta appunto di Fourier), grazie alla quale possiamo esprimere una funzione periodica f(t) (con periodo 2π) nel modo seguente:

f(t)=(1/2)a₀+a₁cos(wt)+...+a_ncos(nwt)+b₁sin(wt)+...+b_nsin(nwt)

dove a_n e b_n sono opportuni coefficienti (con n=0, 1, 2, ...), w=2π/T è la pulsazione dell'onda base e i termini n/T definiscono le frequenze armoniche prima introdotte (per n=1 si ha la frequenza fondamentale 1/T).

Nota: una funzione f(t) è periodica (di periodo T) se risulta f(t)=f(t+T) ed è sempre possibile associarle una nuova funzione g(t)=f(tT/2π) di periodo 2π.

Senza dare una dimostrazione della serie di Fourier (per questo vedi il post su Vialattea.net), diciamo solo che la relazione è vera se f(t) non solo è periodica ma è anche continua (almeno a tratti) nell'intervallo [-π, π]; mentre i coefficienti a_n e b_n sono così definiti*:

a_n=(1/π)∫_-π^πf(t)cos(nwt)dt   e   b_n=(1/π)∫_-π^πf(t)sin(nwt)dt.

Nota: per vedere come vengono calcolati i coefficienti si veda ad esempio lo sviluppo in serie della funzione a dente di sega (vedi Wikipedia).
(Vedi anche le ottime lezioni di Marco Codegone sulla serie di Fourier)

Per chiarire il significato fisico alla serie di Fourier, supponiamo che le onde armoniche in essa contenute siano onde di tipo acustico e quindi che la nostra funzione f(t) rappresenti un particolare suono, come ad esempio quello emesso da uno strumento musicale.

Questo suono sarà costituito dalla nota di frequenza fondamentale 1/T sommata a quelle di tutte le armoniche di frequenza n/T che però sono di minore intensità (affinché la serie converga); ad esempio, se la frequenza base è quella della nota la corista (cioè quella del diapason fissata per definizione a 440Hz), le varie armoniche sovrapposte ad essa definiscono il timbro della nota, che caratterizza lo strumento da cui è stata emessa.
Nota: fatta eccezione per il diapason (a mono frequenza) ogni strumento musicale emette, oltre a quella fondamentale, le sue proprie armoniche.

Sorprendentemente il nostro cervello riconosce le varie armoniche contenute in un qualsiasi suono f(t) come se effettuasse l'analisi di Fourier dell'onda, la quale viene percepita dal nostro orecchio interno**; in questo modo possiamo riconoscere non solo la nota fondamentale di un dato suono ma anche le sue armoniche che definiscono il timbro della nota emessa.

È sulla base di questa capacità di analisi del nostro cervello e del suo gradimento per la consonanza tra due o più note (cioè la coincidenza degli armonici e l'assenza di battimenti) che è stata costruita la scala naturale delle sette note musicali; una volta scelta una nota di riferimento (che chiameremo do) le altre note sono le armoniche di quella base: il sol ad esempio è la terza armonica del do, il mi la quinta, il re la nona e così via fino a formare la scala di do maggiore (per trasposizioni di ottava)***.

Nota: per un approfondimento su questi argomenti vedi l'articolo di Andrea Frova "Interazioni Forti: Musica e Scienza".

(*) Per ottenere i coefficienti a_n e b_n basta moltiplicare f(t) (di cui supponiamo esista la serie sopra definita) per cos(nwt) oppure per sin(nwt) e quindi integrarla tra π e -π; una volta integrati i prodotti dei vari seni e coseni, i termini si annullano tutti, tranne quello al quadrato relativo al coefficiente n-esimo considerato (la cui integrazione è pari a π).
(**) È la membrana basilare, contenuta nell'orecchio interno, che si mette a vibrare in funzione delle varie frequenze armoniche che costituiscono il suono percepito; queste vibrazioni (spazialmente separate sulla membrana, in relazione alla frequenza) vengono trasmesse al cervello attraverso distinti segnali elettrici, corrispondenti alle varie zone della membrana.
(*** ) Se la nota do ha frequenza 1 allora la seconda armonica avrà frequenza 2 (è il do dell'ottava superiore) mentre la terza armonica avrà frequenza 3 che (per ricondurla alla prima ottava) dobbiamo dividere per 2 ottenendo la frequenza 3/2 che chiameremo sol etc.; si ottiene così tutta la scala naturale.

(Si ricordi che raddoppiando la frequenza si ottiene sempre la stessa nota, ma di un'ottava più alta.)

[Nota sulla Trasformata di Fourier: quando la funzione f(t) non è periodica si può estendere la serie facendo il limite di T -> ∞ e quindi w=2π/T si trasforma in dw perciò si integra tra tutte le frequenze che costituiscono il segnale ottenendo quella che viene chiamata la trasformata di Fourier]