mercoledì 11 aprile 2012

La Dilatazione relativa del Tempo

Come definizione generale possiamo affermare che:
"Il tempo è la dimensione nella quale si concepisce e si misura il trascorrere degli eventi" (vedi Wikipedia).
Ma dovremmo aggiungere subito che:
"L'unico modo convincente di rispondere alla domanda che cos'è il tempo è forse quello operativo, dal punto di vista strettamente fisico-sperimentale: il tempo è ciò che si misura con degli strumenti adatti" detti orologi*.

Come strumento di misura del tempo possiamo utilizzare un orologio a luce ideale** costituito da due specchi piani e paralleli che chiameremo A e B (posti rispettivamente sul pavimento e sul soffitto del nostro laboratorio) sui quali si riflette perpendicolarmente un raggio di luce.

L'unità di misura del tempo ∆t del nostro orologio ideale sarà data, per definizione, dalla distanza 2AB (cioè quella di andata e ritorno del raggio di luce)*** divisa per la velocità della luce:
∆t=2AB/c.
Nota: qui puoi vedere una semplice illustrazione dell'orologio a luce.

Ma vediamo ora come viene valutato l'intervallo di tempo ∆t' dell'orologio a luce, se questo si muove orizzontalmente a velocità v lungo l'asse X, rispetto all'osservatore in quiete: ∆t' in teoria potrebbe essere diverso da ∆t.
Nota: si preferisce non mettere in moto l'orologio in quiete, magari alterandolo, si considera invece un osservatore in moto che misura ∆t': secondo la teoria della relatività il risultato è lo stesso.

In questo caso l'osservatore in quiete osserverà che il raggio di luce si muove da A a B e poi torna ancora in A (impiegando un tempo ∆t') mentre gli specchi si spostano di una distanza pari a v∆t' lungo X.
Quindi il raggio di luce percorrerà, per due volte, l'ipotenusa (di lunghezza c∆t'/2) di un triangolo rettangolo di base v∆t'/2 e altezza AB.

Allora, se per ipotesi la velocità del raggio di luce dell'orologio in moto è sempre pari a c, risulterà per il teorema di Pitagora:
(c∆t')2=(2AB)2+(v∆t')2
ed essendo per l'osservatore in quiete 2AB=c∆t (vedi sopra), segue
∆t'=∆t/(1-v2/c2)1/2.
Nota: abbiamo assunto per motivi di simmetria che la distanza AB, perpendicolare al moto, sia la stessa misurata in entrambi i riferimenti (vedi il post "La Contrazione relativa delle Lunghezze"). 

Il significato fisico del nostro esperimento è il seguente:
relativamente all'osservatore in quiete, l'intervallo di tempo ∆t' dell'orologio in moto appare maggiore rispetto all'intervallo temporale ∆t dell'orologio che si trova in quiete.
Nota: ∆t si definisce tempo proprio poiché è quello che viene misurato dall'orologio in quiete rispetto al fenomeno osservato (questa osservazione sarà determinante nel post "La Contrazione relativa delle Lunghezze").

Si osservi che questo risultato è dovuto a due precise ipotesi:
1) la velocità della luce c è la stessa per entrambi gli orologi, in quiete o in moto, e quindi per entrambi gli osservatori inerziali;
2) le leggi della fisica sono le stesse per tutti i sistemi inerziali, perciò l'intervallo temporale è indipendente dallo strumento utilizzato.
Nota: se la teoria della relatività è vera, qualsiasi orologio in moto inerziale deve segnare lo stesso tempo altrimenti, grazie allo sfasamento temporale, potremmo determinare il moto assoluto di quel riferimento.

Come è noto, da queste due ipotesi possiamo derivare le Trasformazioni di Lorentz (che ci permettono di calcolare le coordinate spazio-tempo di un dato fenomeno per qualsiasi sistema di riferimento inerziale) da cui si può ricavare la relazione relativistica tra gli intervalli temporali prima ottenuta.

(*) Secondo Wikipedia "una analisi microscopica del problema mostra come la definizione di orologio sia adatta solo a una trattazione macroscopica del problema e non consenta di formulare una definizione corretta per le equazioni del moto di particelle descritte dalla meccanica quantistica".
(**) Consideriamo qui un orologio ideale a moto perpetuo; in realtà ogni volta che il raggio di luce viene riflesso questo perde energia riscaldando le pareti degli specchi oppure disperdendo fotoni nel rimbalzo (tuttavia ciò non è significativo ai fini della nostra misura del tempo).
(***) È corretto considerare un percorso di andata e ritorno: la velocità della luce viene misurata su un percorso di andata e ritorno proprio per evitare eventuali asincronie di orologi in quiete posti a distanza (che potrebbero compromettere la misura in un percorso di solo andata).
(Il postulato di relatività assume poi che la velocità della luce così misurata sia la stessa in tutte le direzioni e per tutti gli osservatori inerziali).

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