"Le concezioni di spazio e di tempo che desidero esporvi sono sorte dal terreno della fisica sperimentale, e in ciò sta la loro forza. Esse sono fondamentali. D'ora in poi lo spazio di per sé stesso o il tempo di per sé stesso sono condannati a svanire in pure ombre, e solo una specie di unione tra i due concetti conserverà una realtà indipendente" (vedi Wikipedia).
Prima di provare a chiarire questa affermazione introducendo i diagrammi spazio-tempo di Minkowski, che permettono una rappresentazione geometrica delle leggi della Relatività ristretta, dobbiamo dare alcune definizioni:
- Evento: indica un fenomeno fisico localizzato in uno specifico punto dello spazio quadrimensionale in un sistema di riferimento fissato (X, Y, Z, T).
- Punto evento: sono le coordinate istantanee (x, y, z, t) di un evento, cioè un punto preciso dello spazio, nell'istante in cui si verifica il fenomeno fisico.
- Linea di universo: questa linea rappresenta il percorso compiuto dagli oggetti, essa unisce i punti evento corrispondenti alle coordinate istantanee.
In realtà lo spazio-tempo di Minkowski appare come un usuale spazio euclideo, su cui è però definita una distanza ∆s differente da quella euclidea (già introdotta nel post "Tempo Proprio (e paradosso dei gemelli)"):
∆s2=c2∆t2-∆x2
dove ∆x e ∆t indicano rispettivamente gli intervalli di spazio e di tempo tra due eventi in un dato sistema di riferimento inerziale, mentre ∆s è detto separazione spazio-temporale tra gli eventi.Nota: per semplicità consideriamo solo le coordinate (x, t) dato che le coordinate (y, z) non cambiano passando da un riferimento all'altro.
Inoltre, in modo analogo alla classica distanza dello spazio euclideo, anche l'intervallo ∆s è un invariante per tutti gli osservatori inerziali!
Nota: i diagrammi di Minkowski si applicano solo nell'ambito della Relatività ristretta, cioè in condizioni di spazio piatto (assenza di gravità).
A questo punto possiamo fare dei semplici esempi di linee di universo nello spazio-tempo di Minkowski:
a) Il primo diagramma, descritto dagli assi ortogonali (X, cT), indica la linea di universo di un corpo che si muove tra due punti evento: A (partenza) e B (arrivo) con velocità v minore della luce, come descritto in figura:
In generale si osservi che l'asse cT indica la linea di universo di un osservatore O che non si sposta nello spazio (cioè x=0) ma solo nel tempo; mentre l'asse X indica la linea del suo presente (cioè tutti i punti con t=0).
Nota: se il passato non esiste più e il futuro deve realizzarsi, allora solo il presente comprende tutti gli eventi che definiscono la realtà di O, ma è così?
Si osservi che nel grafico c∆t indica la distanza che percorre la luce nel tempo ∆t (che separa i due eventi A e B); mentre la linea tratteggiata di riferimento indica la linea di universo di un raggio di luce (essendo x=ct).
Nel nostro caso risulta c∆t>∆x quindi i due eventi A e B possono essere connessi casualmente: cioè la distanza ∆x tra i due eventi può essere coperta da un oggetto con velocità v minore di quella della luce: ∆x=v∆t.
Nota: sulla connessione causale tra due eventi vedi il post "Prima la causa e poi... l'effetto?".
La separazione spazio-temporale tra i due eventi è quindi:
È probabile che considerazioni come questa fecero scrivere ad Einstein:
"Le persone come noi, che credono nella fisica, sanno che la distinzione tra passato, presente e futuro non è che un'illusione, per quanto tenace"***.
Si osservi che nel grafico c∆t indica la distanza che percorre la luce nel tempo ∆t (che separa i due eventi A e B); mentre la linea tratteggiata di riferimento indica la linea di universo di un raggio di luce (essendo x=ct).
Nel nostro caso risulta c∆t>∆x quindi i due eventi A e B possono essere connessi casualmente: cioè la distanza ∆x tra i due eventi può essere coperta da un oggetto con velocità v minore di quella della luce: ∆x=v∆t.
Nota: sulla connessione causale tra due eventi vedi il post "Prima la causa e poi... l'effetto?".
La separazione spazio-temporale tra i due eventi è quindi:
∆s2=c2∆t2-∆x2>0
e ciò caratterizza tutti gli osservatori inerziali per i quali l'intervallo ∆s resta invariato (fissati i due eventi A e B); in generale risulta ∆s>0 per tutti gli eventi contenuti in quello che viene definito il futuro di O.
Nota: il futuro di O è formato da tutti i punti dello spazio-tempo che potrà occupare O (cioè i punti compresi tra le due rette x=±ct con t>0).
b) In questo secondo diagramma consideriamo invece la linea di universo di un osservatore O' che si muove con velocità v rispetto all'ossevatore in quiete O del diagramma precedente:
Si può facilmente mostrare* che gli assi cT' e X' di O' sono inclinati con la stessa pendenza θ come indicato in figura; inoltre per ottenere le coordinate di un qualsiasi evento P (rispetto a O') basta tracciare le parallele agli assi cT' e X' (come si fa per cT e X nel sistema in quiete O)**.
c) Infine in questo terzo diagramma rappresentiamo due osservatori O e O', rispettivamente in quiete e in moto lungo l'asse X, che valutano in modo diverso (a causa della relatività della simultaneità) lo stesso evento fisico P:
Infatti l'osservatore O' si trova sulla linea del presente di O (t=0), mentre l'evento P si trova nel presente di O' (t'=0) e allo stesso tempo si trova nel futuro di O e ciò significa, in modo del tutto inaspettato, che il futuro di O (ad esempio l'evento P) si è già realizzato e fa parte della sua realtà(!)
b) In questo secondo diagramma consideriamo invece la linea di universo di un osservatore O' che si muove con velocità v rispetto all'ossevatore in quiete O del diagramma precedente:
Si può facilmente mostrare* che gli assi cT' e X' di O' sono inclinati con la stessa pendenza θ come indicato in figura; inoltre per ottenere le coordinate di un qualsiasi evento P (rispetto a O') basta tracciare le parallele agli assi cT' e X' (come si fa per cT e X nel sistema in quiete O)**.
c) Infine in questo terzo diagramma rappresentiamo due osservatori O e O', rispettivamente in quiete e in moto lungo l'asse X, che valutano in modo diverso (a causa della relatività della simultaneità) lo stesso evento fisico P:
Infatti l'osservatore O' si trova sulla linea del presente di O (t=0), mentre l'evento P si trova nel presente di O' (t'=0) e allo stesso tempo si trova nel futuro di O e ciò significa, in modo del tutto inaspettato, che il futuro di O (ad esempio l'evento P) si è già realizzato e fa parte della sua realtà(!)
Nota: in sintesi se O' è reale per O e P è reale per O' allora P è reale (accade) anche per O (se si accetta la proprietà transitiva di realtà tra gli eventi).
È probabile che considerazioni come questa fecero scrivere ad Einstein:
"Le persone come noi, che credono nella fisica, sanno che la distinzione tra passato, presente e futuro non è che un'illusione, per quanto tenace"***.
Nota: non esistendo in Relatività un tempo assoluto, il ragionamento precedente si può estendere a qualsiasi punto dello spazio-tempo.
(*) Le trasformazioni di Lorentz per x' e t' sono come è noto: x'=γ(x-vt) e t'=γ(t-vx/c2) quindi posto x'=0 (per ottenere l'asse T') e t'=0 (per ricavare l'asse X') si ha rispettivamente: ct=x(c/v) e x=ct(c/v) perciò la pendenza θ dei due assi T' e X' è la stessa (come indicato in figura) cioè tanθ=c/v.
(*) Le trasformazioni di Lorentz per x' e t' sono come è noto: x'=γ(x-vt) e t'=γ(t-vx/c2) quindi posto x'=0 (per ottenere l'asse T') e t'=0 (per ricavare l'asse X') si ha rispettivamente: ct=x(c/v) e x=ct(c/v) perciò la pendenza θ dei due assi T' e X' è la stessa (come indicato in figura) cioè tanθ=c/v.
(**) Il tempo e lo spazio dei due osservatori O e O' non sono direttamente confrontabili sul grafico, in effetti dobbiamo considerare la iperbole di calibrazione ∆s2=c2t2-x2=±1 per confrontare gli intervalli unitari.
(***) Il testo è contenuto in una lettera che Albert Einstein mandò al figlio e alla sorella del suo caro amico Michele Besso, in occasione della sua morte.
(***) Il testo è contenuto in una lettera che Albert Einstein mandò al figlio e alla sorella del suo caro amico Michele Besso, in occasione della sua morte.
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