mercoledì 23 gennaio 2019

Minkowski e lo Spazio-Tempo geometrico

Nel 1908 il matematico Hermann Minkowski dichiarava:
"Le concezioni di spazio e di tempo che desidero esporvi sono sorte dal terreno della fisica sperimentale, e in ciò sta la loro forza. Esse sono fondamentali. D'ora in poi lo spazio di per sé stesso o il tempo di per sé stesso sono condannati a svanire in pure ombre, e solo una specie di unione tra i due concetti conserverà una realtà indipendente" (vedi Wikipedia).

Prima di passare alla descrizione dei diagrammi spazio-tempo di Minkowski, che permettono una rappresentazione geometrica delle leggi della Relatività ristretta, dobbiamo dare alcune definizioni:

- Evento: indica un fenomeno fisico localizzato in uno specifico punto dello spazio quadrimensionale in un sistema di riferimento fissato (X, Y, Z, T).

- Punto evento: sono le coordinate istantanee (x, y, z, t) di un evento, cioè un punto preciso dello spazio, nell'istante in cui si verifica il fenomeno fisico.

- Linea di universo: questa linea rappresenta il percorso compiuto dagli oggetti, essa unisce i punti evento corrispondenti alle coordinate istantanee.

In realtà lo spazio-tempo di Minkowski appare come un usuale spazio euclideo, su cui è però definita una distanza differente da quella euclidea (già introdotta nel post "Tempo Proprio (e paradosso dei gemelli)"):
∆s2=c2∆t2-∆x2
dove ∆x e ∆t indicano rispettivamente gli intervalli di spazio e di tempo tra due eventi in un dato sistema di riferimento inerziale, mentre ∆s è detto separazione spazio-temporale tra gli eventi.
Nota: per semplicità consideriamo solo le coordinate (x, t) dato che le altre due coordinate (y, z) non cambiano passando da un riferimento all'altro.

In modo analogo alla classica distanza dello spazio euclideo, anche l'intervallo ∆s è un invariante per tutti gli osservatori inerziali!
Nota: i diagrammi di Minkowski si applicano solo nell'ambito della Relatività ristretta, cioè in condizioni di spazio piatto (assenza di gravità).

A questo punto possiamo fare dei semplici esempi di linee di universo nello spazio-tempo di Minkowski:

a) Il primo diagramma, descritto dagli assi ortogonali (X, cT), indica la linea di universo di un corpo che si muove tra due punti evento A (partenza) e B (arrivo) con velocità v minore della luce:


In generale si osservi che l'asse cT indica la linea di universo di un osservatore O che non si sposta nello spazio (cioè x=0) ma solo nel tempo; mentre l'asse X indica la linea del suo presente (cioè tutti i punti con t=0).
Nota: se il passato non esiste più e il futuro deve ancora realizzarsi, allora il presente comprende tutti gli eventi che definiscono la realtà di O.

Si osservi che nel grafico c∆t indica la distanza che percorre la luce nel tempo ∆t (che separa i due eventi A e B); mentre la linea tratteggiata di riferimento indica la linea di universo di un raggio di luce (essendo x=ct).

Nel nostro caso risulta c∆t>∆x quindi i due eventi A e B possono essere connessi casualmente: cioè la distanza ∆x tra i due eventi può essere coperta da un oggetto con velocità v minore di quella della luce: ∆x=v∆t.
Nota: sulla connessione causale tra due eventi vedi anche il post "Prima la causa e poi... l'effetto?".

La separazione spazio-temporale tra i due eventi è quindi:
∆s2=c2∆t2-∆x2>0
e ciò caratterizza, come già detto prima, tutti gli osservatori inerziali per i quali l'intervallo ∆s resta invariato (fissati i due eventi A e B); inoltre risulta ∆s>0 per tutti gli eventi contenuti nel futuro di O.
Nota: il futuro di O è formato da tutte le posizioni dello spazio-tempo che può occupare O (cioè i punti compresi tra le due rette x=±ct con t>0).

b) In questo secondo diagramma consideriamo invece la linea di universo di un osservatore O' che si muove con velocità v rispetto all'ossevatore in quiete O del diagramma precedente:


Si può facilmente mostrare* che gli assi T' e X' di O' sono inclinati con la stessa pendenza θ come indicato in figura; inoltre per ottenere le coordinate di un qualsiasi evento P (rispetto a O') basta tracciare le parallele agli assi T' e X' (come si è fatto in modo analogo per il sistema in quiete O)**.

c) Infine in questo terzo diagramma rappresentiamo due osservatori O e O', rispettivamente in quiete e in moto lungo l'asse X, che valutano in modo diverso lo stesso evento fisico P:


Ora l'osservatore O' si trova sulla linea del presente di O (t=0), mentre l'evento P si trova nel presente di O' (t'=0) ma allo stesso tempo si trova nel futuro di O, quindi il futuro di O (ad esempio l'evento P) si è già realizzato(!)
Nota: in sintesi se O' è reale per O e P è reale per O' allora P è reale per O (se si accetta la proprietà transitiva di realtà tra gli eventi).

Considerazioni analoghe a questa hanno fatto scrivere ad Albert Einstein: "Le persone come noi, che credono nella fisica, sanno che la distinzione tra passato, presente e futuro non è che un'illusione, per quanto tenace"***.
Nota: non esistendo in Relatività un tempo assoluto, il ragionamento precedente si può estendere a qualsiasi punto evento dello spazio-tempo.

(*) Le trasformazioni di Lorentz per x' e t' sono come è noto: x'=γ(x-vt) e t'=γ(t-vx/c2) quindi posto x'=0 (per ottenere l'asse T') e t'=0 (per ricavare l'asse X') si ha rispettivamente: t=x/v e x=t/v perciò la reciproca pendenza θ dei due assi T' e X' è la stessa (come indicato in figura).
(**) Tuttavia il tempo e lo spazio dei due osservatori O e O' non sono direttamente confrontabili sul grafico, in effetti dobbiamo considerare l'iperbole di calibrazione ∆s2=±1 per confrontare le misure.
(***) Il testo è contenuto in una lettera che Albert Einstein mandò alla moglie del suo caro amico  Michele Besso, in occasione della sua morte.

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