La Sfera di Bloch

È noto che lo stato quantistico di un qubit (quantum bit) è così definito:

|Ψ>=α|0>+β|1>

dove α e β sono numeri complessi che devono soddisfare la condizione:

|α|²+|β|²=1

per la normalizzazione a 1 della probabilità complessiva P=|α|²+|β|².
Nota: ricordiamo che |α|² e |β|² rappresentano rispettivamente la probabilità che si verifichi lo stato |0> oppure |1>.

Ricordiamo innanzitutto che valendo la formula di Eulero e^iø=cosø+isinø, in generale per un numero complesso x+iy si può scrivere:

x+iy=r(cosø+isinø)=re^iø

dove r=(x²+y²)^1/2 è il modulo e ø=arctan(y/x) è l'angolo tra r e la sua proiezione sull'asse X (pari a rcosø).
Inoltre ricordiamo che:

|x+iy|²=|re^iø|²=r²(e^iøe^-iø)=r²

poiché |e^iø|²=(e^iøe^-iø)=1 essendo e^-iø il complesso coniugato di e^iø.
Nota: è noto che il modulo al quadrato di un numero complesso è dato dal prodotto di quel numero per il suo coniugato.

Quindi possiamo porre nel nostro caso per i coefficienti complessi α e β:

α=r₁e^iø₁   e   β=r₂e^iø2

dove ø₁ e ø₂ sono due angoli qualsiasi compresi tra 0 e 2π.
Se inoltre poniamo r₁=rcosθ e r₂=rsinθ con r=1 si ha come richiesto:

|α|²+|β|²=|r₁e^iø₁|²+|r₂e^iø₂|²=cosθ²+sinθ²=1

poiché |e^iø₁|²=|e^iø₂|²=1 come visto sopra.

Quindi per lo stato di un qubit vale la seguente relazione:

|Ψ>=α|0>+β|1>=cosθ(e^iø₁)|0>+sinθ(e^iø₂)|1>

definita in funzione degli angoli θ, ø₁ e ø₂ di cui daremo di seguito una rappresentazione geometrica.

Si osservi però che moltiplicando lo stato |Ψ> per e^-iø₁ si ottiene un nuovo stato |Ψ'>=e^-iø₁|Ψ>:

|Ψ'>=e^-iø₁|Ψ>=e^-iø₁(α|0>+β|1>)=cosθ|0>+sinθ(e^iø)|1>

dove ø=ø₂-ø₁.
Tuttavia la probabilità degli stati |0> e |1> resta invariata infatti:

|e^-iø₁α|²=(e^-iø₁α)(e^-iø₁α)*=(e^-iø₁e^iø₁)(αα*)=|α|²

e lo stesso vale per |e^-iø₁β|²=|β|².
Nota: qui il simbolo (*) indica il valore coniugato del numero complesso.

Perciò possiamo omettere il termine e^-iø₁ dallo stato |Ψ'> poiché non ha effetti osservabili sperimentalmente e possiamo riscrivere:

|Ψ'> => |Ψ>=cosθ|0>+sinθ(e^iø)|1>.

Infine per evidenziare una rappresentazione geometrica definiamo lo stato |Ψ> in funzione delle variabili x, iy e z ponendo:

cosθ=z

sinθ(e^iø)=sinθcosø+isinθsinø=x+iy

o in modo equivalente

x=sinθcosø
y=sinθsinø
z=cosθ.

Ciò significa che se x, y e z vengono interpretate come coordinate, esse rappresentano le coordinate polari di una sfera di raggio unitario* |Ψ|=1:

Perciò lo stato |Ψ> in funzione delle coordinate x, iy e z diventa:

|Ψ>=cosθ|0>+sinθ(e^iø)|1>=z|0>+(x+iy)|1>

quindi le coordinate di |Ψ> al quadrato, cioè z² e |(x+iy)|², rappresentano rispettivamente la probabilità che si verifichi lo stato |0> oppure |1>.
Nota: si ricordi che in generale |(x+iy)|²=(x+iy)(x-iy)=x²+y².

Si noti però che quando θ=0 risulta |Ψ>=|0> mentre se θ=π/2 si ha** |Ψ>=|1> quindi per una descrizione completa della sfera possiamo porre:

|Ψ>=cos(θ/2)|0>+sin(θ/2)(e^iø)|1>

dove 0≤θ≤π e 0≤ø<2π.
Questa rappresentazione geometrica*** dello spazio degli stati puri di un sistema quantistico a 2 stati è detta sfera di Bloch (vedi Wikipedia).

(*) Risulta |Ψ|²=<Ψ|Ψ>=(<0|α*+<1|β*)|(α|0>+β|1>)=α*α+β*β=1 essendo <0|0>=1, <0|1>=0, <1|0>=0 e <1|1>=1 per l'ortogonalità di |0> e |1>.
(**) Se poniamo θ=π/2 allora |Ψ>=e^iø|1> che è equivalente a |Ψ>=|1> essendo |e^iø|² =1 (cioè la probabilità dello stato |1> non cambia).
(***)  Correttamente risulta per le probabilità dei due stati:
|cos(θ/2)|²+|sin(θ/2)(e^iø)|²=cos²(θ/2)+sin²(θ/2)=1 essendo |e^iø|² =1.