La Funzione d'Onda (quantistica)

Ci siamo già occupati (nel post "L'Equazione della Funzione d'Onda") dell'equazione che descrive la dinamica di un sistema quantistico attraverso la relativa funzione d'onda; vediamo ora qual è il significato fisico di questa particolare funzione.

Secondo Wikipedia "in meccanica quantistica, la funzione d'onda rappresenta uno stato fisico del sistema quantistico. È spesso una funzione complessa delle coordinate spaziali e del tempo e il suo significato è quello di ampiezza di probabilità. Il suo modulo quadro quindi rappresenta la densità di probabilità dello stato sulle posizioni".

Per chiarire il significato fisico della funzione d'onda sarebbe necessario introdurre alcuni concetti quantistici, come quelli di stato quantico, di grandezza osservabile e del principio di sovrapposizione (solo per citarne alcuni) ed in particolare andrebbe prima definito il relativo spazio di Hilbert; poiché, essendo la funzione d'onda una funzione complessa, essa deve essere trattata in uno spazio complesso.

Tuttavia introdurremo qui l'interpretazione della funzione d'onda data per primo dal fisico tedesco Max Born nel 1926, quando ancora le definizioni di cui sopra non erano state del tutto chiarite o introdotte (vedi Wikipedia).

Ora si osservi che "se in meccanica classica, lo stato di una particella viene definito attraverso il valore esatto delle due quantità osservabili posizione e impulso (variabili canoniche); in meccanica quantistica, invece, lo stato di una particella è descritto (nella rappresentazione di Schröedinger) da una funzione d'onda" (vedi Wikipedia).

Veniamo quindi all'interpretazione data dal Nobel per la Fisica Max Born.
In breve "Max Born mise in correlazione il concetto di funzione d'onda con la probabilità di rinvenire una particella in un punto qualsiasi dello spazio basandosi sull'analogia* con la teoria ondulatoria della luce, per la quale il quadrato dell'ampiezza E² dell'onda elettromagnetica in una regione dello spazio rappresenta in pratica la sua intensità" (vedi Wikipedia).

Si osservi infatti (come abbiamo già visto nel post "Un effetto Foto-elettrico!"), che l'intensità di un'onda elettromagnetica - cioè l'energia dell'onda che attraversa una superficie elementare nell'unità di tempo - è definita dal vettore di Poynting S e che, ad esempio, nel caso di una onda piana il suo modulo è proporzionale al quadrato del campo elettrico E:

S=E²/Z

essendo Z=(µ/ε)^1/2 l'impedenza caratteristica del materiale dove si propaga l'onda (ε e µ sono la permittività elettrica e la permeabilità magnetica).
Nota: in generale la densità di energia di un'onda e.m. (solitamente indicata con u) è proporzionale a E² risultando: u=εE².

Poiché come è noto l'intensità di un'onda e.m. è proporzionale al numero di fotoni dell'onda**, ciò implica che il quadrato dell'ampiezza del campo elettrico E²(r) (in un punto r qualsiasi dello spazio) sarà proporzionale alla densità di probabilità di trovare un fotone in quella determinata posizione.

Per analogia, secondo Born, "risulta possibile determinare la probabilità con la quale un elettrone può essere rinvenuto all'interno di un volume elementare dV in un determinato punto r effettuando il prodotto ψ²(r)dV"; ciò significa che il modulo quadro ψ²(r) rappresenta la densità di probabilità della funzione d'onda.
Nota: nel caso di una funzione d'onda complessa la probabilità è proporzionale al prodotto ψψ* dove ψ* è la funzione coniugata complessa.

A questo punto è utile fare un esempio. Se applichiamo l'equazione di Schrödinger ad un atomo di idrogeno (costituito da un protone ed un elettrone), la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'elettrone intorno all'atomo (cioè lo stato stabile a minor energia) risulta:

ψ(r)=ke^-r/a₀

dove k=1/(πa₀³)^1/2 mentre a₀ è il raggio di Bohr.
Nota: si osservi che ψ(r) ha una simmetria sferica, cioè dipende dal modulo del vettore r applicato nel centro dell'atomo e non dalla sua direzione***.

Perciò, essendo la simmetria sferica, calcoliamo la probabilità radiale (definita come P(r)dr=ψ²(r)dV) di trovare l'elettrone nel guscio compreso tra le sfere di raggio r e r+dr e di volume dV=4πr²dr:

ψ²(r)dV=(ke^-r/a₀ )²4πr²dr=P(r)dr.

Da ciò segue che la densità di probabilità radiale P(r)=(ke^-r/a₀ )² 4πr² ha il suo massimo nel punto r=a₀ (basta porre dP(r)/dr=0 per ottenere il punto di massimo) che coincide con il raggio già derivato da Bohr.

Nota: essendo il risultato probabilistico, l'elettrone potrebbe trovarsi anche in altre zone intorno al nucleo ma con minor probabilità.

(*) L'analogia con la teoria ondulatoria della luce si basa sul fatto (vedi il post "L'ipotesi di de Broglie: L=h/p") che se L e T sono rispettivamente la lunghezza e il periodo di un'onda, allora per una particella di energia E e quantità di moto p sono per ipotesi valide le due relazioni fondamentali: T=h/E e L=h/p da cui discende la possibilità di associare, ad una determinata particella, la relativa funzione d'onda (come descritto nel post "L'Equazione della Funzione d'Onda").
(**) Sull'introduzione del fotone in fisica, la cui energia è pari a E=h/T (dove T è il periodo dell'onda), vedi il post "Un effetto Foto-elettrico!".
(***) L'energia potenziale dell'atomo di idrogeno (protone ed elettrone interagiscono attraverso la forza conservativa coulombiana) è definita come U(r)=-(1/4πε₀)e²/r e quindi ha simmetria sferica.

Il Moto Browniano

Nel presente post faremo uso di due argomenti già introdotti in altri articoli: "La Legge di Stokes" e "L'Equipartizione dell'Energia" (a cui rimandiamo); entrambi fondamentali per trattare il Moto Browniano che prende il nome dal botanico scozzese Robert Brown che per primo lo descrisse nel 1827.

In breve "con il termine moto browniano si fa riferimento al moto disordinato delle particelle (aventi diametro dell'ordine del micrometro) presenti in fluidi o sospensioni fluide" (come il polline disperso in acqua).
In pratica "questo è dovuto al fatto che la particella in questione subisce un gran numero di eventi di scattering (urti) da parte delle molecole del fluido in cui è immersa" (per i dettagli vedi Wikipedia).

Nel suo articolo del 1905 il giovane Albert Einstein, per trattare teoricamente il moto browniano*, fece l'ipotesi fondamentale che le particelle sospese nel fluido si comportassero come molecole di gas alle quali si può applicare il noto teorema di equipartizione dell'energia (vedi il post "L'Equipartizione dell'Energia"), proprio a causa del continuo bombardamento molecolare**.

Einstein osservò che una particella di massa m e raggio r immersa in un fluido (in equilibrio termodinamico alla temperatura T) è, per ipotesi, soggetta alle seguenti tre forze:
a) Forza di attrito viscoso: quella esercitata su di una sfera di raggio r immersa in un fluido che si muove a velocità v(t) (vedi il post "La Legge di Stokes"): F_d(t)=-kv(t) dove k=6πµr e µ è il coefficiente di viscosità.
b) Forza d'urto casuale: dovuta agli urti delle molecole del fluido con la particella, la indicheremo genericamente così: F_s(t).
Nota: poiché per ipotesi la forza F_s(t) fluttua continuamente, senza direzioni privilegiate, il suo valore medio è nullo: <F_s(t)>=0.

c) Forza di gravità: si suppone che la forza F_g (data la piccola massa m della particella in sospensione) sia trascurabile rispetto agli urti delle molecole e quindi non la considereremo: F_g≈0.

Perciò la risultante F(t) delle forze applicate è F(t)=F_d(t)+F_s(t) e quindi, considerando per semplicità solo l'asse X, dalla seconda legge di Newton (cioè F(t)=md²x(t)/dt²) risulta:

md²x(t)/dt²=-kdx(t)/dt+F_s(t)

dove x(t) indica la posizione della particella lungo X al tempo t e dove dx(t)/dt=v(t) è la velocità istantanea della particella; si tratta perciò di trovare il valore di x(t) quale soluzione della precedente equazione.

Tuttavia, poiché il valore medio della posizione x(t) è nullo (cioè <x(t)>=0 essendo la direzione degli urti del tutto casuale la particella in media non si sposta), è molto più utile ricavare lo spostamento quadratico medio <x²(t)> che, essendo indipendente dal segno (cioè dalla direzione di spostamento), è sicuramente non nullo e valutabile sperimentalmente.

Per trasformare l'equazione precedente in funzione di x²(t) (e poi facendo la media) si osservi che in generale, applicando le regole di derivazione, si ottiene (derivando per due volte x²(t)):

dx²(t)/dt=2x(t)dx(t)/dt   =>   d²x²(t)/dt²=2(dx(t)/dt)²+2x(t)d²x(t)/dt²

da cui segue subito: 2x(t)d²x(t)/dt²=d²x²(t)/dt²-2(dx(t)/dt)².

Quindi moltiplicando tutti i termini dell'equazione differenziale per 2x(t) e sostituendo il valore di 2x(t)d²x(t)/dt² prima ricavato si ha:

md²x²(t)/dt²-2m(dx(t)/dt)²=-2kx(t)dx(t)/dt+2x(t)F_s(t)

(si ricordi che (dx(t)/dt)²=v²(t)).

Se infine consideriamo i valori medi dei vari termini (in linea con la nostra trattazione statistica), si ottiene la seguente equazione in funzione di <x²(t)> (prendendo i valori medi dell'equazione sopra e riordinando i termini):

md²<x²(t)>/dt²+kd<x²(t)>/dt=2m<v²(t)>+2<x(t)F_s(t)>

dove abbiamo sostituito 2x(t)dx(t)/dt con dx²(t)/dt (vedi sopra).

Poiché <x(t)F_s(t)>=<x(t)><F_s(t)>=0 (essendo x(t) e F_s(t) due variabili indipendenti con <F_s(t)>=0) ed essendo per il Teorema di equipartizione dell'energia (1/2)m<v²(t)>=(1/2)k_BT (questo è il punto cruciale del ragionamento) l'equazione precedente prende la forma di un'equazione differenziale del secondo ordine in y(t)=<x²(t)>:

md²y(t)/dt²+kdy(t)/dt=2k_BT

la cui soluzione è (si può facilmente verificare per sostituzione):

<x²(t)>=(2k_BT /k)[t+(m/k)(e^-kt/m-1)]

dove si è posto per la posizione e la velocità iniziali: x(0)=0 e v(0)=0.

Risulta perciò che per tempi relativamente lunghi (cioè per t>>m/k) si ha

[t+(m/k)(e^-kt/m-1)]-->t

e quindi segue***

<x²(t)>≈2Dt   dove   D=k_BT/k (costante).

Ciò significa che lo spostamento quadratico medio delle particelle (lungo X ma generalizzabile in tre dimensioni) è direttamente proporzionale al tempo (essendo D costante, fissata la temperatura T).
Nota: si osservi che la costante D è proporzionale alla temperatura T e inversamente proporzionale a k=6πµr con µ coefficiente di viscosità.

Ricordiamo infine che il significato fisico dell'equazione di <x²(t)> è legato alle ipotesi statistiche della teoria cinetica dei gas (da cui discende l'equipartizione dell'energia) e che la dipendenza dal tempo è stata verificata per la prima volta dal chimico-fisico francese Jean Perrin nel 1908, campionando le misure su molti intervalli di tempo di uguale durata.

Ciò che è ancora più notevole è che, grazie a questa argomentazione teorica "nel 1905 Albert Einstein correlò il moto browniano all'esistenza di atomi e molecole che a quell'epoca erano ancora una ipotesi"(!) (vedi Wikipedia).

 (*) La trattazione più semplice qui riportata è stata formulata nel 1908 da Pierre Langevin, sebbene la prima spiegazione quantitativa sia stata data da Einstein nel suo famoso articolo del 1905.
(**) In effetti, se il polline non fosse in continuo movimento lungo direzioni casuali (grazie agli urti delle molecole del fluido) finirebbe sul fondo del recipiente a causa della forza di gravità a cui è sottoposto.
(***) Poiché la costante di Boltzman è k_B=R/N_A dove N_A è il numero di Avogadro, una volta noto lo spostamento quadratico medio <x²(t)> è possibile derivare il valore di N_A (essendo R la costante universale dei gas).

L'Equipartizione dell'Energia

In questo post enunceremo e poi deriveremo il Teorema di equipartizione dell'energia che, ricordiamo, "permette di valutare l'entità della energia interna di un sistema termodinamico sulla base di una trattazione classica, non considerando dunque la quantizzazione dell'energia: essa è fondata sulla meccanica statistica classica, cioè la descrizione newtoniana o descrizioni più generali, tipo la formulazione hamiltoniana, con particolare riferimento alle ipotesi della teoria cinetica dei gas".

Vediamo quindi l'enunciato.
Il principio (o teorema) dell'equipartizione dell'energia afferma:

"Per ogni grado di libertà quadratico che compone il moto complessivo di una particella, si ha un contributo di energia pari a (1/2)k_BT ovvero (1/2)RT per mole" dove k_B è la costante di Boltzmann, R la costante universale dei gas e T la temperatura assoluta (per i dettagli vedi Wikipedia).
Nota: come vedremo ciò significa che la temperatura è strettamente correlata all'energia cinetica media delle particelle di un gas.

Osserviamo subito che il modello, e il relativo significato fisico, su cui si basa il principio di equipartizione è quello della Teoria cinetica dei gas; ricordiamo perciò che la teoria cinetica si basa sull'assunzione di "alcune ipotesi fondamentali:

1. Le molecole di cui sono composti i gas sono considerate come punti materiali in moto casuale e a distribuzione uniforme nello spazio e seguono l'ipotesi del caos molecolare.
2. Le molecole collidono tra loro e con le pareti del recipiente con urti perfettamente elastici.
3. Il numero delle molecole è grande cosicché si possano usare metodi statistici.
4. Il volume totale delle molecole dei gas è trascurabile rispetto al volume del contenitore.
5. L'interazione tra le molecole è trascurabile, eccetto durante l'urto tra di loro che avviene in maniera impulsiva.
6. Le molecole sono perfettamente sferiche e identiche tra loro.
7. Gli effetti relativistici e quantistici sono trascurabili".
   (Vedi Wikipedia).
   Nota: se trascuriamo l'interazione tra le molecole (cioè l'energia potenziale) la sola energia presente è per ipotesi quella cinetica delle molecole del gas.

Tenendo ben presente queste ipotesi, e supponendo di essere in condizioni di equlibrio termodinamico (poiché le variabili termodinamiche sono ben definite solo all'equilibrio), possiamo derivare il nostro teorema, calcolando dapprima la pressione esercitata dalle molecole del gas sulle pareti.

Poiché il nostro modello presuppone che le medie dei valori cinematici delle molecole contenute nel gas siano in relazione con i valori termodinamici, consideriamo la velocità media delle molecole che urtano una parete del contenitore del gas (ad esempio la componente lungo l'asse X)* e che indichiamo con <v_x> (per il caso tridimensionale vedi la nota***).

Le molecole che ad un certo istante colpiscono la parete di superficie S sono tutte contenute, posto un intervallo di tempo ∆t, nel parallelepipedo di base S e altezza media <h>=<v_x>∆t e quindi il volume medio che le racchiude è:

<V>=S<h>.

Perciò se ρ è la densità del gas, la massa media <M> delle molecole urtanti contro la parete è:

<M>=(1/2)ρ<V>=(1/2)ρS<v_x>∆t

dove il fattore 1/2 è dovuto al fatto che, in media, solo metà delle molecole contenute in <V> è diretta verso la parete (le altre hanno verso opposto a causa dell'urto elastico contro la parete).

Nota: questo risultato tiene conto che le molecole si scontrano tra loro prima di arrivare alla parete cambiando, mediamente, direzione.

L'impulso della quantità di moto media trasferita alla parete è quindi:**

∆P=2<Mv_x> 

che possiamo esprimere per ipotesi (e in modo approssimato) come la forza totale F=∑_iF_i esercitata da tutte le particelle i-esime sulla parete nel tempo ∆t; cioè poniamo per l'impulso la relazione ∆P≈F∆t (posto F=costante) da cui segue (ricordando il valore di <M> prima ricavato):

F∆t≈∆P=2<Mv_x>=ρS<v_x>²∆t.

Nota: in realtà il tempo ∆t_i di azione di ogni singola forza impulsiva F_i dipende dalla velocità della particella; come vedremo di seguito un calcolo più preciso, dove ∆P=∑_iF_i∆t_i (e non ∆P≈F∆t), porta ad un risultato corretto.

Infine, risultando dall'equazione precedente F≈ρS<v_x>², la pressione termodinamica esercitata sulla parete pari a p=F/S è:

p≈ρ<v_x>².

Quindi il valore della pressione del gas, secondo questo calcolo del tutto approssimato, è direttamente proporzionale alla velocità media al quadrato delle particelle che lo costituiscono.

Come anticipato un calcolo più dettagliato mostra, correttamente, la dipendenza della pressione dalla velocità quadratica media <v_x² > (invece che dalla velocità media al quadrato <v_x>²) delle particelle del gas: 

p=ρ<v_x²>.

Nota: essendo v²=v_x²+v_y²+v_z² possiamo anche scrivere p=(1/3)ρ<v²> (poiché <v²>=<v_x²>+<v_y²>+<v_z²> e <v_x²>=<v_y²>=<v_z²>).

Vediamo in breve come si ottiene questo risultato (su base statistica).

Dato ad esempio un volume cubico V=L³ (L è il lato del volume) l'intervallo di tempo tra due collisioni sulla stessa parete S=L² (della particella i-esima di massa m) è ∆t_i=2L/v_ix (dove v_ix è la velocità media della particella lungo X ); la forza impulsiva impressa su S è perciò F_i=∆P_i/∆t_i (supponiamo F_i costante) da cui segue F_i=2mv_ix/∆t_i=mv_ix²/L.
Quindi la pressione totale p=F/S esercitata sulla parete da tutte le particelle è p=(∑_iF_i)/L²=(∑_iv_ix²)(m/L³) ed essendo la densità ρ=(Nm)/L³ (N è il numero di particelle) segue p=ρ<v_x²> poiché <v_x²>=(1/N)∑_iv_ix² (cvd).

Nota: si osservi che il risultato ottenuto è, in generale, indipendente dal volume V considerato.

Perciò dall'equazione dei gas perfetti pV=nRT (dove n è il numero di moli, vedi il post "Un gas ideale o... perfetto!") possiamo ricavare (moltiplicando l'equazione precedente per il volume V del gas):

pV=ρV<v_x²>=nRT

da cui essendo ρ=M/V la densità del gas si ottiene M<v_x²>=nRT (dove M è la massa totale del gas).

Quindi poiché m=M/n è la massa di ogni mole di gas (cioè un numero di particelle uguale al numero di Avogadro) l'energia cinetica media di ogni mole (dovuta al moto traslatorio lungo l'asse X)*** sarà:

<E_c>=(1/2)m<v_x²>=(1/2)RT.

Risulta perciò evidente la correlazione fisica, secondo principi di meccanica statistica, tra la temperatura (variabile termodinamica) e l'energia cinetica del gas (variabile meccanica) per ogni grado di libertà quadratico del gas.
Nota: poiché la costante di Boltzman è k_B=R/N_A (dove N_A è il numero di Avogadro), vale anche la relazione equivalente <E_c>=(1/2)m<v_x²>=(1/2)k_BT essendo m=m/N_A la massa di ogni singola particella.

(*) Per ipotesi è solo la componente lungo l'asse X, che supponiamo perpendicolare alla parete del gas, che determina la pressione sul recipiente.
(**) Poiché gli urti, per ipotesi, sono completamente elastici e la velocità media delle molecole dopo l'urto è -<v_x> (dato che l'energia cinetica si conserva) si ha per la variazione della quantità di moto delle particelle:
∆P=<P_finale>-<P_iniziale>=-<Mv_x>-<Mv_x>=-2<Mv_x>.

Quindi affinché la quantità di moto totale si conservi, quella che viene assorbita dalla parete sarà +2<Mv_x> (in modo che ∆P_totale=0).
(***) Si noti che questo è il contributo dovuto solo alla componente v_x ma essendo v²=v_x²+v_y²+v_z² dovremo moltiplicare (in assenza di direzioni privilegiate) per i 3 gradi di libertà ottenendo <E_c>=(1/2)m<v²>=(3/2)RT per moti tridimensionali; tuttavia, possiamo anche avere ulteriori gradi di libertà, come ad esempio i moti rotazionali delle molecole biatomiche (ottenendo in questo caso <E_c>=(5/2)RT poichè la rotazione lungo l'asse di congiunzione non è significativa).

Analisi dimensionale: un esempio!

In questo post vedremo come a volte, ricorrendo ad una semplice analisi dimensionale, è possibile risolvere un problema fisico anche complesso; ad esempio quello di determinare la velocità critica alla quale il flusso di un fluido diventa turbolento.

Abbiamo già trattato un liquido con flusso laminare (vedi il post "La Legge di Stokes"): ricordiamo di nuovo che "in fluidodinamica si parla di flusso laminare o di regime laminare quando il moto del fluido avviene con scorrimento di strati infinitesimi gli uni sugli altri senza alcun tipo di rimescolamento di fluido, neanche su scala microscopica" (vedi Wikipedia).

In generale si può affermare che "il flusso di un fluido viscoso a basse velocità si può considerare laminare; tuttavia quando la velocità è sufficientemente elevata, il moto diventa disordinato e irregolare, cioè turbolento"*.
Si pone perciò il problema di determinare la velocità critica alla quale il moto di un fluido diventa turbolento; in pratica si vuole sapere da quali parametri dipende la velocità media degli strati di fluido (rispetto al tubo in cui scorre), alla quale il flusso laminare diventa irregolare.

Perciò la prima domanda che dobbiamo porci è: da cosa dipende la velocità critica v_c del fluido in esame?
Possiamo ragionevolmente supporre che essa dipenda dal coefficiente di viscosità µ, dalla densità ρ del fluido e dal diametro d del tubo; scriviamo quindi la seguente relazione di proporzionalità:

v_c÷µ^aρ^bd^c

dove il segno ÷ indica appunto una relazione di proporzionalità (diretta o inversa) che dipende dal segno degli esponenti a, b e c che ora ci proponiamo di ricavare.

Riscriviamo perciò l'equazione precedente in termini dimensionali:

 [v_c]=[µ^a][ρ^b][d^c]

e quindi, ricordando che le dimensioni di tutte le grandezze fisiche sono espresse dai relativi simboli (in questo caso M, L, e T che rappresentano rispettivamente massa, lunghezza e tempo), possiamo scrivere una relazione tra le dimensioni fondamentali (vedi Wikipedia) delle singole grandezze fisiche**:

(L/T)=(M/LT)^a(M/L³)^b(L)^c.

È facile risolvere questa equazione dimensionale e ricavare gli esponenti:

a=1, b=-1 e c=-1

e quindi, tornando all'equazione di proporzionalità prima introdotta, si ottiene per la velocità critica del fluido (a meno di una costante adimensionale):

v_c÷µ/ρd.

In effetti, per poter inserire il segno di uguale (cioè per ottenere una relazione che risulti esatta sperimentalmente) dobbiamo introdurre una costante adimensionale, indicata con R_e e detta numero di Reynolds:

v_c=R_eµ/ρd.

Si noti che il numero di Reynolds R_e=vρd/µ determina, a parità dei valori di µ, ρ e d, il flusso turbolento (oppure laminare o di transizione intermedia) di un determinato fluido; ciò significa che in generale v indica una velocità qualsiasi del fluido ma una volta determinata sperimentalmente la velocità critica v_c alla quale il flusso diventa turbolento (oppure laminare o di transizione) si può ottenere il valore corrispondente di R_e della conduttura in esame (vedi Wikipedia).

Si osservi infine che dalla relazione precedente risulta evidente che la viscosità µ del fluido determina la sua resistenza nel mantenere un flusso laminare (poiché fa aumentare la velocità critica del fluido alla quale diventa turbolento) ovviamente a parità di densità ρ del fluido e di diametro d del tubo.

Se in particolare fissiamo pressione e temperatura (e quindi la viscosità non varia se il fluido è newtoniano)*** e se la densità ρ è costante (fluido incomprimibile) allora il valore di R_e dipende solo dalla particolare geometria della conduttura: ad esempio, per condutture cilindriche risulta R_e≈4.000 per la velocità critica di passaggio al regime turbolento.

(*) Nel caso di flusso turbolento il moto è regolato dalle leggi del caos deterministico; ciò significa che "se fossimo in grado di conoscere esattamente tutto il campo di velocità del fluido in un dato istante e fossimo in grado di risolvere le equazioni di Navier-Stokes potremmo ottenere tutti i campi del moto futuro. Ma se conoscessimo il campo con una piccolissima imprecisione questa dopo un certo tempo renderebbe la soluzione trovata completamente differente da quella reale" (vedi Wikipedia).
(**) Si veda anche il post "Ma cosa significa Misurare?" dove abbiamo indicato le sette grandezze fondamentali del Sistema Internazionale: il sistema di unità di misura universalmente accettato dai fisici.
(***) "In un fluido newtoniano, la viscosità dipende, per definizione, solo dalla temperatura e dalla pressione (e dalla composizione chimica del fluido se esso non è una sostanza pura), non dalla forza applicata" (vedi Wikipedia).
(Per chiarimenti sulla viscosità si veda il post "La Legge di Stokes").

La Legge di Stokes

Per introdurre la legge di Stokes dobbiamo prima derivare il coefficiente di viscosità di un liquido; ricordiamo che con viscosità si intende "una grandezza fisica che quantifica la resistenza dei fluidi allo scorrimento, quindi la coesione interna del fluido" (vedi Wikipedia).

A tale scopo consideriamo un fluido che scorre tra due piani paralleli posti a distanza z e supponiamo che il piano superiore (di superficie S) sia posto in movimento costante v_z da una forza F applicata tangenzialmente al piano*; mentre il piano inferiore è in quiete rispetto al laboratorio.
Inoltre, a causa della viscosità tra il piano superiore e il fluido sottostante, anche il fluido a contatto verrà messo in moto trascinando a sua volta gli strati sottostanti (cioè la viscosità agisce anche tra gli strati stessi del fluido).

Immaginiamo quindi che il fluido sia costituito da strati elementari (paralleli ai due piani) ognuno di spessore infinitesimo ∂z e supponiamo che ogni strato elementare differisca di una velocità relativa v costante da quello del corrispondente strato sottostante (supponiamo cioè un flusso laminare).

Ora la deformazione ø dello strato di fluido considerato, dovuta alla forza applicata F (o meglio allo sforzo di taglio tangenziale definito come il rapporto F/S vedi oltre), sarà data per definizione dallo spostamento infinitesimo ∂x delle particelle del fluido dello strato considerato, rispetto allo spessore dello strato stesso e pari a ∂z:

ø=∂x/∂z

dove ∂x=v∂t è lo spostamento percorso nel tempo ∂t dalle particelle dello strato in esame con velocità relativa v rispetto a quello sottostante.
Nota: la definizione di deformazione ø=∂x/∂z dovuta allo sforzo di taglio è l'analogo di quella data per lo sforzo di trazione ε=δl/l che indica la deformazione lungo un campione di lunghezza l.

Inoltre la relazione che lega lo sforzo di taglio, definito come il rapporto F/S, alla variazione della deformazione ∂ø nel tempo ∂t è per definizione (fissata temperatura e pressione):

F/S=µ∂ø/∂t

dove µ è il ricercato coefficiente di viscosità del liquido.
Nota: possiamo anche scrivere (F/S)∂t=µ∂ø e integrando nel tempo si ottiene (F/S)t=µø cioè la deformazione ø nel tempo è proporzionale allo sforzo di taglio e inversamente proporzionale a µ: ø=(F/S)t/µ.

Infine avendo definito ø=∂x/∂z segue ∂ø/∂t=∂²x/∂z∂t=∂v/∂z e quindi si ha:

F/S=µdv/dz.

Nota: v(z)=∂x/∂t è costante rispetto a t ma varia rispetto alla distanza z tra i due piani; inoltre si ha per le derivate incrociate ∂²x/∂z∂t=∂²x/∂t∂z=∂v/∂z essendo dx(z,t)=(∂x/∂z)dz+(∂x/∂t)dt un differenziale esatto.

In definitiva avremo perciò, come definizione del coefficiente di viscosità (valido nel caso considerato per lo scorrimento tra due piani): 

µ=(F/S)(dz/dv)=(F/S)(z/v_z)

essendo per ipotesi dv/dz=v_z/z il gradiente di velocità lungo z (ricordiamo che v_z è la velocità del piano superiore mentre z è la distanza tra i due piani).
Nota: è necessario osservare però che "normalmente accanto a ogni misura di viscosità, occorre indicare in che condizioni e con quale strumento (inclusi marca e modello) è stata realizzata" (vedi Wikipedia).

Si noti che questa relazione è valida per un fluido newtoniano, un fluido cioè dove "la viscosità dipende, per definizione, solo dalla temperatura e dalla pressione (e dalla composizione chimica del fluido se esso non è una sostanza pura), ma non dalla forza applicata" (vedi Wikipedia).

Il significato fisico di µ per un fluido è in realtà da ricercare nelle forze di coesione intermolecolari; infatti all'aumentare della temperatura, e quindi dell'energia cinetica delle molecole, la viscosità diminuisce poiché si riduce l'effetto delle forze di coesione tra le molecole (accade viceversa nei gas).

A questo punto, come anticipato, abbiamo tutti gli elementi per introdurre la legge di Stokes che definisce una particolare forza di attrito dinamica** che indicheremo con F_d.

Ecco l'enunciato (vedi Wikipedia):

"La legge di Stokes del 1851 esprime la forza di attrito viscoso a cui è soggetta una sfera in moto rispetto ad un fluido, con un numero di Reynolds R_e minore di 10⁵ (cioè per un flusso laminare)***: 

F_d=-6πµrv

dove F_d è la forza dinamica di attrito viscoso, µ è il coefficiente di viscosità, r è il raggio della sfera e v è la velocità della sfera rispetto al fluido".
Nota: quando il numero di Reynolds è superiore a 10⁵ (quindi per un flusso turbolento) la legge di Stokes diviene quadratica, cioè è proporzionale al quadrato della velocità.

In particolare si osservi che il numero di Reynolds R_e prima citato è una costante adimensionale che "permette di valutare se il flusso di scorrimento di un fluido è in regime laminare (in corrispondenza del quale si hanno valori più bassi del numero di Reynolds) o turbolento (in corrispondenza del quale si hanno valori più elevati del parametro)" (vedi Wikipedia).
Nota: nel post "Analisi dimensionale: un esempio!" abbiamo derivato la relazione R_e=vρd/µ dove ρ è la densità del fluido, d il diametro del tubo in cui scorre e v è la velocità del fluido.

(*) Il moto è costante proprio perché la forza F (costante) che trascina il piano è controbilanciata (una volta raggiunto lo stato stazionario) dalla forza di attrito viscoso del fluido.
(**) La legge di Stokes è valida sperimentalmente solo per piccole sfere (al più di circa 2 millimetri) fatte cadere in recipienti relativamente grandi (come ad esempio cilindri di 6-7 cm di diametro e 25-30 cm di altezza).
[Per una applicazione della legge di Stokes vedi il post "Il Moto Browniano"]
(***) Coerentemente abbiamo supposto un flusso laminare anche nella derivazione del coefficiente di viscosità µ (vedi sopra).

La Dilatazione relativa del Tempo

Come definizione generale possiamo affermare che:
"Il tempo è la dimensione nella quale si concepisce e si misura il trascorrere degli eventi" (vedi Wikipedia).
Ma dovremmo aggiungere subito che:
"L'unico modo convincente di rispondere alla domanda che cos'è il tempo è forse quello operativo, dal punto di vista strettamente fisico-sperimentale: il tempo è ciò che si misura con degli strumenti adatti" detti orologi*.

Come strumento di misura del tempo possiamo utilizzare un orologio a luce ideale** costituito da due specchi piani e paralleli che chiameremo A e B (posti rispettivamente sul pavimento e sul soffitto del nostro laboratorio) sui quali si riflette perpendicolarmente un raggio di luce.

L'unità di misura del tempo ∆t del nostro orologio ideale sarà data, per definizione, dalla distanza 2AB (cioè quella di andata e ritorno del raggio di luce)*** divisa per la velocità della luce:

∆t=2AB/c.

Nota: qui puoi vedere una semplice illustrazione dell'orologio a luce.

Ma vediamo ora come viene valutato l'intervallo di tempo ∆t' dell'orologio a luce da un osservatore inerziale che si muove orizzontalmente a velocità -v lungo l'asse X, rispetto all'osservatore in quiete con l'orologio: ∆t' in teoria potrebbe essere diverso da ∆t.
Nota: si preferisce non mettere in moto l'orologio con velocità v (magari alterandolo), si considera invece un osservatore in moto -v che misura l'intervallo ∆t' col proprio orologio (ma il risultato non cambia).

In questo caso l'osservatore in moto osserverà che il raggio di luce si muove da A a B e poi torna ancora in A (impiegando un tempo ∆t') mentre gli specchi si spostano di una distanza pari a v∆t' lungo X rispetto a lui.
Quindi il raggio di luce percorrerà, per due volte, l'ipotenusa (di lunghezza c∆t'/2) di un triangolo rettangolo di base v∆t'/2 e altezza AB.

Se per ipotesi la velocità del raggio di luce dell'orologio visto dall'osservatore in moto è sempre pari a c, risulterà per il teorema di Pitagora:

(c∆t')²=(2AB)²+(v∆t')²

ed essendo per l'osservatore in quiete 2AB=c∆t (vedi sopra), segue

∆t'=∆t/(1-v²/c²)^1/2.

Nota: abbiamo assunto per motivi di simmetria che la distanza AB, perpendicolare al moto, sia la stessa misurata in entrambi i riferimenti (vedi il post "La Contrazione relativa delle Lunghezze"). 

Il significato fisico del nostro esperimento è il seguente:
l'intervallo di tempo ∆t' misurato dall'osservatore in moto appare maggiore rispetto all'intervallo temporale ∆t dell'orologio misurato in quiete.
Nota: ∆t si definisce tempo proprio poiché è quello che viene misurato dall'orologio in quiete rispetto all'osservatore (questa osservazione sarà determinante nel post "La Contrazione relativa delle Lunghezze").

Si osservi che questo risultato è dovuto a due precise ipotesi:
1) la velocità della luce c è la stessa per entrambi gli orologi, in quiete o in moto, e quindi per entrambi gli osservatori inerziali;
2) le leggi della fisica sono le stesse per tutti i sistemi inerziali, perciò l'intervallo temporale è indipendente dallo strumento utilizzato.
Nota: se la teoria della relatività è vera, qualsiasi orologio di un sistema inerziale deve segnare lo stesso tempo altrimenti, grazie allo sfasamento temporale, potremmo determinare il moto assoluto di quel riferimento.

Come è noto, da queste due ipotesi possiamo derivare le Trasformazioni di Lorentz (che ci permettono di calcolare le coordinate spazio-tempo di un dato fenomeno per qualsiasi sistema di riferimento inerziale) da cui si può ricavare la relazione relativistica tra gli intervalli temporali prima ottenuta.

(*) Secondo Wikipedia "una analisi microscopica del problema mostra come la definizione di orologio sia adatta solo a una trattazione macroscopica del problema e non consenta di formulare una definizione corretta per le equazioni del moto di particelle descritte dalla meccanica quantistica".
(**) Consideriamo qui un orologio ideale a moto perpetuo; in realtà ogni volta che il raggio di luce viene riflesso questo perde energia riscaldando le pareti degli specchi oppure disperdendo fotoni nel rimbalzo (tuttavia ciò non è significativo ai fini della nostra misura del tempo).
(***) È corretto considerare un percorso di andata e ritorno: la velocità della luce viene misurata su un percorso di andata e ritorno proprio per evitare eventuali asincronie di orologi in quiete posti a distanza (che potrebbero compromettere la misura in un percorso di solo andata).
(Il postulato di relatività assume inoltre che la velocità della luce così misurata sia la stessa in tutte le direzioni e per tutti gli osservatori inerziali).

L'Equazione della Funzione d'Onda

Abbiamo già mostrato nel post "L'ipotesi di de Broglie: L=h/p" come si possa associare ad una qualsiasi particella la fase di un'onda periodica:

S=kx±wt

dove k=2π/L e w=2π/T (essendo L e T la lunghezza e il periodo dell'onda).
In particolare si è visto che per una particella di energia E e quantità di moto p sono per ipotesi valide le due relazioni:

T=h/E     e     L=h/p

dove h è la costante di Planck.

Quindi se consideriamo una generica funzione d'onda armonica di ampiezza A e fase S=kx-wt che si propaga lungo l'asse X:

F(x,t)=Ae^i(kx-wt)

allora potremo per ipotesi associare* questa funzione d'onda ad una particella di energia E e quantità di moto p attraverso la relazione:

ψ(x,t)=Ae^{2πi(px-Et)/h}

avendo sostituito i valori di k=2πp/h e w=2πE/h nella relazione precedente.
Nota: il significato fisico di ψ(x,t) verrà trattato nel post "La Funzione d'Onda (quantistica)".

A questo punto è utile chiedersi se esiste una equazione dinamica**, che possa cioè descrivere il moto di una particella libera, di cui la funzione d'onda ψ(x,t) è soluzione; sarà poi possibile generalizzare tale equazione anche in presenza di campi di forze esterni allo scopo di derivare dei risultati che possano essere verificati sperimentalmente.

Vediamo quindi se è possibile una derivazione teorica dell'equazione d'onda (che ricordiamo è stata introdotta come ipotesi teorica dal fisico austriaco Erwin Schrödinger nel 1926) a partire proprio dalla funzione d'onda ψ(x,t).

Come prima cosa si osservi che valgono queste due relazioni di derivazione parziale di ψ(x,t):

∂ψ(x,t)/∂t=-i(2πE/h)ψ(x,t)     e     ∂²ψ(x,t)/∂x²=-(2πp/h)²ψ(x,t)

e che inoltre vale la seguente relazione (non relativistica) per l'energia cinetica di una particella di massa m e quantità di moto p=mv:

E=(1/2)mv²=p²/2m.

Ora se moltiplichiamo per ψ(x,t) entrambi i membri dell'equazione precedente si ottiene:

ψ(x,t)E=ψ(x,t)(p²/2m)

da cui ricaviamo infine (sostituendo le espressioni delle derivate parziali di ψ(x,t) prima ricavate):

(ih/2π)∂ψ(x,t)/∂t=-(h/2π)²(1/2m)∂²ψ(x,t)/∂x².

L'equazione così ottenuta è in effetti identica a quella proposta per la prima volta da Schrödinger per una particella libera.

Inoltre nel caso la particella sia soggetta ad un potenziale V(x,t) l'energia totale diventa E_tot=p²/2m+V e l'equazione d'onda assume (con le stesse ipotesi di prima) la sua forma più generale (vedi Wikipedia):

(ih/2π)∂ψ(x,t)/∂t=-(h/2π)²(1/2m)∂²ψ(x,t)/∂x²+V(x,t)ψ(x,t) 

dove per semplicità abbiamo considerato la sola dimensione X.

Tuttavia è bene sottolineare, nonostante la particolare derivazione qui mostrata, che l'equazione di Schrödinger non è in realtà ottenibile da qualche principio fisico già noto in precedenza; ma è un'equazione da assumere come ipotesi a priori il cui significato fisico è pertanto quello di una ipotesi di lavoro empirica** da verificare cioè sperimentalmente, come in effetti è già stato fatto in diversi esperimenti di laboratorio (in ambito non relativistico).

(*) Se consideriamo un'onda singola, non solo la particella non è localizzata, ma la velocità di fase V=w/k è priva di significato fisico poiché in questo caso risulta: V=E/p=c²/v>c essendo w=2πE/h e k=2πp/h (vedi sopra).
Perciò ad ogni particella dobbiamo invece associare un pacchetto d'onde (sovrapponiamo cioè un infinito numero di onde a quella fondamentale): in questo caso possiamo definire un'onda localizzata con velocità di gruppo V_g=dw/dk che rappresenta la velocità della particella (risulta infatti V_g=dE/dp=v con E=c(m₀²c²+p²)^1/2) (vedi Wikipedia).
D'altra parte si osservi però che, risultando V_g≠V, l'onda è dispersiva (vedi il post "Velocità di Fase e di Gruppo!") e non può rappresentare fisicamente una particella ben definita (che non cambia cioè forma mentre è in moto).
(**) La situazione è del tutto analoga a quella della seconda Legge di Newton; infatti la nota equazione dinamica F(r(t))=md²r(t)/dt² descrive per ipotesi il moto di un corpo di massa m sottoposto ad una forza F(r(t)) la cui soluzione r(t) permette di stabilire la posizione della particella ad ogni istante (fissato lo stato inziale r(0) al tempo t=0).