Stati misti, intrecciati e... il gatto!

Come anticipato nel post "Stati puri, miscele e sovrapposizioni!", ora analizziamo un sistema composto da due elettroni e verifichiamo se si tratta di uno stato di spin puro o misto grazie alla matrice densità prima definita*. 

Consideriamo ad esempio un sistema composto da due elettroni preparati separatamente nei seguenti stati di spin (dove u e d sta per up e down):

|Ψ>=ψ_u|u>+ψ_d|d>   e   |Φ>=φ_u|u>+φ_d|d>.

Lo stato prodotto che descrive il sistema combinato è:

|ΨΦ>=(ψ_u|u>+ψ_d|d>)⊗(φ_u|u>+φ_d|d>)

quindi sviluppando il prodotto tensoriale indicato con ⊗ si ottiene:

|ΨΦ>=ψ_uφ_u|uu>+ψ_uφ_d|ud>+ψ_dφ_u|du>+ψ_dφ_d|dd>.

con le condizioni di normalizzazione:

ψ_uψ_u+ψ_dψ_d=1   e   φ_uφ_u+φ_dφ_d=1.

Nota: ψ_u è il complesso coniugato di ψ_u e lo stesso vale per gli altri valori.

Tuttavia si osservi che in generale un sistema composto da due elettroni è descritto dal seguente stato di spin:

|Ψ>=ψ_uu|uu>+ψ_ud|ud>+ψ_du|du>+ψ_dd|dd>

che non è sempre rappresentabile da uno stato prodotto (vedi sopra) e per il quale vale la condizione di normalizzazione:

ψ_uuψ_uu+ψ_udψ_ud+ψ_duψ_du+ψ_ddψ_dd=1.

Nota: questo stato combinato è detto stato entangled (o intrecciato) quando non può essere fattorizzato in due stati separati.

Ad esempio consideriamo una coppia di elettroni, preparata con spin opposti, il cui stato combinato non fattorizzabile è:

|Ψ>=(1/2)^1/2|ud>+(1/2)^1/2|du>

dove la somma degli stati |ud> e |du> rappresenta due coppie di elettroni con spin opposti in sovrapposizione quantistica, mentre il fattore (1/2)^1/2 indica che la misura di uno dei due stati è equiprobabile poiché:

ψ_udψ_ud=ψ_duψ_du=1/2.

Nota: possiamo ad esempio pensare al caso descritto nell'esperimento EPR (per chiarimenti vedi il post "Un esperimento chiave: EPR").

Calcoliamo quindi la matrice densità, già introdotta nel post "Stati puri, miscele e sovrapposizioni!", che è così definita:

ρ=|Ψ><Ψ|=(1/2)(|ud>+|du>)(<ud|+<du|)

dalla quale svolgendo il prodotto si ottiene:

ρ=(1/2)(|ud><ud|+|ud><du|+|du><ud|+|du><du|).

Premesso che indicheremo i vettori colonna come vettori riga trasposti, scegliamo due vettori di base: |u>=(1,0)^T e |d>=(0,1)^T (dove T indica la matrice trasposta)** e sviluppiamo i prodotti tensoriali:

|ud>=(1,0)^T⊗(0,1)^T=(0,1,0,0)^T   ,   |du>=(0,1)^T⊗(1,0)^T=(0,0,1,0)^T

 <ud|=(1,0)⊗(0,1)=(0,1,0,0)   ,   <du|=(0,1)⊗(1,0)=(0,0,1,0).

Quindi, svolgendo i prodotti sopra definiti, si ottiene la matrice [4x4]:

Infatti come già visto nel precedente post, gli elementi di ρ sono i prodotti delle ampiezze di probabilità per i coniugati; in particolare nel nostro caso risulta:

ψ_udψ_ud=ψ_udψ_du=ψ_duψ_ud=ψ_duψ_du=1/2 

mentre gli altri elementi di ρ sono tutti nulli (per come è stato definito lo stato |Ψ>=ψ_ud|ud>+ψ_du|du> con ψ_ud=ψ_du=(1/2)^1/2).

A questo punto possiamo verificare facilmente la relazione ρ=ρ² (basta moltiplicare la matrice ρ per se stessa); ciò significa che siamo in presenza di uno stato puro quindi la conoscenza del sistema combinato è completa***.
Nota: il sistema è stato preparato in uno stato definito di spin perciò è puro, inoltre ciò implica una forte correlazione tra gli spin delle due particelle (poiché se un elettrone è misurato up l'altro è down e viceversa).

Tuttavia la matrice densità ρ riguarda tutto il sistema combinato mentre noi vorremmo descrivere lo stato di ogni singolo elettrone (chiamiamoli A e B).

A questo scopo introduciamo la matrice densità ridotta che permette di studiare uno dei due sottosistemi (supponiamo A) ed è così definita:

ρ_A=∑<i|ρ|i>=Tr_Bρ

rispetto ad una base di vettori |i> del sistema B.

Nota: Tr_B è l'operatore traccia parziale sulla base di B; in modo equivalente si ha ρ_B=Tr_Aρ. Inoltre se |Ψ> è uno stato prodotto risulta ρ=ρ_A⊗ρ_B.

Perciò nel caso considerato possiamo calcolare la matrice ridotta dello stato di spin dell'elettrone A (oppure di quello B) e risulta:

ρ_A=1/2(|u><u|+|d><d|)=1/2(1,0)^T(1,0)+1/2(0,1)^T(0,1)=(1/2)I₂

dove con I₂ abbiamo indicato la matrice identità [2x2]; da ciò si deduce subito che ρ_A≠ρ_A² cioè siamo in presenza di uno stato composto(!)
Nota: I è una matrice diagonale con tutti gli elementi pari a 1 perciò I²=I.

Ciò significa che gli stati dell'elettrone A (oppure di quello B) non sono in sovrapposizione quantistica, l'incertezza sullo spin è in realtà dovuta alla non completa conoscenza dello stato del sistema totale (poiché stiamo considerando solo il sottositema A) e la probabilità statistica che lo spin di un elettrone sia up oppure down è pari a 1/2.
Nota: a differenza del caso classico però, nemmeno in linea di principio si può stabilire lo stato del sotto sistema A (o B) prima della misura.

È interessante osservare che il famoso Paradosso del gatto di Schrödinger può essere trattato come lo stato entangled che abbiamo ora considerato; ciò significa che anche in questo caso non si ha sovrapposizione di due stati distinti (gatto vivo e gatto morto) poiché il sottosistema "gatto" si trova in uno stato misto di tipo statistico e non è in sovrapposizione quantistica.

(*) Nel precedente post abbiamo definito, per uno stato puro, la matrice densità ρ=|Ψ><Ψ| per la quale risulta ρ²=|Ψ><Ψ|Ψ><Ψ|=ρ; invece per uno stato misto si pone ρ=∑p_i|Ψ_i><Ψ_i| dove p_i è la probabilità che il sistema si trovi nello stato i-esimo e in questo caso risulta ρ≠ρ².
(**) Si osservi che i vettori di base scelti soddisfano correttamente le condizioni di ortonormalità: <u|u>=<d|d>=1 e <u|d>=<d|u>=0.
(***) Le teorie a variabili nascoste affermano invece che la conoscenza quantistica del sistema composto non è completa proprio perché lo stato dei singoli sottositemi non è definito con certezza.

[Si noti che lo stato |Ψ>=(1/2)^1/2|ud>+(1/2)^1/2|du> è lo stato di tripletto con spin S=1 nonostante le particelle abbiano spin opposto (come accade nello stato di singoletto |Ψ>=(1/2)^1/2|ud>-(1/2)^1/2|du> dove però S=0)]