lunedì 23 marzo 2020

Stati misti, intrecciati e...

Come detto nel post "Stati puri, miscele e sovrapposizioni!", analizzeremo un sistema composto da due elettroni e verificheremo se si tratta di uno stato di spin puro o misto grazie alla matrice densità prima definita*. 

Consideriamo ad esempio un sistema composto da due elettroni preparati separatamente nei seguenti stati di spin:
|Ψ>=ψu|u>+ψd|d>   e   |Φ>=φu|u>+φd|d>.
Lo stato prodotto che descrive il sistema combinato è:
|ΨΦ>=(ψu|u>+ψd|d>)⊗(φu|u>+φd|d>)
quindi sviluppando il prodotto tensoriale indicato con si ottiene:
|ΨΦ>=ψuφu|uu>+ψuφd|ud>+ψdφu|du>+ψdφd|dd>.
con le condizioni di normalizzazione:
ψuψu+ψdψd=1   e   φuφudφd=1.
Nota: ψu è il complesso coniugato di ψu e lo stesso vale per gli altri valori.

Tuttavia si osservi che in generale un sistema composto da due elettroni è descritto dal seguente stato di spin:
|Ψ>=ψuu|uu>+ψud|ud>du|du>dd|dd>
che non è sempre rappresentabile da uno stato prodotto (vedi sopra), inoltre in questo caso vale la condizione di normalizzazione:
ψuuψuu+ψudψudduψduddψdd=1.
Nota: questo stato combinato è detto stato entangled (o intrecciato) proprio perché non può essere fattorizzato in due stati separati.

Ad esempio consideriamo una coppia di elettroni, preparata con spin opposti, il cui stato combinato non fattorizzabile è:
|Ψ>=(1/2)1/2|ud>+(1/2)1/2|du>
dove la somma degli stati |ud> e |du> rappresenta due coppie di elettroni con spin opposti in sovrapposizione quantistica, mentre il fattore (1/2)1/2 indica che la misura di uno dei due stati è equiprobabile poiché:
ψudψudduψdu=1/2.
Nota: possiamo ad esempio pensare al caso descritto nell'esperimento EPR (per chiarimenti vedi il post "Un esperimento chiave: EPR").

Calcoliamo quindi la matrice densità, già introdotta nel post "Stati puri, miscele e sovrapposizioni!" e così definita:
ρ=|Ψ><Ψ/=(1/2)(|ud>+|du>)(<ud|+<du|)
dalla quale svolgendo il prodotto si ottiene:
ρ=(1/2)(|ud><ud|+|ud><du|+|du><ud|+|du><du|).

Premesso che indicheremo i vettori colonna come vettori riga trasposti, scegliamo due vettori di base: |u>=(1,0)T e |d>=(0,1)T (dove T indica la matrice trasposta)** e sviluppiamo i prodotti tensoriali:
|ud>=(1,0)T⊗(0,1)T=(0,1,0,0)T   ,   |du>=(0,1)T⊗(1,0)T=(0,0,1,0)T
 <ud|=(1,0)⊗(0,1)=(0,1,0,0)   ,   <du|=(0,1)⊗(1,0)=(0,0,1,0).

Quindi, svolgendo i prodotti sopra definiti, si ottiene la matrice [4x4]:
Ora come già visto nel precedente post, gli elementi di ρ sono i prodotti delle ampiezze di probabilità per i coniugati; in particolare nel nostro caso risulta:
ψudψududψduduψudduψdu=1/2 
mentre gli altri elementi di ρ sono tutti nulli.

A questo punto possiamo verificare facilmente la relazione ρ=ρ2 (basta moltiplicare la matrice ρ per se stessa); ciò significa che siamo in presenza di uno stato puro quindi la conoscenza del sistema combinato è completa***.
Nota: lo stato del sistema è stato preparato con spin nullo perciò è puro, inoltre ciò implica una forte correlazione tra gli spin delle due particelle (poiché se un elettrone è misurato up l'altro è down e viceversa).

Tuttavia la matrice densità ρ riguarda tutto il sistema combinato mentre noi vorremmo descrivere lo stato di ogni singolo elettrone (che chiameremo A e B). A questo scopo la matrice densità ridotta permette di studiare uno solo dei due sottosistemi (ad esempio A) ed è così definita:
ρA=∑<i|(|Ψ><Ψ|)/i>=TrBρ
rispetto ad una base di vettori |i> del sistema B.
Nota: TrB è l'operatore traccia parziale sulla base di B; in modo equivalente si ha ρB=TrAρ. Inoltre se |Ψ> è uno stato prodotto risulta ρ=ρAρB.

Perciò nel caso considerato possiamo calcolare la matrice ridotta dello stato di spin dell'elettrone A (oppure di quello B) e risulta:
ρA=1/2(|u><u|+|d><d|)=1/2(1,0)T(1,0)+1/2(0,1)T(0,1)=(1/2)I
dove con I abbiamo indicato la matrice identità; da ciò si deduce subito che ρAρA2 cioè siamo in presenza di uno stato composto(!)
Nota: I è una matrice diagonale con tutti gli elementi pari a 1 perciò I2=I.

Ciò significa che gli stati dell'elettrone A (oppure di quello B) non sono in sovrapposizione quantistica, l'incertezza sullo spin è in realtà dovuta alla non completa conoscenza dello stato del sottosistema-elettrone e la probabilità statistica che lo spin sia up oppure down è pari a 1/2.
Nota: a differenza della meccanica classica, nemmeno in linea di principio si può definire lo stato del sistema A (oppure B) prima della misura.

È interessante osservare che il famoso Paradosso del gatto di Schrödinger può essere trattato come lo stato entangled che abbiamo ora considerato; ciò significa che anche in quel caso non si ha sovrapposizione di due stati distinti (vivo e morto) poiché il sottosistema "gatto" si trova in uno stato misto di tipo statistico e quindi non è di natura quantistica.

(*) Nel precedente post abbiamo definito, per uno stato puro, la matrice densità ρ=|Ψ><Ψ/ per la quale risulta ρ2=|Ψ><Ψ/|Ψ><Ψ/=ρ; invece per uno stato misto si pone ρ=∑pi|Ψi><Ψi/ dove pi è la probabilità che il sistema si trovi nello stato i-esimo e in questo caso risulta ρ≠ρ2.
(**) Si osservi che i vettori di base scelti soddisfano correttamente le condizioni di ortonormalità: <u|u>=<d|d>=1 e <u|d>=<d|u>=0.
(***) Le teorie a variabili nascoste affermano invece che la conoscenza quantistica del sistema composto non è completa proprio perché lo stato dei singoli sottositemi non è definito con certezza.

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