L'urto Elastico o Anelastico

Per poter trattare gli urti tra due corpi dal punto di vista meccanico in un sistema isolato (che come vedremo possono essere di tipo elastico o anelastico), è necessario introdurre il principio di conservazione della quantità di moto (vedi Wikipedia).

È nota la relazione di Newton che lega la forza F che agisce su un corpo di massa m e la variazione della quantità di moto p=mv che subisce il corpo:

F=dp/dt.

Sappiamo anche che questa relazione è generalizzabile ad un sistema di N punti materiali, dove F rappresenta la risultante delle forze interne F_int più quella delle forze esterne F_ext che agiscono sui vari corpi e P è la quantità di moto complessiva (cioè la somma delle singole quantità di moto):

F=dP/dt=F_int+F_ext.

Nota: per chiarimenti su questa relazione vedi anche il post "L'equazione del Razzo!".

Ora per un sistema isolato risulta per definizione F_ext=0 ma anche per la risultante delle forze interne si ha F_int=0; infatti (come abbiamo visto nel post "Il Principio di Azione<=>Reazione!") un corpo che esercita una forza F₁₂ su un altro corpo, è soggetto a sua volta ad una forza F₂₁ uguale in modulo e direzione ma di verso opposto*. Segue perciò che:

dP/dt=0

cioè la quantità di moto in un sistema isolato è costante nel tempo.

Vediamo quindi le due diverse definizioni di urto in un sistema isolato** (secondo Wikipedia):
-> Urto elastico: "In meccanica classica un urto elastico è un urto durante il quale si conserva l'energia meccanica totale del sistema (cioè l'energia cinetica+potenziale), ed in particolare l'energia cinetica" (poiché di solito l'energia potenziale, come ad esempio quella gravitazionale, è trascurabile);
-> Urto anelastico: "L'urto anelastico è l'urto in cui l'energia meccanica totale non si conserva. Nel caso poi sia anelastico totale, i corpi, dopo la collisione, si uniscono e possono essere considerati come un unico corpo" (cioè l'energia meccanica si trasforma, almeno in parte, mentre quella totale si conserva - vedi l'esempio sotto).

Perciò in generale, per risolvere il problema cinematico di corpi che si urtano in un sistema isolato, dovremo fare le seguenti considerazioni:
-> Urto elastico: la quantità di moto si conserva (come abbiamo mostrato sopra per un sistema isolato) e anche l'energia cinetica, per definizione (trascurando quella potenziale).
Tuttavia le due leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto, utili per determinare il moto dopo l'urto, sono sufficienti solo in determinati casi***; dobbiamo spesso conoscere altri dati dell'esperimento (come per esempio l'angolo di deviazione dei corpi dopo l'urto) oppure sfruttare la simmetria del sistema per risolvere il problema.
-> Urto anelastico: anche in questo caso la quantità di moto si conserva ma non l'energia cinetica (trascuriamo quella potenziale), per definizione.
Sappiamo che l'energia totale si conserva, tuttavia è spesso difficile valutare quali sono e come si trasformano esattamente le energie in gioco; ma se l'urto è completamente anelastico (cioè se i corpi si uniscono dopo l'urto), conoscendo le condizioni iniziali e ricordando che la velocità finale è l'unica incognita (in modulo e direzione), è possibile determinare il moto del sistema dopo l'urto.

Come esempio di urto completamente anelastico, consideriamo due corpi di massa m₁ e m₂ che si scontrano lungo lo stesso asse (con velocità v₁ e -v₂ rispettivamente); la quantità di moto come abbiamo detto si conserva:

m₁v₁-m₂v₂=(m₁+m₂)v_cm

(dove v_cm è la velocità del centro di massa dei due corpi uniti dopo l'urto); mentre la perdita di energia cinetica è data da

∆E_c=(1/2)(m₁+m₂)v²_cm-(1/2)(m₁v²₁+m₂v²₂)

da cui si ottiene (ricavando il valore di v_cm dalla precedente equazione):

∆E_c=-(1/2)µ(v₁+v₂)²

dove µ=m₁m₂/(m₁+m₂) è la cosiddetta massa ridotta del sistema.

Tale perdita di energia viene impiegata dal sistema per deformare e saldare insieme i due corpi al momento dell'urto (energia potenziale elastica) con conseguente sviluppo di calore (energia termica); ovviamente l'energia totale, anche se si trasforma, complessivamente si conserva.

(*) Nel caso relativistico, dove l'azione a distanza non può essere considerata istantanea, il principio di azione e reazione non è più valido; tuttavia la conservazione della quantità di moto vige ancora, a patto di tenere conto della quantità di moto associata al campo che trasporta l’interazione.
(**) Consideriamo qui solo il caso classico; nel caso relativistico (trascurando l'interazione tra i corpi e quindi la quantità di moto associata al campo) la conservazione della quantità di moto è ancora valida se utilizziamo la massa relativistica: p=mv dove m=m₀/(1-v²/c²)^1/2; quindi anche per la conservazione dell'energia dobbiamo usare la forma relativistica: E=mc² (vedi Wikipedia).
(A titolo di esempio si veda l'urto elastico relativistico dell'effetto Compton).
(***) È ovvio che il caso monodimensionale è il più facile da trattare; in due o tre dimensioni aumenta il numero delle incognite (poiché aumentano i gradi di libertà) e quindi le equazioni derivate dalla conservazione della quantità di moto e dell'energia sono sufficienti solo in casi particolari.

Un effetto Foto-elettrico!

Descriveremo in questo post l'effetto Fotoelettrico che, come è noto, "è il fenomeno fisico caratterizzato dall'emissione di elettroni da una superficie, solitamente metallica, quando questa viene colpita da una radiazione elettromagnetica avente una certa frequenza"* (vedi Wikipedia).

Mostriamo subito l'equazione che descrive questo fenomeno fisico, derivata nel 1905, e che valse il premio Nobel ad Albert Einstein nel 1921:

(1/2)mv²=h/T-W.

L'equazione è piuttosto semplice, in essa sono indicati i seguenti termini:
-> (1/2)mv² è l'energia cinetica di un elettrone di massa m (posto sulla superficie metallica) che fuoriesce dalla piastra a velocità v a causa della radiazione incidente;
-> h/T è l'energia di un fotone (cioè un quanto della radiazione elettromagnetica di frequenza 1/T) che collide su quel dato elettrone (trasferendogli per ipotesi tutta la sua energia)**;
-> W è il lavoro che si deve fare sull'elettrone per farlo uscire dalla piastra di metallo, per vincere cioè l'energia che lo tiene legato al metallo.

L'interpretazione di questa equazione, e quindi del fenomeno fisico che descrive, è la seguente: l'emissione di elettroni, in particolare la loro energia cinetica, dipende solo dalla frequenza 1/T della radiazione elettromagnetica incidente, una volta superata la soglia di emissione W.
Inoltre l'intensità dell'onda incidente*** (cioè l'energia che attraversa la superficie elementare nell'unità di tempo) è proporzionale al numero di fotoni e quindi al numero di elettroni emessi dalla piastra.

Questa in sintesi la spiegazione data da Einstein; ma per apprezzare meglio quale sia stata la sua straordinaria ipotesi (cioè il quanto di luce) ricordiamo cosa invece prevedeva la teoria classica:
-> poiché l'intensità di un'onda elettromagnetica dipende dal campo elettrico E ed essendo la forza F applicata all'elettrone q pari a F=qE, se aumenta l'intensità, deve aumentare anche l'energia cinetica degli elettroni: tuttavia l'effetto fotoelettrico, come abbiamo visto sopra, dipende solo dalla frequenza dell'onda elettromagnetica;
-> il fenomeno dovrebbe verificarsi per qualsiasi frequenza della radiazione, a patto che l'intensità di energia dell'onda superi la soglia minima di emissione W: in realtà l'esperimento mostra che è la frequenza 1/T dell'onda che deve superare la soglia minima affinché risulti h/T>W;
-> l'effetto fotoelettrico dovrebbe aver luogo anche a basse intensità, purché si dia abbastanza tempo agli elettroni di accumulare energia (essendo δL=Fds) in modo che possano liberarsi dalla superficie del metallo; tuttavia nessun ritardo di emissione è mai stato riscontrato: l'energia elettromagnetica non è distribuita uniformemente sul fronte d'onda ma è concentrata nei quanti di luce e si trasmette immediatamente.

Il significato fisico dell'effetto fotoelettrico è stato ben chiarito da Einstein, che nel suo articolo del 1905 con lucida comprensione del fenomeno scrisse:
"Quando un raggio di luce si espande partendo da un punto, l'energia non si distribuisce su volumi sempre più grandi, bensì rimane costituita da un numero finito di quanti di energia localizzati nello spazio, che si muovono senza suddividersi e che non possono essere assorbiti od emessi parzialmente".
Nota: la formula di Planck E=h/T si riferiva all'emissione o assorbimento delle pareti del corpo nero senza però postulare i quanti di luce.

Ma allora ciò significa che il modello ondulatorio della luce non è più valido?
Einstein così commenta nel suo articolo:
"La teoria ondulatoria della luce, che fa uso di funzioni spaziali continue, si è verificata ottima per quel che riguarda i fenomeni puramente ottici e sembra veramente insostituibile in questo campo. Tuttavia, bisogna tenere presente che le osservazioni ottiche si riferiscono a valori medi nel tempo e non a valori momentanei".

In effetti oggi sappiamo che l'intensità di un'onda e.m. è proporzionale al numero di fotoni che trasporta e che attraversano una superficie elementare nell'unità di tempo; in particolare, la probabilità di trovare un fotone (in un punto qualsiasi dello spazio) è proporzionale al quadrato dell'ampiezza del campo elettrico in quel determinato punto.
Nota: il concetto di probabilità quantistica è meglio descritto nel post "La Funzione d'Onda (quantistica)".

(*) Gli elettroni emessi dalla superficie metallica (catodo) vengono raccolti da una seconda superfice (anodo) e quindi, grazie alla differenza di potenziale che esiste tra le due piastre, si genera una corrente che permette di misurare il comportamento degli elettroni.
(**) In realtà, secondo l'effetto Compton (vedi il post "Effetto Compton: onda o particella?"), non è possibile che tutta l'energia del fotone si trasferisca ad un elettrone libero (per la conservazione della quantità di moto e dell'energia): il fotone nell'urto (per ipotesi elastico) viene deflesso, variando la sua energia, ma non viene mai assorbito completamente.
(***) L'intensità di un'onda elettromagnetica è definita classicamente dal vettore di Poynting S; ad esempio nel caso di una onda piana il suo modulo è proporzionale al quadrato del campo elettrico: S=E²/Z (dove Z=(µ/ε)^1/2 è l'impedenza caratteristica del materiale entro cui si propaga l'onda).

Il Principio di Azione<=>Reazione!

"Citando dal libro La fisica di Berkeley, le 3 leggi di Newton sono così formulate:

1. Prima legge di Newton. Un corpo non soggetto a forze esterne, o tale che la risultante delle forze esterne agenti su di esso è pari a zero, permane nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme (accelerazione nulla) cioè:
   
   a=0 quando F=0.
2. Seconda legge di Newton. La risultante delle forze applicate su un corpo è uguale al prodotto della massa del corpo per l'accelerazione:
   
   F=ma.
3. Terza legge di Newton. Quando due corpi interagiscono, la forza F₁₂ che il primo corpo (1) esercita sul secondo (2) è uguale e opposta alla forza F₂₁ che il secondo (2) esercita sul primo (1):
   
   F₁₂=-F₂₁".
   (Per tutti i dettagli vedi Wikipedia)

Si osservi innanzitutto che questi tre principi dinamici sono veri solo rispetto ad un sistema inerziale privo di accelerazioni (vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?"); per i sistemi non inerziali è invece necessario introdurre delle forze apparenti, almeno se vogliamo mantenere valida la prima legge di inerzia anche in questi riferimenti: in effetti tali forze sono dovute al moto accelerato dell'osservatore ma non esistono realmente (vedi il post "Una forza del tutto... apparente!").
Nota: come è noto queste leggi fisiche, essendo non relativistiche, sono valide per velocità molto minori di quelle della luce.

In particolare vogliamo ora soffermarci sulla terza Legge di Newton che, è bene sottolinearlo, non è derivabile dalle altre due leggi ed è ovviamente vera anche in presenza di forze esterne (per il principio di sovrapposizione delle forze).

Si osservi che solo l'esperienza può mostrare che le forze si presentano sempre in coppia e che l'eventuale esistenza di una singola forza che agisce tra due corpi è del tutto impossibile: infatti tutte le volte che un corpo esercita una forza su un altro corpo, quest'ultimo a sua volta agisce sul primo (in modo praticamente immediato)*; questa coppia di forze è sempre uguale in modulo, con la stessa direzione ma di verso opposto:

F₁₂=-F₂₁.

Come notevole esempio rammentiamo uno dei primi progetti di elicottero, meglio conosciuto come la vite aerea proposta nel 1480 circa da Leonardo da Vinci (vedi Wikipedia):

Proprio a causa del principio di azione e reazione questo aeromobile non avrebbe mai potuto decollare: infatti la rotazione della vite aerea, che sfrutta correttamente i principi dell'aerodinamica, presenta il problema della contro-rotazione della base, in cui è inserita l'asse dell'elica e sulla quale si deve far forza per farla girare: ad esempio, se esercitassimo la forza delle braccia sull'asse dell'elica e quella delle gambe sulla base, quest'ultima si metterebbe a ruotare per reazione appena si solleva da terra.
Nota: negli elicotteri moderni questo problema è stato risolto inserendo un'elica sulla coda in modo da bilanciare la contro-rotazione causata dal rotore principale.

È però fondamentale osservare che la coppia di forze di azione e reazione, non agisce mai sullo stesso corpo, per definizione.
Nel caso ad esempio di un libro appoggiato sopra ad un tavolo le due forze:
-> F_g: la forza di gravità della Terra che agisce sul libro;
-> F_p: la forza di contatto del piano del tavolo che agisce sul libro (impedendogli di cadere);
non rappresentano una coppia di forze di azione e reazione (nonostante risulti F_g=-F_p) poiché entrambe agiscono sullo stesso oggetto: il libro.
In realtà le coppie di forze che soddisfano la condizione F₁₂=-F₂₁ sono in questo caso due:
-> Forza gravitazionale della Terra che agisce sul libro <=> Forza gravitazionale del libro che agisce sulla Terra;
-> Forza di contatto del libro che agisce sul piano <=> Forza di contatto del piano che agisce sul libro.

Ma ora chiediamoci: cosa potrebbe accadere ad un sistema meccanico isolato, ad esempio composto da sole due masse, se la terza legge non fosse valida?
In questo caso l'azione F₁₂ (del primo corpo che agisce sul secondo) non sarebbe uguale ed opposta alla sua reazione F₂₁ e quindi la risultante F=F₁₂+F₂₁ (che agirebbe sul centro di massa del sistema)** sarebbe diversa da zero; ciò significherebbe che il sistema, in assenza di forze esterne, dovrebbe accelerare continuamente (essendo per la seconda legge di Newton a=F/m) senza alcuna spesa di energia!

Risulta perciò evidente che il significato fisico della terza legge di Newton è strettamente legato al principio di conservazione dell'energia.
Si può infatti dimostrare che il teorema della conservazione della quantità di moto P del centro di massa del sistema (e quindi dell'energia cinetica, essendo E=P²/2m) discende direttamente dal principio di azione e reazione (vedi il post "L'equazione del Razzo!").
Tuttavia non è vero il contrario: la conservazione della quantità di moto non implica necessariamente questo pincipio di azione e reazione (poiché occorre anche la conservazione del momento della quantità di moto)***.

(*) Si osservi che la legge di azione e reazione implica una azione a distanza istantanea; perciò nel contesto relativistico, dove la velocità della luce pone dei limiti assoluti, questo principio non è valido. Considereremo quindi il caso classico dove i tempi di trasmissione dell'interazione sono trascurabili (vedi anche le note del post "L'urto Elastico o Anelastico").
(**) Per un sistema di N particelle definiamo la quantità di moto totale come P=m₁v₁+m₂v₂+...+m_Nv_N=Mv_cm dove M è la massa totale e dove v_cm=dr_cm/dt è la velocità del centro di massa definito come r_cm=(m₁r₁+m₂r₂+...+m_Nr_N)/M.
Perciò l'accelerazione del centro di massa a_cm=dv_cm/dt è dovuta alla risultante delle forze esterne che agisce sul centro di massa (quelle interne si annullano a coppie):
F^ext=Ma_cm=m₁dv₁/dt+m₂dv₂/dt+...+m_Ndv_N/dt=F₁+F₂+...+F_N.
(***) Se consideriamo ad esempio le forze F₁₂ e F₂₁ che agiscono tra due corpi, dalla conservazione della quantità di moto (F^int=dP/dt=0) si ottiene la relazione F₁₂=-F₂₁ ma per garantire che le forze siano sulla stessa retta di azione è necessaria la conservazione del momento angolare (vedi il post "Una coppia di Forze").

Una "Deduzione Elementare": E=mc^2

L'equivalenza tra massa ed energia è espressa come noto dalla celeberrima formula (dedotta da Albert Einstein nel 1905):

E=mc².

In particolare ricordiamo che "questa formula si fonda sul concetto che un corpo a riposo possiede la capacità di liberare energia trasmutando tutta la sua massa o una parte in radiazione elettromagnetica", o viceversa l'energia assorbita può trasformarsi in massa (vedi Wikipedia).

Vogliamo mostrare una "deduzione elementare dell'equivalenza di massa ed energia" così definita e proposta per la prima volta da Einstein nel 1947.

La derivazione è notevole poiché, oltre ai due principi base della relatività ristretta (equivalenza dei sistemi di riferimento inerziali e costanza della velocità della luce), fa uso di sole tre leggi fisiche classiche già note in precedenza (quindi non relativistiche e valide per v<<c).

Queste leggi sono:
I) la legge di conservazione dell'impulso per sistemi isolati (p_iniziale=p_finale);
II) l'equazione dell'impulso prodotto da una radiazione e.m. (p=E/c);
III) l'espressione classica relativa all'aberrazione della luce (tanø=v/c).
Nota: ø è il cosiddetto angolo di aberrazione che verrà definito di seguito.

Consideriamo a tal fine due diversi sistemi di riferimento inerziali:
-> uno in quiete che indichiamo con S₀;
-> l'altro in moto che chiamiamo S e che si sposta verticalmente rispetto a S₀ (cioè lungo l'asse Y) a velocità non relativistica (cioè v<<c).

Ora supponiamo che un corpo di massa m si trovi in quiete nel primo riferimento S₀ ed assorba due dosi di radiazione di energia E/2 e quindi impulso p=E/2c (una proveniente da destra e l'altra da sinistra in modo simmetrico e parallelo all'asse X): per ragioni di simmetria il corpo resterà in quiete, ma la sua energia interna varierà di una quantità pari a 

E=E/2+E/2.

Vediamo invece come viene descritto lo stesso fenomeno visto dal sistema di riferimento in moto S. In questo caso il corpo m si muove a velocità v lungo l'asse verticale Y quindi:

-> la quantità di moto del corpo di massa m lungo l'asse Y è pari a

p_m=mv

-> l'impulso della radiazione p=E/2c resta invariato (essendo v<<c) ma, a causa del moto, è inclinato di un certo angolo ø rispetto all'asse X (per il noto fenomeno di aberrazione della luce)*; risulta perciò, per la componente verticale dell'impulso lungo l'asse Y: 

p_y=psinø=(E/2c)sinø 

per ogni singola dose di radiazione. Inoltre, come nel sistema in quiete, la quantità di moto lungo X non varia (sempre per motivi di simmetria).
Nota: per derivare sinø basta ricordare che l'angolo di aberrazione è dato dalla relazione classica tanø=v/c che per v<<c diventa tanø≈sinø=v/c.

In definitiva rispetto al sistema in moto S avremo, per la quantità di moto complessiva lungo Y (cioè quella del corpo in moto+radiazione):
a) prima dell'assorbimento della radiazione:

p_tot=mv+(E/c)sinø=mv+Ev/c²

essendo come abbiamo anticipato sopra sinø=v/c;
b) dopo l'assorbimento della radiazione:

p'_tot=m'v

poiché se la velocità v resta invariata (come accade nel sistema in quiete)**, dobbiamo prevedere che possa variare la massa da m a m'.
Perciò per la conservazione dell'impulso lungo l'asse Y (cioè p_tot=p'_tot) dovrà valere la relazione di equivalenza:

mv+Ev/c²=m'v.

Nota: le componenti dell'impulso della radiazione lungo l'asse X sono uguali e contrarie, quindi si annullano tra loro anche nel sistema in moto.

Ma ciò significa che (posto ∆m=m'-m ed eliminando v da tutti i membri dell'equazione):

∆m=E/c²

e quindi, senza aver fatto uso del meccanismo formale della teoria della relatività, abbiamo ottenuto la nota relazione:

E=∆mc².

Nota: questa relazione, derivata in modo approssimato per v<<c, è del tutto esatta nel caso limite di v-->0 ed è quindi vera per un corpo in quiete.

Il significato fisico di questa equivalenza, alla luce della sua derivazione, è perciò il seguente: per un corpo in quiete di massa m la variazione di energia interna (dovuta all'energia assorbita E) è direttamente proporzionale alla variazione della sua massa a riposo***.

(*) Consideriamo ad esempio un telescopio, puntato verso una stella posta lungo l'asse X, che si muove con il moto relativo della terra v lungo l'asse Y (in analogia alla nostra massa m). L'angolo di puntamento ø soddisferà le seguenti relazioni trigonometriche (basta disegnare un triangolo rettangolo la cui ipotenusa, con angolo ø rispetto all'asse X, è rappresentata dalla lunghezza L del telescopio - vedi l'animazione):

Lsinø=v∆t   e   Lcosø=c∆t

dove ∆t è il tempo che impiega il raggio di luce a percorrere l'asse del telescopio; da cui segue immediatamente: tanø=sinø/cosø=v/c (cvd).
(**) Poiché, rispetto al sistema in quiete S₀, il corpo non varia di velocità per effetto della radiazione assorbita, allora per coerenza anche nel sistema in moto S la velocità v non varia dopo l'assorbimento (varia solo la sua energia interna).
(***) In realtà il significato fisico dell'equivalenza massa-energia è molto più generale di quanto visto qui: come sappiamo anche la massa può viceversa trasformarsi in energia (ad esempio per annichilazione di una coppia particella/antiparticella); inoltre la formula vale anche per corpi in movimento (dove però la massa è quella relativistica).

L'Equazione di Daniel Bernoulli

Partiamo dalla seguente illustrazione che rappresenta il tubo di flusso di un fluido ideale* in moto stazionario** (che sono due ipotesi fondamentali).

In figura è stata indicata la stessa quantità di massa elementare m (colorata in azzurro) in due punti diversi del tubo, rispettivamente di sezione A₁ e A₂ e di lunghezza ∆l₁=v₁∆t e ∆l₂=v₂∆t (dove v₁ e v₂ sono le velocità di spostamento dei due volumetti di fluido nel tempo ∆t); inoltre in figura p₁ e p₂ sono rispettivamente le pressioni esercitate sulle due sezioni elementari A₁ e A₂ (vedi Wikipedia):

Ricordando che il lavoro fatto dalla pressione p sui due volumetti di fluido è pari a L=F∆l=pA∆l=pV (essendo la forza dovuta alla pressione F=pA e il volumetto dell'elemento uguale a V=A∆l) avremo che il lavoro L_S (detto di superficie) compiuto sui due elementi del fluido è: 

L_S=L₁+L₂=p₁V₁-p₂V₂ 

dove il segno meno indica che la pressione -p₂ è opposta a p₁ (poiché il fluido del volume V₂ frena quello di spinta del volume V₁).
Nota: se il fluido è incomprimibile la densità ρ è costante, perciò se i due volumi V₁=A₁v₁∆t e V₂=A₂v₂∆t contengono la stessa massa m avremo: m=ρA₁v₁∆t=ρA₂v₂∆t da cui segue A₁v₁=A₂v₂ (equazione di continuità).

Inoltre in figura sono state indicate le due altezze h₁ e h₂ alle quali si trovano i due volumetti di fluido V₁ e V₂: se indichiamo con F_g=mg la forza gravitazionale a cui sono sottoposti i due elementi m di fluido (supponendo che l'accelerazione g sia costante in h), avremo che il lavoro L_V (detto di volume) è dovuto alla variazione del potenziale gravitazionale ∆U_g con segno meno, cioè L_V=-∆U_g=-mg∆h da cui segue (essendo ∆h=h₂-h₁):

L_V=mgh₁-mgh₂.

Nota: sulla definizione di energia potenziale vedi il post "Energia potenziale<=>Forza conservativa".

Quindi se non agiscono altre forze sul sistema avremo, per il Teorema dell'energia cinetica (vedi il post "Il Teorema della 'Vis Viva'"), che il lavoro totale L_S+L_V è pari alla variazione ∆E_c di energia cinetica della massa elementare di fluido m: 

L_S+L_V=(1/2)mv₂²-(1/2)mv₁²

da cui segue per sostituzione e riordinamento:

p₁V₁+mgh₁+(1/2)mv₁²=p₂V₂+mgh₂+(1/2)mv₂².

Infine supponendo che la densità ρ=m/V del fluido sia costante (un fluido ideale è incomprimibile), dividendo entrambi i membri per i volumi V₁=V₂=V (identici per l'equazione di continuità, vedi la nota sopra) segue l'equazione ricavata da Daniel Bernoulli nel 1738: 

p₁+ρgh₁+(1/2)ρv₁²=p₂+ρgh₂+(1/2)ρv₂².

Nota: ricordiamo che nel caso di un fluido confinato (cioè v₁=v₂=0) per il Principio di Pascal una variazione di pressione ∆p=p₂-p₁ in un punto qualsiasi del fluido viene trasmessa identica ad ogni punto del contenitore.

In definitiva, poiché possiamo ripetere lo stesso ragionamento per qualsiasi elemento m del fluido, risulterà in generale:

p+ρgh+(1/2)ρv²=costante

ed essendo il fluido ideale la costante sarà la stessa per tutte le linee di flusso.

Si osservi infine che avendo definito L_V=-∆U_g ed essendo come abbiamo visto L_S+L_V=∆E_c segue:

L_S=∆(U_g+E_c).

Si noti che il lavoro di superficie L_S=-V∆p (in modo analogo a L_V=-mg∆h) è un lavoro conservativo***; infatti essendo il fluido ideale e il moto stazionario la variazione di pressione ∆p dipende solo dai due punti del fluido considerato (è cioè funzione della sola posizione); perciò possiamo scrivere L_S=-∆U_p=-V∆p (dove ∆U_p è l'energia potenziale dovuta alle forze di pressione) e quindi dall'equazione precedente si ha:

∆(U_g+U_p+E_c)=0.

Il significato fisico dell'equazione di Bernoulli è perciò analogo a quello del principio di conservazione dell'energia meccanica, dove ricordiamo risulta ∆(U+E_c)=0 (vedi il post "E se le forze non sono conservative?"); infatti nel caso del fluido ciò è ancora vero se poniamo per l'energia potenziale:

∆U=∆(U_g+U_p).

Nota: in effetti il fluido è stato trattato come un sistema meccanico di particelle in moto, sottoposto a forze di pressione oltre a quella gravitazionale.

(*) Con fluido ideale si intende un fluido con le seguenti proprietà:
-> incomprimibile: la densità ρ=m/V è costante (quindi a parità di massa m il volume V non varia);
-> non viscoso: non si sviluppa attrito interno (e quindi non si ha dissipazione di energia);
-> irrotazionale: non c'è nessun elemento del fluido in rotazione attorno al proprio asse (perciò non ci sono energie rotazionali in gioco).
(**) Il moto di un fluido è considerato stazionario se, fissato un qualsiasi punto del fluido, le sue condizioni fisiche (come pressione, densità e velocità) non variano in funzione del tempo.
(***) In particolare nel caso statico (cioè v₁=v₂=0) l'equazione di Bernoulli diventa V∆p=-mg∆h che rappresenta la Legge di Stevino; possiamo scriverla anche nella forma differenziale Vdp/dh=-mg poiché dU_p=Vdp è un differenziale esatto (essendo il campo delle forze di pressione conservativo). Ma ciò è vero anche nel caso del moto stazionario, infatti essendo d(p+ρgh+(1/2)ρv²)/dh=dp/dh+ρg=0 si ha di nuovo Vdp=-mgdh.
(Inoltre nel caso di un tubo orizzontale risulta h=costante e quindi avremo l'effetto Venturi: ∆p+∆(1/2)ρv²=costante cioè la pressione esercitata da un fluido diminuisce all'aumentare della sua velocità e viceversa).

Effetto Compton: onda o particella?

Definire l'effetto Compton è abbastanza semplice; detto in estrema sintesi "è un fenomeno di scattering interpretabile come l'urto tra un fotone e un elettrone"; in particolare "l'esperimento di Compton consiste nell'invio di un fascio collimato di fotoni (primario) su un bersaglio e nell'osservazione dello spettro dei fotoni diffusi" (vedi Wikipedia).

L'esperimento è stato ideato proprio per verificare come si comporta un fotone che interagisce con una particella elementare come l'elettrone; inoltre "il fenomeno, osservato per la prima volta da Arthur Compton nel 1922, divenne ben presto uno dei risultati sperimentali decisivi in favore della descrizione quantistica della radiazione elettromagnetica".
Nota: con descrizione quantistica della radiazione e.m. si intende in pratica "pensare ai fotoni come a particelle, dotate di una certa quantità di moto seppur prive di massa a riposo" (vedi Wikipedia).

In effetti basta osservare il seguente diagramma vettoriale delle componenti dei momenti di fotone ed elettrone, per capire come il fenomeno possa essere ben descritto supponendo un urto elastico tra due particelle relativistiche (vedi Wikipedia):

Ora impostando "un sistema di equazioni che tenga conto della conservazione della quantità di moto e della conservazioni dell'energia si ottiene una formula che mette in relazione la differenza fra la lunghezza d'onda iniziale λ₀ e finale λ del fotone con l'angolo di scattering ϕ":

∆λ=λ-λ₀=λ_c(1-cosφ).

Perciò la variazione della lunghezza d'onda ∆λ dipenda dall'angolo di scattering ϕ essendo λ_c=h/m₀c una costante (detta lunghezza Compton).

Nota: per chiarimenti sull'esperimento vedi il post "Fisica, modelli, esperimenti e... realtà!".

A conferma di quanto dedotto teoricamente, una volta eseguito l'esperimento "quello che vide il fisico statunitense, fu che oltre all'emissione di fotoni alla stessa frequenza (che non venivano deflessi) vi erano raggi X di lunghezza d'onda maggiore in funzione dell'angolo di deflessione".
Nota: il fotone nell'urto viene deflesso, variando in parte la sua energia, ma non viene mai assorbito completamente per la conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica (avendo presupposto un urto elastico).

Tuttavia, nonostante questo esperimento mostri come il fotone possa essere trattato come una particella con quantità di moto p=h/λ ed energia E=pc, è possibile altresì spiegare l'effetto Compton dando una interpretazione ondulatoria del fenomeno tenendo conto dell'effetto Doppler relativistico (e della aberrazione della luce rispetto al laboratorio).

Infatti consideriamo, cambiando prospettiva, cosa accade rispetto al sistema di riferimento in cui l'elettrone si trova in quiete: dopo che l'elettrone è stato colpito dalla radiazione elettromagnetica, questo riemette l'onda alla stessa lunghezza d'onda.
Perciò quando l'elettrone è considerato in moto rispetto al laboratorio si deve tener conto della velocità v della sorgente/elettrone; da ciò segue che l'onda diffusa ha una lunghezza d'onda maggiore di quella incidente (poiché l'elettrone rincula) come indicato dall'esperimento Compton*.

In definitiva il significato fisico della duplice interpretazione dell'effetto Compton non è altro che una ulteriore conferma della natura sia ondulatoria che corpuscolare del quanto di luce, che tuttavia non porta a nessun paradosso sperimentale dato che tali comportamenti non sono osservabili contemporaneamente (vedi il post "Il dualismo onda-particella").

Nota: per l'introduzione del concetto fisico di fotone vedi il post "Un effetto Foto-elettrico!".

(*) Nel riferimento dove l'elettrone è posto in quiete, si può dimostrare che il fotone (prima e dopo l'urto) ha sempre la stessa lunghezza d'onda e l'angolo di incidenza è uguale a quello riflesso (secondo la legge di Snell); mentre l'effetto Doppler relativistico si applica nel riferimento in quiete col laboratorio, dove l'elettrone è in moto quando esso riflette l'onda rinculando e quindi la lunghezza d'onda aumenta (si deve inoltre tener conto dell'effetto di aberrazione della luce rispetto al laboratorio).

(Vedi: "The scattering of an electromagnetic wave by a free electron" di D.G. Ashworth e R.C. Jennison in J. Phys. A Vol.7 No.7, 1974, pag.803)

L'ipotesi di de Broglie: L=h/p

In questo post seguiremo la derivazione data più recentemente dal fisico francese Claude Elbaz (vedi “On De Broglie waves and Compton waves of massive particles”, Phys. Lett. 109A, 1985, pag.7).

Prima di derivare la relazione di de Broglie, formulata dal fisico francese nel 1924 (vedi Wikipedia), è utile ricordare la definizione di fase di un'onda.

Nel post "Ma cos'è una 'Onda'?" abbiamo definito una funzione f(x,t) che rappresenta un generico fenomeno oscillatorio che per ipotesi si propaga lungo l'asse X:

f(x,t)=f(x±Vt)

dove V è una costante che definisce la velocità di fase dell'onda (mentre il segno "±" indica se l'onda è regressiva o progressiva).

Quindi se ad esempio consideriamo il caso di un'onda sinusoidale di ampiezza costante A il fenomeno periodico è ben descritto dalla relazione:

f(x,t)=Asin(kx±wt)

dove k=2π/L e w=2π/T essendo rispettivamente L e T la lunghezza e il periodo dell'onda (quindi V=L/T=w/k è la velocità di fase dell'onda). Ora ciò che viene definita fase dell'onda periodica è proprio l'argomento S=kx±wt che in pratica definisce il fenomeno fisico ondulatorio.

È noto che Einstein nel 1905 ipotizzò un comportamento di tipo particellare della radiazione elettromagnetica assegnando ad ogni fotone (di cui per ipotesi la radiazione è composta) una energia pari a quella già proposta da Planck (che però non aveva ben compreso la portata della sua ipotesi)*:

E=h/T

dove T è il periodo dell'onda associata ad ogni fotone.

Mentre de Broglie ipotizzò, per questioni di simmetria (vedi Wikipedia), che anche ad ogni particella fosse associato un non ben definito moto periodico T (e quindi una fase S=kx±wt) e che perciò valesse la relazione:

E=mc²=h/T

dove E ed m sono rispettivamente l'energia e la massa relativistica di una qualsiasi particella.

In particolare, per una particella in quiete di massa m₀, risulterà per ipotesi:

E₀=m₀c²=h/T₀.

Quindi, valendo come è noto la relazione relativistica tra la massa in moto con velocità v e quella in quiete (cioè m=γm₀ con γ=1/(1-(v/c)²)^1/2), si ricava dal rapporto E/E₀ una relazione tra i due periodi in quiete T₀ e in moto T rispettivamente (associati entrambi per ipotesi alla particella):

T₀=γT.

Perciò, fissato ad esempio il punto x₀=0, la fase S=k₀x₀±w₀t₀ del moto periodico della particella in quiete diventa per ipotesi:

S=w₀t₀

dove, per quanto visto sopra, risulta:

w₀=2π/T₀=2π/γT=w/γ.

Mentre t₀ è definito in funzione di x e di t secondo la trasformazione relativistica del tempo (vedi le Trasformazioni di Lorentz):

t₀=γ(t+vx/c²)

dove il segno "+" indica che t₀ esprime il tempo proprio della particella.

A questo punto possiamo esprimere la fase S dell'onda in moto in funzione di w e t (che sono i valori della particella in moto) semplicemente sostituendo i valori di w₀ e t₀ appena ricavati:

S=w₀t₀=wt+2πvx/Tc²

essendo la fase S della particella relativisticamente invariante.

Nota: la fase S espressa in funzione di (w₀,t₀) oppure di (w,t) non deve variare poiché definisce lo stesso fenomeno fisico**.

Possiamo perciò scrivere la fase dell'onda della particella in moto nella forma canonica:

S=wt+kx

dove abbiamo posto k=2πv/Tc²=2π/L da cui segue:

L=Tc²/v

dove L è detta lunghezza d'onda di de Broglie.

Perciò la lunghezza d'onda di de Broglie L associata per ipotesi alla particella in moto è data dalla relazione

L=hTc²/hv=hc²/mc²v=h/mv

dove abbiamo semplicemente moltiplicato L per h/h e poi sostituito il valore di h/T=mc².

Poiché p=mv rappresenta la quantità di moto della particella, avremo in definitiva la relazione di de Broglie:

L=h/p.

Il comportamento simmetrico ondulatorio/corpuscolare delle particelle (cioè fotoni, elettroni, etc.) è perciò definito dalle due relazioni fondamentali:

 E=h/T     e     L=h/p.

Il significato fisico della lunghezza d'onda di de Broglie è diventato evidente con il classico esperimento di Davisson e Germer (del 1927) i quali, sparando un fascio di elettroni su un reticolo cristallino di nichel, misero in evidenza un comportamento di diffrazione tipico delle onde, confermando l'ipotesi ondulatoria-corpuscolare di de Broglie***.

Nota: sul comportamento duale delle particelle vedi il post "Il dualismo onda-particella".

(*) È stato Einstein, con la sua corretta interpretazione dell'effetto fotoelettrico, ad introdurre in modo ben definito il concetto di fotone (vedi il post "Un effetto Foto-elettrico!"), mentre Planck aveva in realtà supposto l'emissione o assorbimento quantizzato delle pareti del corpo nero.
(**) La fase di un'onda S=kx±wt esprime la frazione d'onda kx=2π(x/L) e la frazione di periodo wt=2π(t/T) dello svolgersi di un fenomeno periodico; ma queste non possono dipendere dall'osservatore: il numero di cicli, per unità di spazio o di tempo, compiuti dal fenomeno fisico (che è oggettivo) deve rimanere lo stesso in tutti i sistemi di riferimento.
(***) La velocità di fase dell'onda V=w/k è priva di significato fisico poiché risulta V=E/p=c²/v>c essendo w=2πE/h e k=2πp/h (vedi sopra). Mentre la velocità di gruppo definita come V_g=dw/dk rappresenta la velocità della particella, che è assimilabile ad un pacchetto d'onde; infatti si ha dw/dk=dE/dp=v essendo E=c(m₀²c²+p²)^1/2 (vedi Wikipedia).
(Vedi anche il post "L'Equazione della Funzione d'Onda")