venerdì 10 maggio 2019

Fisica, modelli, esperimenti e... realtà!

In questo post vogliamo ritornare su un famoso e cruciale esperimento (vedi il post "Effetto Compton: onda o particella") per mostrare come in fisica, per descrivere fenomeni complessi, si faccia spesso uso di modelli basati su una astrazione semplificata della realtà, cogliendo a volte solo una parte della fisica presente negli esperimenti.

Nel caso dell'effetto Compton il modello idealizzato dell'esperimento è semplice: si considera un unico fotone che colpisce un elettrone libero (in quiete nel sistema di riferimento del laboratorio) e si ipotizza un urto meccanico elastico tra i due corpi (cioè l'energia cinetica si conserva); essendo il sistema per ipotesi isolato, anche la quantità di moto si conserva.
Nota: per la descrizione degli urti meccanici tra due corpi vedi il post "L'urto Elastico o Anelastico".

Dobbiamo quindi assegnare al fotone una energia sia prima (Eγ=hν) che dopo l'urto (Eγ'=hν') oltre ad una quantità di moto prima (pγ=hν/c) e dopo l'urto (pγ'=hν'/c); mentre l'elettrone di massa m0 (e massa relativistica m) acquisisce energia cinetica solo dopo l'urto (Ee=mc2-m0c2) oltre ad una ben definita quantità di moto (pe=mv).
Nota: per la definizione di massa ed energia relativistica vedi il post "Derivare la Massa Relativistica".

In definitiva le equazioni di conservazione dell'energia e della quantità di moto sono le seguenti:
Eγ=Eγ'+Ee
pγ=pγ'+pe.
Sostituiamo quindi i valori delle diverse energie e relative quantità di moto e consideriamo ad esempio il caso in cui il fotone colpisce l'elettrone e rincula indietro esattamente da dove è venuto; in questo caso particolare le equazioni si riducono al caso lineare lungo un solo asse:
hν=hν'+mc2-m0c2
hν/c=-hν'/c+pe.
Nota: dalla nota equazione relativistica E2=p2c2+m02c4 si ricava la relazione tra energia e quantità di moto del fotone (ponendo m0=0): E=pc.

Perciò ricordando che ν=c/λ ed essendo m2c4=pe2c2+m02c4 (vedi il post "Derivare la Massa Relativistica") si ottiene con qualche passaggio che il fotone deve variare la sua lunghezza d'onda λ a causa dell'urto:
∆λ=λ'-λ=2h/m0c.

Nel caso più generale il modello prevede una precisa correlazione tra l'angolo di deflessione φ del fotone e la sua lunghezza d'onda λ'; si ottiene infatti, in modo analogo a prima, la nota equazione (vedi Wikipedia):
∆λ=(h/m0c)(1-cosφ).
Nota: ponendo l'angolo di scattering del fotone φ=π si ottiene di nuovo ∆λ=2h/m0c; mentre per φ=0 non si ha deflessione e quindi ∆λ=0.

Ora se ripetiamo l'esperimento molte volte troveremo una relazione che possiamo riportare in un grafico e confrontare con la teoria; in particolare lungo l'asse X segniamo la lunghezza dell'onda e lungo Y la sua intensità (cioè il numero di fotoni deflessi) dato che molti sono i fotoni sparati in un dato istante sul bersaglio in cui si trovano gli elettroni.
Nota: nell'esperimento un fascio collimato di fotoni, ad una ben definita lunghezza d'onda λ, viene sparato su un bersaglio di grafite.

Ed ecco i grafici ottenuti per alcuni degli angoli di deflessione fissati:
Come risulta evidente dai grafici, i picchi di intensità confermano solo in parte le previsioni del modello; in particolare ci sono due aspetti dei risultati dell'esperimento, non previsti dal modello, che vanno spiegati: 

1) Il bersaglio su cui incidono i fotoni è di grafite quindi è possibile che essi a volte colpiscano atomi di carbonio invece che elettroni, in questo caso la massa m0 che compare in ∆λ=(h/m0c)(1-cosφ) è molto grande e quindi la differenza tra la lunghezza d'onda incidente e quella deflessa tende a zero.
Nota: per questo motivo nelle figure compare sempre un picco che coincide in pratica con quello incidente, oltre a quello deflesso.

2) Gli elettroni bersaglio non si trovano quasi mai in quiete rispetto al laboratorio e quindi la quantità di moto iniziale assume diversi possibili valori, perciò il picco dell'onda non è una unica riga verticale ma è distribuito su diversi valori della lunghezza d'onda.
Nota: poiché in media la quantità di moto iniziale dell'elettrone è nulla, il picco massimo rappresenta la media sulle varie lunghezze d'onda.

Tuttavia, nonostante gli evidenti limiti dovuti ad una semplificazione della realtà, il modello non è privo di significato fisico e ci permette di convalidare con buona approssimazione la nostra interpretazione di un urto meccanico relativistico tra corpi quantistici, dandoci una corretta spiegazione dell'esperimento (che valse a Compton il premio Nobel nel 1927).

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