Derivare la Massa Relativistica

Scopo di questo post è mostrare come sia possibile derivare la relazione della massa relativistica a partire da tre principi relativistici:
I) la legge di conservazione dell'energia relativistica;
II) la legge di conservazione della quantità di moto relativistica;
III) la legge di composizione relativistica delle velocità.

Supponiamo a questo scopo di avere due corpi di uguale massa m₀ (quando vengono misurati in quiete) distanti tra di loro; immaginiamo che il primo corpo sia messo in moto con velocità v in rotta di collisione con il secondo (che è in quiete) lungo l'asse X.

Ipotizziamo inoltre che l'urto sia completamente anelastico: cioè dopo l'urto i due corpi si uniscono (in un sol corpo M) e viaggiano alla stessa velocità V.
Nota: per definire l'urto anelastico vedi "L'urto Elastico o Anelastico".

Possiamo perciò scrivere le due seguenti relazioni, dove m₀ indica la massa in quiete mentre m è la massa in moto (che chiameremo relativistica) che ricordiamo sono poste in rotta di collisione.

Nota: si osservi che a priori non possiamo affermare che le due masse m₀ e m sono uguali.

I) La prima relazione che scriviamo è vera per la conservazione della massa (o meglio, moltiplicando entrambi i termini dell'equazione per c², per la conservazione dell'energia) dove M indica la massa complessiva dopo l'urto:

m+m₀=M.

II) Mentre la seconda relazione vale per la conservazione della quantità di moto, dove V è la velocità di M dopo l'urto e v la velocità di m prima dell'urto (mentre m₀ è in quiete):

mv=MV.

Nota: abbiamo implicitamente stabilito di scrivere la quantità di moto come p=(massa relativistica) x (velocità) ma si veda anche la penultima nota.

Da queste due relazioni si ricava subito che mv=(m+m₀)V da cui segue che

m(v-V)=m₀V

e quindi si ottiene la seguente relazione tra il rapporto delle velocità e quello delle masse:

v/V=1+m₀/m.

Ora chiediamoci cosa vede invece un osservatore in moto solidale con il corpo m (a velocità v lungo l'asse X): in questo caso il corpo m appare in quiete mentre è l'altro corpo a muoversi con velocità -v verso il primo corpo.

Perciò dopo l'urto (essendo la situazione del tutto simmetrica), la massa M si muoverà con velocità -V rispetto all'osservatore in moto.

Per chiarire meglio la situazione si osservi che nel caso classico, la relazione tra le due velocità V e -V è data dalla composizione galileiana delle velocità:

-V=V-v

essendo v la velocità relativa tra i due riferimenti, dalla quale si ottiene

v/V=2

da cui sostituendo nella equazione sopra segue la relazione classica m=m₀.
Nota: vedremo invece come nel caso relativistico risulti v/V≈2 solo se v<<c.

III) Utilizzando invece la relazione relativistica tra le velocità -V e V del corpo in moto M si può derivare come vedremo il rapporto relativistico v/V; tale relazione è infatti definita dalle Trasformazioni di Lorentz:

-V=(V-v)/(1-vV/ c²).

Nota: come anticipato sopra per v<<c si ottiene di nuovo la relazione classica -V=V-v.

Riscriviamo quindi l'equazione precedente (eliminando il denominatore) nella forma di una equazione di secondo grado:

(v/c²)V²-2V+v=0

la cui soluzione è (posto ß=v/c)*:

V=(c²/v)[1-(1-ß²)^1/2]

dove abbiamo escluso la soluzione col segno positivo poiché avremmo V>c.

Infine da questa soluzione ricaviamo (moltiplicandola per 1/v) la relazione

v/V=ß²/[1-(1-ß²)^1/2]

e quindi, dall'equazione prima ottenuta v/V=1+m₀/m deduciamo (per sostituzione e dopo alcuni passaggi algebrici) la massa relativistica:

m=m₀/(1-ß²)^1/2

che perciò dipende dalla velocità relativa v dei due sistemi inerziali.

Si osservi però che essendo l'energia relativistica definita, a meno di un fattore c, come la massa m (essendo cioè E=mc²) si preferisce identificare con il termine massa del corpo quella definita in quiete m₀ (vedi Wikipedia) che in effetti è un invariante relativistico (come mostreremo di seguito).

Nota: invece di esprimere p=mdx/dt è meglio scrivere p=m₀dx/dτ dove m₀ è la massa in quiete e τ è il tempo proprio della particella m₀ dove vale la relazione: dτ/dt=(1-ß²)^1/2 (vedi "La Dilatazione relativa del Tempo").

Si elevi ora al quadrato la relazione precedente e si moltiplichino entrambi i termini per c⁴ da cui si ottiene (eliminando il denominatore):

m²c⁴-m²v²c²=m₀²c⁴ 

che possiamo riscrivere nella forma nota, forse la relazione più importante della relatività:

E²-p²c²=m₀²c⁴

essendo E=mc² l'energia relativistica**, p=mv la quantità di moto relativistica e m₀ la massa in quiete della particella, che quindi risulta indipendente dal sistema di riferimento (è un invariante relativistico)***.
Nota: per altre considerazioni sulla precedente relazione vedi anche il post "Massa a riposo 'nulla'!"

(*) Ricordiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado ax²+bx+c=0 è data da x=[-b±(b²-4ac)^1/2]/2a; perciò nel nostro caso essendo (v/c²)V²-2V+v=0 risulta: V=(c²/v)[1±(1-ß²)^1/2].
(**) L'energia totale relativistica E della particella è data, per ipotesi, dalla sua energia in quiete E₀=m₀c² sommata all'energia cinetica E_c cioè E=m₀c²+E_c. In questo modo dalla relazione E=mc² si ricava subito la relazione classica (essendo 1/(1-ß²)^1/2≈1+ß²/2+...):
E_c=mc²-m₀c²=m₀c²[1/(1-ß²)^1/2-1]≈(1/2)m₀v² quando v<<c.
(***) Si noti infatti come la massa in quiete m₀ sia deducibile da qualsiasi sistema di riferimento, una volta noti l'energia E e la quantità di moto p della particella in moto, senza dipendere dalla velocità relativa v.

L'espansione adiabatica di Joule

Nel post "Il Principio di Conservazione... termodinamico!" abbiamo visto come si può definire (per un sistema termodinamico) l'energia interna U che, per un sistema chiuso (che non scambia cioè massa con l'esterno), è in relazione col calore fornito Q e il lavoro L fatto sul sistema; tuttavia per motivi pratici si preferisce definire la variazione di energia interna ∆U (più facile da valutare del valore assoluto):

∆U=Q+L.

Questa relazione, ricordiamo, rappresenta il primo principio della termodinamica.

In particolare si osservi che, per definizione, l'energia interna di un gas si identifica con l'energia totale delle sue molecole: cioè l'energia cinetica (di traslazione, rotazione e vibrazione) va sommata all'energia potenziale dovuta, in pratica, all'attrazione intermolecolare.

Ora si ricordi, come abbiamo già visto nel post "L'Equipartizione dell'Energia", che secondo la Teoria cinetica dei gas l'energia cinetica media di un gas ideale è pari a

<E_c>=(q/2)nRT

dove q è il numero di gradi di libertà delle molecole del gas mentre n è il numero di moli e T la temperatura del gas.

Poiché per un gas ideale per definizione (vedi il post "Un gas ideale o... perfetto!"), non si hanno forze di interazione a distanza (cioè l'energia potenziale è nulla), avremo per la variazione di energia interna ∆U del sistema quella dovuta alla sola energia cinetica:

∆U=(q/2)nR∆T 

che perciò dipende dalla variazione di temperatura del gas.
Nota: l'equazione di stato dei gas perfetti è pV=nRT quindi se l'energia interna aumenta (cioè ∆T>0) allora anche la pressione del sistema aumenta (se V=costante).

Alla luce di queste considerazioni è facile interpretare un esperimento classico compiuto nell'ottocento dal fisico inglese James Prescott Joule, che fece espandere liberamente un gas, contenuto in un serbatoio rigido, in un altro serbatoio adiacente vuoto e connesso da un rubinetto; entrambi i serbatoi immersi in un calorimetro in equilibro termico ad una data temperatura T.

Joule osservò, dopo l'espansione libera e irreversibile a causa del salto repentino del gas nel secondo recipiente, che il termometro posto dentro al calorimetro non segnava (quasi) nessuna variazione della temperatura (si suppone che per un gas ideale risulti proprio ∆T=0).
Nota: la relazione tra la variazione di temperatura ∆T di un sistema termodinamico e il calore Q scambiato con l'ambiente è ∆T=Q/C dove C è la capacità termica del sistema in esame.

Quindi, essendo nullo sia il calore scambiato Q=C∆T=0 (trasformazione adiabatica) che il lavoro esterno L=0 della trasformazione (essendo rigide le pareti del contenitore non veniva fatto nessun lavoro con l'esterno), ottenne per l'energia interna del gas: 

∆U=Q+L=0.

Da ciò dedusse, essendo l'energia interna di un gas ideale U(T,V) funzione* della temperatura T e del volume V, che l'energia interna non dipende dal volume** (che nell'esperimento varia) ma solo dalla temperatura (che infatti nell'esperimento non varia risultando ∆U(T)=0).
Nota: possiamo esprimere, come variabili indipendenti di U, anche p e T oppure p e V (che sono variabili dell'equazione di stato pV=nRT) per cui U=f(T,V)=f(p,T)=f(p,V).

Il significato fisico di questo esperimento diventa subito evidente se consideriamo la teoria cinetica dei gas, da cui sappiamo per il principio di equipartizione dell'energia che ∆U dipende proprio dalla variazione ∆T della temperatura: come abbiamo prima ricordato ∆U=(q/2)nR∆T.

Nota: per chiarimenti sulla relazione tra l'energia cinetica e la temperatura di un gas vedi il post "L'Equipartizione dell'Energia".

Ma cosa accade se consideriamo un gas reale quando per pressioni elevate e basse temperature le condizioni di gas ideale decadono (poiché dobbiamo tener conto dell'energia potenziale intermolecolare)?
Come discusso nel post "Il Teorema del Viriale" a cui rimandiamo, per un sistema a molte particelle come un gas vale in generale la relazione:

<E_c>=-(1/2)<∑_ir_iF_i^ext+∑_ijr_ijF_ij^int>

dove <E_c> è la media temporale dell'energia cinetica di tutte le particelle.
Nota: la relazione <E_c>=(q/2)nRT ottenuta per un gas ideale è vera se trascuriamo le forze interne tra le molecole (infatti se poniamo ∑_ijr_ijF_ij^int=0 risulta <E_c>=-(1/2)<∑_ir_iF_i^ext>=(q/2)nRT).

Si osservi che il contributo delle forze esterne -(1/2)∑_ir_iF_i^ext è dovuto, nel caso del gas, alle reazioni delle pareti quando vengono colpite dalle molecole (quindi rappresenta l'energia interna U(T,V)), mentre quello delle forze interne ∑_ijr_ijF_ij^int è dovuto alle interazioni molecolari (cioè all'energia potenziale U_pot(V)); avremo perciò per l'energia del gas U(T,V) oltre al contributo cinetico anche quello potenziale:

U(T,V)=(q/2)nRT+(1/2)U_pot(V)

dove U_pot(V) è appunto l'energia potenziale dovuta alle forze intermolecolari (generalmente attrattive); tale energia (essendo in pratica inversamente proporzionale alla distanza) diminuisce in media all'aumentare della distanza tra le molecole e quindi dipende dal volume del gas***.
Nota: per un gas reale l'equazione di stato è perciò pV=nRT+(1/q)∑_ijr_ijF_ij^int (avendo posto (2/q)U(T,V)=pV) che infatti si riconduce a quella dei gas ideali per ∑_ijr_ijF_ij^int=0 (risultando pV=nRT).

(*) Una volta stabilita l'equazione di stato di un gas si possono definire le variabili termodinamiche indipendenti; nel caso di un gas ideale risulta pV=nRT dove le variabili (p,V,T,n) definiscono lo stato di equilibrio: saranno perciò sufficienti solo due variabili per definire la funzione di stato (fissato il numero n di moli).
(**) Si può ricavare teoricamente la relazione che definisce la variazione di energia interna di un gas U(T,V) rispetto al volume e risulta (fissata la temperatura):
(∂U/∂V)_T=T(∂p/∂T)_V-p.
Da ciò deriva immediatamente che per un gas ideale con p=nRT/V:
(∂U/∂V)_T=T(∂(nRT/V)/∂T)_V-nRT/V=0
cioè U(T) non dipende dal volume.
(***) Per un gas reale tipo van der Waals l'equazione di stato è:
(p+n²a/V²)(V-nb)=nRT
dove il termine n²a/V² tiene conto dell'effetto delle forze intermolecolari di coesione (forze attrattive) mentre nb considera le dimensioni finite delle molecole (forze repulsive); da cui si deriva che per un gas reale con
p=nRT/(V-nb)-n²a/V² si ha (vedi la nota**):
(∂U/∂V)_T=T(∂p/∂T)_V-p=n²a/V² da cui integrando U_pot(V)=-n²a/V+K
(dove K è una costante che può dipendere dalla temperatura fissata).

Il Pendolo (non) isocrono!

Come è noto "il pendolo semplice è un sistema fisico costituito da un filo inestensibile e da una massa puntiforme m fissata alla sua estremità e soggetta all'attrazione gravitazionale (che supponiamo uniforme nello spazio e costante nel tempo)" (vedi Wikipedia).

In particolare ricordiamo che con isocronismo del pendolo si intende che "le oscillazioni di piccola ampiezza (cioè per sinθ≈θ) si svolgono tutte nello stesso tempo, a prescindere dalla loro ampiezza"(vedi Wikipedia); ed è ciò che vogliamo mostrare di seguito, con qualche annotazione.

Nella seguente figura, supposto che il filo a cui è appesa la massa è inestensibile e il punto di rotazione è privo di attrito, è mostrata la componente della forza gravitazionale F=mg (per ipotesi costante) che agisce sulla massa m e determina il moto.

In particolare mentre la componenete normale è controbilanciata dal vincolo del filo inestensibile* la componente che determina il moto è tangenziale alla sua traiettoria:

F_t=-mgsinθ

dove θ rappresenta l'angolo che il filo di lunghezza L forma con la verticale, mentre il segno meno indica che F_t si oppone all'aumentare dell'angolo θ.
Nota: il filo è sottoposto ad una tensione τ=F_c-F_l dovuta alla forza gravitazionale longitudinale F_l=-mgcosθ (che quindi non contribuisce al moto) e a quella centripeta F_c=mv²/L (dovuta alla velocità v di rotazione). 

Si osservi che al variare del tempo t, lo spostamento x(t) lungo l'arco di circonferenza** descritto dalla massa m è dato da

x(t)=Lθ(t)

essendo per definizione di variabile angolare θ(t)=x(t)/L.

Come è noto per piccoli angoli risulta sinθ(t)≈θ(t) perciò con questa approssimazione si ottiene subito x(t)≈Lsinθ(t) e quindi sostituendo il valore di sinθ(t)≈x(t)/L nell'equazione F_t=-mgsinθ:

F_t≈-mgx(t)/L.

Inoltre, essendo per definizione di forza F_t=md²x(t)/dt² possiamo infine scrivere l'equazione del pendolo isocrono:

md²x(t)/dt²=-mgx(t)/L.

Nota: in funzione dell'angolo θ si ha anche md²θ(t)/dt²=-mgθ(t)/L essendo x(t)=Lθ(t).

La soluzione di questa equazione è nota (ed è formalmente identica a quella del moto armonico semplice md²x(t)/dt²=-kx(t) posto k=mg/L):

x(t)=x₀cos(2π/T)t

dove x₀ rappresenta, per definizione, il punto in cui si trova la massa m al tempo t=0 lungo la circonferenza (istante in cui la massa viene lasciata libera di oscillare) mentre T è il periodo di oscillazione:

T=2π(L/g)^1/2.

Nota: possiamo porre x₀=0 quando il pendolo si trova nella posizione più bassa (cioè θ=0); in questo caso risulta correttamente x(t)=0 per x₀=0 (cioè il pendolo resta in posizione di quiete).

Si noti che questa ultima relazione definisce il significato fisico del pendolo cosiddetto isocrono: infatti a parità di lunghezza L le oscillazioni avranno tutte lo stesso periodo T indipendentemente dalla loro ampiezza x₀.

Nel caso invece la relazione di approssimazione sinθ(t)≈θ(t) non sia più valida*** il periodo del pendolo, che in generale non è isocrono, dipende dall'ampiezza x₀ dell'oscillazione; infatti risulta:

T=2π(L/g)^1/2[1+(1/2)²sin²(x₀/2L)+(3/8)²sin⁴(x₀/2L)+...].

Nota: l'equazione non approssimata del pendolo da cui si ricava T è md²θ(t)/dt²=-mgsinθ(t)/L non valendo più la relazione x(t)≈Lsinθ(t).

Ma allora per quale motivo il pendolo viene solitamente considerato, anche per oscillazioni non troppo piccole, come se fosse isocrono?

La risposta è dovuta al piccolo errore che di solito si commette nella approssimazione fatta; si osservi infatti che, confrontando le due ultime equazioni, occorre un'ampiezza di ben 23° per commettere un errore di circa l'1% sul periodo esatto: in pratica solo una oscillazione su cento!

(*) L'equazione completa del moto del pendolo (inestensibile e privo di attrito) è F=mg+τ dove τ è la tensione del filo; quindi oltre alla componente tangenziale F_t=-mgsinθ che definisce il moto, avremo anche la componente normale lungo la direzione del filo F_c=τ-mgcosθ (essendo F_c=mv²/L la forza centripeta del pendolo): possiamo quindi ricavare la tensione τ del filo una volta determinata la variabile θ(t) (essendo v(t)=dx(t)/dt=Ldθ(t)/dt).
(**) Poiché la massa m è vincolata a muoversi per inerzia su un piano (non agendo forze trasversali) e lungo la circonferenza di raggio L, è sufficiente una sola variabile x(t) per descrivere il moto in modo appropriato (ma possiamo anche usare la variabile angolare θ(t)=x(t)/L).
(***) Restano comunque vere le ipotesi di inestensibilità del filo (privo di massa) e assenza di attrito; ovviamente la relazione sinθ(t)≈θ(t) è vera in relazione all'errore che vogliamo ottenere (come osserviamo di seguito).

Un esperimento chiave: EPR!

Iniziamo questo post enunciando il classico Principio di Località (che verrà poi discusso in seguito):
"In fisica, il principio di località afferma che oggetti distanti non possono avere influenza istantanea l'uno sull'altro: un oggetto è influenzato direttamente solo dalle sue immediate vicinanze" (vedi Wikipedia).
Nota: le immediate vicinanze sono ovviamente definite, in senso relativistico, dalla velocità limite della luce.

Introduciamo ora un esperimento ideale (o meglio un esperimento mentale o Gedankenexperiment).
Supponiamo di avere una sorgente di particelle* che emette in modo simmetrico, verso due osservatori A e B posti sullo stesso asse con al centro la sorgente, coppie di elettroni con momento angolare totale nullo (vedi Wikipedia).
Secondo le regole della meccanica quantistica, e per come è stata configurata la sorgente, queste coppie presentano le seguenti proprietà:

-> ogni coppia è formata da due elettroni (che chiameremo A e B come i relativi osservatori) con spin uguali ed opposti** (e indicati rispettivamente con gli apici ^"+" e ^"-");
-> fissato un asse lungo cui misurare lo spin (ad esempio X), allora ogni volta che un osservatore misura il valore dello spin di un elettrone (ad esempio A_x⁺), l'altro osservatore trova sempre il valore opposto (cioè B_x^-);
-> non possiamo misurare contemporaneamente, lungo assi diversi (ad esempio X e Y), lo spin di un elettrone: queste quantità osservabili sono tra loro incompatibili.

Nota: in effetti la sovrapposizione di due campi magnetici per la misura contemporanea dello spin lungo X e Y, darebbe luogo (per le proprietà vettoriali) ad un terzo campo e ad un nuovo asse di spin.

Si osservi che tutti gli elettroni sono per ipotesi identici e indistinguibili; le etichette A e B servono solo ad indicare che i due elettroni vengono misurati da due osservatori (A e B) posti a debita distanza (in modo cioè che le misure siano completamente indipendenti).

In effetti l'esperimento, una volta eseguito in laboratorio, conferma le proprietà quantistiche che abbiamo sopra enunciato. Tuttavia per ciò che riguarda la sua interpretazione fisica, la nostra intuizione classica*** ci porterebbe ad affermare che la coppia di elettroni con spin opposti misurata ad esempio lungo l'asse X (cioè (A_x⁺,B_x^-) oppure (A_x^-,B_x⁺)), è definita anche prima di essere misurata: potremmo cioè ragionevolmente supporre che al momento della separazione degli elettroni ognuno di essi abbia uno spin ben definito.
Nota: se così fosse la teoria quantistica, che non prevede l'esistenza di questo determinato stato prima della misurazione, sarebbe incompleta.

Seguendo questo ragionamento, se consideriamo lo spin di un elettrone lungo assi diversi (ad esempio X e Y), avremo evidentemente quattro possibili orientazioni dello spin per ogni coppia di particelle (rilevate in una serie di esperimenti ripetuti), come di seguito elencate:

[(A_x⁺,A_y⁺),(B_x^-,B_y^-)];  [(A_x⁺,A_y^-),(B_x^-,B_y⁺)];  [(A_x^-,A_y⁺),(B_x⁺,B_y^-)];  [(A_x^-,A_y^-),(B_x⁺,B_y⁺)]

dove a parità di asse lo spin degli elettroni A e B è sempre di segno opposto.

Nota: ovviamente questo è un modo indiretto (cioè deduttivo e non sperimentale) di stabilire le possibili coppie di orientazione dello spin, in linea con la nostra procedura classica di affrontare il problema.

Possiamo ora allargare l'esperimento a tre diversi assi X, Y e Z (non necessariamente ortogonali tra loro); in questo modo come mostreremo possiamo derivare una diseguaglianza numerica che è possibile verificare sperimentalmente.

In effetti in questo caso tutte le possibili orientazioni dello spin per ogni coppia di particelle sono otto; in particolare possiamo indicare con

N[(A_x, A_y, A_z),(B_x, B_y, B_z)] 

il numero N di volte in cui, in una serie di esperimenti ripetuti, si ottiene quel tipo di orientazione dello spin per ogni coppia di particelle A e B (lungo i tre assi considerati); ecco le otto possibilità:

N₁[(A_x⁺,A_y⁺,A_z⁺),(B_x^-,B_y^-,B_z^-)];  N₂[(A_x^-,A_y⁺,A_z⁺),(B_x⁺,B_y^-,B_z^-)];  N₃[(A_x⁺,A_y^-,A_z⁺),(B_x^-,B_y⁺,B_z^-)];  N₄[(A_x^-, A_y^-,A_z⁺),(B_x⁺,B_y⁺,B_z^-)];  N₅[(A_x⁺,A_y⁺,A_z^-),(B_x^-,B_y^-,B_z⁺)];  N₆[(A_x^-,A_y⁺,A_z^-),(B_x⁺,B_y^-,B_z⁺)];  N₇[(A_x⁺,A_y^-,A_z^-),(B_x^-,B_y⁺,B_z⁺)];  N₈[(A_x^-,A_y^-,A_z^-),(B_x⁺,B_y⁺,B_z⁺)].

Ora supponiamo che, durante l'esperimento, sia stata misurata ad esempio per N volte la configurazione (A_x⁺, B_y⁺) (cioè lo spin di A lungo l'asse X positivo e lo spin di B lungo l'asse Y positivo); avremo perciò la seguente relazione considerando tutte le possibili combinazioni:

N(A_x⁺,B_y⁺)=N₃+N₇

(dove omettiamo per semplicità gli argomenti di N₃ e N₇) e sarà ovviamente vero che in generale:

N₃+N₇ ≤ N₃+N₇+N₄+N₅ 

dove il segno di uguale vale solo se N₄=0 e N₅=0.

Se poi consideriamo un numero totale N_tot molto elevato di prove, la probabilità che si presenti la configurazione (A_x⁺,B_y⁺) sarà pari a

P(A_x⁺,B_y⁺)=(N₃+N₇)/N_tot.

Ma allo stesso modo è anche vero che (considerando gli assi X, Z e Z, Y rispettivamente):

P(A_x⁺,B_z⁺)=(N₅+N₇)/N_tot   e   P(A_z⁺,B_y⁺)=(N₃+N₄)/N_tot.

Nota: stiamo implicitamente considerando la indipendenza statistica tra gli eventi e le misure, cioè che non ci siano correlazioni nascoste (come invece prevede la teoria a variabili nascoste del super-determinismo).

In definitiva, osservando che N₃+N₇ ≤ (N₅+N₇)+(N₃+N₄), ricaviamo la seguente disuguaglianza di Bell (dal nome del fisico irlandese John Stewart Bell che la derivò per primo):

P(A_x⁺,B_y⁺) ≤ P(A_x⁺,B_z⁺)+P(A_z⁺,B_y⁺).

Diciamo subito che questa relazione derivata classicamente è stata poi sottoposta a verifica sperimentale, ma si è ottenenuto un risultato che non è in accordo con quello derivato teoricamente (almeno per certe scelte di inclinazione relativa degli assi).
Nota: l'esperimento conferma invece le previsioni teoriche della meccanica quantistica, con una derivazione del tutto diversa da quella classica.

In effetti, ciò che abbiamo trascurato nel nostro ragionamento (e che invece la meccanica quantistica prevede correttamente), è che non possiamo presumere o stabilire in nessun modo come è orientato lo spin di ogni singola particella prima della misura (come abbiamo fatto sopra).

In particolare, i due diversi stati quantistici (A⁺,B^-) e (A^-,B⁺) lungo qualsiasi asse fissato, determinano in realtà un unico stato non separabile di sovrapposizione quantistica detto entangled; perciò, anche se le particelle A e B sono fisicamente separate, non è possibile affermare che esse si trovano in una delle due possibili configurazioni di spin: possiamo solo dire che sono probabili entrambe, fino alla misurazione dello spin di una delle due particelle, la cui misura determina immediatamente anche lo stato dell'altra.

In pratica ciò significa che la meccanica quantistica rinuncia implicitamente al principio di località (conservando però le classiche condizioni di realismo e completezza), in modo da permettere la stretta correlazione tra le particelle, anche quando queste sono fisicamente separate!
Nota: ciò vale anche per le teorie deterministiche a variabili nascoste che, per riprodurre le predizioni quantistiche, devono essere non locali.

Si noti infine che la violazione della località non implica che le particelle A e B comunichino in modo istantaneo; infatti la misura su A (che determina il risultato di B) non provoca nessuna variazione riscontrabile su B (poiché la probabilità statistica dei risultati ottenuti, cioè B_x⁺ oppure B_x^-, è sempre del 50%) e quindi non viene trasmessa alcuna informazione da A a B.
Nota: senza rinunciare alla località possiamo altresì rifiutare il realismo: cioè le proprietà di un sistema quantistico non esistono prima della misura!

(*) Esponiamo qui la versione semplificata proposta da David Bohm; in effetti "Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen (EPR) proposero questo esperimento ideale in un articolo pubblicato nel 1935 intitolato "La descrizione quantistica della realtà fisica può ritenersi completa?" usando però l'impulso come quantità osservabile (vedi Wikipedia).
(**) Nel 1924 il fisico "Wolfgang Pauli introdusse ciò che chiamò un grado di libertà quantico a due valori associato con gli elettroni del guscio esterno di un atomo" (vedi Wikipedia) e che poi venne denominato spin (cioè il momento angolare intrinseco associato alle particelle).
(***) In pratica stiamo ipotizzando "alcune deboli e generali condizioni, come realismo, località e completezza, ritenute ragionevolmente vere per qualunque teoria che descriva la realtà fisica senza contraddire la relatività" (vedi Wikipedia).

La Funzione d'Onda (quantistica)

Ci siamo già occupati (nel post "L'Equazione della Funzione d'Onda") dell'equazione che descrive la dinamica di un sistema quantistico attraverso la relativa funzione d'onda; vediamo ora qual è il significato fisico di questa particolare funzione.

Secondo Wikipedia "in meccanica quantistica, la funzione d'onda rappresenta uno stato fisico del sistema quantistico. È spesso una funzione complessa delle coordinate spaziali e del tempo e il suo significato è quello di ampiezza di probabilità. Il suo modulo quadro quindi rappresenta la densità di probabilità dello stato sulle posizioni".

Per chiarire il significato fisico della funzione d'onda sarebbe necessario introdurre alcuni concetti quantistici, come quelli di stato quantico, di grandezza osservabile e del principio di sovrapposizione (solo per citarne alcuni) ed in particolare andrebbe prima definito il relativo spazio di Hilbert; poiché, essendo la funzione d'onda una funzione complessa, essa deve essere trattata in uno spazio complesso.

Tuttavia introdurremo qui l'interpretazione della funzione d'onda data per primo dal fisico tedesco Max Born nel 1926, quando ancora le definizioni di cui sopra non erano state del tutto chiarite o introdotte (vedi Wikipedia).

Ora si osservi che "se in meccanica classica, lo stato di una particella viene definito attraverso il valore esatto delle due quantità osservabili posizione e impulso (variabili canoniche); in meccanica quantistica, invece, lo stato di una particella è descritto (nella rappresentazione di Schröedinger) da una funzione d'onda" (vedi Wikipedia).

Veniamo quindi all'interpretazione data dal Nobel per la Fisica Max Born.
In breve "Max Born mise in correlazione il concetto di funzione d'onda con la probabilità di rinvenire una particella in un punto qualsiasi dello spazio basandosi sull'analogia* con la teoria ondulatoria della luce, per la quale il quadrato dell'ampiezza E² dell'onda elettromagnetica in una regione dello spazio rappresenta in pratica la sua intensità" (vedi Wikipedia).

Si osservi infatti (come abbiamo già visto nel post "Un effetto Foto-elettrico!"), che l'intensità di un'onda elettromagnetica - cioè l'energia dell'onda che attraversa una superficie elementare nell'unità di tempo - è definita dal vettore di Poynting S e che, ad esempio, nel caso di una onda piana il suo modulo è proporzionale al quadrato del campo elettrico E:

S=E²/Z

essendo Z=(µ/ε)^1/2 l'impedenza caratteristica del materiale dove si propaga l'onda (ε e µ sono la permittività elettrica e la permeabilità magnetica).
Nota: in generale la densità di energia di un'onda e.m. (solitamente indicata con u) è proporzionale a E² risultando: u=εE².

Poiché come è noto l'intensità di un'onda e.m. è proporzionale al numero di fotoni dell'onda**, ciò implica che il quadrato dell'ampiezza del campo elettrico E²(r) (in un punto r qualsiasi dello spazio) sarà proporzionale alla densità di probabilità di trovare un fotone in quella determinata posizione.

Per analogia, secondo Born, "risulta possibile determinare la probabilità con la quale un elettrone può essere rinvenuto all'interno di un volume elementare dV in un determinato punto r effettuando il prodotto ψ²(r)dV"; ciò significa che il modulo quadro ψ²(r) rappresenta la densità di probabilità della funzione d'onda.
Nota: nel caso di una funzione d'onda complessa la probabilità è proporzionale al prodotto ψψ* dove ψ* è la funzione coniugata complessa.

A questo punto è utile fare un esempio. Se applichiamo l'equazione di Schrödinger ad un atomo di idrogeno (costituito da un protone ed un elettrone), la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'elettrone intorno all'atomo (cioè lo stato stabile a minor energia) risulta:

ψ(r)=ke^-r/a₀

dove k=1/(πa₀³)^1/2 mentre a₀ è il raggio di Bohr.
Nota: si osservi che ψ(r) ha una simmetria sferica, cioè dipende dal modulo del vettore r applicato nel centro dell'atomo e non dalla sua direzione***.

Perciò, essendo la simmetria sferica, calcoliamo la probabilità radiale (definita come P(r)dr=ψ²(r)dV) di trovare l'elettrone nel guscio compreso tra le sfere di raggio r e r+dr e di volume dV=4πr²dr:

ψ²(r)dV=(ke^-r/a₀ )²4πr²dr=P(r)dr.

Da ciò segue che la densità di probabilità radiale P(r)=(ke^-r/a₀ )² 4πr² ha il suo massimo nel punto r=a₀ (basta porre dP(r)/dr=0 per ottenere il punto di massimo) che coincide con il raggio già derivato da Bohr.

Nota: essendo il risultato probabilistico, l'elettrone potrebbe trovarsi anche in altre zone intorno al nucleo ma con minor probabilità.

(*) L'analogia con la teoria ondulatoria della luce si basa sul fatto (vedi il post "L'ipotesi di de Broglie: L=h/p") che se L e T sono rispettivamente la lunghezza e il periodo di un'onda, allora per una particella di energia E e quantità di moto p sono per ipotesi valide le due relazioni fondamentali: T=h/E e L=h/p da cui discende la possibilità di associare, ad una determinata particella, la relativa funzione d'onda (come descritto nel post "L'Equazione della Funzione d'Onda").
(**) Sull'introduzione del fotone in fisica, la cui energia è pari a E=h/T (dove T è il periodo dell'onda), vedi il post "Un effetto Foto-elettrico!".
(***) L'energia potenziale dell'atomo di idrogeno (protone ed elettrone interagiscono attraverso la forza conservativa coulombiana) è definita come U(r)=-(1/4πε₀)e²/r e quindi ha simmetria sferica.

Il Moto Browniano

Nel presente post faremo uso di due argomenti già introdotti in altri articoli: "La Legge di Stokes" e "L'Equipartizione dell'Energia" (a cui rimandiamo); entrambi fondamentali per trattare il Moto Browniano che prende il nome dal botanico scozzese Robert Brown che per primo lo descrisse nel 1827.

In breve "con il termine moto browniano si fa riferimento al moto disordinato delle particelle (aventi diametro dell'ordine del micrometro) presenti in fluidi o sospensioni fluide" (come il polline disperso in acqua).
In pratica "questo è dovuto al fatto che la particella in questione subisce un gran numero di eventi di scattering (urti) da parte delle molecole del fluido in cui è immersa" (per i dettagli vedi Wikipedia).

Nel suo articolo del 1905 il giovane Albert Einstein, per trattare teoricamente il moto browniano*, fece l'ipotesi fondamentale che le particelle sospese nel fluido si comportassero come molecole di gas alle quali si può applicare il noto teorema di equipartizione dell'energia (vedi il post "L'Equipartizione dell'Energia"), proprio a causa del continuo bombardamento molecolare**.

Einstein osservò che una particella di massa m e raggio r immersa in un fluido (in equilibrio termodinamico alla temperatura T) è, per ipotesi, soggetta alle seguenti tre forze:
a) Forza di attrito viscoso: quella esercitata su di una sfera di raggio r immersa in un fluido che si muove a velocità v(t) (vedi il post "La Legge di Stokes"): F_d(t)=-kv(t) dove k=6πµr e µ è il coefficiente di viscosità.
b) Forza d'urto casuale: dovuta agli urti delle molecole del fluido con la particella, la indicheremo genericamente così: F_s(t).
Nota: poiché per ipotesi la forza F_s(t) fluttua continuamente, senza direzioni privilegiate, il suo valore medio è nullo: <F_s(t)>=0.

c) Forza di gravità: si suppone che la forza F_g (data la piccola massa m della particella in sospensione) sia trascurabile rispetto agli urti delle molecole e quindi non la considereremo: F_g≈0.

Perciò la risultante F(t) delle forze applicate è F(t)=F_d(t)+F_s(t) e quindi, considerando per semplicità solo l'asse X, dalla seconda legge di Newton (cioè F(t)=md²x(t)/dt²) risulta:

md²x(t)/dt²=-kdx(t)/dt+F_s(t)

dove x(t) indica la posizione della particella lungo X al tempo t e dove dx(t)/dt=v(t) è la velocità istantanea della particella; si tratta perciò di trovare il valore di x(t) quale soluzione della precedente equazione.

Tuttavia, poiché il valore medio della posizione x(t) è nullo (cioè <x(t)>=0 essendo la direzione degli urti del tutto casuale la particella in media non si sposta), è molto più utile ricavare lo spostamento quadratico medio <x²(t)> che, essendo indipendente dal segno (cioè dalla direzione di spostamento), è sicuramente non nullo e valutabile sperimentalmente.

Per trasformare l'equazione precedente in funzione di x²(t) (e poi facendo la media) si osservi che in generale, applicando le regole di derivazione, si ottiene (derivando per due volte x²(t)):

dx²(t)/dt=2x(t)dx(t)/dt   =>   d²x²(t)/dt²=2(dx(t)/dt)²+2x(t)d²x(t)/dt²

da cui segue subito: 2x(t)d²x(t)/dt²=d²x²(t)/dt²-2(dx(t)/dt)².

Quindi moltiplicando tutti i termini dell'equazione differenziale per 2x(t) e sostituendo il valore di 2x(t)d²x(t)/dt² prima ricavato si ha:

md²x²(t)/dt²-2m(dx(t)/dt)²=-2kx(t)dx(t)/dt+2x(t)F_s(t)

(si ricordi che (dx(t)/dt)²=v²(t)).

Se infine consideriamo i valori medi dei vari termini (in linea con la nostra trattazione statistica), si ottiene la seguente equazione in funzione di <x²(t)> (prendendo i valori medi dell'equazione sopra e riordinando i termini):

md²<x²(t)>/dt²+kd<x²(t)>/dt=2m<v²(t)>+2<x(t)F_s(t)>

dove abbiamo sostituito 2x(t)dx(t)/dt con dx²(t)/dt (vedi sopra).

Poiché <x(t)F_s(t)>=<x(t)><F_s(t)>=0 (essendo x(t) e F_s(t) due variabili indipendenti con <F_s(t)>=0) ed essendo per il Teorema di equipartizione dell'energia (1/2)m<v²(t)>=(1/2)k_BT (questo è il punto cruciale del ragionamento) l'equazione precedente prende la forma di un'equazione differenziale del secondo ordine in y(t)=<x²(t)>:

md²y(t)/dt²+kdy(t)/dt=2k_BT

la cui soluzione è (si può facilmente verificare per sostituzione):

<x²(t)>=(2k_BT /k)[t+(m/k)(e^-kt/m-1)]

dove si è posto per la posizione e la velocità iniziali: x(0)=0 e v(0)=0.

Risulta perciò che per tempi relativamente lunghi (cioè per t>>m/k) si ha

[t+(m/k)(e^-kt/m-1)]-->t

e quindi segue***

<x²(t)>≈2Dt   dove   D=k_BT/k (costante).

Ciò significa che lo spostamento quadratico medio delle particelle (lungo X ma generalizzabile in tre dimensioni) è direttamente proporzionale al tempo (essendo D costante, fissata la temperatura T).
Nota: si osservi che la costante D è proporzionale alla temperatura T e inversamente proporzionale a k=6πµr con µ coefficiente di viscosità.

Ricordiamo infine che il significato fisico dell'equazione di <x²(t)> è legato alle ipotesi statistiche della teoria cinetica dei gas (da cui discende l'equipartizione dell'energia) e che la dipendenza dal tempo è stata verificata per la prima volta dal chimico-fisico francese Jean Perrin nel 1908, campionando le misure su molti intervalli di tempo di uguale durata.

Ciò che è ancora più notevole è che, grazie a questa argomentazione teorica "nel 1905 Albert Einstein correlò il moto browniano all'esistenza di atomi e molecole che a quell'epoca erano ancora una ipotesi"(!) (vedi Wikipedia).

 (*) La trattazione più semplice qui riportata è stata formulata nel 1908 da Pierre Langevin, sebbene la prima spiegazione quantitativa sia stata data da Einstein nel suo famoso articolo del 1905.
(**) In effetti, se il polline non fosse in continuo movimento lungo direzioni casuali (grazie agli urti delle molecole del fluido) finirebbe sul fondo del recipiente a causa della forza di gravità a cui è sottoposto.
(***) Poiché la costante di Boltzman è k_B=R/N_A dove N_A è il numero di Avogadro, una volta noto lo spostamento quadratico medio <x²(t)> è possibile derivare il valore di N_A (essendo R la costante universale dei gas).

L'Equipartizione dell'Energia

In questo post enunceremo e poi deriveremo il Teorema di equipartizione dell'energia che, ricordiamo, "permette di valutare l'entità della energia interna di un sistema termodinamico sulla base di una trattazione classica, non considerando dunque la quantizzazione dell'energia: essa è fondata sulla meccanica statistica classica, cioè la descrizione newtoniana o descrizioni più generali, tipo la formulazione hamiltoniana, con particolare riferimento alle ipotesi della teoria cinetica dei gas".

Vediamo quindi l'enunciato.
Il principio (o teorema) dell'equipartizione dell'energia afferma:

"Per ogni grado di libertà quadratico che compone il moto complessivo di una particella, si ha un contributo di energia pari a (1/2)k_BT ovvero (1/2)RT per mole" dove k_B è la costante di Boltzmann, R la costante universale dei gas e T la temperatura assoluta (per i dettagli vedi Wikipedia).
Nota: come vedremo ciò significa che la temperatura è strettamente correlata all'energia cinetica media delle particelle di un gas.

Osserviamo subito che il modello, e il relativo significato fisico, su cui si basa il principio di equipartizione è quello della Teoria cinetica dei gas; ricordiamo perciò che la teoria cinetica si basa sull'assunzione di "alcune ipotesi fondamentali:

1. Le molecole di cui sono composti i gas sono considerate come punti materiali in moto casuale e a distribuzione uniforme nello spazio e seguono l'ipotesi del caos molecolare.
2. Le molecole collidono tra loro e con le pareti del recipiente con urti perfettamente elastici.
3. Il numero delle molecole è grande cosicché si possano usare metodi statistici.
4. Il volume totale delle molecole dei gas è trascurabile rispetto al volume del contenitore.
5. L'interazione tra le molecole è trascurabile, eccetto durante l'urto tra di loro che avviene in maniera impulsiva.
6. Le molecole sono perfettamente sferiche e identiche tra loro.
7. Gli effetti relativistici e quantistici sono trascurabili".
   (Vedi Wikipedia).
   Nota: se trascuriamo l'interazione tra le molecole (cioè l'energia potenziale) la sola energia presente è per ipotesi quella cinetica delle molecole del gas.

Tenendo ben presente queste ipotesi, e supponendo di essere in condizioni di equlibrio termodinamico (poiché le variabili termodinamiche sono ben definite solo all'equilibrio), possiamo derivare il nostro teorema, calcolando dapprima la pressione esercitata dalle molecole del gas sulle pareti.

Poiché il nostro modello presuppone che le medie dei valori cinematici delle molecole contenute nel gas siano in relazione con i valori termodinamici, consideriamo la velocità media delle molecole che urtano una parete del contenitore del gas (ad esempio la componente lungo l'asse X)* e che indichiamo con <v_x> (per il caso tridimensionale vedi la nota***).

Le molecole che ad un certo istante colpiscono la parete di superficie S sono tutte contenute, posto un intervallo di tempo ∆t, nel parallelepipedo di base S e altezza media <h>=<v_x>∆t e quindi il volume medio che le racchiude è:

<V>=S<h>.

Perciò se ρ è la densità del gas, la massa media <M> delle molecole urtanti contro la parete è:

<M>=(1/2)ρ<V>=(1/2)ρS<v_x>∆t

dove il fattore 1/2 è dovuto al fatto che, in media, solo metà delle molecole contenute in <V> è diretta verso la parete (le altre hanno verso opposto a causa dell'urto elastico contro la parete).

Nota: questo risultato tiene conto che le molecole si scontrano tra loro prima di arrivare alla parete cambiando, mediamente, direzione.

L'impulso della quantità di moto media trasferita alla parete è quindi:**

∆P=2<Mv_x> 

che possiamo esprimere per ipotesi (e in modo approssimato) come la forza totale F=∑_iF_i esercitata da tutte le particelle i-esime sulla parete nel tempo ∆t; cioè poniamo per l'impulso la relazione ∆P≈F∆t (posto F=costante) da cui segue (ricordando il valore di <M> prima ricavato):

F∆t≈∆P=2<Mv_x>=ρS<v_x>²∆t.

Nota: in realtà il tempo ∆t_i di azione di ogni singola forza impulsiva F_i dipende dalla velocità della particella; come vedremo di seguito un calcolo più preciso, dove ∆P=∑_iF_i∆t_i (e non ∆P≈F∆t), porta ad un risultato corretto.

Infine, risultando dall'equazione precedente F≈ρS<v_x>², la pressione termodinamica esercitata sulla parete pari a p=F/S è:

p≈ρ<v_x>².

Quindi il valore della pressione del gas, secondo questo calcolo del tutto approssimato, è direttamente proporzionale alla velocità media al quadrato delle particelle che lo costituiscono.

Come anticipato un calcolo più dettagliato mostra, correttamente, la dipendenza della pressione dalla velocità quadratica media <v_x² > (invece che dalla velocità media al quadrato <v_x>²) delle particelle del gas: 

p=ρ<v_x²>.

Nota: essendo v²=v_x²+v_y²+v_z² possiamo anche scrivere p=(1/3)ρ<v²> (poiché <v²>=<v_x²>+<v_y²>+<v_z²> e <v_x²>=<v_y²>=<v_z²>).

Vediamo in breve come si ottiene questo risultato (su base statistica).

Dato ad esempio un volume cubico V=L³ (L è il lato del volume) l'intervallo di tempo tra due collisioni sulla stessa parete S=L² (della particella i-esima di massa m) è ∆t_i=2L/v_ix (dove v_ix è la velocità media della particella lungo X ); la forza impulsiva impressa su S è perciò F_i=∆P_i/∆t_i (supponiamo F_i costante) da cui segue F_i=2mv_ix/∆t_i=mv_ix²/L.
Quindi la pressione totale p=F/S esercitata sulla parete da tutte le particelle è p=(∑_iF_i)/L²=(∑_iv_ix²)(m/L³) ed essendo la densità ρ=(Nm)/L³ (N è il numero di particelle) segue p=ρ<v_x²> poiché <v_x²>=(1/N)∑_iv_ix² (cvd).

Nota: si osservi che il risultato ottenuto è, in generale, indipendente dal volume V considerato.

Perciò dall'equazione dei gas perfetti pV=nRT (dove n è il numero di moli, vedi il post "Un gas ideale o... perfetto!") possiamo ricavare (moltiplicando l'equazione precedente per il volume V del gas):

pV=ρV<v_x²>=nRT

da cui essendo ρ=M/V la densità del gas si ottiene M<v_x²>=nRT (dove M è la massa totale del gas).

Quindi poiché m=M/n è la massa di ogni mole di gas (cioè un numero di particelle uguale al numero di Avogadro) l'energia cinetica media di ogni mole (dovuta al moto traslatorio lungo l'asse X)*** sarà:

<E_c>=(1/2)m<v_x²>=(1/2)RT.

Risulta perciò evidente la correlazione fisica, secondo principi di meccanica statistica, tra la temperatura (variabile termodinamica) e l'energia cinetica del gas (variabile meccanica) per ogni grado di libertà quadratico del gas.
Nota: poiché la costante di Boltzman è k_B=R/N_A (dove N_A è il numero di Avogadro), vale anche la relazione equivalente <E_c>=(1/2)m<v_x²>=(1/2)k_BT essendo m=m/N_A la massa di ogni singola particella.

(*) Per ipotesi è solo la componente lungo l'asse X, che supponiamo perpendicolare alla parete del gas, che determina la pressione sul recipiente.
(**) Poiché gli urti, per ipotesi, sono completamente elastici e la velocità media delle molecole dopo l'urto è -<v_x> (dato che l'energia cinetica si conserva) si ha per la variazione della quantità di moto delle particelle:
∆P=<P_finale>-<P_iniziale>=-<Mv_x>-<Mv_x>=-2<Mv_x>.

Quindi affinché la quantità di moto totale si conservi, quella che viene assorbita dalla parete sarà +2<Mv_x> (in modo che ∆P_totale=0).
(***) Si noti che questo è il contributo dovuto solo alla componente v_x ma essendo v²=v_x²+v_y²+v_z² dovremo moltiplicare (in assenza di direzioni privilegiate) per i 3 gradi di libertà ottenendo <E_c>=(1/2)m<v²>=(3/2)RT per moti tridimensionali; tuttavia, possiamo anche avere ulteriori gradi di libertà, come ad esempio i moti rotazionali delle molecole biatomiche (ottenendo in questo caso <E_c>=(5/2)RT poichè la rotazione lungo l'asse di congiunzione non è significativa).