venerdì 13 dicembre 2019

Le grandezze Osservabili!

Come afferma Wikipedia "in fisica si definisce osservabile una qualsiasi grandezza che è in qualche modo misurabile"; dove in qualche modo significa "misurabile direttamente tramite le operazioni e gli opportuni strumenti di misura oppure indirettamente attraverso calcolo analitico".
Nota: ad esempio i campi e i potenziali, come quelli elettromagnetici, sono grandezze fisiche ma non sono direttemente misurabili.

In generale se in un esperimento vogliamo misurare una grandezza è opportuno, per eliminare gli errori casuali, ripetere la misurazione molte volte per poter determinare un valore medio, che per definizione è il valore più vicino a quello reale (in assenza di errori sistematici).
Nota: si suppone che gli errori casuali, in senso statistico, tendano a compensarsi nel calcolo del valore medio.

Supponiamo ad esempio che durante la misurazione di una certa grandezza A sia stato misurato c1 volte il valore a1, c2 volte il valore a2 e in generale cn volte il valore an; il valore medio, pesato dai coefficienti cn, sarà quindi:
<A>=(c1a1+c2a2+...+cnan)/N=∑anP(an)
dove P(an)=cn/N (N=c1+c2+...+cn) è la probabilità di ottenere il valore an.
Nota: è implicito che il numero di misure deve essere sufficientemente alto affinché questa relazione sia statisticamente valida.

La definizione di valore medio di una grandezza osservabile è valida anche in meccanica quantistica, dove però A è rappresentato da un operatore lineare, cioè una funzione tra due spazi vettoriali "che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare" (vedi Wikipedia).
Nota: se gli spazi vettoriali hanno dimensione finita un operatore lineare è sempre rappresentabile da una matrice associata ad essa.

Come abbiamo già anticipato nel post "I numeri Complessi e la M.Q." gli stati di un sistema quantistico vengono descritti nello spazio vettoriale di Hilbert che generalizza lo spazio euclideo (vedi Wikipedia).
Ciò in pratica significa che se un operatore A agisce su uno stato |S> produce un nuovo vettore di stato, che viene indicato con A|S> (secondo la notazione di Dirac).
Nota: ricordiamo che il vettore |S> viene chiamato ket ma è possibile definire anche il suo duale <S| chiamato bra (vedi oltre).

Ora, come tutti i vettori, anche quello di stato può essere definito come combinazione lineare di una base dello spazio (|a1>, |a2>, ..., |an>) moltiplicata per le relative componenti* (𝜶1, 𝜶2, ..., 𝜶n):
|S>=𝜶1|a1>+𝜶2|a2>+...+𝜶n|an>=𝜶n|an>.
In particolare, per motivi che diventeranno subito chiari, scegliamo come base quella che soddisfa le seguente relazione:
A|an>=an|an>.

Ciò significa che quando A agisce su una delle basi |an> restituisce la stessa base moltiplicata per an: si può mostrare che l'insieme (|a1>, |a2>, ..., |an>) può essere scelto come una base ortonormale (cioè vettori di norma unitaria e ortogonali tra loro) dello spazio vettoriale considerato.
Nota: si dice che an è l'autovalore del relativo autovettore |an>; inoltre an è un numero reale essendo A per scelta un operatore hermitiano.

Facciamo quindi agire l'operatore A sullo stato |S> (e quindi sulle sue basi):
A|S>=𝜶nA|an>
da cui ricordando che A|an>=an|an> si ha:
A|S>=𝜶nan|an>.

Prima di compiere l'ultimo passaggio dobbiamo definire un nuovo elemento, cioè il duale del vettore |S> (detto ket) che viene indicato con <S| (chiamato bra)** prendendo il suo complesso coniugato:
 <S|=<an|𝜶n
dove con 𝜶n abbiamo indicato il complesso coniugato di 𝜶n.
Nota: se ad esempio |S> viene rappresentato da un vettore colonna il duale <S| è un vettore riga i cui elementi sono i complessi coniugati di |S>.

A questo punto possiamo far agire il vettore duale <S| sul vettore di stato A|S> prima derivato, cioè sostituendo quanto ottenuto sopra:
 <S|A|S>=<an|𝜶n𝜶nan|an>.
Nota: usando la notazione bra-ket basta applicare in sequenza i bra e i ket di <S| e A|S> derivati sopra nel simbolo di sommatoria.

Se si osserva che la sequenza <an|𝜶n𝜶nan|an> può essere riscritta come 𝜶n𝜶nan<an|an> (poiché 𝜶n𝜶nan è solo un coefficiente moltiplicativo) ed inoltre essendo <an|an>=1 (dato che la base scelta è normalizzata)*** si ha:
<S|A|S>=𝜶n𝜶nan.

Poiché il prodotto 𝜶n𝜶n rappresenta per ipotesi la probabilità P(an) che si verifichi l'evento an (è uno dei postulati della meccanica quantistica), allora segue dalla definizione di valor medio (introdotta all'inizio del post):
<S|A|S>=𝜶n𝜶nan=∑P(an)an=<A>.

Ciò significa che ogni volta che desideriamo ottenere il valor medio di una osservabile in meccanica quantistica, basta inserire l'operatore che la rappresenta tra il bra e il ket del relativo vettore di stato.

(*) Gli elementi del campo dello spazio vettoriale di Hilbert sono in generale numeri complessi.
(**) Per chiarimenti sullo spazio vettoriale duale vedi anche il post "Trasformazioni di basi, vettori e... co-vettori!". 
(***) Con la notazione < | > si indica il prodotto scalare tra due vettori, in particolare <an|an> indica il quadrato della norma di |an> che è pari a 1.

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