mercoledì 23 ottobre 2019

I numeri Complessi e la M.Q.

In questo post cercheremo di mostrare, attraverso l'esame di un semplice sistema quantistico, il ruolo dei numeri complessi nella rappresentazione formale di uno stato quantico.

Ricordiamo innanzitutto che un numero complesso z è così definito:
z=a+ib
dove a e b sono due numeri reali mentre i=(-1)1/2 è l'unità immaginaria; i numeri complessi sono perciò una diretta estensione dei numeri reali.
Nota: in effetti il valore di i è stato introdotto per risolvere ad esempio l'equazione x2+1=0 che non ha soluzioni nel campo dei numeri reali.

Come è noto gli stati di un sistema quantistico vengono descritti nello spazio vettoriale di Hilbert che generalizza lo spazio euclideo (vedi Wikipedia):
"Uno spazio di Hilbert H=(H, < , >) è uno spazio vettoriale reale o complesso sul quale è definito un prodotto interno < , > (tale che, detta d la distanza indotta da < , > su H, lo spazio metrico  (H,d) sia completo)".
Nota: uno spazio metrico è un insieme di elementi, detti punti, nel quale è definita una distanza, detta anche metrica (vedi Wikipedia).

Per i nostri scopi non è necessario entrare nei dettagli dello spazio vettoriale H ma possiamo procedere illustrando un semplice sistema quantistico. Per farlo utilizzeremo un singolo elettrone che, come è noto, è dotato di una proprietà detta Spin che può assumere solo due stati.

La cosa interessante è che nello spazio di Hilbert, possiamo indicare gli stati come vettori; cioè se ad esempio misuriamo lo spin lungo l'asse Z possiamo porre, a seconda del risultato della misura*, uno dei seguenti vettori come stato del sistema (secondo la notazione di Dirac):
|u> (stato up) oppure |d> (stato down)
ricordando che la probabilità di trovare lo spin in uno dei 2 stati è la stessa.
Nota: per definizione |u> punta lungo l'asse positivo di Z mentre |d> lungo quello negativo.

Se sommiamo questi due stati (vettori), in modo da ottenerne un terzo, questo descriverà il generico stato di spin |S> lungo uno qualsiasi degli assi:
|S>=a|u>+b|d>
dove a e b sono le componenti di |S> (i.e. siamo in uno spazio vettoriale) rispettivamente lungo |u> (asse positivo di Z) e |d> (asse negativo di Z).
Nota: abbiamo in pratica scelto le due basi |u> e |d> per descrivere qualsiasi stato del nostro sistema quantistico a due dimensioni.

Si osservi che secondo un noto postulato della meccanica quantistica i prodotti aa e bb indicano rispettivamente la probabilità di trovare (misurare) lo spin nello stato up oppure down.
Nota: con a e b indichiamo il complesso coniugato rispettivamente di a e di b; come vedremo a e b sono in generale numeri complessi.

La cosa poco intuitiva dello spin è che se lo misuriamo lungo un qualsiasi asse, il suo valore è sempre definito nel verso positivo oppure negativo dell'asse di misura (ci aspetteremmo invece di misurare la sua proiezione, come accade nel caso classico per una grandezza vettoriale).

Supponiamo quindi di misurare lo spin dell'elettrone nello stato |u> cioè lungo l'asse Z positivo e subito dopo eseguiamo una misura lungo l'asse X; se ad esempio lo spin si trova lungo l'asse X positivo indichiamo tale stato con il vettore |r> (right) e lo definiamo in funzione delle basi |u> e |d>:
|r>=a|u>+b|d>
dove come detto i prodotti aa e bb indicano la probabilità di trovare lo spin lungo l'asse Z positivo oppure negativo rispettivamente.

Gli esperimenti indicano che dobbiamo porre a=b=(1/2)1/2 poiché la probabilità di trovare lo stato |u> oppure |d> lungo l'asse Z (dopo aver eseguito la misura lungo X) è la stessa:
aa=bb=1/2
cioè si ha il 50% di probabilità per entrambi gli stati e perciò risulta:
 |r>=(1/2)1/2|u>+(1/2)1/2|d>.
Nota: la somma delle probabilità è normalizzata a 1 infatti P=aa+bb=1.

Possiamo fare la stessa misura lungo l'asse Y e troveremo lo stesso risultato: cioè se misuriamo prima lo spin lungo l'asse Z e subito dopo lungo l'asse X oppure Y, allora lo stato dell'elettrone lungo l'asse Z non è più definito, ha cioè la stessa probabilità di trovarsi nello stato up oppure down(!)
Nota: se invece eseguiamo più volte di seguito la misura dello spin lungo lo stesso asse si ottiene sempre lo stesso valore.

Se inoltre indichiamo con |l> (left) lo stato dello spin lungo l'asse X negativo, si può dimostrare la relazione (vedi la Nota sotto):
|l>=(1/2)1/2|u>-(1/2)1/2|d>
ed infine considerando anche lo stato lungo l'asse Y positivo |i> (in) oppure negativo |o> (out), si ha rispettivamente:
|i>=(1/2)1/2|u>+i(1/2)1/2|d>
|o>=(1/2)1/2|u>-i(1/2)1/2|d>
dove abbiamo introdotto** l'unità immaginaria i. Si osservi che per tutti questi stati risulta correttamente: aa=bb=1/2.
Nota: gli stati di spin si ottengono ponendo, oltre ai dati sperimentali che definiscono le probabilità, anche le relazioni di indipendenza lineare: <u|d>=<d|u>=<r|l>=<l|r>=<i|o>=<o|i>=0.

Si osservi quindi come sia necessario inserire l'unità immaginaria i nella definizione degli ultimi due stati di spin***. È altresì corretto supporre che ciò non riguardi solo questo semplice esempio ma sia vero in generale: senza i numeri complessi, non potremmo definire correttamente gli stati di un sistema quantistico e le relative probabilità.

(*) Dopo la misura lo stato di spin dell'elettrone è definito e si dice che l'elettrone è stato preparato nello stato di spin relativo all'asse di misura.
(**) Si può dimostrare che non possiamo fare a meno dell'introduzione dell'unità immaginaria i nella definizione degli stati di spin (da non confondere con lo stato in: |i>).
(***) Questo elementare sistema quantistico può essere definito qubit (quantum bit), poiché presenta solo due stati; sembra che tutti i sistemi quantistici possano essere costruiti combinando solo qubit.

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