martedì 3 marzo 2020

Stati puri, miscele e sovrapposizioni!

Come è noto, definito uno stato |Ψ> di un qualsiasi sistema quantistico la sua evoluzione temporale, una volta fissato lo stato iniziale, è descritta dalla equazione di Schrödinger (vedi Wikipedia) scritta nella notazione di Dirac:
i(h/2π)∂|Ψ>/∂t=H|Ψ>
dove il valore medio dell'operatore hamiltoniano <H> rappresenta il valore di aspettazione dell'energia del sistema.

Si osservi che qui ci limitiamo a trattare il caso di uno spazio finito-dimensionale (cioè definito da n vettori di base |i>) per il quale si ha:
|Ψ>=∑ψi|i>
dove ψi sono le ampiezze di probabilità relative ai vettori di base |i>.
Nota: per chiarimenti sul vettore di stato di un sistema quantistico vedi i post "I numeri Compessi e la M.Q." e "Le grandezze Osservabili!".

È però possibile dare una descrizione alternativa ma equivalente a quella di Schrödinger definendo il seguente Operatore di densità*:
ρ=|Ψ><Ψ/
dove ρ è rappresentato da una matrice quadrata che si ottiene moltiplicando il vettore colonna |Ψ> per il suo duale vettore riga <Ψ/.
Nota: l'operatore |Ψ><Ψ/ è un proiettore poiché applicato ad uno stato /Φ> si ha |Ψ><Ψ/Φ>=k|Ψ> con z=<Ψ/Φ> (cioè proietta /Φ> lungo |Ψ>).

Poiché il vettore di stato è definito rispetto ad una base ortonormale di vettori |i> si ha che gli elementi di matrice ρij sono dati da**
ρij=<i|ρ/j>
da cui segue subito (sostituendo ρ=|Ψ><Ψ/ ed essendo ψi=<i|Ψ>):
ρij=<i|Ψ><Ψ/j>=ψiψj
cioè gli elementi di ρ sono i prodotti delle ampiezze di probabilità, associate ai vettori di base dello stato considerato, per i coniugati.
Nota: quando i=j il prodotto ψiψi=|ψi|2 rappresenta la probabilità che il sistema venga misurato nello stato i-esimo.

Inoltre se abbiamo a che fare con un sistema il cui stato non è ben definito, ma è dato da un ensemble statistico di stati possibili i} si può porre:
ρ=∑pi|Ψi><Ψi/
dove pi è la probabilità statistica che il sistema si trovi nello stato i-esimo: in pratica si esegue la media pesata su tutti gli stati possibili del sistema.
Nota: la probabilità pi è di tipo statistico poiché è dovuta alla non esatta conoscenza dello stato del sistema (non è di natura quantistica).

Si parla quindi di stato puro quando le pi sono tutte nulle tranne una (pari a 1), mentre negli altri casi avremo uno stato misto poiché si determina una media pesata su tutti gli stati |Ψi> in cui si potrebbe trovare il sistema.

Facciamo subito un esempio di stato puro e consideriamo lo stato di spin di un singolo elettrone (vedi il post "I numeri Complessi e la M.Q.") che può essere descritto in generale (rispetto alle basi |u> e |d> lungo l'asse Z):
|Ψ>=ψu|u>+ψd|d>.
Ciò significa che, dato uno spin preparato in uno stato qualunque |Ψ> e un apparato di misura orientato lungo l'asse Z, i prodotti ψuψu e ψdψd sono le rispettive probabilità che lo spin si trovi nello stato |u> oppure |d>.
Nota: secondo i postulati quantistici, prima della misura lungo Z gli stati |u> e |d> sono in sovrapposizione quantistica.

Si ricordi infatti che il principale postulato della meccanica quantistica stabilisce che il prodotto ψiψi (cioè i|2) dà la probabilità che il sistema si trovi nello stato i-esimo (ψi è il complesso coniugato di ψi).

Perciò, come mostrato sopra, le componenti della matrice ρ sono:
ρuuuψu , ρuduψd , ρdudψu , ρdddψd
e in particolare risulta: Trρ=ρii=∑ψiψi=1.
Nota: Tr è l'operatore traccia cioè la somma degli elementi ψiψi della diagonale di ρ quindi si ha Trρ=1 (essendo normalizzata a 1).

Ad esempio se prepariamo (misuriamo) lo stato di spin dell'elettrone nella direzione dell'asse X positivo (detto stato right) allora possiamo scrivere (vedi il post "I numeri Complessi e la M.Q."):
|Ψr>=(1/2)1/2|u>+(1/2)1/2|d>
quindi risulta per tutti gli elementi della matrice ρ [2x2]:
ρuuuddu=ρdd=1/2
dove correttamente si ha Trρ=ρuudd=1/2+1/2=1 (cioè la condizione di normalizzazione ψuψudψd=1 è soddisfatta).
Nota: perciò la probabilità che lo spin, misurato lungo l'asse Z, sia up oppure down è pari a 1/2.

Ma ciò che risulta di grande interesse è che per uno stato puro, come quello appena trattato, vale la condizione*** ρ=ρ2 e ciò ci permette di distinguere, come vedremo nel prossimo post, uno stato puro da uno stato misto!
Nota: moltiplicando per se stessa la matrice ρ composta da elementi pari a 1/2 si ottiene di nuovo la matrice ρ.

(*) L'evoluzione di ρ è descritta dall'equazione di Von Neumann:
i(h/2π)∂ρ/∂t=[H,ρ] dove [H,ρ]=Hρ-ρH è il commutatore (vedi Wikipedia). 
(**) Posto |Ψ>=∑ψj|j> si ha <i|Ψ>=∑ψj<j|i>=ψi poiché quando j=i si ha <i|i>=1; inoltre in generale dato un operatore A risulta Aij=<i|A/j> infatti possiamo scrivere <i|A|Ψ>=∑ψj<i|A|j>=∑ψjAij <i|A|Ψ>=<i|∑Φj|j>=Φi (per j=i), che rappresenta l'equazione A|Ψ>=|Φ> in forma matriciale.
(***) Per uno stato puro si ha ρ=|Ψ><Ψ/ quindi ρ2=|Ψ><Ψ/Ψ><Ψ/=ρ essendo per la condizione di normalizzazione <Ψ/Ψ>=1.

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