lunedì 12 giugno 2017

Coriolis e le coordinate Polari!

La definizione di coordinate polari è semplice (vedi Wikipedia):
“In matematica, il sistema di coordinate polari è un sistema di coordinate bidimensionale nel quale ogni punto del piano è identificato da un angolo θ e da una distanza r da un punto fisso O detto polo" che può ad esempio coincidere con il centro di un sistema cartesiano (vedi figura).

Inoltre è importante osservare che "un sistema di coordinate polari (r,θ) è in corrispondenza biunivoca con un sistema di coordinate cartesiane (X,Y), ossia ad un vettore di coordinate cartesiane ne corrisponde uno e uno solo in coordinate polari"; la corrispondenza tra le coordinate dei due sistemi nel primo quadrante (cioè per x>0 e y≥0), è la seguente:
x=rcosθ   e   y=rsinθ
dove r=(x2+y2)1/2 e θ=arctan(y/x) (essendo y/x=tanθ).
Nota: per gli altri valori di x e y si deve correggere la definizione di θ data sopra con il termine  (vedi Wikipedia).

Se le coordinate cartesiane sono ideali per descrivere i moti traslazionali quelle polari si adattano meglio ai moti rotazionali dato che esprimono il moto di un punto nella componente lungo r (che definisce l'allontanamento o l'avvicinamento dall'origine) e nella componente tangente a θ (che invece rappresenta la rotazione attorno all'origine).

Consideriamo ad esempio un sistema cartesiano (X,Y) e facciamo coincidere il punto di origine O con il polo di un sistema di coordinate polari (r,θ) come descritto in figura:


Indichiamo con i vettori di posizione P(t) e Pw(t) il punto P in moto rispetto al sistema di riferimento polare quando quest'ultimo è, rispettivamente, in quiete (cioè w=0) oppure quando è in rotazione (dove w indica appunto la velocità di rotazione angolare del sistema polare); iniziamo col ricavare le relazioni della velocità e della accelerazione in coordinate polari quando w=0.
Nota: per la definizione del vettore di posizione vedi il post "Cos'è il Vettore di Posizione?".

Innanzitutto in coordinate polari possiamo definire il vettore di posizione P(t) come:
P(t)=r(t)er(t)
dove er indica il versore radiale (cioè un vettore unitario con origine in O e direzione lungo r come mostrato in figura); questa relazione, che lega la posizione di P ad ogni istante t, è chiamata legge oraria del moto.
Nota: ricordiamo invece che in coordinate cartesiane (bidimensionali) risulta P(t)=i(t)x(t)+j(t)y(t) dove i(t) e j(t) sono i relativi versori.

Se quindi vogliamo trovare la velocità v(t) basta derivare P(t) rispetto al tempo e si ottiene:
v(t)=dP(t)/dt=r'er+re'r=r'er+rθ'eθ
poiché si può facilmente mostrare* che e'r=θ'eθ dove eθ indica il versore tangente a θ (e quindi perpendicolare a er)** diretto in verso antiorario.

Si osservi come la velocità v(t) del punto P sia composta in ogni istante da una componente radiale vr=r'er e una angolare vθ=rθ'eθ ad essa perpendicolare (abbiamo omesso per semplicità la variabile t).

Inoltre l'accelerazione a(t) si ottiene a sua volta per derivazione di v(t):
a(t)=dv(t)/dt=r''er+r'e'r+r'eθ+rθ''eθ+rθ'e'θ 
ed essendo e'θ=-θ'er (vedi la nota*) segue raccogliendo i termini:
a(t)=(r''-rθ'2)er+(rθ''+2r'θ')eθ.

Anche in questo caso l'accelerazione è composta da una componente radiale ar=(r''-rθ'2)er (dove compare l'accelerazione centripeta -rθ'2er diretta verso l'interno) e una angolare aθ=(rθ''+2r'θ')eθ (dove il termine 2r'θ'eθ è detta accelerazione di Coriolis nel caso particolare in cui w=0).

Supponiamo adesso che il sistema di coordinate polari (r,θ) ruoti intorno all'asse Z con velocità angolare w(t) (sempre in riferimento alla figura precedente); indicheremo quindi con (r,θ) il sistema in rotazione (si noti che r è invariato nei due riferimenti) con i relativi versori er e eθ.

In questo caso per derivare il moto di Pw(t)=r(t)er(t) rispetto al sistema polare in rotazione (r,θ), oltre alla velocità angolare θ' di Pw(t) dovremo considerare anche la velocità di rotazione angolare w del sistema di riferimento; basterà quindi fare la seguente sostituzione nelle equazioni di v(t) e a(t) prima ricavate, per ottenere la velocità vw(t) e l'accelerazione aw(t) rispetto al sistema in rotazione:
θ'=(θ'+w)
risultando θ'=θ' quando w=0 (cioè in assenza di rotazione) e θ'=w quando Pw ruota solidale con la piattaforma (quindi θ'=0).
Nota: la somma dei due vettori θ' e w definisce un terzo vettore posto anch'esso lungo l'asse Z di modulo (θ'+w).

Sostituendo perciò a θ' il valore di (θ'+w) e indicando con er e eθ i versori del sistema in rotazione, si ottengono direttamente le seguenti relazioni.
Per la velocità:
v(t)=r'er+r(θ'+w)eθ=vw+wreθ
dove vw=dPw/dt=r'er+rθ'eθ è la velocità rispetto al riferimento rotante (essendo Pw=rer), mentre il termine wreθ è chiaramente dovuto alla rotazione angolare w del sistema in moto.
Nota: possiamo anche scrivere, sotto forma di prodotto vettoriale: wreθ=wxPw poiché il vettore wreθ è perpendicolare sia a w che a Pw.

E quindi anche per l'accelerazione avremo per sostituzione:
a(t)=[r''-r(θ'+w)2]er+[r(θ'+w)'+2r'(θ'+w)]eθ
e sviluppando i vari termini nelle parentesi si ha
a(t)=aw+2w(r'eθ-rθ'er)-rw2er+rw'eθ
dove aw=dvw/dt=(r''-rθ'2)er+(rθ''+2r'θ')eθ è l'accelerazione rispetto al riferimento rotante (essendo vw=r'er+rθ'eθ) mentre risulta rw'eθ=0 se la rotazione w del sistema è costante.
Nota: poiché vw=r'er+rθ'eθ è la velocità rispetto al riferimento rotante, allora (r'eθ-rθ'er) rappresenta un vettore perpendicolare a vw (essendo (r'er+rθ'eθ)x(r'eθ-rθ'er)=0) e perciò possiamo anche scrivere: 2w(r'eθ-rθ'er)=2wxvw che infatti è un vettore perpendicolare a w e vw.
(Si noti che il vettore (r'eθ-rθ'er)  ha la stessa direzione della rotazione w)

Se ora vogliamo determinare quali sono le forze a cui è sottoposta una massa m rispetto ad un riferimento in rotazione con velocità costante w avremo, secondo la legge di Newton applicata in modo improprio ad un sistema non inerziale (perché così introduciamo delle forze che non sono reali):
Fw=maw=ma-2mw(r'eθ-rθ'er)+mrw2er
dove il secondo termine rappresenta la cosiddetta forza di Coriolis (il meno indica la direzione contraria alla rotazione w, vedi la nota sopra) mentre il terzo termine è la forza centrifuga (con segno più perché diretta verso l'esterno); entrambe queste forze sono dette apparenti (cioè non generate dall'interazione con altri corpi) perché dovute esclusivamente alla rotazione w del sistema di riferimento (infatti si annullano per w=0).
Nota: per chiarimenti sulle forze apparenti vedi il post "Una forza del tutto... apparente!".
(Qui puoi vedere un video del MIT che mostra in pratica l'effetto Coriolis!)

(*) Consideriamo la variazione infinitesima er=er(t+t)-er(t)=ereθ (risulta ereθ poiché er unisce le punte dei due vettori differenza ed è diretto come eθ, vedi la nota**) da cui e'r=limer/∆t=lim(∆er/∆t)eθ=θ'eθ. Analogamente si ricava che e'θ=limeθ/∆t=lim(-∆eθ/∆t)er=-θ'er (il meno è dovuto alla rotazione antioraria di θ(t) e indica il verso opposto a er).
(**) In generale per un versore u si ha uxu=1 (prodotto scalare) e quindi derivando d(uxu)/dt=u'xu+uxu'=2u'xu=0 ciò implica che u' è sempre perpendicolare a u (e ciò vale anche per er e eθ).

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