Base locale e derivata covariante (seconda parte)

Nel precedente post abbiamo visto come si può costruire una base curvilinea locale a partire da una base cartesiana e viceversa, in particolare abbiamo ottenuto le seguenti relazioni tra le basi dei due riferimenti:

e_i=(∂x^j/∂xⁱ)e_j   ,   e_i=(∂x^j/∂xⁱ)e_j

dove e_i sono le basi del riferimento cartesiano (x¹,..., xⁿ) mentre e_j sono le basi del riferimento curvilineo (x¹,..., xⁿ) in uno spazio Rⁿ (con i,j=1,..., n).

Nota: come sempre le coordinate curvilinee sono definite in funzione di quelle cartesiane e viceversa, inoltre sono funzioni differenziabili.

Per inciso è interessante osservare che possiamo riscrivere le relazioni sopra (raccogliendo componenti ∂x^j per basi e_j o anche ∂x^j per e_j) come:

e_i=(∂x^je_j)/∂xⁱ=∂r/∂xⁱ   ,   e_i=(∂x^je_j)/∂xⁱ=∂r/∂xⁱ

dove si è posto ∂r=∂x^je_j=∂x^je_j e quindi il differenziale dr del raggio vettore r si può scrivere, nei due riferimenti, come basi e_j per componenti dx^j:

dr=(∂r/∂x^j)dx^j =e_jdx^j   ,   dr=(∂r/∂x^j)dx^j=e_jdx^j.

Nota: dr è un vettore e quindi deve restare invariato nei due riferimenti.

Ricordiamo che in generale un vettore T si può definire in funzione delle sue basi e_i e delle sue componenti Tⁱ:

T=T¹e₁+...+Tⁿe_n=Tⁱe_i

dove abbiamo applicato la notazione di Einstein sugli indici i=1,..., n.

Abbiamo visto sopra che se cambiamo riferimento le basi cambiano come e_j=(∂xⁱ/∂x^j)e_i quindi se vogliamo che il vettore T=T^je_j resti invariato anche le sue componenti T^j dovranno trasformarsi (in modo inverso):

T^j=(∂x^j/∂xⁱ)Tⁱ

in modo cioè che nel nuovo riferimento il vettore T resti invariato:

T=T^je_j=(∂x^j/∂xⁱ)Tⁱ(∂xⁱ/∂x^j)e_i=Tⁱe_i=T

essendo (∂x^j/∂xⁱ)(∂xⁱ/∂x^j)=1.

Nota: dal differenziale dx^j=(∂x^j/∂xⁱ)dxⁱ segue dx^j/dx^j=(∂x^j/∂xⁱ)(∂xⁱ/∂x^j)=1.

Calcoliamo ora la derivata del vettore T=Tⁱe_i lungo una coordinata x^j qualsiasi, questa sarà definita (come derivata di una funzione prodotto):

∂T/∂x^j=∂(Tⁱe_i )/∂x^j=(∂Tⁱ/∂x^j)e_i+Tⁱ(∂e_i/∂x^j)

dove il termine ∂e_i/∂x^j tiene conto della possibile variazione delle basi e_i rispetto alle coordinate x^j: questa derivata è detta derivata covariante e in pratica estende il concetto usuale di derivata direzionale.
Nota: si dice derivata covariante perché preserva il carattere di invarianza rispetto alla trasformazione di coordinate (vedi il relativo post).

Si osservi che se le coordinate sono cartesiane, allora le basi non variano in funzione delle coordinate (cioè mantengono sempre stesso modulo e direzione in ogni punto e quindi ∂e_i/∂x^j=0); in tal caso la derivata si riduce alla classica derivata direzionale (calcolata cioè lungo l'asse coordinato x^j):

∂T/∂x^j=(∂Tⁱ/∂x^j)e_i

dove ricordiamo T è un vettore n-dimensionale (con i,j=1,..., n).

Tuttavia nel caso più generale di coordinate curvilinee il modulo e la direzione delle basi può variare da punto a punto e quindi il termine ∂e_i/∂x^j è generalmente diverso da zero*.

Vediamo quindi un esempio riprendendo le coordinate curve polari (r,θ) introdotte nel precedente post e le relative basi (e_r,e_θ) ottenute in funzione delle coordinate cartesiane (e_x,e_y):

e_r=cosθe_x+sinθe_y

e_θ=-rsinθe_x+rcosθe_y.

ricordando che il vettore T si esprime come (con i=r,θ):

T=Tⁱe_i=T^re_r+T^θe_θ.

In questo caso particolare i valori dei termini ∂e_i/∂x^j espressi in funzione di e_r e e_θ sono (con i,j=r,θ):

∂e_r/∂r=∂(cosθe_x+sinθe_y)/∂r=0
∂e_r/∂θ=-sinθe_x+cosθe_y=(1/r)e_θ
∂e_θ/∂r=-sinθe_x+cosθe_y=(1/r)e_θ
∂e_θ/∂θ=-rcosθe_x-rsinθe_y=-re_r

dove notiamo che ∂e_r/∂θ=∂e_θ/∂r e infatti in generale risulta:

∂e_i/∂x^j=∂e_j/∂xⁱ.

Nota: ciò accade in generale quando le derivate seconde incrociate sono uguali**, per le funzioni lisce questa condizione è sempre soddisfatta.

Perciò le derivate rispetto ad r e θ del vettore T sono (con i=r,θ):

∂T/∂r=∂(Tⁱe_i )/∂r=(∂Tⁱ/∂r)e_i+T^r(∂e_r/∂r)+T^θ(∂e_θ/∂r)
∂T/∂θ=∂(Tⁱe_i )/∂θ=(∂Tⁱ/∂θ)e_i+T^r(∂e_r/∂θ)+T^θ(∂e_θ/∂θ)

e quindi sostituendo i valori delle derivate delle basi ottenuti sopra:

∂T/∂r=(∂Tⁱ/∂r)e_i+(1/r)T^θe_θ
∂T/∂θ=(∂Tⁱ/∂θ)e_i+(1/r)T^re_θ-rT^θe_r.

Si osservi in particolare che se supponiamo che le componenti di T lungo r e θ non variano (cioè se ∂Tⁱ/∂r=0 e ∂Tⁱ/∂θ=0) si ottiene:

∂T/∂r=(1/r)T^θe_θ
∂T/∂θ=(1/r)T^re_θ-rT^θe_r

in questo caso si ha cioè il contributo dovuto alla sola variazione delle basi.
Nota: è evidente che il punto r=0 deve essere escluso, infatti qui le coordinate non sono invertibili come richiesto***.

Se infine vogliamo che T venga trasportato parallelamente rispetto alla superficie curva, dovremo annullare la derivata covariante ponendo:

∂T/∂r=0   e   ∂T/∂θ=0

cioè dovremo annullare i valori delle componenti delle derivate parziali ottenuti sopra, rispettivamente lungo e_r ed e_θ.
Nota: si osservi che per avere trasporto paralleo le componenti di T devono variare affinché ∂T/∂r e ∂T/∂θ si possano annullare (altrimenti si dovrebbe porre T^r=0 e T^θ=0, vedi sopra il caso con T costante).

 

(*) Solitamente nella derivata covariante per indicare i termini (∂e_i/∂x^j) si usano i simboli di Christoffel del secondo tipo così definiti: Γ^k_ij=(∂e_i/∂x^j)e_k. Perciò ∂T/∂x^j=(∂Tⁱ/∂x^j)e_i+TⁱΓ^k_ije_k=(∂Tⁱ/∂x^j+T^kΓⁱ_kj)e_i (scambiando k con i).
(**) Dalle seguenti relazioni tra basi (vedi il precedente post):
e_r=(∂x/∂r)e_x+(∂y/∂r)e_y e e_θ=(∂x/∂θ)e_x+(∂y/∂θ)e_y si ottiene derivando

∂e_r/∂θ=(∂x/∂r∂θ)e_x+(∂y/∂r∂θ)e_y e e_θ/∂r=(∂x/∂θ∂r)e_x+(∂y/∂θ∂r)e_y
da cui si ha: ∂e_r/∂θ=e_θ/∂r se ∂x/∂r∂θ=∂x/∂θ∂r e ∂y/∂r∂θ=∂y/∂θ∂r (cvd).

(***) Condizione generale affinché le coordinate siano invertibili è che il determinante della matrice Jacobiana non si annulli.

[Una ottima esposizione di questi concetti si trova nella Playlist Video di Dermot Green - Queen's University Belfast]

Base locale e derivata covariante (prima parte)

Come è noto un sistema di riferimento cartesiano è formato da n rette ortogonali che si intersecano in un punto O detto origine, ognuna delle rette è orientata e riporta una unità di misura: in questo modo è possibile identificare qualsiasi punto dello spazio euclideo Rⁿ con una n-upla di numeri reali (x¹, x²,..., xⁿ) in modo univoco (vedi Wikipedia).

Generalizzando è possibile costruire geometricamente, a partire da un sistema di riferimento cartesiano, un altro riferimento qualsiasi detto curvilineo, che avrà lo stesso numero di coordinate ma nel quale le linee coordinate sono generalmente delle curve (vedi Wikipedia).

Ad esempio, come avevamo già visto nel post "Trasformazioni di basi, vettori e... co-vettori!", consideriamo un sistema di coordinate cartesiano bidimensionale (x¹,x²) e un nuovo sistema di coordinate curvilinee (x¹,x²) che sono note in funzione delle prime*:

x¹=x¹(x¹,x²)   ,   x²=x²(x¹,x²)

e dove vale anche la trasformazione inversa:

x¹=x¹(x¹,x²)   ,   x²=x²(x¹,x²)

ed inoltre tali funzioni sono per definizione differenziabili (funzioni lisce).
Nota: le coordinate devono essere indipendenti e quindi ∂xⁱ/∂x^j=δ_ij cioè ∂xⁱ/∂x^j=0 se i≠j e ∂xⁱ/∂x^j=1 solo se i=j (δ_ij è la delta di Kronecker). 

Consideriamo ad esempio il riferimento cartesiano rappresentato in figura dove è indicata la retta x¹ e il relativo vettore di base unitario e₁ con origine nel punto O da cui parte una linea curva coordinata x¹ con vettore di base unitario e₁ ad essa tangente come illustrato in figura:

Ora si osservi che tra il tratto infinitesimo dx¹ della retta x¹ e il tratto infinitesimo dx¹ tangente alla linea curva x¹ (che quindi approssima la linea in quel punto) esiste la seguente relazione trigonometrica:

dx¹=dx¹cosα

e quindi la proiezione del vettore di base e₁ sulla retta x¹ è pari a

|e₁|cosα=|e₁|(dx¹/dx¹)

dove |e₁|=1 è il modulo unitario di e₁ mentre α è l'angolo tra dx¹ e dx¹.
In modo equivalente la proiezione del vettore di base e₁ sulla retta x² è:

|e₁|sinα=|e₁|(dx²/dx¹)

valendo di nuovo la relazione trigonometrica:

dx²=dx¹sinα.

Perciò la nuova base locale e₁ espressa in funzione delle basi cartesiane e₁ ed e₂ (che ricordiamo sono per semplicità tutti vettori di modulo 1) è:

e₁=(|e₁|cosα)e₁+(|e₁|sinα)e₂

e quindi utilizzando le relazioni ricavate sopra

e₁=(∂x¹/∂x¹)e₁+(∂x²/∂x¹)e₂

avendo posto |e₁|=|e₂|=1 e ∂x¹/∂x¹=cosα , ∂x²/∂x¹=sinα.
Nota: abbiamo indicato le derivate parziali dato che le coordinate sono funzioni di più variabili.

Si osservi però che dal rapporto trigonometrico di due infinitesimi come dx¹/dx¹ e dx²/dx¹ siamo passati alle derivate parziali ∂x¹/∂x¹ e ∂x²/∂x¹ supponendo cioè che la variazione di x¹ rispetto a x¹ e quella di x² sempre rispetto a x¹ siano rispettivamente pari a cosα e sinα.
Nota: ciò è vero poiché x¹ approssima (nell'origine) la coordinata di un riferimento ruotato di un angolo α rispetto a quello cartesiano (x¹, x²)**.

In modo analogo per la base e₂ si ha (anche se non è mostrato in figura):

e₂=(∂x¹/∂x²)e₁+(∂x²/∂x²)e₂

dove ricordiamo che le basi sono state tutte normalizzate:

|e₁|=|e₂|=1   e   |e₁|=|e₂|=1.

Nota: per costruzione geometrica le basi (e₁,e₂) sono tangenti alle linee coordinate (x¹,x²) e ciò vale in generale per più coordinate.

Se viceversa volessimo derivare le basi cartesiane e₁ e e₂ a partire da quelle curvilinee e₁ e e₂ un ragionamento analogo ci porterebbe ad ottenere:

e₁=(∂x¹/∂x¹)e₁+(∂x²/∂x¹)e₂

e₂=(∂x¹/∂x²)e₁+(∂x²/∂x²)e₂.

che rappresentano le relazioni inverse di quelle prima ottenute.

Quindi riscrivendo quanto abbiamo ottenuto sopra in forma più generale (applicando la notazione di Einstein sugli indici ripetuti) si ha:

e_i=(∂x^j/∂xⁱ)e_j   ,   e_i=(∂x^j/∂xⁱ)e_j

dove gli indici i,j=1,..., n indicano il numero di coordinate e le relative basi.
Nota: si osservi che gli elementi (∂x^j/∂xⁱ) e (∂x^j/∂xⁱ) definiscono rispettivamente la matrice jacobiana e la sua inversa.

Ma facciamo subito un esempio introducendo le coordinate curvilinee (r,θ) (ponendo cioè x¹=r e x²=θ) dove r≥0 è la distanza dall'origine (polo) mentre 0≤θ≤2π è l'angolo tra r e l'asse X (coordinate polari).

Per calcolare le nuove basi e₁=e_r e e₂=e_θ è utile definire le coordinate cartesiane (x,y) in funzione delle nuove coordinate (r,θ):

x(r,θ)=rcosθ  ,   y(r,θ)=rsinθ.

Possiamo quindi ottenere le nuove basi e_r e e_θ utilizzando le equazioni alle derivate parziali ottenute sopra (dove x¹=r e x²=θ):

e_r=(∂x/∂r)e_x+(∂y/∂r)e_y

e_θ=(∂x/∂θ)e_x+(∂y/∂θ)e_y.

Perciò le basi del nuovo riferimento curvilineo di coordinate (r,θ) espresse in funzione delle basi cartesiane note e_x ed e_y sono:

e_r=cosθe_x+sinθe_y

e_θ=-rsinθe_x+rcosθe_y

ed inoltre essendo perpendicolari il loro prodotto scalare è nullo:

<e_r,e_θ>=-rcosθsinθ+rsinθcosθ=0.

Nota: la base e_θ non è unitaria poiché risulta |e_θ|=r tuttavia possiamo porre come base unitaria θ=-sinθe_x+cosθe_y e quindi e_θ=rθ.

È importante osservare che le basi e_r e e_θ dipendono dalle coordinate (r,θ) come in effetti capita generalmente per le basi curvilinee: viceversa le basi cartesiane e_x ed e_y sono sempre le stesse in ogni punto dello spazio.

Come vedremo nel prossimo post le relazioni ricavate sopra saranno utili per definire la trasformazione di un vettore affinché resti invariato quando passa da un riferimento ad un altro e definiremo la sua derivata covariante.

(*) Ricordiamo che gli apici indicano entità che si trasformano in modo controvariante (come le componenti di un vettore) mentre i pedici indicano entità che si trasformano in modo covariante (come ad esempio le relative basi) come descritto in "Trasformazioni di basi, vettori e... co-vettori!".
(**) In due dimensioni la trasformazione delle coordinate per una rotazione degli assi è: x¹=x¹cosα-x²sinα ,  x²=x¹sinα+x²cosα da cui segue subito ∂x¹/∂x¹=cosα , ∂x²/∂x¹=sinα come già derivato sopra.

[Una ottima esposizione di questi concetti si trova nella Playlist Video di Dermot Green - Queen's University Belfast]

La Sfera di Bloch

È noto che lo stato quantistico di un qubit (quantum bit) è così definito:

|Ψ>=α|0>+β|1>

dove α e β sono numeri complessi che devono soddisfare la condizione:

|α|²+|β|²=1

per la normalizzazione a 1 della probabilità complessiva P=|α|²+|β|².
Nota: ricordiamo che |α|² e |β|² rappresentano rispettivamente la probabilità che si verifichi lo stato |0> oppure |1>.

Ricordiamo innanzitutto che valendo la formula di Eulero e^iø=cosø+isinø, in generale per un numero complesso x+iy si può scrivere:

x+iy=r(cosø+isinø)=re^iø

dove r=(x²+y²)^1/2 è il modulo e ø=arctan(y/x) è l'angolo tra r e la sua proiezione sull'asse X (pari a rcosø).
Inoltre ricordiamo che:

|x+iy|²=|re^iø|²=r²(e^iøe^-iø)=r²

poiché |e^iø|²=(e^iøe^-iø)=1 essendo e^-iø il complesso coniugato di e^iø.
Nota: è noto che il modulo al quadrato di un numero complesso è dato dal prodotto di quel numero per il suo coniugato.

Quindi possiamo porre nel nostro caso per i coefficienti complessi α e β:

α=r₁e^iø₁   e   β=r₂e^iø2

dove ø₁ e ø₂ sono due angoli qualsiasi compresi tra 0 e 2π.
Se inoltre poniamo r₁=rcosθ e r₂=rsinθ con r=1 si ha come richiesto:

|α|²+|β|²=|r₁e^iø₁|²+|r₂e^iø₂|²=cosθ²+sinθ²=1

poiché |e^iø₁|²=|e^iø₂|²=1 come visto sopra.

Quindi per lo stato di un qubit vale la seguente relazione:

|Ψ>=α|0>+β|1>=cosθ(e^iø₁)|0>+sinθ(e^iø₂)|1>

definita in funzione degli angoli θ, ø₁ e ø₂ di cui daremo di seguito una rappresentazione geometrica.

Si osservi però che moltiplicando lo stato |Ψ> per e^-iø₁ si ottiene un nuovo stato |Ψ'>=e^-iø₁|Ψ>:

|Ψ'>=e^-iø₁|Ψ>=e^-iø₁(α|0>+β|1>)=cosθ|0>+sinθ(e^iø)|1>

dove ø=ø₂-ø₁.
Tuttavia la probabilità degli stati |0> e |1> resta invariata infatti:

|e^-iø₁α|²=(e^-iø₁α)(e^-iø₁α)*=(e^-iø₁e^iø₁)(αα*)=|α|²

e lo stesso vale per |e^-iø₁β|²=|β|².
Nota: qui il simbolo (*) indica il valore coniugato del numero complesso.

Perciò possiamo omettere il termine e^-iø₁ dallo stato |Ψ'> poiché non ha effetti osservabili sperimentalmente e possiamo riscrivere:

|Ψ'> => |Ψ>=cosθ|0>+sinθ(e^iø)|1>.

Infine per evidenziare una rappresentazione geometrica definiamo lo stato |Ψ> in funzione delle variabili x, iy e z ponendo:

cosθ=z

sinθ(e^iø)=sinθcosø+isinθsinø=x+iy

o in modo equivalente

x=sinθcosø
y=sinθsinø
z=cosθ.

Ciò significa che se x, y e z vengono interpretate come coordinate, esse rappresentano le coordinate polari di una sfera di raggio unitario* |Ψ|=1:

Perciò lo stato |Ψ> in funzione delle coordinate x, iy e z diventa:

|Ψ>=cosθ|0>+sinθ(e^iø)|1>=z|0>+(x+iy)|1>

quindi le coordinate di |Ψ> al quadrato, cioè z² e |(x+iy)|², rappresentano rispettivamente la probabilità che si verifichi lo stato |0> oppure |1>.
Nota: si ricordi che in generale |(x+iy)|²=(x+iy)(x-iy)=x²+y².

Si noti però che quando θ=0 risulta |Ψ>=|0> mentre se θ=π/2 si ha** |Ψ>=|1> quindi per una descrizione completa della sfera possiamo porre:

|Ψ>=cos(θ/2)|0>+sin(θ/2)(e^iø)|1>

dove 0≤θ≤π e 0≤ø<2π.
Questa rappresentazione geometrica*** dello spazio degli stati puri di un sistema quantistico a 2 stati è detta sfera di Bloch (vedi Wikipedia).

(*) Risulta |Ψ|²=<Ψ|Ψ>=(<0|α*+<1|β*)|(α|0>+β|1>)=α*α+β*β=1 essendo <0|0>=1, <0|1>=0, <1|0>=0 e <1|1>=1 per l'ortogonalità di |0> e |1>.
(**) Se poniamo θ=π/2 allora |Ψ>=e^iø|1> che è equivalente a |Ψ>=|1> essendo |e^iø|² =1 (cioè la probabilità dello stato |1> non cambia).
(***)  Correttamente risulta per le probabilità dei due stati:
|cos(θ/2)|²+|sin(θ/2)(e^iø)|²=cos²(θ/2)+sin²(θ/2)=1 essendo |e^iø|² =1.