Derivare la Massa Relativistica

Scopo di questo post è mostrare come sia possibile derivare la relazione della massa relativistica a partire da tre principi relativistici:
I) la legge di conservazione dell'energia relativistica;
II) la legge di conservazione della quantità di moto relativistica;
III) la legge di composizione relativistica delle velocità.

Supponiamo a questo scopo di avere due corpi di uguale massa m₀ (quando vengono misurati in quiete) distanti tra di loro; immaginiamo che il primo corpo sia messo in moto con velocità v in rotta di collisione con il secondo (che è in quiete) lungo l'asse X.

Ipotizziamo inoltre che l'urto sia completamente anelastico: cioè dopo l'urto i due corpi si uniscono (in un sol corpo M) e viaggiano alla stessa velocità V.
Nota: per definire l'urto anelastico vedi "L'urto Elastico o Anelastico".

Possiamo perciò scrivere le due seguenti relazioni, dove m₀ indica la massa in quiete mentre m è la massa in moto (che chiameremo relativistica) che ricordiamo sono poste in rotta di collisione.

Nota: si osservi che a priori non possiamo affermare che le due masse m₀ e m sono uguali.

I) La prima relazione che scriviamo è vera per la conservazione della massa (o meglio, moltiplicando entrambi i termini dell'equazione per c², per la conservazione dell'energia) dove M indica la massa complessiva dopo l'urto:

m+m₀=M.

II) Mentre la seconda relazione vale per la conservazione della quantità di moto, dove V è la velocità di M dopo l'urto e v la velocità di m prima dell'urto (mentre m₀ è in quiete):

mv=MV.

Nota: abbiamo implicitamente stabilito di scrivere la quantità di moto come p=(massa relativistica) x (velocità) ma si veda anche la penultima nota.

Da queste due relazioni si ricava subito che mv=(m+m₀)V da cui segue che

m(v-V)=m₀V

e quindi si ottiene la seguente relazione tra il rapporto delle velocità e quello delle masse:

v/V=1+m₀/m.

Ora chiediamoci cosa vede invece un osservatore in moto solidale con il corpo m (a velocità v lungo l'asse X): in questo caso il corpo m appare in quiete mentre è l'altro corpo a muoversi con velocità -v verso il primo corpo.

Perciò dopo l'urto (essendo la situazione del tutto simmetrica), la massa M si muoverà con velocità -V rispetto all'osservatore in moto.

Per chiarire meglio la situazione si osservi che nel caso classico, la relazione tra le due velocità V e -V è data dalla composizione galileiana delle velocità:

-V=V-v

essendo v la velocità relativa tra i due riferimenti, dalla quale si ottiene

v/V=2

da cui sostituendo nella equazione sopra segue la relazione classica m=m₀.
Nota: vedremo invece come nel caso relativistico risulti v/V≈2 solo se v<<c.

III) Utilizzando invece la relazione relativistica tra le velocità -V e V del corpo in moto M si può derivare come vedremo il rapporto relativistico v/V; tale relazione è infatti definita dalle Trasformazioni di Lorentz:

-V=(V-v)/(1-vV/ c²).

Nota: come anticipato sopra per v<<c si ottiene di nuovo la relazione classica -V=V-v.

Riscriviamo quindi l'equazione precedente (eliminando il denominatore) nella forma di una equazione di secondo grado:

(v/c²)V²-2V+v=0

la cui soluzione è (posto ß=v/c)*:

V=(c²/v)[1-(1-ß²)^1/2]

dove abbiamo escluso la soluzione col segno positivo poiché avremmo V>c.

Infine da questa soluzione ricaviamo (moltiplicandola per 1/v) la relazione

v/V=ß²/[1-(1-ß²)^1/2]

e quindi, dall'equazione prima ottenuta v/V=1+m₀/m deduciamo (per sostituzione e dopo alcuni passaggi algebrici) la massa relativistica:

m=m₀/(1-ß²)^1/2

che perciò dipende dalla velocità relativa v dei due sistemi inerziali.

Si osservi però che essendo l'energia relativistica definita, a meno di un fattore c, come la massa m (essendo cioè E=mc²) si preferisce identificare con il termine massa del corpo quella definita in quiete m₀ (vedi Wikipedia) che in effetti è un invariante relativistico (come mostreremo di seguito).

Nota: invece di esprimere p=mdx/dt è meglio scrivere p=m₀dx/dτ dove m₀ è la massa in quiete e τ è il tempo proprio della particella m₀ dove vale la relazione: dτ/dt=(1-ß²)^1/2 (vedi "La Dilatazione relativa del Tempo").

Si elevi ora al quadrato la relazione precedente e si moltiplichino entrambi i termini per c⁴ da cui si ottiene (eliminando il denominatore):

m²c⁴-m²v²c²=m₀²c⁴ 

che possiamo riscrivere nella forma nota, forse la relazione più importante della relatività:

E²-p²c²=m₀²c⁴

essendo E=mc² l'energia relativistica**, p=mv la quantità di moto relativistica e m₀ la massa in quiete della particella, che quindi risulta indipendente dal sistema di riferimento (è un invariante relativistico)***.
Nota: per altre considerazioni sulla precedente relazione vedi anche il post "Massa a riposo 'nulla'!"

(*) Ricordiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado ax²+bx+c=0 è data da x=[-b±(b²-4ac)^1/2]/2a; perciò nel nostro caso essendo (v/c²)V²-2V+v=0 risulta: V=(c²/v)[1±(1-ß²)^1/2].
(**) L'energia totale relativistica E della particella è data, per ipotesi, dalla sua energia in quiete E₀=m₀c² sommata all'energia cinetica E_c cioè E=m₀c²+E_c. In questo modo dalla relazione E=mc² si ricava subito la relazione classica (essendo 1/(1-ß²)^1/2≈1+ß²/2+...):
E_c=mc²-m₀c²=m₀c²[1/(1-ß²)^1/2-1]≈(1/2)m₀v² quando v<<c.
(***) Si noti infatti come la massa in quiete m₀ sia deducibile da qualsiasi sistema di riferimento, una volta noti l'energia E e la quantità di moto p della particella in moto, senza dipendere dalla velocità relativa v.