L'urto Elastico o Anelastico

Per poter trattare gli urti tra due corpi dal punto di vista meccanico in un sistema isolato (che come vedremo possono essere di tipo elastico o anelastico), è necessario introdurre il principio di conservazione della quantità di moto (vedi Wikipedia).

È nota la relazione di Newton che lega la forza F che agisce su un corpo di massa m e la variazione della quantità di moto p=mv che subisce il corpo:

F=dp/dt.

Sappiamo anche che questa relazione è generalizzabile ad un sistema di N punti materiali, dove F rappresenta la risultante delle forze interne F_int più quella delle forze esterne F_ext che agiscono sui vari corpi e P è la quantità di moto complessiva (cioè la somma delle singole quantità di moto):

F=dP/dt=F_int+F_ext.

Nota: per chiarimenti su questa relazione vedi anche il post "L'equazione del Razzo!".

Ora per un sistema isolato risulta per definizione F_ext=0 ma anche per la risultante delle forze interne si ha F_int=0; infatti (come abbiamo visto nel post "Il Principio di Azione<=>Reazione!") un corpo che esercita una forza F₁₂ su un altro corpo, è soggetto a sua volta ad una forza F₂₁ uguale in modulo e direzione ma di verso opposto*. Segue perciò che:

dP/dt=0

cioè la quantità di moto in un sistema isolato è costante nel tempo.

Vediamo quindi le due diverse definizioni di urto in un sistema isolato** (secondo Wikipedia):
-> Urto elastico: "In meccanica classica un urto elastico è un urto durante il quale si conserva l'energia meccanica totale del sistema (cioè l'energia cinetica+potenziale), ed in particolare l'energia cinetica" (poiché di solito l'energia potenziale, come ad esempio quella gravitazionale, è trascurabile);
-> Urto anelastico: "L'urto anelastico è l'urto in cui l'energia meccanica totale non si conserva. Nel caso poi sia anelastico totale, i corpi, dopo la collisione, si uniscono e possono essere considerati come un unico corpo" (cioè l'energia meccanica si trasforma, almeno in parte, mentre quella totale si conserva - vedi l'esempio sotto).

Perciò in generale, per risolvere il problema cinematico di corpi che si urtano in un sistema isolato, dovremo fare le seguenti considerazioni:
-> Urto elastico: la quantità di moto si conserva (come abbiamo mostrato sopra per un sistema isolato) e anche l'energia cinetica, per definizione (trascurando quella potenziale).
Tuttavia le due leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto, utili per determinare il moto dopo l'urto, sono sufficienti solo in determinati casi***; dobbiamo spesso conoscere altri dati dell'esperimento (come per esempio l'angolo di deviazione dei corpi dopo l'urto) oppure sfruttare la simmetria del sistema per risolvere il problema.
-> Urto anelastico: anche in questo caso la quantità di moto si conserva ma non l'energia cinetica (trascuriamo quella potenziale), per definizione.
Sappiamo che l'energia totale si conserva, tuttavia è spesso difficile valutare quali sono e come si trasformano esattamente le energie in gioco; ma se l'urto è completamente anelastico (cioè se i corpi si uniscono dopo l'urto), conoscendo le condizioni iniziali e ricordando che la velocità finale è l'unica incognita (in modulo e direzione), è possibile determinare il moto del sistema dopo l'urto.

Come esempio di urto completamente anelastico, consideriamo due corpi di massa m₁ e m₂ che si scontrano lungo lo stesso asse (con velocità v₁ e -v₂ rispettivamente); la quantità di moto come abbiamo detto si conserva:

m₁v₁-m₂v₂=(m₁+m₂)v_cm

(dove v_cm è la velocità del centro di massa dei due corpi uniti dopo l'urto); mentre la perdita di energia cinetica è data da

∆E_c=(1/2)(m₁+m₂)v²_cm-(1/2)(m₁v²₁+m₂v²₂)

da cui si ottiene (ricavando il valore di v_cm dalla precedente equazione):

∆E_c=-(1/2)µ(v₁+v₂)²

dove µ=m₁m₂/(m₁+m₂) è la cosiddetta massa ridotta del sistema.

Tale perdita di energia viene impiegata dal sistema per deformare e saldare insieme i due corpi al momento dell'urto (energia potenziale elastica) con conseguente sviluppo di calore (energia termica); ovviamente l'energia totale, anche se si trasforma, complessivamente si conserva.

(*) Nel caso relativistico, dove l'azione a distanza non può essere considerata istantanea, il principio di azione e reazione non è più valido; tuttavia la conservazione della quantità di moto vige ancora, a patto di tenere conto della quantità di moto associata al campo che trasporta l’interazione.
(**) Consideriamo qui solo il caso classico; nel caso relativistico (trascurando l'interazione tra i corpi e quindi la quantità di moto associata al campo) la conservazione della quantità di moto è ancora valida se utilizziamo la massa relativistica: p=mv dove m=m₀/(1-v²/c²)^1/2; quindi anche per la conservazione dell'energia dobbiamo usare la forma relativistica: E=mc² (vedi Wikipedia).
(A titolo di esempio si veda l'urto elastico relativistico dell'effetto Compton).
(***) È ovvio che il caso monodimensionale è il più facile da trattare; in due o tre dimensioni aumenta il numero delle incognite (poiché aumentano i gradi di libertà) e quindi le equazioni derivate dalla conservazione della quantità di moto e dell'energia sono sufficienti solo in casi particolari.