Il Principio di Equivalenza: ma=mg

Nel post "Un forza del tutto... apparente!" abbiamo visto come, in base alla particolare scelta del sistema di riferimento non inerziale, l'osservatore possa percepire una forza apparente che non esiste realmente (cioè non è causata dall'interazione con altri corpi).

Ci chiediamo quindi se, seguendo questo principio, è possibile scegliere un sistema di riferimento non inerziale che, per così dire, simuli in modo perfetto la forza prodotta da un campo gravitazionale (rispetto all'osservatore in quiete nel sistema non inerziale).
Nota: come vedremo di seguito in generale ciò è sempre possibile ma solo localmente.

A questo scopo introduciamo una ben definita ipotesi fisica chiamata Principio di Equivalenza:
"Un osservatore solidale con delle masse in moto accelerato, non è in grado di distinguere se l'accelerazione è dovuta ad una forza esterna [che agisce sul laboratorio in cui si trova l'osservatore] oppure se è prodotta da un campo gravitazionale che agisce sull'osservatore e sulle masse [che si trovano in un sistema in quiete]" (vedi Wikipedia).

In particolare per illustrare questo principio, Einstein fece l'esempio di un ascensore in moto (vedi Wikipedia):
"L'esperimento mentale è quello di immaginare un ascensore nello spazio che trasporta un osservatore e altri oggetti pesanti.
Se l'ascensore è spinto da una forza esterna verticale, l'osservatore e gli oggetti sentiranno un'accelerazione e inizieranno a muoversi verso l'alto.

Analogamente, in presenza di un campo gravitazionale fuori dall'ascensore in quiete, le loro masse saranno spinte verso il basso (esattamente come accade quando l'ascensore è accelerato da una forza esterna verso l'alto).

Dall'interno dell'ascensore, non si può stabilire se al di fuori c'è una forza che esercita una pressione, o una massa in quiete che le attrae".
Nota: il principio afferma quindi l'equivalenza della forza gravitazionale F_g e della forza apparente F_i dovuta ad un sistema non inerziale: F_g=F_i.

Si osservi inoltre che in un riferimento non inerziale che si muovesse con una accelerazione uguale a quella gravitazionale, i corpi sarebbero sottoposti ad una forza nulla (dato che la forza apparente sarebbe uguale e contraria a quella gravitazionale) e quindi questo riferimento sarebbe equivalente a uno inerziale (sempre per il principio di equivalenza).

Nota: in pratica gli oggetti di un tale sistema in caduta libera sarebbero senza peso: un dinamometro ad essi applicato misurerebbe una forza nulla.

Per essere più precisi il principio di equivalenza, in generale, ha un significato esclusivamente locale* poiché esattamente afferma:
"All'interno di un qualsiasi campo gravitazionale è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento (non inerziale) rispetto al quale è possibile definire un intorno di un punto in cui gli effetti dell'accelerazione dovuti a quel campo gravitazionale sono nulli" (vedi Wikipedia).

Nota: possiamo cioè scegliere un sistema di riferimento che produce effetti uguali e contrari ad un qualsiasi campo gravitazionale, in modo da annullarlo almeno localmente.

Ora è immediato mostrare** (avendo posto F_g=F_i) che da questo principio discende l'equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale; ciò in pratica significa che "la proprietà intrinseca di un corpo materiale di opporsi alle variazioni di moto, e la massa gravitazionale, che rappresenta la proprietà di un corpo di essere sorgente e di subire l'influsso di un campo gravitazionale, sono numericamente uguali".

Si noti però che sebbene l'identità della massa inerziale e gravitazionale sia stata provata sperimentalmente in modo molto preciso, ciò non dimostra che sia sempre possibile scegliere un sistema non inerziale in modo che un osservatore sperimenti (almeno nel suo intorno) una forza equivalente a quella di un campo gravitazionale; questa possibilità resta pur sempre un'ipotesi o principio fisico da verificare sperimentalmente***.

Il significato fisico del principio di equivalenza rimane quindi quello di un postulato a priori della teoria fisica, da cui infatti Einstein prese le mosse per formulare la sua più volte verificata Teoria della relatività generale.

(*) Nell'esempio dell'ascensore, se il campo gravitazionale fosse quello esercitato dalla Terra gli oggetti tenderebbero a dirigersi verso il suo centro (poiché il campo non è uniforme); ciò non accadrebbe se fosse invece l'ascensore a muoversi di moto accelerato verso l'alto nello spazio vuoto: perciò l'equivalenza vale in generale solo in un intorno di un punto fissato.
(**) Nel principio di equivalenza dobbiamo considerare due tipi di forze: quella del campo gravitazionale F_g=m_gg e quella del sistema non inerziale F_i=m_ia; se si fa in modo che risulti a=g (come nell'esempio dell'ascensore) allora per il principio di equivalenza, che afferma l'identità F_g=F_i, ne consegue che m_g=m_i cioè massa gravitazionale e inerziale devono coincidere.
(***) Dal principio di equivalenza discende direttamente la curvatura dei raggi di luce in presenza di un campo gravitazionale; infatti se in un sistema in quiete la luce viaggia in linea retta, allora in un sistema accelerato, che simula il campo gravitazionale, assisteremo ad una deflessione della luce che dipende dal tipo di accelerazione impressa al sistema (e quindi dal campo gravitazionale equivalente).

Una forza del tutto... apparente!

Partiamo dalla definizione generale di forza apparente data da Wikipedia:
"In fisica, una forza apparente è una forza che un osservatore solidale con un sistema di riferimento non inerziale vede come agente, al pari delle altre forze (forze reali), ma che non deriva da alcuna interazione fisica diretta: essa trae origine dall'accelerazione del sistema di riferimento considerato".
Nota: un riferimento non è inerziale se ruota o accelera rispetto ad un sistema inerziale (vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?").

L'esempio classico di una forza apparente (cioè non generata direttamente dall'interazione con altri corpi) è quello della forza centrifuga; ricordiamo infatti che "la forza centrifuga è una forza che appare agire su di un corpo che si muove di moto circolare, quando tale moto viene analizzato in un sistema di riferimento ad esso solidale e, quindi, in un sistema di riferimento non inerziale" (vedi Wikipedia).

Esaminiamo infatti le forze che agiscono su un corpo in moto circolare da due diversi sistemi di riferimento:

-> Riferimento inerziale: rispetto a questo sistema l'osservatore vede il corpo in moto circolare e quindi presume che sullo stesso agisca una forza centripeta (poiché se non agisse nessuna forza il corpo continuerebbe a muoversi di moto rettilineo uniforme per la prima legge di Newton);

-> Riferimento non inerziale: il sistema ora è quello solidale al corpo in moto circolare e quindi, oltre alla forza centripeta (che giustifica il moto circolare del corpo rispetto ad un sistema inerziale), l'osservatore dovrà introdurre anche una forza centrifuga uguale ed opposta per giustificare il fatto che il corpo si trova in quiete rispetto al proprio riferimento.
Nota: è sempre possibile rilevare il moto non inerziale di un riferimento, anche dal suo interno, verificando che la legge di Newton non è più valida. 

Da questo esempio si evince come la forza centripeta sia in effetti una forza reale (che produce effetti in entrambi i sistemi di riferimento) mentre quella centrifuga sia apparente proprio perché dovuta esclusivamente al sistema di riferimento non inerziale nel quale si trova l'osservatore.

Ciò significa, in generale, che se vogliamo continuare ad usare le leggi di Newton dobbiamo per forza giustificare con una forza apparente lo stato di quiete (o di moto apparente) quando ci troviamo in un riferimento non inerziale*.

Si osservi inoltre che i due osservatori possono sempre stabilire se sono in moto inerziale o accelerato (anche se in pratica non è mai così semplice, vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?") e quindi se sono soggetti a forze apparenti oppure reali.

(*) Ad esempio "nell'analisi di ogni sistema fisico situato sulla Terra, sarà necessario prevedere l'esistenza di due forze apparenti, la forza di Coriolis e la forza centrifuga" se vogliamo descrivere lo stato di moto del sistema in quel riferimento (vedi Wikipedia).

(Vedi il post "Coriolis e le coordinate Polari!" per la derivazione formale di queste due forze apparenti).

La definizione operativa di Forza

Ecco come viene definito il concetto di forza in fisica (secondo Wikipedia):
"Una forza è una grandezza fisica vettoriale che si manifesta nella interazione di due o più corpi, sia a livello macroscopico, sia a livello delle particelle elementari; la sua caratteristica è quella di indurre una variazione dello stato di quiete o di moto dei corpi stessi".

Più precisamente "una forza F è descritta classicamente dalla seconda legge di Newton come derivata temporale della quantità di moto p=mv di un corpo di massa m rispetto al tempo. In formule:

F=dp/dt=d(mv)/dt

che, nel caso la massa del corpo sia costante, si riduce a:

F=mdv/dt=ma"

dove a=dv/dt è l'accelerazione impressa al corpo che ha velocità istantanea v(t)".

Nota: la definizione di forza vale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?"); nel caso di sistemi non inerziali si devono introdurre le forze apparenti (come descritto nel post "Una forza del tutto... apparente!").

In particolare ricordiamo che (vedi Wikipedia) "a livello pratico le forze applicate ad un corpo possono avere due diversi tipi di effetti:
-> effetti dinamici: inducono come si è detto variazioni nella quantità di moto del corpo; la dinamica analizza appunto gli effetti delle forze sul movimento;
-> effetti statici: il corpo, anche se sottoposto a forze, rimane in quiete; ciò accade quando le forze presenti si bilanciano esattamente"; l'analisi di questi effetti viene definita dalla statica.

Nel caso dinamico possiamo perciò definire operativamente una determinata forza misurando con precisione sia la massa che l'accelerazione impressa al corpo in esame (essendo F=ma).
È però doveroso osservare che il problema di verificare l'accelerazione di un corpo è strettamente legato alla scelta del relativo sistema di riferimento inerziale, di cui non è facile dare una definizione priva di ambiguità (vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?").

Mentre nel caso statico possiamo così definire la forza in modo operativo (vedi Wikipedia):
"Una definizione statica di forza è possibile misurando la deformazione di un corpo che segua la legge di Hooke, cioè tale che la deformazione sia direttamente proporzionale alla forza applicata. Inoltre utilizzando la proprietà lineare delle molle è possibile costruire degli strumenti di misura delle forze, detti dinamometri"*.

Ma anche in questo secondo caso, nonostante si possano costruire degli strumenti di misura delle forze come i dinamometri, non abbiamo risolto il problema di attribuire un preciso significato fisico alla forza stessa.
Infatti anche questa definizione operativa non è una definizione diretta (cioè non fa riferimento a grandezze fondamentali come lo spazio o il tempo, usate ad esempio per definire la velocità di un corpo) ma si basa a sua volta sugli effetti prodotti da un'altra forza nota (ad esempio la forza peso) su cui viene in effetti tarato lo strumento di misura (ad esempio la molla).

La forza ha quindi una definizione sempre indiretta che si basa sugli effetti che essa produce (cioè la variazione dello stato di moto di un corpo o la deformazione elastica di una molla): dobbiamo perciò tener conto di come questi effetti vengono valutati nell'attribuirle un significato fisico corretto (come il sistema di riferimento utilizzato oppure il tipo di molla adoperato).

(*) La legge di Hooke afferma che l'allungamento ∆x prodotto in una molla è direttamente proporzionale alla forza F impressa: F=-k∆x (dove k è il coefficiente elastico della molla). È evidente che tale legge vale solo per una "molla perfetta o ideale, cioè una molla priva di peso, di massa, in assenza di attrito e di altri fenomeni dissipativi" (vedi Wikipedia).

Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?

In alcuni post abbiamo a volte citato il termine Sistema di Riferimento Inerziale; cerchiamo ora di attribuirgli un preciso significato fisico.

Vediamo, prima di tutto, cosa si intende in generale con sistema di riferimento (per i dettagli vedi Wikipedia):
"Si definisce sistema di riferimento, l'insieme dei riferimenti o coordinate utilizzate per individuare la posizione di un oggetto nello spazio".

Ad esempio, nel caso di una sola dimensione, avremo in particolare che:
"Il sistema di riferimento monodimensionale ideato da Cartesio è costituito da una retta, sulla quale un oggetto, di solito un punto, è vincolato a muoversi. Su questa retta si fissa un'origine, che è consuetudine indicare con O, un verso di percorrenza ed una unità di misura delle lunghezze".

E ciò resta vero anche quando il punto è vincolato a muoversi lungo una curva qualsiasi oppure quando ci troviamo in uno spazio bidimensionale o tridimensionale.

Deve essere però chiaro che ci stiamo riferendo ad enti geometrici, come rette o curve, che assumono significato fisico solo nella corrispondenza che questi enti hanno con la realtà fisica, come ad esempio il laboratorio in cui eseguiamo le nostre misure.

A questo punto possiamo finalmente definire un Sistema di Riferimento Inerziale (vedi Wikipedia):
"Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento in cui è valido il primo principio della dinamica"; tale principio o legge di inerzia afferma (vedi Wikipedia):
"Se un corpo è soggetto ad un sistema di forze a risultante zero, allora rimane in quiete o in moto rettilineo uniforme".

Ciò significa che se non agisce nessuna forza sul sistema oppure la risultante di tutte le forze è nulla, allora il sistema sarà inerziale e quindi continuerà a muoversi con velocità costante oppure nulla.

Si noti però che la definizione è piuttosto ambigua dato che non abbiamo definito rispetto a cosa il sistema si dovrebbe muovere a velocità costante o nulla (quando non agisce nessuna forza); in effetti non possiamo sapere con certezza che il sistema non è sottoposto a nessuna forza, se non verificando in qualche modo il moto rettilineo uniforme dello stesso riferimento.

Possiamo tuttavia osservare che un sistema di riferimento inerziale è sicuramente quello che si trova sufficientemente lontano da tutti gli altri corpi, in modo da non subire nessuna forza esterna.
Nota: ciò è approssimativamente vero poiché tutte le interazioni fondamentali note dipendono, in modo inversamente proporzionale, dal quadrato della distanza oppure hanno un raggio d'azione molto limitato.

È evidente che una volta individuato questo primo* sistema di riferimento inerziale tutti gli altri sistemi simili possono essere da questo derivati, semplicemente verificando se il loro moto è costante o nullo rispetto ad esso: solo così facendo potremo attribuire ad ognuno di questi diversi riferimenti inerziali un ben definito significato fisico.

(*) Un esempio di riferimento inerziale è, con buona approssimazione, quello solidale con le stelle fisse poiché "poste ad una distanza talmente elevata dalla Terra, sembrano immobili" (vedi Wikipedia).

Lo Spazio Assoluto nella Teoria della relatività

Nel post "La Relatività ristretta o... speciale" (a cui rimandiamo), abbiamo fatto una brevissima introduzione alla Teoria della relatività.

Entrando ora più in dettaglio riprendiamo quanto dice Wikipedia:
"L'articolo di Einstein del 1905 rifonda la fisica classica a partire da due postulati, singolarmente desunti dall'esperienza ma che sono tra di loro inconciliabili all'interno degli schemi teorici classici:

-> Primo postulato (principio di relatività particolare): tutte le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
-> Secondo postulato (invarianza della velocità della luce): la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalla velocità dell'osservatore o dalla velocità della sorgente di luce.

Il primo postulato è un'estensione di quello di Galilei, mentre il secondo postulato deriva dalle equazioni di Maxwell, secondo le quali la velocità della luce dipende da due valori costanti [cioè dalle proprietà elettromagnetiche del mezzo in cui si propaga]* relativi al mezzo di propagazione e non dal moto relativo dei sistemi di riferimento.

In realtà, come ha spiegato successivamente Einstein, l'unico principio della teoria della relatività può essere considerato in effetti proprio il principio di relatività, o indipendenza delle leggi dal moto relativo inerziale, in quanto l'invarianza della velocità della luce ne è una conseguenza (secondo le equazioni di Maxwell, infatti, la velocità di c è data proprio da una legge ben definita).

Il postulato di relatività ovviamente esclude il concetto di etere, non solo come mezzo che trasmette la luce** (sostituito dal campo elettromagnetico), ma anche come riferimento assoluto***; da ciò consegue che se ogni osservatore inerziale può dire a ragione di essere fermo rispetto ad un ipotetico etere, allora cade definitivamente il concetto di spazio assoluto".
Nota: per chiarire la definizione di campo elettromagnetico vedi il post "Elettro e Magnetismo".

Ciò significa che lo spazio assoluto o etere, inteso come riferimento valido per qualsiasi osservatore, non ha più significato fisico secondo la teoria della relatività (proprio perché ogni osservatore inerziale può affermare di essere in quiete con esso); mentre assume un significato fisico universale la velocità della luce nel vuoto essendo costante per qualsiasi osservatore inerziale.
Nota: per chiarire la definizione di osservatore inerziale vedi il post "Cos'è un Sistema di Riferimento Inerziale?".

(*) Secondo le equazioni di Maxwell "la velocità della luce è legata alle proprietà elettromagnetiche del mezzo (detto etere) in cui si propaga: precisamente alla permittività elettrica ε e permeabilità magnetica μ: c=1/(με)^1/2" (vedi Wikipedia). Ora poiché qualsiasi osservatore inerziale può supporsi in quiete con l'etere (non esistendo riferimenti assoluti per il primo postulato) la velocità della luce sarà la stessa per tutti gli osservatori (senza quindi doverla imporre come postulato).
(**) In effetti per definire formalmente un fenomeno ondoso non è necessario introdurre un mezzo di propagazione entro il quale si diffonde l'onda (vedi il post "Ma cos'è una 'Onda'?").
(***) In particolare è stato l'esperimento di Michleson-Morley a decretare la fine dell'etere luminifero come mezzo di propagazione delle onde elettromagnetiche ma anche come possibile candidato di spazio assoluto.

E se le forze non sono conservative?

Ripartiamo dalla definizione generale di Lavoro secondo Wikipedia:
"Il lavoro lungo una curva γ è definito come l'integrale di linea della forma differenziale δL=F(r)ds:

ovvero l'integrale della forza F(r) lungo la curva γ".
Nota: il lavoro elementare δL=F(r)ds compiuto dalla forza F(r) per lo spostamento infinitesimo ds non è un differenziale esatto (poiché l'integrale può dipendere dalla curva γ).

Ora come abbiamo già visto nel post "Energia potenziale<=>Forza conservativa", solo nel caso di forze conservative il lavoro è indipendente dal percorso ed è uguale, per definizione, alla differenza dell'energia potenziale con segno cambiato: 

L_cons=-ΔU.

Nota: il motivo del segno meno è che in questo modo ad un lavoro positivo (cioè fatto sul sistema) corrisponde una riduzione (variazione negativa) del potenziale.

Mentre in generale, per il Teorema dell'energia cinetica (già trattato nel post "Il Teorema della 'Vis Viva'"), il lavoro L sopra definito è uguale alla variazione di energia cinetica ΔE_c impressa ad un corpo: 

L=ΔE_c.

Quindi "scomponendo, nel teorema dell'energia cinetica, il lavoro (sommabile per definizione) in due addendi:

L=L_cons+L_nc

quello derivante da forze conservative L_cons (uguale alla variazione negativa di energia potenziale -ΔU) e quello dovuto a forze non conservative L_nc abbiamo:

L=∆E_c=L_cons+L_nc=-ΔU+L_nc

e introducendo per definizione la variazione di energia meccanica si ha:

∆E_mecc=∆(E_c+U)=L_nc.

Ciò significa che la variazione dell'energia meccanica (per definizione la somma di energia cinetica e potenziale) è uguale al lavoro compiuto dalle forze non conservative" (vedi Wikipedia).

 

Si osservi perciò che solo quando il lavoro dovuto a forze non conservative è nullo (cioè L_nc=0) allora segue immediatamente ΔE_mecc=0 cioè l'energia meccanica si conserva; questa conclusione era già stata anticipata nel post "L'Energia Meccanica si conserva?" ma ora l'abbiamo formalizzata, in modo da attribuire a questa relazione un preciso significato fisico*.

(*) È ovvio che il principio di conservazione dell'energia resta valido anche quando l'energia meccanica non si conserva (cioè quando ΔE_mecc≠0) poiché in questo caso si dovrà tener conto anche dell'energia dovuta alle forze che non sono conservative (come ad esempio il calore disperso per attrito): ∆E=∆E_mecc-L_nc=0.
(Vedi anche il post "Il Principio di Conservazione dell'energia")

Energia potenziale<=>Forza conservativa

Ritorniamo sul tema dell'energia potenziale ΔU(r) (già introdotta nel post "Energia Potenziale... relativa o assoluta?") e riportiamo nuovamente la definizione:
"Si definisce energia potenziale la differenza di energia posseduta da un corpo in una data posizione nello spazio e l'energia posseduta dallo stesso in una posizione di riferimento" (vedi Wikipedia).

Mostriamo ora come si esprime questa definizione in termini formali (per i dettagli vedi Wikipedia):
"In termini matematici la definizione è espressa dall'uguaglianza tra l'opposto della variazione di energia potenziale ΔU(r)=U(r_B)-U(r_A) ed il lavoro W compiuto dal campo di forze (per spostare il corpo da A a B):

W=-∆U(r)=-[U(r_B)-U(r_A)]

dove il lavoro W è dato in generale dalla relazione

W=∫_cF(r)dr

dove dr indica uno spostamento infinitesimo ed F(r) la forza applicata al corpo lungo la curva C"; ma possiamo anche scrivere, in modo equivalente in forma differenziale dU(r)=F(r)dr essendo dU(r) un differenziale esatto*.
Nota: il motivo del segno meno è che in questo modo ad un lavoro positivo (cioè fatto sul sistema) corrisponde una riduzione (variazione negativa) del potenziale.

Ciò in pratica significa che una volta calcolato l'integrale del lavoro W possiamo ottenere la variazione di energia potenziale ∆U(r) dell'oggetto considerato.

Tuttavia si osservi come ∆U(r)=U(r_B)-U(r_A) dipenda esclusivamente dai punti A e B in cui si trova il corpo (rispettivamente prima e dopo il suo spostamento) e quindi "la forza esercitata dal campo compie un lavoro pari all'opposto dell'energia potenziale posseduta dall'oggetto nelle due posizioni, indipendentemente dal percorso seguito" e non dipende nemmeno da quando o da come è stato eseguito.

Ma se il lavoro è indipendente dal percorso abbiamo a che fare, per definizione, con forze conservative; l'energia potenziale è quindi definibile solamente per campi di forze di questo tipo: è per questo motivo che il significato fisico di energia potenziale e quello di forza conservativa sono così strettamente correlati.
Nota: se la forza F(r) è conservativa allora dipende esclusivamente dalla variabile r dello spazio (condizione necessaria ma non sufficiente)** e non dal tempo, dalla velocità o da altre variabili. 

Se invece le forze non sono conservative allora il lavoro è funzione del percorso e quindi l'integrale non dipende solo dai punti A (iniziale) e B (finale) in cui si trova l'oggetto, ma da cosa accade durante lo spostamento (ad esempio dispersione di energia per attrito, dissipazione o altri fenomeni non conservativi che cambiano l'energia meccanica del sistema)***.
Nota: sulle forze conservative vedi anche il post "L'Energia Meccanica si conserva?".

(*) Poiché ∆U(r) dipende solo dai punti A e B ed è indipendente dal percorso l'integrale può essere calcolato lungo una curva qualsiasi; in pratica ciò significa che dU(r)=F(r)dr è un differenziale esatto (vedi il post "Un differenziale... esatto!").
(**)  È naturale chiedersi quando un campo di forze posizionali F(r) è conservativo: ciò accade (secondo il Lemma di Poincaré) quando il campo è irrotazionale, cioè quando rotF(r)=0 e il dominio di F(r) è stellato (vedi il post "Campo conservativo=>irrotazionale!").
(***) Come spiegato nel post "E se le forze non sono conservative?" i fenomeni non conservativi sono tutti quelli che determinano la variazione dell'energia meccanica del sistema (cioè la sua energia cinetica+potenziale).