mercoledì 28 dicembre 2011

Campo conservativo => irrotazionale!

Ecco la definizione classica di campo vettoriale conservativo secondo Wikipedia:
"Un campo vettoriale F(x,y,z) si dice conservativo se esiste un campo scalare U(x,y,z) tale che:
F(x,y,z)=gradU(x,y,z)
dove grad è l'operatore gradiente. Se U(x,y,z) esiste, è detto potenziale scalare per il campo F(x,y,z)".

Ma vediamo invece una definzione alternativa.
Poiché il gradiente di una funzione scalare U(x,y,x) è così definito:
gradU(x,y,z)=i∂U/∂x+j∂U/∂y+k∂U/∂z
(dove i,j,k sono i tre versori) la relazione tra il differenziale esatto dU(x,y,z) (vedi il post "Un differenziale... esatto!") e il gradiente della funzione U(x,y,z) è la seguente:
dU=gradUds.
Infatti poiché dU=(∂U/∂x)dx+(∂U/∂y)dy+(∂U/∂z)dz ed essendo lo spostamento infinitesimo ds=idx+jdy+kdz, basta fare il prodotto scalare tra gradU e ds per ottenere dU (si ricordi che ij=ik=jk=0 data la perpendicolarità tra i versori).

Perciò un campo vettoriale F(x,y,z) si dice altresì conservativo se esiste un campo scalare U(x,y,z) tale che:
dU(x,y,z)=F(x,y,z)ds
essendo questa una definizione equivalente a quella del gradiente data sopra (basta sostituire dU=gradUds).
Nota: per quanto si è definito sopra, le forze conservative F(x,y,z) dipendono esclusivamente dalla variabile spazio e non dal tempo, dalla velocità o da altre variabili (condizione necessaria ma non sufficiente).

L'introduzione del differenziale esatto dU(x,y,z) ci permette di fare alcune interessanti considerazioni (anche in riferimento a quanto visto nel post "Un differenziale... esatto!").

Ad esempio, nel caso di un campo di forze F(x,y,z), se integriamo il differenziale dU(x,y,z)=F(x,y,z)ds (come abbiamo già descritto nel post "Energia potenziale<=>Forza conservativa") si ottiene l'energia potenziale U(x,y,z) del campo che (essendo dU un differenziale esatto) dipende solo dai punti A e B in cui si trova il corpo, rispettivamente prima e dopo lo spostamento dovuto al campo di forze, e non dipende perciò dal percorso.

Inoltre si osservi che le componenti del campo vettoriale F(x,y,z) sono (essendo F(x,y,z)=gradU(x,y,z)):
Fx=∂U/∂x,   Fy=∂U/∂y,   Fz=∂U/∂z
da cui segue subito che le derivate parziali incrociate di F(x,y,z) coincidono con le derivate parziali seconde incrociate di U(x,y,z):
∂Fi/∂j=∂2U/∂i∂j   (dove i,j=x,y,z).
Ora, poiché le derivate seconde incrociate di un differenziale esatto non dipendono dall'ordine di derivazione, cioè 2U/∂i∂j=∂2U/∂j∂i (vedi il post "Un differenziale... esatto!") risulterà:
∂Fx/∂y=∂Fy/∂x,   ∂Fy/∂z=∂Fz/∂y,   ∂Fz/∂x=∂Fx/∂z
ma ciò significa (per come è definito l'operatore rotore):
rotF(x,y,z)=i(∂Fz/∂y-∂Fy/∂z)+j(∂Fx/∂z-∂Fz/∂x)+k(∂Fy/∂x-∂Fx/∂y)=0
cioè un campo conservativo è irrotazionale (vedi Wikipedia).

Si noti però che non è sempre vera l'implicazione inversa: infatti la condizione rotF(x,y,z)=0 implica che il campo di forze F(x,y,z) è conservativo ma solo se il dominio su cui è definito il campo F è stellato* (secondo il Lemma di Poincaré).
Nota: per un semplice esempio di campo irrotazionale, ma non globalmente conservativo, vedi Wikipedia.

Questa ultima affermazione si può dimostrare ricordando il Teorema del rotore. Infatti, poiché rotF=0 implica (secondo tale teorema) che l'integrale di Fds lungo una qualsiasi linea chiusa è nullo (ma solo se il dominio di F è stellato), allora segue che l'integrale non dipende dal percorso e quindi dU=Fds è un differenziale esatto; ma ciò significa, secondo la definizione data sopra, che il campo F(x,y,z) è conservativo (cvd).
Nota: per il significato fisico di campo conservativo vedi il post "L'Energia Meccanica si conserva?".

(*) Intuitivamente un insieme S si dice stellato se esiste almeno un punto x in S dal quale qualunque punto di S è visibile (vedi Wikipedia).

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