Il Principio di Equivalenza: ma=mg

Nel post "Un forza del tutto... apparente!" abbiamo visto come, in base alla particolare scelta del sistema di riferimento non inerziale, l'osservatore possa percepire una forza apparente che non esiste realmente (cioè non è causata dall'interazione con altri corpi).

Ci chiediamo quindi se, seguendo questo principio, è possibile scegliere un sistema di riferimento non inerziale che, per così dire, simuli in modo perfetto la forza prodotta da un campo gravitazionale (rispetto all'osservatore in quiete nel sistema non inerziale).
Nota: come vedremo di seguito in generale ciò è sempre possibile ma solo localmente.

A questo scopo introduciamo una ben definita ipotesi fisica chiamata Principio di Equivalenza:
"Un osservatore solidale con delle masse in moto accelerato, non è in grado di distinguere se l'accelerazione è dovuta ad una forza esterna [che agisce sul laboratorio in cui si trova l'osservatore] oppure se è prodotta da un campo gravitazionale che agisce sull'osservatore e sulle masse [che si trovano in un sistema in quiete]" (vedi Wikipedia).

In particolare per illustrare questo principio, Einstein fece l'esempio di un ascensore in moto (vedi Wikipedia):
"L'esperimento mentale è quello di immaginare un ascensore nello spazio che trasporta un osservatore e altri oggetti pesanti.
Se l'ascensore è spinto da una forza esterna verticale, l'osservatore e gli oggetti sentiranno un'accelerazione e inizieranno a muoversi verso l'alto.

Analogamente, in presenza di un campo gravitazionale fuori dall'ascensore in quiete, le loro masse saranno spinte verso il basso (esattamente come accade quando l'ascensore è accelerato da una forza esterna verso l'alto).

Dall'interno dell'ascensore, non si può stabilire se al di fuori c'è una forza che esercita una pressione, o una massa in quiete che le attrae".
Nota: il principio afferma quindi l'equivalenza della forza gravitazionale F_g e della forza apparente F_i dovuta ad un sistema non inerziale: F_g=F_i.

Si osservi inoltre che in un riferimento non inerziale che si muovesse con una accelerazione uguale a quella gravitazionale, i corpi sarebbero sottoposti ad una forza nulla (dato che la forza apparente sarebbe uguale e contraria a quella gravitazionale) e quindi questo riferimento sarebbe equivalente a uno inerziale (sempre per il principio di equivalenza).

Nota: in pratica gli oggetti di un tale sistema in caduta libera sarebbero senza peso: un dinamometro ad essi applicato misurerebbe una forza nulla.

Per essere più precisi il principio di equivalenza, in generale, ha un significato esclusivamente locale* poiché esattamente afferma:
"All'interno di un qualsiasi campo gravitazionale è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento (non inerziale) rispetto al quale è possibile definire un intorno di un punto in cui gli effetti dell'accelerazione dovuti a quel campo gravitazionale sono nulli" (vedi Wikipedia).

Nota: possiamo cioè scegliere un sistema di riferimento che produce effetti uguali e contrari ad un qualsiasi campo gravitazionale, in modo da annullarlo almeno localmente.

Ora è immediato mostrare** (avendo posto F_g=F_i) che da questo principio discende l'equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale; ciò in pratica significa che "la proprietà intrinseca di un corpo materiale di opporsi alle variazioni di moto, e la massa gravitazionale, che rappresenta la proprietà di un corpo di essere sorgente e di subire l'influsso di un campo gravitazionale, sono numericamente uguali".

Si noti però che sebbene l'identità della massa inerziale e gravitazionale sia stata provata sperimentalmente in modo molto preciso, ciò non dimostra che sia sempre possibile scegliere un sistema non inerziale in modo che un osservatore sperimenti (almeno nel suo intorno) una forza equivalente a quella di un campo gravitazionale; questa possibilità resta pur sempre un'ipotesi o principio fisico da verificare sperimentalmente***.

Il significato fisico del principio di equivalenza rimane quindi quello di un postulato a priori della teoria fisica, da cui infatti Einstein prese le mosse per formulare la sua più volte verificata Teoria della relatività generale.

(*) Nell'esempio dell'ascensore, se il campo gravitazionale fosse quello esercitato dalla Terra gli oggetti tenderebbero a dirigersi verso il suo centro (poiché il campo non è uniforme); ciò non accadrebbe se fosse invece l'ascensore a muoversi di moto accelerato verso l'alto nello spazio vuoto: perciò l'equivalenza vale in generale solo in un intorno di un punto fissato.
(**) Nel principio di equivalenza dobbiamo considerare due tipi di forze: quella del campo gravitazionale F_g=m_gg e quella del sistema non inerziale F_i=m_ia; se si fa in modo che risulti a=g (come nell'esempio dell'ascensore) allora per il principio di equivalenza, che afferma l'identità F_g=F_i, ne consegue che m_g=m_i cioè massa gravitazionale e inerziale devono coincidere.
(***) Dal principio di equivalenza discende direttamente la curvatura dei raggi di luce in presenza di un campo gravitazionale; infatti se in un sistema in quiete la luce viaggia in linea retta, allora in un sistema accelerato, che simula il campo gravitazionale, assisteremo ad una deflessione della luce che dipende dal tipo di accelerazione impressa al sistema (e quindi dal campo gravitazionale equivalente).