martedì 30 luglio 2013

Potenza e Coppia in... bicicletta!

Diamo innanzitutto la definizione di Potenza in fisica (vedi Wikipedia):
"La potenza è definita come il lavoro L compiuto nell'unità di tempo t, ovvero come la sua derivata temporale:
P=dL/dt.
In base al principio di uguaglianza tra lavoro ed energia, la potenza misura la quantità di energia scambiata nell'unità di tempo, in un qualunque processo di trasformazione, meccanico, elettrico, termico o chimico che sia".
Nota: per la relazione tra lavoro ed energia vedi il post "E se le forze non sono conservative?".

Se ricordiamo che per definizione il lavoro infinitesimo è dL=Fds dove F è la forza applicata ad un corpo che si sposta lungo un tratto infinitesimo ds (vedi il post "E se le forze non sono conservative?") allora avremo la seguente relazione:
P=Fds/dt=Fv
dove v=ds/dt è la velocità istantanea del corpo in moto.

Ora passiamo alla definizione di coppia motrice (vedi Wikipedia):
"La coppia motrice è il momento meccanico applicato dal motore a una trasmissione. Essa varia al cambiare del regime di rotazione del motore con un andamento dipendente dal tipo di motore e ha un valore massimo in corrispondenza di un determinato regime".
Nota: ricordiamo che il momento meccanico è definito come M=rxF dove r è il vettore di posizione della forza F rispetto ad un punto Ω fissato (vedi il post "Sistemi in equilibrio (meccanico)".

Quindi se ad esempio applichiamo una forza motrice orizzontale F in corrispondenza del perno di una ruota posta in verticale sopra un piano (ad esempio quella di una bicicletta di raggio r) si avrà un momento meccanico:
M=rxF
rispetto al punto di contatto col terreno (inoltre risulta M=rF essendo forza F e braccio r perpendicolari) e la ruota girerà (grazie all'attrito che le impedisce di scivolare)* con una velocità angolare:
w=2π/T 
(dove T è il periodo di rotazione) mentre la bicicletta si sposterà con una velocità:
v=wxr
essendo T=2πr/v (in particolare v=wr poiché w è perpendicolare a r).
Nota: la velocità dipende anche da altri elementi, che abbiamo trascurato, come la forza di attrito dell'aria (dovuta al veicolo+ciclista), l'attrito di rotolamento delle ruote, la pendenza della strada, etc.

Calcoliamo allora la potenza alla ruota quando il veicolo è in moto** (ricordando che F e v hanno la stessa direzione):
P=Fv=(M/r)(wr)=Mw
perciò la potenza, nel caso generale di un veicolo su ruote, dipende dal momento meccanico M (cioè dalla coppia motrice) e dalla velocità angolare della ruota.
Nota: poiché per ipotesi la ruota gira senza strisciare, il punto di contatto col terreno esercita un attrito statico (cioè senza spostamento) e quindi la forza di attrito non compie lavoro.

Da questa equazione risulta evidente come, a parità di potenza, si possa aumentare la coppia M (che esprime la forza motrice F=M/r) diminuendo però la velocità angolare w (e quindi la velocità di spostamento v=wr).

Inoltre grazie al cambio delle marce, che modifica il rapporto di trasmissione, è possibile variare la velocità angolare w della ruota motrice mantenendo inalterata quella del motore (o dei pedali del ciclista) in modo da rendere costante il suo rendimento*** (vedi la tabella di Wikipedia). 
Nota: i motori elettrici, che hanno un rendimento praticamente costante, non hanno bisogno di marce.

(*) In effetti dobbiamo considerare una coppia di forze uguali e contrarie: una si esercita sul perno della ruota mentre l'altra, grazie all'attrito, si esercita sul punto di contatto della ruota col terreno (altrimenti la ruota scivolerebbe); il risultato complessivo del momento è di nuovo M=rF essendo r il braccio della coppia (vedi il post "Una coppia di Forze").
(**) Se trascuriamo le perdite dovute alla trasmissione meccanica, allora la potenza espressa alla ruota è la stessa di quella prodotta dalla forza motrice del motore (o dai muscoli del ciclista).
(***) Quasi tutti i motori (esclusi quelli elettrici) esprimono una coppia massima, e quindi una potenza massima, in funzione di una determinata velocità angolare.

lunedì 15 luglio 2013

Un gioco di... vettori!

Tracciamo un vettore, di colore blu, su un foglio di carta millimetrata come indicato nella seguente figura:

File:9mv.png

Si noti che il vettore blu disegnato in figura rappresenta l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha una base di 4 mm e un'altezza di 2 mm quindi il suo modulo (per il teorema di Pitagora) è pari alla radice quadrata di 20 (cioè circa 4,5 mm).
Nota: per ricavare l'angolo di inclinazione θ (rispetto alla base) basta osservare che tanθ=altezza/base=0,5 da cui si ottiene θ≈27 gradi.

Supponiamo che questo vettore indichi lo spostamento (dal punto di applicazione alla punta del vettore), di una automobile che procede a velocità costante, nell'arco diciamo di un secondo; quindi la sua velocità sarà pari a circa 4,5 mm al secondo (o anche v≈4,5x60x60/1000≈16 metri/ora).

Per rendere la cosa più interessante, dato che stiamo parlando di un'auto sportiva, cambiamo scala e supponiamo che il lato di ogni quadretto indichi 10 metri di spostamento, da cui otteniamo per la velocità dell'auto:
v≈45x60x60≈160 Km/ora.
Nota: come vedremo la velocità dell'auto, definita dalla lunghezza del vettore, può cambiare ogni secondo.

Si osservi che se l'automobile non modifica la sua velocità, dopo un secondo il vettore in rosso indicherà la sua nuova posizione, avendo percorso altri 45 metri circa nella stessa direzione (e così via secondo dopo secondo).

Ora per il moto dell'auto, che come abbiamo detto è rappresentato dallo spostamento dei vettori, stabiliamo alcune semplici regole:
1) supponiamo che il nostro vettore rappresenti sia la velocità v di una automobile che si muove nello spazio, ma anche lo spazio s percorso dall'auto ad ogni secondo, cioè s=vt (dove ∆t=1 secondo);
2) ad ogni secondo l'automobile può accelerare oppure decelerare o ancora cambiare direzione semplicemente scegliendo uno degli 8 punti vicini a quello indicato dalla freccia in rosso (come indicato in figura dai vettori in verde)*.

A questo punto se tracciamo una linea di partenza, definiamo un numero di giri da compiere lungo un percorso prestabilito e permettiamo ad altre auto/vettori di partecipare alla gara... il gioco è fatto!
Nota: per approfondimenti sul gioco dei vettori, le regole e le sue origini storiche vedi Wikipedia; è anche possibile scaricare una App per iOS, tuttavia il gioco con carta millimetrata e matita è molto più appassionante!

(*) Se la velocità v(t) cambia da quella iniziale vi a quella finale vf nel tempo ∆t=1 allora, se vogliamo che s=vft deve risultare s=∫v(t)dt=vf∆t; ciò significa che la variazione di v(t) è istantanea (o che v(t) aumenta e diminuisce in ∆t passando almeno una volta per vf per il teorema della media).