venerdì 10 maggio 2019

Fisica, modelli, esperimenti e... realtà!

In questo post vogliamo ritornare su un famoso e cruciale esperimento (vedi il post "Effetto Compton: onda o particella") per mostrare come in fisica, per descrivere fenomeni complessi, si faccia spesso uso di modelli basati su una astrazione semplificata della realtà, cogliendo a volte solo una parte della fisica descritta dagli esperimenti.

Nel caso dell'effetto Compton il modello idealizzato dell'esperimento è semplice: si considera un unico fotone che colpisce un elettrone libero (in quiete nel sistema di riferimento del laboratorio) e si ipotizza un urto meccanico elastico tra i due corpi (cioè l'energia cinetica si conserva); ed essendo il sistema per ipotesi isolato, anche la quantità di moto si conserva.
Nota: per la descrizione degli urti meccanici tra due corpi vedi il post "L'urto Elastico o Anelastico".

Dobbiamo quindi assegnare al fotone una energia sia prima (Eγ=hν) che dopo l'urto (Eγ'=hν') oltre ad una quantità di moto prima (pγ=hν/c) e dopo l'urto (pγ'=hν'/c); mentre l'elettrone di massa m0 (e massa relativistica m) acquisisce energia cinetica solo dopo l'urto (Ee=mc2-m0c2) oltre ad una ben definita quantità di moto (pe=mv).
Nota: per la definizione di massa ed energia relativistica vedi il post "Derivare la Massa Relativistica".

In definitiva le equazioni di conservazione dell'energia e della quantità di moto sono le seguenti:
Eγ=Eγ'+Ee
pγ=pγ'+pe.
Sostituiamo quindi i valori delle diverse energie e relative quantità di moto e consideriamo ad esempio il caso in cui il fotone colpisce l'elettrone e rincula indietro esattamente da dove è venuto; in questo caso particolare le equazioni si riducono al caso lineare lungo un solo asse:
hν=hν'+mc2-m0c2
hν/c=-hν'/c+pe.
Nota: dalla nota equazione relativistica E2=p2c2+m02c4 si ricava la relazione tra energia e quantità di moto del fotone (m0=0): E=pc.

Perciò ricordando che ν=c/λ ed essendo m2c4=pe2c2+m02c4 (vedi il post "Derivare la Massa Relativistica") si ottiene con qualche passaggio che il fotone deve variare la sua lunghezza d'onda λ a causa dell'urto:
∆λ=λ'-λ=2h/m0c.

Nel caso più generale il modello prevede una precisa correlazione tra l'angolo di deflessione φ del fotone e la sua lunghezza d'onda λ'; si ottiene infatti, in modo analogo a prima, la nota equazione (vedi Wikipedia):
∆λ=(h/m0c)(1-cosφ).
Nota: ponendo l'angolo di scattering del fotone φ=π si ottiene di nuovo ∆λ=2h/m0c; mentre per φ=0 non si ha deflessione e ∆λ=0.

Ora se ripetiamo l'esperimento molte volte troveremo una relazione che possiamo riportare in un grafico e confrontare con la teoria; in particolare lungo l'asse X segniamo la lunghezza dell'onda e lungo Y la sua intensità (cioè il numero di fotoni deflessi) dato che molti sono i fotoni sparati in un dato istante sul bersaglio in cui si trovano gli elettroni.
Nota: nell'esperimento un fascio collimato di fotoni, ad una ben definita lunghezza d'onda λ, viene sparato su un bersaglio di grafite.

Ed ecco i grafici ottenuti per alcuni degli angoli di deflessione fissati:
Come risulta evidente dai grafici, i picchi di intensità confermano solo in parte le previsioni del modello; in particolare ci sono due aspetti dei risultati dell'esperimento, non previsti dal modello, che vanno spiegati: 

1) Il bersaglio su cui incidono i fotoni è di grafite quindi è possibile che essi a volte colpiscano atomi di carbonio invece che elettroni, in questo caso la massa m0 che compare in ∆λ=(h/m0c)(1-cosφ) è molto grande e quindi la differenza tra la lunghezza d'onda incidente e quella deflessa tende a zero.
Nota: per questo motivo nelle figure compare sempre un picco che coincide in pratica con quello incidente, oltre a quello deflesso.

2) Gli elettroni bersaglio non si trovano quasi mai in quiete rispetto al laboratorio e quindi la quantità di moto iniziale assume diversi possibili valori, perciò il picco dell'onda non è una unica riga verticale ma è distribuito su diversi valori della lunghezza d'onda.
Nota: poiché in media la quantità di moto iniziale dell'elettrone è nulla, il picco massimo rappresenta la media sulle varie lunghezze d'onda.

Tuttavia, nonostante gli evidenti limiti dovuti ad una semplificazione della realtà, il modello non è privo di significato fisico e ci permette di convalidare con buona approssimazione la nostra interpretazione di un urto meccanico relativistico tra corpi quantistici, dandoci una corretta spiegazione dell'esperimento (che valse a Compton il premio Nobel nel 1927).

mercoledì 23 gennaio 2019

Minkowski e lo Spazio-Tempo geometrico

Nel 1908 il matematico Hermann Minkowski dichiarava:
"Le concezioni di spazio e di tempo che desidero esporvi sono sorte dal terreno della fisica sperimentale, e in ciò sta la loro forza. Esse sono fondamentali. D'ora in poi lo spazio di per sé stesso o il tempo di per sé stesso sono condannati a svanire in pure ombre, e solo una specie di unione tra i due concetti conserverà una realtà indipendente" (vedi Wikipedia).

Prima di passare alla descrizione dei diagrammi spazio-tempo di Minkowski, che permettono una rappresentazione geometrica delle leggi della Relatività ristretta, dobbiamo dare alcune definizioni:

- Evento: indica un fenomeno fisico localizzato in uno specifico punto dello spazio quadrimensionale in un sistema di riferimento fissato (X, Y, Z, T).

- Punto evento: sono le coordinate istantanee (x, y, z, t) di un evento, cioè un punto preciso dello spazio, nell'istante in cui si verifica il fenomeno fisico.

- Linea di universo: questa linea rappresenta il percorso compiuto dagli oggetti, essa unisce i punti evento corrispondenti alle coordinate istantanee.

In realtà lo spazio-tempo di Minkowski appare come un usuale spazio euclideo, su cui è però definita una distanza differente da quella euclidea (già introdotta nel post "Tempo Proprio (e paradosso dei gemelli)"):
∆s2=c2∆t2-∆x2
dove ∆x e ∆t indicano rispettivamente gli intervalli di spazio e di tempo tra due eventi in un dato sistema di riferimento inerziale, mentre ∆s è detto separazione spazio-temporale tra gli eventi.
Nota: per semplicità consideriamo solo le coordinate (x, t) dato che le coordinate (y, z) non cambiano passando da un riferimento all'altro.

Inoltre, in modo analogo alla classica distanza dello spazio euclideo, anche l'intervallo ∆s è un invariante per tutti gli osservatori inerziali!
Nota: i diagrammi di Minkowski si applicano solo nell'ambito della Relatività ristretta, cioè in condizioni di spazio piatto (assenza di gravità).

A questo punto possiamo fare dei semplici esempi di linee di universo nello spazio-tempo di Minkowski:

a) Il primo diagramma, descritto dagli assi ortogonali (X, cT), indica la linea di universo di un corpo che si muove tra due punti evento: A (partenza) e B (arrivo) con velocità v minore della luce, come descritto in figura:


In generale si osservi che l'asse cT indica la linea di universo di un osservatore O che non si sposta nello spazio (cioè x=0) ma solo nel tempo; mentre l'asse X indica la linea del suo presente (cioè tutti i punti con t=0).
Nota: se il passato non esiste più e il futuro deve ancora realizzarsi, allora il presente comprende tutti gli eventi che definiscono la realtà di O.

Si osservi che nel grafico c∆t indica la distanza che percorre la luce nel tempo ∆t (che separa i due eventi A e B); mentre la linea tratteggiata di riferimento indica la linea di universo di un raggio di luce (essendo x=ct).

Nel nostro caso risulta c∆t>∆x quindi i due eventi A e B possono essere connessi casualmente: cioè la distanza ∆x tra i due eventi può essere coperta da un oggetto con velocità v minore di quella della luce: ∆x=v∆t.
Nota: sulla connessione causale tra due eventi vedi anche il post "Prima la causa e poi... l'effetto?".

La separazione spazio-temporale tra i due eventi è quindi:
∆s2=c2∆t2-∆x2>0
e ciò caratterizza, come già detto prima, tutti gli osservatori inerziali per i quali l'intervallo ∆s resta invariato (fissati i due eventi A e B); inoltre in generale risulta ∆s>0 per tutti gli eventi contenuti nel futuro di O.
Nota: il futuro di O è formato da tutte le posizioni dello spazio-tempo che può occupare O (cioè i punti compresi tra le due rette x=±ct con t>0).

b) In questo secondo diagramma consideriamo invece la linea di universo di un osservatore O' che si muove con velocità v rispetto all'ossevatore in quiete O del diagramma precedente:


Si può facilmente mostrare* che gli assi T' e X' di O' sono inclinati con la stessa pendenza θ come indicato in figura; inoltre per ottenere le coordinate di un qualsiasi evento P (rispetto a O') basta tracciare le parallele agli assi T' e X' (come si è fatto in modo analogo per il sistema in quiete O)**.

c) Infine in questo terzo diagramma rappresentiamo due osservatori O e O', rispettivamente in quiete e in moto lungo l'asse X, che valutano in modo diverso lo stesso evento fisico P:


Infatti l'osservatore O' si trova sulla linea del presente di O (t=0), mentre l'evento P si trova nel presente di O' (t'=0) ma allo stesso tempo si trova nel futuro di O, quindi il futuro di O (ad esempio l'evento P) si è già realizzato(!)
Nota: in sintesi se O' è reale per O e P è reale per O' allora P è reale per O (se si accetta la proprietà transitiva di realtà tra gli eventi).

È probabile che considerazioni come questa fecero scrivere ad A. Einstein: "Le persone come noi, che credono nella fisica, sanno che la distinzione tra passato, presente e futuro non è che un'illusione, per quanto tenace"***.
Nota: non esistendo in Relatività un tempo assoluto, il ragionamento precedente si può estendere a qualsiasi punto dello spazio-tempo.

(*) Le trasformazioni di Lorentz per x' e t' sono come è noto: x'=γ(x-vt) e t'=γ(t-vx/c2) quindi posto x'=0 (per ottenere l'asse T') e t'=0 (per ricavare l'asse X') si ha rispettivamente: t=x/v e x=t/v perciò la reciproca pendenza θ dei due assi T' e X' è la stessa (come indicato in figura).
(**) Tuttavia il tempo e lo spazio dei due osservatori O e O' non sono direttamente confrontabili sul grafico, in effetti dobbiamo considerare l'iperbole di calibrazione ∆s2=±1 per confrontare le misure.
(***) Il testo è contenuto in una lettera che Albert Einstein mandò alla sorella del suo caro amico Michele Besso, in occasione della sua morte.