mercoledì 31 agosto 2011

L'equazione di... continuità!

Vogliamo mostrare come a volte, per attribuire un ben definito significato fisico ad una data equazione differenziale, è più utile esprimerla in forma integrale.

A titolo di esempio introduciamo l'equazione di continuità, così come viene definita da Wikipedia:
"In fisica, l'equazione di continuità è un'equazione differenziale che esprime in forma locale la legge di conservazione per una generica grandezza fisica utilizzando il flusso della grandezza attraverso una superficie chiusa".
Nota: l'equazione di continuità riguarda sempre la conservazione di qualche grandezza fisica definita attraverso il suo flusso.

Specifichiamo quindi cosa si intende con flusso di una grandezza:
"In fisica il flusso di una data grandezza fisica è usato in presenza di fenomeni di trasporto (le grandezze coinvolte possono essere per esempio il calore o la massa) e rappresenta la quantità della grandezza che attraversa nell'unità di tempo una data superficie (perpendicolare rispetto alla direzione in cui avviene il trasporto della grandezza) diviso l'area della superficie considerata" (vedi Wikipedia).

Formalizziamo perciò il concetto di flusso: dato un campo vettoriale J ed una superficie infinitesima da orientata* il flusso infintesimo di J attraverso da è definito come il prodotto scalare dØ=Jda; quindi il flusso totale Ø è dato dall'integrale di su tutta la superficie considerata.

Prendiamo ad esempio (vedi Wikipedia) "la legge di conservazione della carica elettrica; in forma differenziale è definita dall'equazione di continuità:
\frac {\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf J = 0
dove Jv è la densità di corrente elettrica, ρ la densità di carica e v la velocità di deriva"; in questo esempio il flusso infinitesimo della densità di corrente elettrica è definito da di=Jda.
Nota: la velocità di deriva v è la velocità del moto ordinato delle cariche che costituiscono la corrente e non corrisponde alla velocità media degli elettroni dovuta all'agitazione termica (vedi Wikipedia). 

Si osservi come, in forma integrale, il significato fisico di questa equazione diventa subito chiaro; infatti integrando l'equazione precedente rispetto al volume e facendo uso del teorema della divergenza si ottiene:

i = \int_S \mathbf J \cdot \operatorname d \mathbf a = - \frac {\partial}{\partial t} \int_V \rho \operatorname d V 
dove V è il volume racchiuso da S ed i è per definizione la corrente elettrica e rappresenta il flusso della densità di corrente (essendo di=Jda)**.
Nota: il segno meno indica che la densità di carica diminuisce mentre la corrente fuoriesce dalla superficie S (essendo la superficie chiusa, J si orienta per convenzione verso l'esterno).

Da questa espressione integrale risulta perciò evidente come "il flusso i della densità di corrente attraverso una qualunque superficie chiusa S sia pari alla variazione nel tempo della carica contenuta nel volume racchiuso da S".

Questa fondamentale equazione, in forma differenziale (locale) oppure integrale (globale), costituisce la ben nota legge di conservazione della carica elettrica***.

(*) Se indichiamo con n la normale orientata esternamente alla superficie chiusa considerata, possiamo definire la superficie infinitesima orientata: da=nda.
(**) Si osservi che, essendo per definizione di=Jda, allora i rappresenta il flusso della densità di corrente J (vedi sopra la formalizzazione del flusso).
(***) Se poniamo pari a Q la quantità totale di carica elementare presente nel volume V (cioè se poniamo dQ=ρdV) possiamo riscrivere l'equazione di continuità vista sopra in forma integrale: i=-∂Q/∂t (a conferma che la variazione di carica e la corrente elettrica si devono controbilanciare).