mercoledì 23 ottobre 2019

I numeri Complessi e la M.Q.

In questo post cercheremo di mostrare, attraverso l'esame di un semplice sistema quantistico, il ruolo dei numeri complessi nella rappresentazione formale di uno stato quantico.

Ricordiamo innanzitutto che un numero complesso z è così definito:
z=a+ib
dove a e b sono due numeri reali mentre i=(-1)1/2 è l'unità immaginaria; i numeri complessi sono perciò una diretta estensione dei numeri reali.
Nota: il valore di i è stato introdotto per risolvere equazioni come x2+1=0 che non hanno soluzioni nel campo dei numeri reali.

Come è noto gli stati di un sistema quantistico vengono descritti nello spazio vettoriale di Hilbert che generalizza lo spazio euclideo (vedi Wikipedia):
"Uno spazio di Hilbert H=(H, < , >) è uno spazio vettoriale reale o complesso sul quale è definito un prodotto interno < , > (tale che, detta d la distanza indotta da < , > su H, lo spazio metrico  (H,d) sia completo)".
Nota: uno spazio metrico è un insieme di elementi, detti punti, nel quale è definita una distanza, detta anche metrica (vedi Wikipedia).

Per i nostri scopi non è necessario entrare nei dettagli dello spazio vettoriale H ma possiamo procedere illustrando un semplice sistema quantistico. Per farlo utilizzeremo un singolo elettrone che, come è noto, è dotato di una proprietà detta Spin che può assumere solo due stati.

La cosa interessante è che nello spazio di Hilbert, possiamo indicare gli stati come vettori; cioè se ad esempio misuriamo lo spin lungo l'asse Z possiamo porre, a seconda del risultato della misura*, uno dei seguenti vettori come stato del sistema (secondo la notazione di Dirac):
|u> (stato up) oppure |d> (stato down)
dove la probabilità di trovare lo spin in uno dei 2 stati è la stessa.
Nota: per definizione |u> punta lungo l'asse positivo di Z mentre |d> lungo quello negativo.

Se sommiamo questi due stati (vettori), in modo da ottenerne un terzo, questo descriverà il generico stato di spin |S> lungo uno qualsiasi degli assi:
|S>=a|u>+b|d>
dove a e b sono le componenti di |S> (a valori reali o complessi) rispettivamente lungo |u> (asse positivo di Z) e |d> (asse negativo di Z).
Nota: abbiamo in pratica scelto le due basi |u> e |d> per descrivere qualsiasi stato del nostro sistema quantistico a due dimensioni.

Si osservi che secondo un noto postulato della meccanica quantistica i prodotti aa e bb indicano rispettivamente la probabilità di trovare (misurare) lo spin nello stato up oppure down.
Nota: con a e b indichiamo il complesso coniugato rispettivamente di a e di b; come vedremo a e b sono in generale numeri complessi.

Ora la cosa poco intuitiva dello spin è che se lo misuriamo lungo un qualsiasi asse, il suo valore è sempre definito nel verso positivo oppure negativo dell'asse di misura (ci aspetteremmo invece di misurare la sua proiezione, come accade nel caso classico per una grandezza vettoriale).

Supponiamo quindi di aver misurato lo spin dell'elettrone nello stato |u> (cioè lungo l'asse Z positivo) e subito dopo eseguiamo una misura lungo l'asse X: se lo spin si trova lungo l'asse X positivo indicheremo tale stato con il vettore |r> (right) definendolo rispetto alle basi |u> e |d>:
|r>=a|u>+b|d>
dove come detto i prodotti aa e bb indicano la probabilità di trovare lo spin lungo l'asse Z positivo oppure negativo rispettivamente.
Nota: in questo caso si dice che la misura prepara lo stato di spin lungo l'asse X positivo indicato con |r>.

Gli esperimenti indicano che dobbiamo porre a=b=(1/2)1/2 poiché la probabilità di trovare lo stato |u> oppure |d> lungo l'asse Z (dopo aver eseguito la misura lungo X) è sempre la stessa:
aa=bb=1/2
cioè si ha il 50% di probabilità per entrambi gli stati e perciò risulta:
 |r>=(1/2)1/2|u>+(1/2)1/2|d>.
Nota: la somma delle probabilità è correttamente normalizzata a 1 infatti P=aa+bb=1.

Possiamo fare la stessa misura lungo l'asse Y e troveremo lo stesso risultato: cioè se misuriamo prima lo spin lungo l'asse Z e subito dopo lungo l'asse X oppure Y, allora lo stato dell'elettrone lungo l'asse Z non è più definito, ha cioè la stessa probabilità di trovarsi nello stato up oppure down(!)
Nota: se invece eseguiamo più volte di seguito la misura dello spin lungo lo stesso asse si ottiene sempre lo stesso valore.

Se inoltre indichiamo con |l> (left) lo stato dello spin preparato lungo l'asse X negativo, si può dimostrare la relazione (vedi la Nota sotto):
|l>=(1/2)1/2|u>-(1/2)1/2|d>.
Ed infine considerando anche lo stato lungo l'asse Y positivo |i> (in) oppure negativo |o> (out), si ha rispettivamente:
|i>=(1/2)1/2|u>+i(1/2)1/2|d>
|o>=(1/2)1/2|u>-i(1/2)1/2|d>
dove abbiamo dovuto introdurre** l'unità immaginaria i (in modo che per tutti questi stati risulti correttamente per le probabilità: aa=bb=1/2).
Nota: gli stati di spin si ottengono ponendo, oltre ai dati sperimentali che definiscono le probabilità, anche le relazioni di indipendenza lineare: <u|d>=<d|u>=<r|l>=<l|r>=<i|o>=<o|i>=0.

Si osservi quindi come sia stato necessario inserire l'unità immaginaria i nella definizione degli ultimi due stati di spin per soddisfare le condizioni richieste (sia sperimentali che formali)***.

È altresì corretto supporre che ciò non riguardi solo questo semplice esempio ma sia vero in generale: senza i numeri complessi, non potremmo definire correttamente gli stati di un sistema quantistico e le relative probabilità (se vogliamo ottenere i giusti risultati sperimentali).

(*) Dopo la misura lo stato di spin dell'elettrone è definito e si dice che l'elettrone è stato preparato nello stato di spin relativo all'asse di misura.
(**) Si può dimostrare che non possiamo fare a meno dell'introduzione dell'unità immaginaria i nella definizione degli stati di spin (da non confondere con lo stato in: |i>).
(***) Questo elementare sistema quantistico può essere definito qubit (quantum bit), poiché presenta solo due stati; in effetti sembra che tutti i sistemi quantistici possano essere costruiti combinando solo qubit.