martedì 23 marzo 2021

Perché un modello esteso dell'elettrone?

È noto che nel Modello Standard le particelle elementari vengono considerate a tutti gli effetti come puntiformi, tuttavia ciò porta a valori infiniti per alcune quantità che le caratterizzano, legate alle mutue interazioni tra particelle e campi.
Nota: con l'aggettivo puntiforme si intende una particella elementare priva di qualsiasi struttura interna.

Vediamo infatti come si definisce l'energia di una particella carica di massa a riposo m nella teoria classica (relativistica), considerando l'energia del campo elettrostatico da essa generato oltre alla sua energia di massa (vedi Wikipedia):
mc2=m0c2+(1/2) ε0E2dV     (1.1)
dove m0 è la massa nuda della particella priva di campo elettrico* mentre E=F/e=e/4πε0R2 è il campo elettrico a distanza R dalla particella, F è la forza di Coulomb ed ε0 è la permittività elettrica del vuoto.
Nota: in tutti i post useremo, anche se non dichiarate, le unità di misura del sistema metrico internazionale SI.

Se, ad esempio, integriamo tra il raggio r ipotetico di un elettrone e il volume V=(4/3)πR3 che lo circonda all'infinito si ha:
(1/2) ε0E24πR2dR=(1/2) (e2/4πε0R2)dR     (1.2)
posto dV=4πR2dR ed essendo E=e/4πε0R2.
Quindi calcolando l'integrale tra il raggio r ed infinito si ottiene:
-(e2/8πε0R)|r=e2/8πε0r     (1.3)
per cui l'energia complessiva dell'elettrone con il suo campo è (secondo la eq.1.1):
mc2=m0c2+e2/8πε0r     (1.4)
ciò significa che se l'elettrone è puntiforme (cioè r -> 0) allora la sua energia mc2 tende come anticipato ad infinito!

Nelle teorie di campo quantistiche l'approccio è più complesso di quanto esposto qui, tuttavia si devono comunque usare procedure matematiche di rinormalizzazione per eliminare le divergenze che insorgono nei calcoli, come ad esempio quello che determina l'anomalia magnetica dell'elettrone.

Nei prossimi post mostreremo come sia possibile definire, secondo una proposta dell'autore, un modello esteso dell'elettrone dove tutte le quantità che lo definiscono sono finite.
 
Dovremo però tenere conto, nello sviluppo del modello e.m. esteso,  che le attuali misure sperimentali indicano una dimensione della carica elettrica non superiore a circa 10-19 metri, che è la migliore risoluzione degli odierni acceleratori di particelle (tale risoluzione è dell'ordine della lunghezza d'onda λ delle particelle-sonda)**. 
Nota: come vedremo in un Blog dedicato la carica elettrica del modello esteso è assunta come puntiforme mentre è la massa ad essere distribuita in modo esteso sulla superficie del modello.

(*) La massa nuda m0 è un parametro libero della teoria che non è possibile misurare direttamente: non possiamo in effetti separare una particella carica dal campo elettrico che essa stessa genera.
(**) Dato che le particelle circolano negli acceleratori a velocità v prossime a c si ha E=hc2/λv≈hc/λ da cui λhc/E e per E=14 TeV (energia massima oggi raggiungibile) si ha λ10-19 m (si ricordi che 1 eV1,6x10-19 Joule).
[Ricordiamo che per una particella di massa m si ha E=mc2 e p=mv da cui p=Ev/c2 ed essendo p=h/λ segue E=hc2/λv]

ATTENZIONE
Per il seguito di questo post vedi il Blog: Electron Extended Model dove verrà proposto dall'autore un modello dell'elettrone non puntiforme.

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