L'Equazione di Daniel Bernoulli

Partiamo dalla seguente illustrazione che rappresenta il tubo di flusso di un fluido ideale* in moto stazionario** (che sono due ipotesi fondamentali).

In figura è stata indicata la stessa quantità di massa elementare m (colorata in azzurro) in due punti diversi del tubo, rispettivamente di sezione A₁ e A₂ e di lunghezza ∆l₁=v₁∆t e ∆l₂=v₂∆t (dove v₁ e v₂ sono le velocità di spostamento dei due volumetti di fluido nel tempo ∆t); inoltre in figura p₁ e p₂ sono rispettivamente le pressioni esercitate sulle due sezioni elementari A₁ e A₂ (vedi Wikipedia):

Ricordando che il lavoro fatto dalla pressione p sui due volumetti di fluido è pari a L=F∆l=pA∆l=pV (essendo la forza dovuta alla pressione F=pA e il volumetto dell'elemento uguale a V=A∆l) avremo che il lavoro L_S (detto di superficie) compiuto sui due elementi del fluido è: 

L_S=L₁+L₂=p₁V₁-p₂V₂ 

dove il segno meno indica che la pressione -p₂ è opposta a p₁ (poiché il fluido del volume V₂ frena quello di spinta del volume V₁).
Nota: se il fluido è incomprimibile la densità ρ è costante, perciò se i due volumi V₁=A₁v₁∆t e V₂=A₂v₂∆t contengono la stessa massa m avremo: m=ρA₁v₁∆t=ρA₂v₂∆t da cui segue A₁v₁=A₂v₂ (equazione di continuità).

Inoltre in figura sono state indicate le due altezze h₁ e h₂ alle quali si trovano i due volumetti di fluido V₁ e V₂: se indichiamo con F_g=mg la forza gravitazionale a cui sono sottoposti i due elementi m di fluido (supponendo che l'accelerazione g sia costante in h), avremo che il lavoro L_V (detto di volume) è dovuto alla variazione del potenziale gravitazionale ∆U_g con segno meno, cioè L_V=-∆U_g=-mg∆h da cui segue (essendo ∆h=h₂-h₁):

L_V=mgh₁-mgh₂.

Nota: sulla definizione di energia potenziale vedi il post "Energia potenziale<=>Forza conservativa".

Quindi se non agiscono altre forze sul sistema avremo, per il Teorema dell'energia cinetica (vedi il post "Il Teorema della 'Vis Viva'"), che il lavoro totale L_S+L_V è pari alla variazione ∆E_c di energia cinetica della massa elementare di fluido m: 

L_S+L_V=(1/2)mv₂²-(1/2)mv₁²

da cui segue per sostituzione e riordinamento:

p₁V₁+mgh₁+(1/2)mv₁²=p₂V₂+mgh₂+(1/2)mv₂².

Infine supponendo che la densità ρ=m/V del fluido sia costante (un fluido ideale è incomprimibile), dividendo entrambi i membri per i volumi V₁=V₂=V (identici per l'equazione di continuità, vedi la nota sopra) segue l'equazione ricavata da Daniel Bernoulli nel 1738: 

p₁+ρgh₁+(1/2)ρv₁²=p₂+ρgh₂+(1/2)ρv₂².

Nota: ricordiamo che nel caso di un fluido confinato (cioè v₁=v₂=0) per il Principio di Pascal una variazione di pressione ∆p=p₂-p₁ in un punto qualsiasi del fluido viene trasmessa identica ad ogni punto del contenitore.

In definitiva, poiché possiamo ripetere lo stesso ragionamento per qualsiasi elemento m del fluido, risulterà in generale:

p+ρgh+(1/2)ρv²=costante

ed essendo il fluido ideale la costante sarà la stessa per tutte le linee di flusso.

Si osservi infine che avendo definito L_V=-∆U_g ed essendo come abbiamo visto L_S+L_V=∆E_c segue:

L_S=∆(U_g+E_c).

Si noti che il lavoro di superficie L_S=-V∆p (in modo analogo a L_V=-mg∆h) è un lavoro conservativo***; infatti essendo il fluido ideale e il moto stazionario la variazione di pressione ∆p dipende solo dai due punti del fluido considerato (è cioè funzione della sola posizione); perciò possiamo scrivere L_S=-∆U_p=-V∆p (dove ∆U_p è l'energia potenziale dovuta alle forze di pressione) e quindi dall'equazione precedente si ha:

∆(U_g+U_p+E_c)=0.

Il significato fisico dell'equazione di Bernoulli è perciò analogo a quello del principio di conservazione dell'energia meccanica, dove ricordiamo risulta ∆(U+E_c)=0 (vedi il post "E se le forze non sono conservative?"); infatti nel caso del fluido ciò è ancora vero se poniamo per l'energia potenziale:

∆U=∆(U_g+U_p).

Nota: in effetti il fluido è stato trattato come un sistema meccanico di particelle in moto, sottoposto a forze di pressione oltre a quella gravitazionale.

(*) Con fluido ideale si intende un fluido con le seguenti proprietà:
-> incomprimibile: la densità ρ=m/V è costante (quindi a parità di massa m il volume V non varia);
-> non viscoso: non si sviluppa attrito interno (e quindi non si ha dissipazione di energia);
-> irrotazionale: non c'è nessun elemento del fluido in rotazione attorno al proprio asse (perciò non ci sono energie rotazionali in gioco).
(**) Il moto di un fluido è considerato stazionario se, fissato un qualsiasi punto del fluido, le sue condizioni fisiche (come pressione, densità e velocità) non variano in funzione del tempo.
(***) In particolare nel caso statico (cioè v₁=v₂=0) l'equazione di Bernoulli diventa V∆p=-mg∆h che rappresenta la Legge di Stevino; possiamo scriverla anche nella forma differenziale Vdp/dh=-mg poiché dU_p=Vdp è un differenziale esatto (essendo il campo delle forze di pressione conservativo). Ma ciò è vero anche nel caso del moto stazionario, infatti essendo d(p+ρgh+(1/2)ρv²)/dh=dp/dh+ρg=0 si ha di nuovo Vdp=-mgdh.
(Inoltre nel caso di un tubo orizzontale risulta h=costante e quindi avremo l'effetto Venturi: ∆p+∆(1/2)ρv²=costante cioè la pressione esercitata da un fluido diminuisce all'aumentare della sua velocità e viceversa).