La Funzione d'Onda (quantistica)

Ci siamo già occupati (nel post "L'Equazione della Funzione d'Onda") dell'equazione che descrive la dinamica di un sistema quantistico attraverso la relativa funzione d'onda; vediamo ora qual è il significato fisico di questa particolare funzione.

Secondo Wikipedia "in meccanica quantistica, la funzione d'onda rappresenta uno stato fisico del sistema quantistico. È spesso una funzione complessa delle coordinate spaziali e del tempo e il suo significato è quello di ampiezza di probabilità. Il suo modulo quadro quindi rappresenta la densità di probabilità dello stato sulle posizioni".

Per chiarire il significato fisico della funzione d'onda sarebbe necessario introdurre alcuni concetti quantistici, come quelli di stato quantico, di grandezza osservabile e del principio di sovrapposizione (solo per citarne alcuni) ed in particolare andrebbe prima definito il relativo spazio di Hilbert; poiché, essendo la funzione d'onda una funzione complessa, essa deve essere trattata in uno spazio complesso.

Tuttavia introdurremo qui l'interpretazione della funzione d'onda data per primo dal fisico tedesco Max Born nel 1926, quando ancora le definizioni di cui sopra non erano state del tutto chiarite o introdotte (vedi Wikipedia).

Ora si osservi che "se in meccanica classica, lo stato di una particella viene definito attraverso il valore esatto delle due quantità osservabili posizione e impulso (variabili canoniche); in meccanica quantistica, invece, lo stato di una particella è descritto (nella rappresentazione di Schröedinger) da una funzione d'onda" (vedi Wikipedia).

Veniamo quindi all'interpretazione data dal Nobel per la Fisica Max Born.
In breve "Max Born mise in correlazione il concetto di funzione d'onda con la probabilità di rinvenire una particella in un punto qualsiasi dello spazio basandosi sull'analogia* con la teoria ondulatoria della luce, per la quale il quadrato dell'ampiezza E² dell'onda elettromagnetica in una regione dello spazio rappresenta in pratica la sua intensità" (vedi Wikipedia).

Si osservi infatti (come abbiamo già visto nel post "Un effetto Foto-elettrico!"), che l'intensità di un'onda elettromagnetica - cioè l'energia dell'onda che attraversa una superficie elementare nell'unità di tempo - è definita dal vettore di Poynting S e che, ad esempio, nel caso di una onda piana il suo modulo è proporzionale al quadrato del campo elettrico E:

S=E²/Z

essendo Z=(µ/ε)^1/2 l'impedenza caratteristica del materiale dove si propaga l'onda (ε e µ sono la permittività elettrica e la permeabilità magnetica).
Nota: in generale la densità di energia di un'onda e.m. (solitamente indicata con u) è proporzionale a E² risultando: u=εE².

Poiché come è noto l'intensità di un'onda e.m. è proporzionale al numero di fotoni dell'onda**, ciò implica che il quadrato dell'ampiezza del campo elettrico E²(r) (in un punto r qualsiasi dello spazio) sarà proporzionale alla densità di probabilità di trovare un fotone in quella determinata posizione.

Per analogia, secondo Born, "risulta possibile determinare la probabilità con la quale un elettrone può essere rinvenuto all'interno di un volume elementare dV in un determinato punto r effettuando il prodotto ψ²(r)dV"; ciò significa che il modulo quadro ψ²(r) rappresenta la densità di probabilità della funzione d'onda.
Nota: nel caso di una funzione d'onda complessa la probabilità è proporzionale al prodotto ψψ* dove ψ* è la funzione coniugata complessa.

A questo punto è utile fare un esempio. Se applichiamo l'equazione di Schrödinger ad un atomo di idrogeno (costituito da un protone ed un elettrone), la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'elettrone intorno all'atomo (cioè lo stato stabile a minor energia) risulta:

ψ(r)=ke^-r/a₀

dove k=1/(πa₀³)^1/2 mentre a₀ è il raggio di Bohr.
Nota: si osservi che ψ(r) ha una simmetria sferica, cioè dipende dal modulo del vettore r applicato nel centro dell'atomo e non dalla sua direzione***.

Perciò, essendo la simmetria sferica, calcoliamo la probabilità radiale (definita come P(r)dr=ψ²(r)dV) di trovare l'elettrone nel guscio compreso tra le sfere di raggio r e r+dr e di volume dV=4πr²dr:

ψ²(r)dV=(ke^-r/a₀ )²4πr²dr=P(r)dr.

Da ciò segue che la densità di probabilità radiale P(r)=(ke^-r/a₀ )² 4πr² ha il suo massimo nel punto r=a₀ (basta porre dP(r)/dr=0 per ottenere il punto di massimo) che coincide con il raggio già derivato da Bohr.

Nota: essendo il risultato probabilistico, l'elettrone potrebbe trovarsi anche in altre zone intorno al nucleo ma con minor probabilità.

(*) L'analogia con la teoria ondulatoria della luce si basa sul fatto (vedi il post "L'ipotesi di de Broglie: L=h/p") che se L e T sono rispettivamente la lunghezza e il periodo di un'onda, allora per una particella di energia E e quantità di moto p sono per ipotesi valide le due relazioni fondamentali: T=h/E e L=h/p da cui discende la possibilità di associare, ad una determinata particella, la relativa funzione d'onda (come descritto nel post "L'Equazione della Funzione d'Onda").
(**) Sull'introduzione del fotone in fisica, la cui energia è pari a E=h/T (dove T è il periodo dell'onda), vedi il post "Un effetto Foto-elettrico!".
(***) L'energia potenziale dell'atomo di idrogeno (protone ed elettrone interagiscono attraverso la forza conservativa coulombiana) è definita come U(r)=-(1/4πε₀)e²/r e quindi ha simmetria sferica.